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1、2021年数学中考复习专题之圆的综合(考察切线证明、长度、面积、动点问题等)1 .如图，在中，NC=90,点 O在“8 上，经过点4 的。与 8 c 相切于点D,与/C,分别相交于点 F,连 接 与 价 相 交 于 点 G(1)求证：/。平分NC48;(2)若 于点 H,F H 平分乙 AF E,D G=1 .试判断。尸与。的数量关系，并说明理由；求。的半径.2.问题背景：如图，在四边形力。8 c 中，L A C B=ADB=9 G ,A D=B D,探究线段4C,BC,8之间的数量关系.小吴同学探究此问题的思路是：将8 8 绕 点。逆时针旋转9 0 至必/。处，点 8,C 分 别 落 在 点
2、 E处(如 图 )，易证点C,E在同一条直线上，并且 8万是等腰直角三角形，所 以 C E=8,从而得出结论：A C+B C=M C D.简单应用：(1)在图中，若B C=2 近,则 8=.(2)如图，5 8是。O的直径，点C、。在。上，而=前，若48=13,8 c=12,求。的长.拓展规律：(3)如图，/_ACB=Z.ADB=9 Qa,A D=B D,若 A C=m,B C=n(m H E、当矩形4 G 的面积为2 4 时，求。的半径.(3)当 作 或“G与。相切时，求出所有满足条件的6 0的长.10.如图所示，在 白/8C与 08中，A A C B=ADCO=9 0 ,。为5 8的中点.(
3、1)求证：B=ACD.(2)已 知 点 三 在 上，S.BC?=A BBE.(/)若 tanN/IC0=3,B C=1 0,求 CE的长;4(/)试判定 8与以力为圆心、/三为半径的。力的位置关系，并请说明理由.DOB答案1.解：（1）如图，连接。与 8 c 相切于点D,：.ODL BC,ZC=90,:.O DII AC,L CAD=LODA,：OA=OD,Z O AD-Z ODA,/_ CAD=N BAD,.力。平分NC48.(2)D F=D H,理由如下:：FH淬峪人AFE,:.乙 AFH=/_EFH、又/DFG=Z EAD二 Z HAF,N DFG=Z EAD=Z HAF,:./_DFG
4、/_ GFH=/.H A R/.H FA,即乙 DFH二 DHF,/.DF=DH.设 HG=x,则 DH=DF=1 +x,OH LA D,:.A D=2D H=2(1+x),/Z DFG=Z DAF,Z FDG=Z FDG,D FG lD A F,DF JG,而赤，1+二 1 2(l+x)=l+x，x=1 ,-：DF=2,AD=A,.z尸为直径,：./.A D F=90,-AF=7DF2+A D2=722+42=275 O O的半径为旄.2.解：（1）由题意知：AC+BC=42C D,扬2&=加 8,CD 3;(2)连接 RC、BD、AD、是。的直径，；A D B=ACB=90,AD=BD-A
5、 D-BD,将8C。绕 点。顺时针旋转9 0 到处，如图,二 Z EAD=Z DBC,/_DBC-/.DAC=180,:./_EA/_DAC=180,:.E、/、C 三点共线，Y 8=13,8 c=12,由勾股定理可求得：/4C=5,BC=AE,CE=A B-A C=71Z EDA=Z _ CDB,Z EDA+Z ADC=Z CDB+N ADC,即N Z?C=/O 8=90,CD=ED、.氏?c是等腰直角三角形，CE=yj CD,CD=7&.；2(3)以为直径作O O,连 接。并延长交。于点连 接OJ,DyB,DC 如图由(2)的证明过程可知：AC+BC=MD、C,:.DC=&(广),又Q。是
6、。的直径，/。8 =9 0 ,.AC/7 7,B C /?,.由勾股定理可求得：A度=+#,，。1仆=工序=疗+方，:DC+CU=DQ,:.CU=4+-(mW)2 =G-n)22 2：m n,2(4)当点E在直线力。的左侧时，如图,连接CO,PC,：AC=BC,N/C 8=90,点尸是S 3的中点，:.AP=CP,AAPC=9Q,又.，!=C 点。是 的 中 点,./C Q/I=9O,设 AC=a,；AE=A C,3：.AE-ABD=z C5ZZ BCE=90,.C6148,.C8为直径，5 8是OO的切线；(2)解：./!=60。，DF=M、.,.在白 /力 中，AF=5 1 =噌=1,/。
7、=2,tan60 v3：DFIAB,CB1AB,DFW BC,/_ADF=/_ACB,/=Z/4,XADFSMACB、.DF _ A DBC AC?设8C=x,则返=二，解得x=4后6.BC 4.5.(1)解：如图，连 接OC,.而沿 8翻折后，点工与圆心。重合，:.OM=O A=X 2=1,C D LOA,-：OC=2,.8=2 C/W=2VOC2-OM2=2V22-12=2 M;(2)证明：0 4 =2,A M=O M=1,C M=C D=7 S，4 C M P=/_OMC=9 0 ,PC=7MC2+PM2=7(V 3)2+32=2遍，.。=2,尸0=2+2 =4,:.PC+OC=(2 5
8、/3)2+2 2=1 6 =0,:.Z.PCO=90,尸C是O O的切线；(3)解：G3G厂是定值，证明如下，连 接GO并延长，交Q O于 点H,连 接HF;点G为 血 的 中 点.1.Z G OE=9 0 ,Z HF G=9 0 ,且乙 OG E=L F G H.0G=GE,GF GH GE，GF=OG GH=2x4=8.6.解：过 工 作 SEL8C于尸，过户作/W 1/8 于”NM C=120,AB=AC=6,./_B /_C 30,：PB=PD、/_ PDB /_B 30,CF-AC9 cos30=6 XA ADE=30,:./_DAE=Z_CPE=60,:./_CEP=9h,:.CE
9、=AC+AE=6+y,p _ C E _ 2叫),s in6 0 3-B C=6 y2,PB+CP=x+2 (6-)=6 ,3:.y=-x+3,：B D-2B H=yfy6,:.xv2 M,；.x的取值范围是0 x=零X-3得x=3遂 或5 综上可得，8户的长为4 -亚 或3 y或5 y.,是工。的中点，。是8 c的中点,是/8 C 的中位线,：.OH AB,：.Z COH=Z ABC,Z MOH=Z OMB,又,：OB=OM、：.Z OMB=Z MBO,.,.Z COH=Z MOH,在 C O 与例O 中，rOC=OM HE,.,.点B F,G,均在菱形的边上.如图2所示，当点E在 上 时.
10、在 RtaSaV/中，EM-BM*cnrZ_ EBM-yf2r.由对称性得：EF=2EM=2&r,ND=BM=3r.：.MN=18-6r.S矩 形 EFGH-EF。MN=2(18-6/0=24解得：/1 =1,q=2.当，=1 时，EFHE,，。的半径为2.BM 3r=6.如图3所示：当点E在。边上时.BM=3r,则从。=18-3r.MN=18-2(18-3r)=6r-18,&=25W=2x 返(18-3r)3，S就EFGH=E F M N=(8-3f)(64-18)=24遍.解得：r=4或5(舍 弃)，综上所述，。的半径为2或4.(3)解 设G 交8。于 点N,的半径为r,贝IJ 80=2r
11、.当点E在 边 必 上 时，显 然 不 存 在 作 或“G与。相切.如图4所示，点F在/1。上时.0 图4 G.,隹与。相切，M E=r,D M=，匚什正尸18.解得：r二9-3 y.O B=18 6 A/3，如图5所示；由图形的对称性得：O N=O M,B N二DM.。8=BD=9.如图6所示.5。的 图 6 HG与。相切时，MN=2r.-：BN+MN=BM=3r./.BN=r.DM GN=BN=r.Q与O重合.:.BO=BD=18.如图7 所示：隹 与。相切，:.EM=r,DM=:.3 r-M r=18.二，=9+3/.OB=2r-18+63.综上所述，当 隹 或 G”与。相切时，0 8
12、的长为1 8-6 遂 或 9 或 18或 18+6.1 0.解：(1)：AACB=/.DCO=9Qa,：.Z ACB-/ACO=Z DC O-Z ACO,即 N/8=N O C 5,又.点。是 8 的中点，O C-OB,Z OCB=Z _ B,2 A C D=B,(2)(/)-：B(=ABBE,.BC _ BEAB BC,:乙 B=UB,:A A B C sC B E,:.乙ACB=LCEB=9G,：/_ACD=/.B,Q.,.tanZ/4CZ?=ta n/5=,4设 M=4x,CE=3x,由勾股定理可知：BR+CE=B d,(4x)2+(3x)2=100,，解得x=2,-.CE=6;(/)过点工作工厂1 8于点尸,.6=9 0 ,W E C B=9 0 ,.Z/C+ZFC5=90,/_B=/ACE,：/.ACD=Z.B,/_ACD Z _ ACE,.C/平分 NOCE：AFLCE,AEL CE,:.AF=AE,直 线 8与。力相切.