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1、初升高数学衔接班第6 讲一一二次函数的最值问题一、学习目标：1.会求自变量%在某个范围内取值时二次函数的最值。2.了解二次函数最值问题在实际生活中的简单应用，能建立二次函数模型，从而解决实际问题。二、学习重点：会求二次函数在给定区间上的最值问题三、新课讲解：旧知复习对于二次函数y=ax2+bx+c（a H 0）当a 0 时，函数在x=-白处取得最小值与Q,无最大值;2a4a当a 0 时，函数y=ax2+bx+c（a 力0）图象开口向上;顶点坐标为（-以 竺詈）,对称轴为直线x=-9；当 x 9 时，y 就着;的2a 2a 2a增大而增大；当 工=-/时，函数取最小值丫=竺?.当 a 0 时，函
2、数y=ax2+bx+c（a H 0）图象开口向下;顶点坐标为（一/，竺詈）,对称轴为直线4=-2:当 x 2 时，y 随着x 的2a 2a J 2a J增大而减小；当 x=-/时，函数取最大值y=*2【典型例题】例 1.求二次函数产一3/6 x+l 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最 大 值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小），并画出该函数的图象。思路导航：借助二次函数的图象，能够很好地得出函数的性质解：；尸一3/6田+1=-3（x+1）2+4,函数图象的开口向下；对称轴是直线广一【；顶点坐标为（一1,4）；当x=-l时;函数y取最大值）二 4；当时，y随着
3、x的增大而增大;当x 一1 时，y随着x的增大而减小。点津：函数的图象，能够直观地刻画出变量间的对应关系，使得函数的有关性质明显地从图形上反映出来，因此，很多问题的解决，如果能借助于函数的图象，往往起到事半功倍的效果。【直击高中】（一）求一元二次函数的最值例 2.求一元二次函数y =3x-2x2-5 的最值思路导航：在求一元二次函数的最值时，如果函数的表达式不宜配方，我们可以先判断函数图象的开口方向，再把二次函数顶点的横坐标值代入表达式，得到相应的最值解：因为函数y =3 x -2/-5 的图象开口向下，所以函数有最大值，无最小值又 该 函 数 顶 点 的 横 坐 标 为 代 入 表 达 式，
4、得函数的最大值为一日点津：二次函数求最值，除配方法、顶点法外，还可直接用公式法，即先判断二次项系数的正负，再把对应的系数代 入 与 打求出最值。4a例 3.当一2%2 时，求函数y =x2-2x-3 的最大值和最小值.思路导航：作出函数在所给范围及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值.解：作出函数的图象.当=1 时，n i n，当久=一 2 时，ym a x-X=1仿练：当14%42时，求函数y =-产 一%+1 的最大值和最小值.解：作出函数的图象.当x =l时、ym a X当x =2时，ym i n.点津：由上述两例可以看到
5、，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围内的图象形状各异.下面给出一些常见情况：为方便叙述，用符号 m,n 表示m W x W r i的实数x的取值范围，通常称为 区间例4.当x 2 0时，求函数y =-x（2-x）的取值范围.思路导航：画出y =-双2-町的图象，通过观察图象得出结果解：作出函数y =-x（2-%）=，-2x在 2 0内的图象.可以看出：当x =l时，ymin无最大值.思考：你能不通过作图，仅利用二次函数的开口方向及顶点横坐标是否在已知范
6、围内,来直接求最值吗？（二）一元二次函数最值的应用例5.某商场以每件3 0元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x （元）满足一次函数m =162-3 x,3 0 S x W 5 4.（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；（2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？思路导航：在实际问题中努力寻找数量关系，建立相应的数学表达式，这个过程就是数学建模的过程。解：（1）由已知得每件商品的销售利润为（X 3 0）元，那么m件的销售利润为y =m（x -3 0）,又m =162-3%.y =
7、（x-3 0）（162-3 x）=-3 x2+25 2%-4 860,3 0 x 5 4（2）由（1）知对称轴为x =4 2,位于x的范围内，且抛物线开口向下当久=42 时，y2m a x二当每件商品的售价定为42元时商场每天有最大销售利润，最大销售利润为432元.点津：解决实际问题时，要从数学的角度理解分析问题、把握问题，特别要培养自己的阅读理解、分析和解决问题的能力。【拓展篇】二次函数是最简单的非线性函数之一，其自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的延续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为数学高考中的热点。
8、1.动二次函数在定区间上的最值例 6.已知二次函数 在区间 上的最大值为5,求实数a的值。思路导航：由函数的表达式知，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a 变化的，所以需要讨论a 的符号解：将二次函数配方得，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口方向由a决定。很明显,其顶点横坐标在区间上。若 时，函数图象开口向下，如 图 1所示，当 时，函数取得最大值为5即解得故图 1若 时，函数图象开口向上，如图2 所示，当 时，函数取得最大值为5即解得故图 2综上讨论，函数 在区间 上取得最大值为5 时，点津：在今后的学习中，经常会碰到含字母参数的二次函数问题，如二次函数的表达式中含有字母，或
9、自变量所在区间是可变区间（端点含有字母），这需要灵活运用以上分析问题、解决问题的方法，结合图象得出具体结论2,定二次函数在动区间上的最值二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t 的变化而变化的，我们称这种情况为”定函数在动区间上的最值”。例 7.如果函数 定义在区间 上，求 的最小值。思路导航：与前面的问题相比，这里二次函数的表达式已给定，且区间随着t 的变化而变化，若判断函数的最小值，需要讨论区间与二次函数对称轴的相对位置.解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1,1）,图象开口向上。如下图所示，若顶点横坐标在区间 左侧时，有。当 时，函数取得最小值如下图所示,若顶点横坐标在区间时，函数
10、取得最小值上时，有，即。当如下图所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有,即0 当时，函数取得最小值综上讨论，点津：对于解决二次函数在给定区间上的最值问题，主要取决于区间与对称轴的相对位置，这是我们解决该类问题的关键所在。例 8.已知函数2 2,其中生一2,求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值。思路导航：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对。的取值进行讨论.解：(1)当=2时，函数)，=*的图象仅对应着一个点(一2,4),所以，函数的最大值和最小值都是4,此时4 一2；(2)当一2 “+2 的最小值是(A.2B.13.二次函数丁 =以 2+法+。的图象
11、如图所示,C.(2,1 3)D.(2,3).2C.-3 D.-3则下列关系式中错误的是()A.aVOB.c0C.b2-4 a c 0D.a+h+c 04.向上发射一枚炮弹，经 x 秒后炮弹的高度为y 公尺，且时间与高度的关系为广混+法。若此炮弹在第7 秒与第14秒时的高度相等，则其在下列哪一个时间的高度是最高的()A.第 8 秒 B.第 10秒 C.第 12秒 D.第 15秒5.函数)=a r+l与(0)的图象可能是()二、填空题1.抛物线y=K -(m-4)x+2m-3,当机=时，图象的顶点在y轴上；当机=时，图象的顶点在x轴上；当m=时，图象过原点。2.用一长度为I米的铁丝围成一个长方形或正方形，则 其 所 围 成 的 最 大 面 积 为。3.二次函数y=2/-4 x +5 的最小值是,y=(1-x)(x+2)的最大值是4.函数y=2x2+4x-3,当x -5三、解答题1.解:函 数是定义在区间 上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2,2）,且图象开口向下，显然其顶点横坐标在 0,3 上,如图所示。函数的最大值为，最小值为。2.解：由己知，可得,即函数 是定义在区间 上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程为，顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图所示。函数的最小值为,最大值为