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1、第2章利息与年金基础教学课件保险精算学第二章 利息与年金基础ACTUARY第二章 利息与年金基础第一节 利息理论概述第二节 确定年金第三节广义年金与变额年金 累计函数 单利复利 实际利率 现值终值 贴现 利息力 以上诸概念的关系 期初年金 期末年金 延期年金 永久年金ACTUARYACTUARY第一节利息理论概述2.1.1 累计函数和总量函数 本金(principal),即初始投资的资金额累积值(accumulated value)是过一段时期后回收的总金额利息就是累种值和本金之间的差额。ACTUARY2.1 累计函数和总量函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516
2、17181920212223242526272829303132333435363738394000.511.522.533.5a(t)=1 a(t)=1+3%t a(t)=(1+3%)tACTUARY2.1.2 单利与复利 所谓单利，即利息是以时间的线性函数存在。假如本金1元，累 积 函 数符合a(t)=1+it的计息方式就是单利，其中i为单利率，i和t所用时间单位一致 复利的利息则是以时间的指数形式存在，假如本金1元，累 积 函 数符合 a(t)=(1+i)t的计息方式就是复利，同样，其中i为复利率，i和t所用时间单位一致【例2-2】老马到银行存了10,000，银行按年利率10%的单利计息
3、，存期三年，利息到期给付。那么第三年末这笔资金的本利和为多少？如果复利计算，三年末本息和是多少？解:单利计息时第三年末该笔资金的本利和为10,000+310,00010%=13,000；复利计息时第三末该笔资金本利和为10,000(1+10%)3=13,310ACTUARY2.1.2 单利与复利 ACTUARY2.1.3 实际利率与名义利率 ACTUARY2.1.3 实际利率与名义利率ACTUARY ACTUARY2.1.3 实际利率与名义利率 ACTUARY2.1.3 实际利率与名义利率5.金融领域有关名义利率与实际利率的常用术语介绍一年换算m次利息的情况在金融实务中常见。若干金融工具挂牌时
4、标注的利率实际是指一个标准计算期（一年）内要进行多次利息结算，比如美国国债，票面利率通常是指半年结息一次的利率，既每半年给付票面利率的一半值。在此给出一些常用换算术语。利息换算期，interest conversion period；每季换算，payable quarterly；每半年换算，compounded semiannually；按月换算，convertible monthly。ACTUARY2.1.3 实际利率与名义利率 ACTUARY2.1.4现值与终值 ACTUARY2.1.4现值与终值 ACTUARY2.1.4现值与终值【例2-6】老马家孩子四年后读大学，预计需在四年后准备两万
5、元学费。（1）老马准备以存款形式准备这笔资金。试以单利和复利计算，年利率6%时，现在分别应该存多少钱？（2）老马准备买一种理财产品，半年一期自动续期滚动，挂牌收益率6%。老马现在应该买多少钱？（3）另有一款理财产品，每月一期自动续期滚动，挂牌利率5.98。与（2）相比，老马应该买哪种产品？ACTUARY2.1.5 实际贴现率与名义贴现率ACTUARY2.1.5 实际贴现率与名义贴现率【例2-7】假如年实际利率为3%，试比较单利情况下的贴现函数与复利情况下的贴现函数的差异。解，以40年为限，两种情况下的贴现函数图如图所示。ACTUARY2.1.5 实际贴现率与名义贴现率随着时间的延长，复利贴现函
6、数值比单利贴现函数值下降得快。1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 390.20.30.40.50.60.70.80.91单利贴现 复利贴现 ACTUARY2.1.5 实际贴现率与名义贴现率 ACTUARY2.1.5 实际贴现率与名义贴现率 ACTUARY2.1.5 实际贴现率与名义贴现率 ACTUARY2.1.6 单贴现与复贴现【例2-8】假如实际年贴现率为3%，试比较单贴现和复贴现的差异。解：以30年为限（单贴现情况下，34年就要为负数了），两种情况下的贴现值如图2.3所示。ACTUARY2.1.6 单贴现与复贴现1 3 5
7、 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 2900.20.40.60.811.2单贴现 复贴现图2.3单贴现与复贴现值随时间变化图注意比较单利下的贴现函数与复利下的贴现函数的区别 ACTUARY2.1.7 实际利率与实际贴现率之关系 ACTUARY2.1.7 实际利率与实际贴现率之关系 ACTUARY2.1.7 实际利率与实际贴现率之关系 ACTUARY ACTUARY；。a(t)的微分是变化量单位是元/年（或者每月每日）而利息力是瞬时的变化量除以本金 ACTUARY；。ACTUARY ACTUARY2.1.8 实际利率、名义利率、实际贴现率、名义贴现率、利息力间的关系
8、ACTUARY2.1.8 实际利率、名义利率、实际贴现率、名义贴现率、利息力间的关系 ACTUARY2.1.8 实际利率、名义利率、实际贴现率、名义贴现率、利息力间的关系 ACTUARY2.1.8 实际利率、名义利率、实际贴现率、名义贴现率、利息力间的关系 ACTUARY2.1.8 实际利率、名义利率、实际贴现率、名义贴现率、利息力间的关系【例2-6】计算下表中？部分的数值解：ACTUARY2.1.8 实际利率、名义利率、实际贴现率、名义贴现率、利息力间的关系年名义利率 年实际利率i=i=?i=0.08i=0.08i=?i=0.08年名义利率 年实际利率i=0.0816i=0.082432i=
9、0.08i=0.08i=0.083287i=0.08ACTUARY第二节确 定 年 金 ACTUARY2.2 确定年金ACTUARY2.2.1 期末付年金（Immediate Annuity）.现值：每年年末支付1单位货币，共支付n年，其现值以 表示。如下图ACTUARY2.2.1 期末付年金（Immediate Annuity）.ACTUARY2.2.1 期末付年金（Immediate Annuity）.2.终值：每年年末支付1，共支付n年，其终值以表示。如下图ACTUARY2.2.1 期末付年金（Immediate Annuity）.2.由公式得ACTUARY2.2.1 期末付年金（Imm
10、ediate Annuity）.注：如果以金融计算器计算，则只需要列出并输入已知条件，再输入要计算的变量既可输出结果。通常计算器中以PV表示现值，FV表示终值，PMT表示每期支付额，I表示利率，N表示支付期数。本例解题过程为为：已知PMT1000，I6，N20；求PV及FV。按不同型号计算器操作要求输入已知变量值及所求未变量值既可。后续案例类似，不加赘述。ACTUARY2.2.2 期初付年金（Annuity-due）.1.现值：每年年初支付1，共支付n年，其现值以表示。如下图ACTUARY2.2.2 期初付年金（Annuity-due）.1 1 1 1 11 2 t=03 n-1n2.终值：每
11、年年初支付1，共支付n年，其终值表以 表示。如下图ACTUARY2.2.2 期初付年金（Annuity-due）.【例2-8】练习(1)试证的关系。(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2)ACTUARY2.2.2 期初付年金（Annuity-due）.ACTUARY2.2.2 期初付年金（Annuity-due）.ACTUARY2.2.2 期初付年金（Annuity-due）.ACTUARY2.2.2 期初付年金（Annuity-due）.【例2-8】续前例，老马家孩子四年后读大学，预计需在四年后准备两万元学费。老马收入一般，准备每年初定期存入一笔相同的钱。假如银行提供年利率3%，试计算老年
12、每年需要存多少钱。ACTUARY2.2.3 延期年金（Deferred Annuity）1.延期期末年金现值：开始m期不支付年金，而从第m+1期起，每期末支付1，共支付n期，其现值记为。由上图可知，ACTUARY2.2.3 延期年金（Deferred Annuity）1.延期期初付年金现值：开始m期不支付年金，而从第m+1期起，每期初支付1，共支付n期，其现值记为。由图可见，现值为ACTUARY2.2.3 延期年金（Deferred Annuity）ACTUARY2.2.4 永久年金（Perpetuities）既支付年金期数为无穷的年金。以期末年金为例，如图现值ACTUARY2.2.3 延期年
13、金（Deferred Annuity）ACTUARY2.2.5 年金的不同评价时点与方式不同时间点上，年金价值有许多种表示方式，比如以下列 7个时间点来评估一个七期年金，请仔细理解每一种表达方式。ACTUARY第三节广义年金与变额年金ACTUARY2.3.1广义年金ACTUARY尽管给付周期大于利息换算周期、给付周期小于利息换算周期、期初年金、期末年金等都有不同的数值表达式，但实际上无论是期初年金还是期末年金，也无论给付频率是大于利息换算期（如有效利率为年利率时，一年多次给付）还是给付频率小于利息换算期（如有效利率为年利率时，多年给付一次），都有两种计算的思路。一种方法较为简便，分成两步计算：
14、（1）将利率换算成与给付频率相同周期的利率；（2）按新利率计算年金值。在此要特别注意，不能将支付金额进行加总，加总成利率换算周期后再计算年金。2.3.1广义年金ACTUARY2.3.1广义年金ACTUARY2.3.1广义年金ACTUARY2.3.1广义年金ACTUARY2.3.1广义年金ACTUARY2.3.1广义年金ACTUARY2.3.1广义年金ACTUARY 2.3.2变额年金ACTUARY 2.3.2变额年金ACTUARY 2.3.2变额年金ACTUARY 2.3.2变额年金ACTUARY 2.3.2变额年金ACTUARY 2.3.2变额年金ACTUARY 2.3.2变额年金ACTUARY【关键词】累积函数，单利，复利，实际利率，名义利率，现值，终值，实际贴现率，名义贴现率，利息力，期末付年金，期初付年金，延期年金，永久年金，摊销法，偿债基金法ACTUARYACTUARY 2.4.2变额年金 第三节广义年金与变额年金