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1、第八节第八节 常系数常系数非齐次非齐次 线性微分方程线性微分方程小结小结 思考题思考题 作业作业非齐次非齐次第十二章第十二章 微分方程微分方程1方程方程对应对应齐次齐次方程方程通解结构通解结构难点难点方法方法二阶二阶常系数常系数非齐次非齐次线性线性二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程如何求如何求非齐次非齐次方程特解？方程特解？待定系数法待定系数法.2设非齐方程特解为设非齐方程特解为求导代入原方程求导代入原方程二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程3综上讨论综上讨论注注上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程微分方程(k
2、是重根次数是重根次数).不是根不是根是单根是单根是重根是重根二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程4解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例(1)求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解(2)求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解此题此题其中其中?二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程5代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为对应对应齐次齐次方程通解方程通解二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程6解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程特征根特征根(1)求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解此题
3、此题其中其中(2)求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解1992年考研数学一年考研数学一,6分分二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程7代入方程代入方程,原方程通解为原方程通解为对应对应齐次齐次方程通解方程通解得得二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程8 欧拉公式欧拉公式二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程9是单根是单根w wl li 欧拉公式欧拉公式注注 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次阶常系数非齐次线性微分方程线性微分方程.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程10解解例例(1)求求对应对应齐次齐次方程
4、方程 特征根特征根其通解其通解这是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程.且且特征方程特征方程的通解的通解二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程11(2)求求非非齐次齐次方程方程 故设故设代入代入方程方程,比较系数比较系数.得得 这里这里特征根特征根非齐次方程特解为非齐次方程特解为是特征根是特征根.原方程通解为原方程通解为 的特解的特解.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程12 1989年考研数学二年考研数学二,7分分解解两端再对两端再对x求导求导,得得积分方程积分方程 微分方程微分方程积分方程积分方程即即即即这是二阶常系数非齐次线性方程这是
5、二阶常系数非齐次线性方程.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程其中其中 f 为连续函数为连续函数,求求f(x).13即即即即初始条件初始条件初始条件初始条件二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程得得由由-=xttftxxxf0,d)()(sin)(14其通解其通解(1)对应对应齐次齐次方程方程特征方程特征方程特征根特征根(2)设原方程的特解为设原方程的特解为 解得解得则则方程的通解为方程的通解为由初始条件由初始条件,得得所以所以,初始条件初始条件二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程是特征根是特征根.cos2sin21)(xxxxfy+=15三、小结三、小结待定系数法待定系数法二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程16作作 业业习题习题7-8(3477-8(347页页)1.(4)(5)(9)2.(1)(4)6.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程17