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1、6-8 隐函数存在定理隐函数存在定理 y=f(x)形式的函数称为显函数.由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)称为隐函数.由方程F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)称为隐函数由方程组由方程组首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当 C 0 时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题.1.一个方程的情况一个方程的情况定理定理1 设设 在一点在一点 的邻域内有的邻域内有定义定义.且满足下列条件且满足下列条件:则在则在 的某个邻域的某个邻域 内存在一内存在一个个函数函数y=f(x
2、),使得使得 且且 并且并且 内有连续的内有连续的导函数导函数首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页定理证明从略，仅就求导公式推导如下：两边对 x 求导在的某邻域内则首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解 令连续,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且并求定理定理2设设 在点在点 的某邻的某邻域内有连续的偏导数域内有连续的偏导数,且且 且且 有连续偏导数有连续偏导数:则在点则在点 的某个邻域内的某个邻域内,方程方程 唯一确定一个隐函数唯一确定一个隐函数 满足满足定理证明从略,仅就求导公式推导如下
3、:首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页两边对 x 求偏导同样可得则首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例2解法解法1利用公式.令令则则首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页解法解法2 利用隐函数求导方程两端关于方程两端关于x求偏导，得求偏导，得方程两端关于方程两端关于y求偏导，得求偏导，得说明：利用公式法求偏导时，将方程说明：利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中中x,y,z视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将z视作视作x,y的的函数：函数：z=z(x,y).首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例3 求由方程解解设u=x-y,v=
4、y-z.为了方便起见,引入记号首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页2.方程组的情况方程组的情况可确定隐函数u=u(x),v=v(x)?先介绍线性代数中的克莱姆法则克莱姆法则二元一次方程组首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页克莱姆法则克莱姆法则告诉我们：告诉我们：二元一次方程组有惟一二元一次方程组有惟一解解u=u(x),v=v(x)我们的问题相当于解方程组方程组有惟一解方程组有惟一解首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页当F及G 是一般函数时，需要下列条件行列式称作F,G的雅可比行列式雅可比行列式.方程组有惟一解方程组有惟一解定理定理3在点在点 的一个邻域内存在唯一的一对可微函数的一个
5、邻域内存在唯一的一对可微函数 使得使得 且满足方程组且满足方程组 的导函数的导函数由下列方程组求出由下列方程组求出 证明略首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页定理定理3的推广的推广考虑方程组：首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内故得系数行列式首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页同样可得首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 例例4 由方程组 能否确定u,v为x与y的函数，在能确定隐函数的条件下，求解解方程组两边对 x 求导，并移项得首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页方程组两边对 x 求导，并移项得用克莱姆法则解方程组方程组两边对 y 求导，并移项得解得首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页解以 为未知数的方程组，得补例补例解解 注意：明确哪些是自变量，哪些是因变量，是几元的.首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页内容小结内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式思考与练习思考与练习设求首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页提示提示:首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.由d y,d z 的系数即可得习题习题6-8 (2)(4);3.5.7.8.10.11.