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1、2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆:考察证明、长度与面积、动点 问 题 等（三）1 .已知：四边形片8 8 内 接 于 连 接/C、BD,180.（1）如 图1,求证：点工为弧6。的中点；（2）如图2,点E为 弦8。上一点，延长切至点尸，使得力尸=4?,连 接 出 交/。于点尸，过点尸作尸忆1_/尸于点，AF 2 AI-KAP,求证：AH-.A B=PE:BE;（3）在（2）的条件下，如图3,连接力并延长4F交。于点，连 接。的，并延长 CM交力。的延长线于点 N,连接 FD,A M N D=A M E D,DF=12.sin/C 8,M N=，求 的 长.52.在平面直角坐标系xOy
2、中，有不重合的两个点。（不，必）与 尸（，修）.若。，尸为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴 或）/轴 平 行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点Q之间的“折距”，记做。户Q.特别地，当尸。与某条坐标轴平行（或重合）时，线段尸Q的长即点Q与点尸之间的“折距”.例 如，在 图1中，点 尸（1,-1）,点。（3,-2）,此时点。与点 Q之 间 的“折距 DpQ=3.（1）已 知。为坐标原点，点 力（3,-2）,6（-1,0）,贝,DBO 点c在直线y=-x+4上，请 你 求 出 的 最 小 值.(2)点E是以原点。为圆心，1为半径的圆上的一个
3、动点，点厂是直线y=3x+6上以动点.请你直接写出点E与点尸之间 折距”的最小值.7八6 5 4 3 2 1 T1 2 3 4 5、图2图13.如 图1,8是0。的直径，且。过弦4 8的中点”连 接8 C,过 弧/。上一点三作EFW B C,交B A的延长线于点F,连 接C E,其 中C E交48于 点G,且FE=FG.(1)求证：)是。的切线；(2)如图2,连 接 监 求证：游=8G 8厂；(3)如图3,若C。的延长线与 用的延长线交于点M,ta n f-1,8 c=5所，求D M的值.图1图2图3M4.如图所示，。是/6 C的外接圆，为直径，N84C的平分线交O 于 点。过点。作。L Z
4、C,分别交4C,4 8的延长线于点 F.(1)求证：&是。的切线.(2)填空：当N8/IC的度数为 时，四 边 形 为 菱 形；若O O的半径为尚，A C=3C E,则8C的长为5.已知，如图，A6是 的 直 径，点C为。上一点，。尸JL8C于点尸，交。于 点F,“三与8 c交于点，点。为OF的延长线上一点，且/O D B=A AEC.(1)求证：8。是。的切线；(2)求证：C F =E EA;(3)若。的半径为3，sin/l=卷，求8的长.2 56.如图，已知S8是 圆 O 的直径，尸是圆。上一点，/必尸的平分线交O。于 点交。的切线8 c于 点C过点尸作E D V A F,交4厂 的延长线
5、于点D.(1)求证：。万 是。的切线；若 DE=3,CE=2,求 真 的 值；口若点G为4不上一点，求OG首G最小值.7.已知，4 6是0。的直径，点C在。上，点户是48延长线上一点，连 接C2(1)如图 1,若P C B=2 A.求证：直线产。是。的切线;若6=。4,0/1=2,求。的长;(2)如图2,若 点 例 是 弧4 8的中点，C M 交 A B 千 彘 N,M N、M C=9,求5用的值.图1图28.解决问题:图图(1)如 图 ，半 径 为4的。外有一点尸，且尸。=7,点 力 在。上，则 人 的 最 大值和最小值分别是.和.(2)如 图 ，扇 形4 0 8的 半 径 为4,2/0 6
6、=4 5。，尸 为 弧 上 一 点，分 别 在 必边 找 点F,在0 8边上找一点尸，使 得 际 周 长 的 最 小，请 在 图 中 确 定 点E厂的位置 并 直 接 写 出 衔 周 长 的 最 小 值；拓展应用(3)如 图 ，正 方 形4 8 8的 边 长 为4圾；F是 8上 一 点(不 与。、。重 合)，C F于尸，P在B E上,且P F=C F,例、N分 别 是4?、/C上 动 点，求 加N周长的最 小 值.9.如 图，在平面直角坐标系中，4(0,4),B(3,4),尸 为 线 段0 4上一动点，过。，P,8三 点 的 圆 交x轴 正 半 轴 于 点C,连结片8,PC,B C,设。尸=m
7、.(1)求 证：当 户 与 力 重 合 时，四边形尸0 c 5是矩形.(2)连结尸8,求ta n/8 Q C的值.(3)记 该 圆 的 圆 心 为 例，连 结OW,B M,当 四 边 形 尸 中 有 一 组 对 边 平 行 时，求所有 满 足 条 件 的)的值.(4)作 点。关 于PC的 对 称 点a,在点尸的整个运动过程中，当 点O落在/尸8的内部(含 边 界)时，请 写 出m的取值范围.1 0.如图，S3是。的直径，点C为。外一点，连 接OC交。于 点。，连 接8。并延长交线段SC于点 Z CDE Z CAD.(1)求证：B=A O EC;(2)判断/IC与。的位置关系，并证明你的结论;(
8、3)AE=E C,求 tanS的值.参考答案1.(1)证明：连接。工、OB、OD,./员 3 2/1。8=1 80 ,/8 0/68=1 80 ,:,2乙ACB=L B C D,即N Z C 8=/C。，,:乙AO D=2(ACD、/.AOB=2ACB,Z.AOD=/.AOB,AB=AD即点“为弧4?的中点；(2)在尸上截取点G,H Q=A H,连接户。、AE,：PHLAF,二 尸 是 SQ的垂直平分线，：.PA=PQ,:.乙 PAQ=/_PQA、AH=HQ,QF=A F-A Q=AF-2AH,义：PQ=AP=AF-2AH,：.PQ=QF,:.乙 F=FP Q=工/户。%/%。，2 2v AD
9、=AB/.ABD=AADB=/_P A Q,N F=/_ ABD,:.EB二 EF,AB=AF,:.EAIBF,:FH1BF,:.Z_EAF=/_PHF=90 ,：.EAH PH,AH _ EPAF-EF，又尸=S8,EF=BE,.AH=EP.AB BE(3)连接用0、MB,AB=AD-MD=M D：./.AMB=/_AMD,Z MBD=Z MAD,.,Z MED=Z AMB+Z MBD,Z MDN=Z XA7ZX Z MAD,Z MED=Z MDN,：AMED=M ND,N MDN=Z MND,：.M D=M N=,5AB=ADAB-AD,AB=AF,:.AD=AF,N ADF=Z _ AF
10、D、由(1)%(ABD二 BDA,：./_BDF=/.ADRr/_ADB=/_ ADF/_ AFCh A A B l/_ BDA)=x 180=90,22.0.DF-12sinZ/C5=12*sinZ/45Z?=12x,BF:.BF=12,./4尸=A8=6,由 知N/48=N/VM尸=90,；例8 为直径，:./_MDB=9Q0,：./_MDB+/_BDF=180,.M.D、尸共线，AD=-：./_ABD=乙 AMD,sin Z ABD=sin Z AMD,.DF=AF.而 一 而，BN即 D F=14-,12 等+DFb.=答，。弓=一10（舍去），5心 12_口 匹 2=等,：/_ B
11、A D 180,/_PAH+/_BAD=180,Z BMD=Z PAH,48:.ar/_BM D=ary/_PAH,t an/t an/5/4=,MD J A 7 BD 45设 P H=24k,贝 IJ4=7Z,FH=32k,:.32k+7k=6,图3N图12.解：2。=|3-0|+|-2-0|=5,同理。8。=1 1故答案为：5,1;设点 C (m，4-/7 7),则。8=|/7?|+|/7 7-4|,当0 V/7?44时，%。最小，最小值为4；(2)如图2,过 点E分别作X、v轴的平行线交直线v=-x+4于片、F2,贝I J仍 是“折距”外的最小值，即求牛的最小值即可,当点E在y轴左侧于平
12、行于直线y=-x+4的直线相切时，EF最小,如图3,将直线y=-x+4向右平移与圆相切于点E,平移后的直线与x轴交于点G,连接设原直线与X、V轴交于点例、N,则点从、N的坐标分别为（-2,0）、点A/（0,6）,则从2=2万，则MONS&GEO,则 岖M,即 织 员GO 0 E GO 1贝ij GO=也 匚3 _仍=/WG=2-血 屋 殳 返 .3 33.解：（1）连接则NOCF=NO&?=a,:./_FGE=/_FEG=,.是4?的中点，：.CHLAB,Z GCH+/.CGH a+|3=90,LFEO=/.F E&/.CO=a+|3=90o,)是。的切线；(2)：CH LAB,-AC=BCZ
13、 CBA=Z CEB,：EFII BC,:.A C B A=A F,故/尸=N C 段,:，乙 FBE=Z GBE,:Z E BSAEGB,:.BU=BG BF:(3)如图2,过点尸作乐 6 于点片EFII BC,:.乙FEC=/_BCG=%、故A B C G 为等腰三角形，则 8G=8C=5夜,在 RtZ8C中，BC=5中,tanZ CBH=tany=pQ贝 iJsinY=,cosy=.b5CH=5QinY=5 7?x =3 7 7，同理 8=4 后5设圆的半径为r,则。序=O?+B伴,即 3=(r-3 s)2+(4行)2,解得：冷 巨 巨;6GH=BG-B H=5 -4 =五tanz GC
14、H=更=乂乙，贝 ij cosZ GCH=,CH 377 3 Via贝 ij tan/CG/y=3=tan3,贝 ij cos3=,v 10连接。E 则NC盟=90,在 RtzXCOE中c o s/GC=丝=丝=解得：CE=CD 2r A/10 2lrR 诉 i在中，cos3=2=4=,FG FG 1。解得：F G=-,2 _-：FH=FGGH=I*,2_:.H M-FMon/_F=-X ；2 4 8.CM=HM+CH=吏 ,8_:.M D=C M-CD=C M-2 r=堂 匕.24O A=O D,Z O AD-Z ODA,Y。平分/_ DAE /_ DAO,Z DAE=Z ADO,:.ODH
15、 AE,:AE工EF,:.O D EF,夕 是。的切线；(2)当N M C 的度数为6 0 时，四边形工8。为菱形;VZ5/4C=6O,2 8=1 2 0 ,OA=OD,:.A O A D=Z.ODA=30,.ZCz4D=30,连 接 CD,ODII AE,-AC=BD:./_OAD=/_ADC 30,:，A C A D=A D C=30,.A C-CD,AD=A D,:.A C D A O D A S A),.A C AO,.AC A O CD=OD,，四边形片8。为菱形；故答案为：60;设 8与 8 c 交 于 G,力8 为直径,.-.Z/C 5=90,DE LAC,四边形C O G 是矩
16、形，；.DG二 CE,Z DGC=90,CG BG,又,./O=8O,:.O G=A C,-：AC=3CE,，OG=AC=-CE,2 2OD=CE=,2 2CE=1,：.AC=3,O D=2AB=2 x OD=5,*0-BC=4 9 2 _ AC 2=V25-9=4,故答案为：4.5.(1)证明：如 图 1 中,:乙ODB=/_AEC、Z AEC=Z ABC,:.(ODB=/_ABC,OFA_BCf /8 Q=9 0 ,:，AODB+/_DBF=90,:./_ABC/_DBF=90,即 2 08。=90。,/.BD1_ OB,.8。是。的切线；(2)证明：连接S C,如图2 所示:OAH图2：
17、OFLBC,1-BE=CE-Z CAE=Z ECB,：Z CEA=Z HEC,CEHCF r z：A ACD=45,Z PCF-Z ACD,APCA=/_FCD又 A五C 班r.在/自：:与。尸。中，书 若，2 PC A=Z FCD:,/A P CSXDFC、.AP AC市=瓦 尔AP=V2DF.-Z5fC=90,取 8 c 中点。.，点尸在以SC为直径的圆上运动，当。、尺。三点在同一直线上时，。尸最短.DF=D O-FO=VOC2-K：D2-O C=7 (2V2)2+(4/2)2-2V2=2 v l5-2亚,，S尸最小值为AP=V2DF此时，尸/VW周长最小值巴e=&A P=&D F=&（2
18、折-2底）=W 10-W 2-9.解：(1)./CO/4=90.PC是直径，Z PBC=90 ./(0,4)B(3,4)轴当力与尸重合时，乙OPB=9G。，四边形尸OC8是矩形(2)连 结。8,(如图1)Z BPC=Z BOC ：ABH OC；.ABO=BOCN BPC=Z BOC=Z ABO.jan/8QC=tanNZ8O=AB 3图1(3)1尸C为直径为广。中点如图2,当OPII弧 时，延 长8/W交x轴于点N ：OPH BM:.BN1OC 于 NON=N C,四边形O/48N是矩形:.NC=ON=AB=3,BN=OA=4设。半径为八贝ij 8/W=:.MN=BN-BM=A-：M f/+N
19、(=C M1：.(4-f)2+32=?解得：，=学o：.M N=4-空 上8 8 .例、2分别为PC、OC 中 点如图3,当O W/户 8时，(BOM=/_PBO ：Z PBO=Z P C O,乙 PC O=乙 MOC，N OBM=Z BOM=Z MOC=Z MCO在a s o用与 CO M 中rZB0 M=ZC0 M Z0 BM=Z0 CM,BI=CM:,XBQM出XCOM (AAS),=OB=VOA2+A B2=5A P=4-m.8尸=/尸+/炉=(4-m)2+32 ；N ABO=Z BOC=Z BPC,Z 8AO=Z PBC=90:.XABOSABPC,Q B ABP C BPP C=。
20、织 B巳至 BPAB 3.卢 2=空 6盾=型(4-/7?)2+329 9又尸 C2=。尸+OC2=+52，得(4-f77)2+32=n i+52解得：m=或/77=10(舍去)综上所述，/77=1或4 2v图3(4)点。与 点 O关于直线对称尸 O C=N 尸。C=90,即 点 O 在圆上当 O 与。重合时，得 m=0当。落在上时，贝 1 4=4+(4-m)2,得 初 若当 O与 点 6 重合时，得 必=学O.0 0 /6=90,：OB=OD,:，乙 B=/ODB,：Z ODB=Z CDE,Z CDE=Z CAD,N 8=/CAD,：.BA C=/.B A A C A D=B+BAD=94,:.B A LA C,与。相切；(3)-：AE=EC,:.C DL=CACE=AECE)C E=2C,CD=-JCE,:X C D E sX C A D、.DE CE CE V2A D C D W C E ,：/_ADE=180 一2 ADB=9N,匕 B=/_CAD,.1.tan 5=ta n Z CAD=AD 2