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1、专 题 08【思维导图】次 不等式组及其应用【考点串讲】O-考点2解一元一次不等式组O遨 考 点 1 一元一次不等式组和解集的概念元一次不等式组及其应用考点3求整数解问题考点1 一元一次不等式组和解集的概念一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式解第的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。例.（2 0 2 1 全国九年级专题练习）下列不等式组是一元一次不等式组的是（）x2+l 3xx+y23x+54x 10 D.龙+37x-8 4 x 3-(x+3)+2l【答案】C【解析】【详解】试题解析
2、：根据一元一次不等式组的定义可知：选项A、B、D不是一元一次不等式组，选项 C是一元一次不等式组.故选c.专 练 L （2018全国七年级课时练习）下列四个选项中是一元一次不等式组的是（）（x+y=x2+x 2 2x+3x fx+1 2A.1 x +l 3 x+2 3 y 2 x+3 x【答案】D【解析】【分析】根据一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组可得答案.【详解】A、不是一元一次不等式组，故此选项错误；B、不是一元一次不等式组，故此选项错误；C、不是一元一次不等式组，故此选项错误；D、是一元一次不等式组，故此选项正确；故选D
3、.【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的定义，关键是熟练掌握定义.专练2.（2018全国七年级单元测试）下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（）3 x-02（1）-x -2 33 x-6 0A.B.（4）C.、D.（2）、（4）【答案】A【解析】【详解】根据一元一次不等式组的概念，可 知（1）、（2）、（4）是一元一次不等式组，（3）中含有两个未知数，且最高次数为2,故不是一元一次不等式组.3 x+l 0 xy24X04 x 52 x 1故选A.专 练 3.（2018甘肃武威第五中学七年级阶段练习）x+1是不小于-1 的负数，则可表示为()A.1 x+1 0 B.1 x+1 0 C.lM
4、x+140 D.-1 x+1 0【答案】D【解析】【详解】【分析】直接用不等式表示题意,即可.【详解】x+1是不小于-1 的负数，则可表示为 14x+l ax b工。、同大取大”b ajca“同小取小”x bb a6z。“大小、小大中间找“工 ab a【注意】1.在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集。2.利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。3、解一元一次不等式组的一般步骤：求出不等式组中各不等式的解集将各不等式的解决在数轴上表示出来。）在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。例.（2。22陕西西安八
5、年级期中）将 不 等 式 组 E 6.3 X 的解集在数轴上表示出来，正确的 是（）0 1 2 3 4 5【答案】A【解析】【分析】分别把两个不等式解出来，求出不等式组的解集，然后即可判断哪个选项正确.【详解】解：解不等式x+8 4 x-l,得x3,解不等式xW16-3尤，得x4 4,回不等式组的解集为：x3,在数轴上表示为：-1-1-1-L0 1 2 3 4 5故选：A.【点睛】本题考查1.解一元一次不等式组；2.在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式的方法以及会表示不等式的解集.专 练 1.（2022福建南平.二模）如图，在数轴上A,B,C,。四个点所对应的数中是不等式fx
6、-1 2x组 X的解的是（）I 2-3-3-1 0 I 3.7 B C DA.点A 对应的数B.点 3 对应的数C.点 C对 应 的 数 D.点。对应的数【答案】B【解析】【分析】先求出不等式组的解集，然后判断即可得出答案.【详解】fx-1 T,解不等式 ，得“40,回不等式组的解为-l0专练2.（2022云南昆明二模）将 不 等 式 组I%i中的两个不等式的解集在数轴上表示-00二 2解不等式得：x-2，不等式的解集为：x 2,表示在数轴上如图，-6 1 -2 0 2故 选B【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键.x-2
7、0专 练3.（2022湖北枣阳市教学研究室一模）不等式组 x-1 中两个不等式的解集在数-s 12轴上表示正确的是（）【答案】A【解析】【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可.【详解】X-2V0解：-二412解不等式得：x-l,团不等式组的解集为：-1*3例.（2022云南丽江市教育科学研究所二模）若关于x的不等式组 2 一 无解，且x+3 2（x+l）tn v 1关于y的分式方程 的解是正数，则满足条件的整数皿的值之和是（）y-z z yA.-12【答案】B【解析】【分析】B.-11C.一 1()D.-9解关于龙的不等式组%一根-3m V -12 无解；解得“2-5,且
8、关于y的分式方程1+1=的x+3 2（x+l）2 2 7解是正数；解得用 2（x+1）由得：x6+m由得：xl解得：欣-5且关于y的分式方 程 号+产 的解是正数;解方 程+1=六得 y=一丁 且 y*2因为解是正数;3-m所以一 02解 得w3国”的取值范围是：-5S，3则满足条件的整数，的值可以是：-5,-4,-3,-2,0,1,2,所 以 有(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(0)+1+2=-11故答案为：B【点 睛】本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的解，解题的关键是掌握根据不等式组无解,和分式方程的解是正数得出a的范围.专 练】.（2。22湖北恩施一模）关 于 的 方 程
9、?-=有 解,则，的取值范围是（)A.mOB.m wlC.加工0或加工1 D.7 0且加工1【答 案】D【解 析】【分 析】根据分式的求解步骤，按步骤求解，再根据解的结果求值即可.【详 解】解：-一=0X X+1方程两边同乘x(x+l)得m(x+l)-x =0,去括号、移 项、合并同类项得（m-l）x=-m,关于X的方程-二=0有解,X X+1加 一 1工0加 一 1 w 0mx=-m,x w Ox -mm-m即w ,解得w 1且6w 0,W 1故选：D.【点睛】本题考查解分式方程，理解分式方程的求解步骤，熟练掌握分式方程有解的条件是解决问题的关键.专练2.（2022山东烟台一模）若关于x的
10、方 程 三+4=2的解为正数，则?的取值范x-2 2-x围 是（）A.m6 C.，a6且nzwl（）D.，02解得：mv 6口加w 2.故选：D.【点睛】本题考查分式方程的根，解不等式组，解题的关键是理解机的取值需同时满足以下两个条件：（1）解关于x的方程一 +二 2所得的x=3一;不能是增根，即3?2。0；（2）x-2 2-x 2 23 0.2 x a 0专 练3.（2022云南昭通一模）已知关于x的不等式组。c八的整数解共有4个，则。3-2%0的取值范围是（）A.-3 a -2B.-3 a -2C.3。2D.ci 0 解不等式得：解不等式得：X ，3回不等式组的解集是。幺；,倒原不等式组的
11、整数解有4个为1,0,-1,-2,0-3 -2.故答案为B.【点睛】本题考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解的应用，确定不等式组的解集是解答本题的关键.考点4不等式组和方程组的结合I X+V =4 +7例.（2 02 1 广东广州七年级期末）关于X、y的方程组。，的解恰好是第二象限内X-y=3a+一个点的坐标（x，y）,则。的取值范围是（）A.a 3 B.a -2 C.-2 a 3 D.-3a 2【答案】B【解析】【分析】先解不等式组求出X、y,然后根据第二象限内点坐标的特点列式求解即可.【详解】解:解不等式组x+y=a+lx-y =3a+,得x=2a+4y=-a+3回
12、点（乂 丁）在第二象限2 a+4 0,解得:故 选 B.【点 睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解不等式组，根据点的特点列出不等式是解答本题的关键.专 练 1.（2 0 2 1 重庆巴南七年级期末）已知关于x、y的 二 元 一 次 方 程 组=的解=3 +42 x +l 2a满 足 xy,且 关 于 x的 不 等 式 组 2x7.3有 解,那 么 所 有 符 合 条 件 的 整 数”的个数为.1 0 -5（）A.6个 B.7个 C.8 个 D.9个【答 案】B【解 析】【分 析】先求出二元一次方程组的解，由得出。的范围；再由给出的不等式组有解的条件求出。的 范 围.综 合 考 虑。的范围，即
13、可确定符合条件的整数。的个数.【详 解】解：方 程 组 c。”的 解 为 .2 x-y =3a+4 y =a-2v x y,2a+1 2。-2.解 得，a-3.2 x +l 2 a解 不 等 式 组 2 x-1,1 0|不 等 式 的 解 集 是 x 空 7不等式的解集是2x4-1 2a团不等式组2 1 3有解,.10-5解得，a 4,:.-3a-x 2,且关于x的方程、=1的解为非负整数，则符合条件的整数，的个数有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组的解集，由己知解集确定出“，的范围，表示出方程的解，由方程有非负整数解，确定出整数，的值即可.【详
14、解】解：不等式组整理得：f x2,由不等式组的解集为x 2,得至即m 43,方程去分母得：2%-机=3,解得:x=7+32由方程有非负整数解，则尤为o,1,2,3,得到m=-3或-1或1或3,则符合条件的整数m的值有4个.故选：C.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键.专练3.（2019河北保定市第十九中学八年级期中）若关于X、的二元一次方程组X y=2z +1二,的解满足x+y。，则用的取值范围为（）x+3y=3A.m 2 B.m 2 C.m 3 D.m 0即可得到关于m的不等式，求得，的范围.【详解】（x_y=2m +l 解:5+3尸3+得
15、 2x+2y=2，+4,则 x+y=m+2,根据题意得?+20,解得m-2.故选：A.【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出x+y的值，再得到关于，的不等式.考点5 一元一次不等式组的应用例.（2014河南模拟预测）若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为()A.0 (3x+7)-5(x-1)5 B.0 (3x+7)-5(x-1)5C.0(3x+7)-5(x-1)5 D.0(3x+7)-5(x-1)5【答案】C【解析】【分析】若干个苹果分给x个小孩，根据如果每人
16、分3个，那么余7个，共(3X+7)个苹果；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果是(3x+7)-5(x-1),可列出不等式组.【详解】解：由题意得 0(3x+7)-5(x-l)5.故选C.【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是熟练的掌握由实际问题抽象出一元一次不等式组.专 练1.(2019全国八年级单元测试)某企业次定购买A,B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：A型B型价格(万无/台)1210月污水处理能力(吨/月)200160经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买A
17、型污水处理设备x台，所列不等式组下确是()12x+10(8-x),89 12x+10(8=x).89 12x+10(8-x).89A，f200 x+160(8-x).1380B 200 x+160(8-x),13800 *200%+160(8-%).138012x+10(8-x)89D，(200 x+l60(8-x),1380【答案】A【解析】【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型 号(8-x)台，根据企业最多支出8 9万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可.【详解】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型 号（8-x）台，根据题意，
18、得:12x+10（8-x）89200 x+160（8-x）1380故选A.【点睛】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组.专练2.（2022贵州贵阳一模）下表，某公司会计欲查询甲、乙两种商品的进价，发现进货单已被墨水污染.采购员李阿姨和保管员王师傅的对话如下：商品进 价（元/件）数 量（件）总 金 额（元）甲7200乙3200李阿姨：甲商品进价比乙商品进价每件高50%.王师傅：甲商品比乙商品的数量多4 0件.求甲、乙两种商品的进价；公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总金额不超过4870元，则采购员李阿姨最多购买甲商品多少件？【答案】（1）
19、甲的进价6 0元，乙的进价4 0元（2）43 件【解析】【分析】设乙的进价为x元，数量为y件，则甲的进价为1.5x元，数量为（、，+40）件，列出方程组7200,解方程组即可.1.5x（y+40）xy=3200（2）设购买甲种商品m件,则乙种商品（100制 件，根据题意,得60m+40（100-m）“8 7 0,求解即可.设乙的进价为x元，数量为y件，则甲的进价为1.5x元，数量为（y+40）件，列出方程组J1.5x（y+40）=7200卜=3200解方程组，得卜=40jy =80,1.5x=60,甲商品的进价为60元，乙商品的进价为40元.设购买甲种商品，件，则乙种商品（100-刈件，根据题
20、意，得 60，+40（100-/4870,解不等式，得 长 43.5,回件数是整数，故最多购买甲商品43件.【点睛】本题考查了方程组得应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握方程组的解法，不等式的解法是解题的关键.专练3.（2022广东深圳二模）九（1）班同学在社会实践调研活动中发现，某服装店销售A,B 两种款式的衬衫，进价和售价如表所示：已知该服装店购进A,B 两种款式的衬衫共花费6000元，销售完成后共获得利润1600元.项目进 价（元/件）售 价（元/件）A100120150200服装店购进A,B 两种款式的衬衫各多少件？（2）若服装店再次购进A,8 两种款式的衬衫共30件，其中8 款式的数
21、量不多于A 款式数量的 2 倍，且两种衬衫总利润不低于1140元.问共有几种购进方案？请写出利润最大的购进方案.【答案】（1）服装店购进A 种款式的衬衫30件，购进8 种款式的衬衫20件共有3 种购进方案，利润最大的购进方案是购进A 种款式的衬衫10件，购进8 种款式的衬衫20件【解析】【分析】（1）设服装店购进A 种款式的衬衫x 件，购进B 种款式的衬衫了件，根据“该服装店购进A,B两种款式的衬衫共花费6 0 0 0 元，销售完成后共获得利润1 6 0 0 元”建立方程组，解方程组即可得；(2)设服装店购进A种款式的衬衫。件，则购进8种款式的衬衫(3 0-“)件，根据“8款式的数量不多于A款
22、式数量的2 倍，且两种衬衫总利润不低了 1 1 4 0 元”建立不等式组，结合a为正整数，解不等式求出。的所有可能的取值，再分别求出总利润，由此即可得出答案.解：设服装店购进A种款式的衬衫X 件，购进B种款式的衬衫y 件,山题意得:1 0 0%+1 5 0 y=6 0 0 0(1 2 0-1 0 0)x +(2 0 0-1 5 0)y=1 6 0 0解得x =3 0y=2 0答：服装店购进A种款式的衬衫3 0 件，购进B 种款式的衬衫2 0 件.解：设服装店购进A种款式的衬衫。件，则购进8种款式的衬衫(3 0-a)件,由题意得:3 0-a 1 1 4 0解得 1 0 4 a 4 1 2,因为。
23、为正整数,所以。的所有可能取值为1 0,1 1,1 2,当a =1 0 时，总利润为(1 2 0-1 0 0)x 1 0+(2 0 0-1 5 0)x(3 0-1 0)=1 2 0 0 (元)，当a =l l 时，总利润为(1 2 0-1 0 0)x 1 1 +(2 0 0-1 5 0)x(3 0-1 1)=1 1 7 0 (元),当a =1 2 时，总利润为(2 0-1 0 0)x 1 2+(2 0 0-1 5 0)x(3 0-1 2)=1 1 4 0 (元),答：共有3种购进方案，利润最大的购进方案是购进A种款式的衬衫1 0 件，购进B种款式的衬衫2 0 件.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键.