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1、专题1 7圆锥曲线中的轨迹问题1 .（浙江省杭州市八县市区2021-2022学年高二下学期期末数学试题）己知椭圆C 的 离心率为受，其焦点是双曲线2一 一 片=1的顶点.3（D写出椭圆C 的方程；（2）直线与椭圆C有唯一的公共点M,过点M 作直线/的垂线分别交x 轴、y 轴于A（x,0）,8（0,y）两点，当点 M 运动时，求点P（x,y）的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【答案】三+y2=l2（2）轨迹方程2x2+丁=l,（x 工0,y h 0）,为椭圆2/+V=1除去4 个顶点【解析】【分析】（1）根据双曲线的顶点，结合椭圆离心率的公式与基本量的关系求解即可；（2）根据题意可得直线/与椭圆
2、C 相切，故联立直线与椭圆的方程，利用判别式为0 可得幺机的关系，再得到点M 坐标的表达式，从而得到过点M 作直线/的垂线的方程，求得P（x,y）,结合椭圆的方程求解即可（1）2 22设椭圆C 的方程为，+斗=1,（6 0）,a2=b2+c2,（c 0）,由题意，双曲线/一 女=1的顶点为（土 1,0）,故c=l.又 =也，故=血，故从=2-1=1,故椭圆C 的方程为片+丁=1a 2 2（2）V 2由题意，直线/与椭圆C 相切，联立（万+）一 得（1 +2公卜2+4 6+2加-2=0,故 =16公?2-4（1 +2左 2）（2?2-2）=0,y=kx+man,./,.-2km 2k,（2k m
3、2-2k I.f 2k 1即加2 =2公+1.设材（%,九），则x”=,2,=，故加=k +m =-=一，故-|.所以直线A3 +2k m m）i m m m）的方程为y-=尤+,EPy=-x当y=O时,x=，故,o l,当x=0 时，x=-,故 B（0,一-|,m m J k in m m J m mJ故 P-常 一/）,又获故尸（兑力则 M（2x,-V）,又 M（2x,y）在、+y?=1 上，故IZU-+（_ y/=i,即2x2+y2=,由题意可得x H 0,y#0,故点尸（x,y）的轨迹方程为2x?+V =1,（万 工 0,尸 0）,为椭圆2/+丁=1除去4个顶点2.（2022 青海海东
4、市第一中学模拟预测（文）已知动圆E 过定点尸（2,0）,且），轴被圆E 所截得的弦长恒为4.（1）求圆心E 的轨迹方程.过点尸的直线/与E 的轨迹交于A,B 两 点,M（-2,0）,证明：点尸到直线AM,的距离相等.【答案】（l）V=4x（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设E（x,y）,由圆的弦长公式列式可得：（2）设A（x 2 J,8仁,%），设=2）,直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得王+，中2，”算KM+怎M=，得直线PM平分NAMB,从而得结论，再说明直线/斜率不存在时也满足.（1）设E（x,y）,圆E的半径r =J（x-2,+y 2 ,圆心E到y轴的距离4 =可，由题意得/=
5、2+4,化简得y 2=4 x,经检验，符合题意.（2）设/:y =Z（x-2）,与 E 的方程联立，消去 y 得，A:V-（4*2+4）x+4 Z;2=0 .设 B（X2，y-4 2）,贝 人，*+k2,砧=4k,；_ _ y ,必 _ -2）&（*2 _ 2）_%（X -2）（.+2）+Mw-2）（X|+2）.AM 5-R _ （占+2）（占+2）.Z（Xi -2）（x,+2）+Z（X 2-2乂%+2）=2%（X W -4）=0,/-kAM+&0 M=。，则直线 P M 平分 Z A M B .当直线/与x轴垂直时，显然直线PW平分N A M B.综上，点P到直线A M,8M的距离相等.3.
6、（20 22江西 上高二中模拟预测（理）已知圆心在y轴上移动的圆经过点A（O,-4）,且与x轴、y轴分别交于点8（%,0）,C（0,%）两个动点，记点。（%，%）的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点F（0,l）的直线/与曲线厂交于产，。两点，直线。P,OQ与圆：丁+（尸2）2=4的另一交点分别为加，N（其中。为坐标原点）,求AOM N与 O P Q的面积之比的最大值.【答案】f=4【解析】【分析】（1）设动圆的圆心为H,则,半径为也尹，所以Ba?=+/化简整理即可；（2）分析可知直线斜率存在，设 丫 =履+1,尸&方），2（%,%），联立得士+迎=4%,再求出直线0 P 的方程为x r.
7、64 64y=?x ,直线。的方程为y 言x,分别与圆联立求出与=而 下，而所以SA（,V OMxON 1024器=胃避=（16+可（16+引，展开再代入韦达定理,分析求解即可（1）设动圆的圆心为H,则”（0,丛 广），半径 为 用 回，82=x；,化简得：x；=4%,即的方程为 V=4y；（2）当直线/的斜率不存在时，直线/为：x=0,此时与抛物线只有一个交点，不符合题意；当直线/的斜率存在时，设过尸（0,1）的直线方程为=依+1，P（内/），。（孙丫2），联立方程：x2 4y,彳 导 工 2 4履一4=0,%+工2=4%,xx2=-4,y=kx+i则直线O P的方程为y=x=3 ,直线。的
8、方程为，X i 4 x2 4（x-2），y2=4 6 4 64联立方程：与 ,解得知=哈同理吟4.|。尸|=旧+父=Jx 2)向曲线C作两条切线，4 交 x 轴于交 y 轴于N,4交 x 轴于T,交 y轴于Q,记V P N Q 的面积为耳，尸用T的面积为邑，求5 邑的最小值.【答案】+2=14(2)4 8【解析】【分析】(1)设S(x,y)是所求轨迹C上的任意一点，根据题意列出方程，即可求解；(2)设 直 线 的 方 程 分 别 为 y =K(x-s)+2,y =似 x-s)+2,求得M,N,T,Q 的坐标，求得S/S,=s?争+3 2,K k2联立方程组求得 =(),得到4+网=:工4 v
9、温 月=岛3 ，化简得到s s,=4S2(S2+1八2)令s 2-4 =f(f 0),结合基本s 4-4 3(5 -4)不等式，即可求解.(1)解：设S(x,y)是所求轨迹C 上 的任意一点，由题意知动点S 到尸(6,0)的距离是S 到直线 小+4=0的距离的半 倍，可得J(x-扬=亭即曲线C的方程为工+V =i.4 解：设宜线3 4 的方程分别为y =K(x-s)+2,y =&(x-s)+2,4X+-尸6，整理得工+y 2 =l,4-2可得N（0,2 f s）,0（0,2-卷）,“5-,0|,7-5-p 0%I 1 2 2所以 A S j NQlk/j y/M T lu iZ /-7对 库-
10、日乙 乙，K-）A C|=/.(h-k j。=$2.2 +&-2,kk2 k】k2jy =%(x-s)+2联立方程组,整理得(4%2 +1)8(公 一 2 +4(2-抬)2-4=0,h+r=1则 A=6 4(1 -2 I _ 4(4r+)4(2 _ fo)2-4=0,整理得2-4）/-4 抬+3=0,所以/林2=p 所以心+%1 6 s2kyk2 3(52-4)所 咋+/2代入上式,可得 Sj-S2=s23(.*-4)4s2 (Y+1 2)3(，*-4)令$2-4=f(r 0),SS,=|4(f+?：+16)=寸 卡?+2 0 卜g.(2.1 +2 0)=48,6 4当且仅当f=*时，即f=8
11、 时，即s=26r-时，的最小值为48.t5.（2 0 2 2 重庆南开中学模拟预测）已知点尸（血,0）,动点M（x,y）到直线/：%=2 应的距离为d,且d =0|M F|,记 M的轨迹为曲线C.求 C的方程；（2）过 M 作圆a：/+y 2=g 的两条切线p、MQ（其中户、。为切点），直线用尸、M Q分别交C的另一点为A、B.从下面和两个结论中任选其一进行证明.|尸4归陷为定值;MA=MB.2 2【答案】三+二=14 2（2）条件选择见解析，证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于x、y的等式，化筒后可得出曲线c的方程；（2）设材（知 儿）、A（x“y J、B（x2,y2）,
12、分x；=g、石二g两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证O M L O A；在第二种情况下，设直线M 4的方程为丫 =履+机，由直线与圆相切结合韦达定理可得出选，分析出R t A M O Ps R QA O P,利用三角形相似可求得|幺卜|加|的值；选，分析可知|0川=|。却，结合勾股定理可证得结论成立.（1）解：由题意知|2应 小 在/-二丁,两边平方整即得月+2丁 =4,2 2所以，曲线c的方程为+=1.4 2（2）证明：设必（为 九）、A（X,y）、B（x,y2）,当片=5时，则不妨设点例则点-一7|或 一此 时 丽 丽=0，则Q W _ L O 4；当时，设直线 M 4:y =A x+
13、z，由直线MA与圆O：Y+y 2=g相切可得的=1，即31=4（1 +公），联立y=loc-inx2+2y2=4可得（2必+l）f +4 kmx+2m2 4=0 ,=16公疗一4（2公+1）（2济一4）=8（4公+2-也*（4公+1）0,由韦达定理可得%+玉=-=三，%=筌 二 六，ZK 1 1 Zk+1则 OM-OA=x（）xy+y（）y =%0%（）+（5 +，）（g +间=（1+公房办+A m（%o H-xJ+w2（1+/2）0疗 一4）一4/+疗（1+2标）3病 一4（1+巧1+2/1+2/二0,所以，O MV O A,同理可得。选，由 O W_ L Q4 及 O P _ L A M
14、可得 R l z j W O P s R s A O P,则 需=尚，所以，|P MHPA|=|OP|L：选，出。及 OM J_OB可得：A、。、B三点共线，则=X|M4|2=OA(+OM f =|O B|2+|O M|2=|M B|2,因此，|M A|=M却.6.(2022婀南郑州三模(理)在直角坐标系 伽 中，曲线6 的方程为产+(丫-1)2=1.P 为曲线G 上一动点，且 丽=2丽,点。的轨迹为曲线C?.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线G，C。的极坐标方程；(2)曲线G 的极坐标方程为2 2 =高而，点M 为曲线G 上一动点，求|画 的最大值.【答案】0 =2si
15、n，；p=4sin。(2)5【解析】【分析】(1)利用直角坐标和极坐标的互化关系求G 的极坐标方程，利用代入法求C2的极坐标方程；(2)M 为+2=1上一点，。为V+(y _ 2)2=4 上一点，可 知 21111ax=|肱 皿+2,即可求解.(1)X=OCOS0.,.。代入/+(1)-=1 得0=2sin，y=psin 夕则曲线G 的极坐标方程为夕=2sin。，设点P的极坐标为(4,4),则Po=2sin60,点。的极坐标为(。,。)，由 丽=2而得即*=5,将，自 2“代入。0=2sin%得0 =4sin，所以点。轨迹曲线C2的极坐标方程为。=4sin。；(2)曲线G 直角坐标方程为5+V
16、 =1,设点例(&C O SQsin。)，曲线C2的直角坐标方程为炉+(y-2)2=4,则圆心为N(0,2),风=1 叽+2,B|J M N =+(sin3-2二J-siro-dsin3+6当sin=T 时,|MV舄=3,所 以 2kx=3+2=5.7.(20 22山东肥城市教学研究中心模拟预测)在平面直角坐标系，中，己知4 出两点的坐标分别是(-3 0),(石,0),直线4,8,48 相交于点B,且它们的斜率之积为g.求点B 的轨迹方程；(2)记点B 的轨迹为曲线C,川,P,。是曲线。上的点，若直线“V,P Q均过曲线C的右焦点尸且互相垂直，线段的中点为R,线段尸。的中点为T.是否存在点G,
17、使直线R T 恒过点G,若存在，求出点G的坐标，若不存在，说明理由.【答案】(吟-9=1 (；存在，(3,0).【解析】【分析】(1)根据直线斜率公式，结合已知等式进行求解即可；(2)设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系、直线斜率公式进行求解即可.(1)设M(x,y),因 为 直 线 相 交 于 点 B,且它们的斜率之积为:，V V 1所以=晨整理可得三-y2=,3所以点8的轨迹方程为弓-y2 =l(X*土 百).(2)因为曲线C的方程为。-y2=l (XHG),所以直线MN,P。的斜率都存在且不为0.设直线 MN：y=k(x-2),则直线 P Q：y=-l(
18、x-2),k设y=/:(x-2)由0,由韦达定理可得：%+=受，所以点R的横坐标为4=上&+2)=衿，3 人 1 2 3%1代入直线MN：y=M*-2)可得：yK=k(xK-2)=k6k2.目一22k3二一1所以线段MN的中力:R6 _ 2用4替换左可得/=卢=3，=互=言所以线段p。的中点T（鼻，言,k J-k J2k-2k z、当 心+1nl k 一素733 P 2M3)+2 k伊2-1).2kT七 1 M，%-*6公(3-公)-6 2-3(-2)3 k23-k22k 2k 6直线RT的方程为：立=死不(、-薮 记)，整理可得：y=-r x-7-3(1-/)3(1-8 3-%2 3-公2k
19、 2k z 6,、2k 2k 9-3 k2 2k,小=-5-*X-7(-z-F 1)=-z-X-z-z-=-z-(X 3)3(1 /)3-k2 3(1-公)3(1-A;2)3-k2 3(1-Jt2)3(1-Jt2)此时直线RT过定点G（3,0）,若尢=1时,则 R(3,l),7(3,1),或 R(3,-l),T(3,l),直线 R T 的方程为x=3,此时直线RT也过点G（3,0）,综上所述：直线RT过定点G（3,0）8.（2 02 2河北张家口三模）已知5。0,点A（O,、&）,。，卓，动点尸满足|P A|=0|P B|,点P的轨迹为曲线C.求曲线C的方程；2 2（2）直线，=仙+m与曲线C
20、相切，与 曲 线 :二-鼻=1交于M、N两点，且/MON=g （O为坐标原点），求曲线E的离a b 2心率.【答案】（）x2+y2=h 6【解析】【分析】（1）根据两点间距离距离公式，结合已知等式进行求解即可；(2)根据曲线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、平面向量垂直的性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.(1)设P(x,y),由I PA 1=应I PBI得 后 于7=a F +y-b ，整理得/+/=即 为曲线C；(2).y=H +帆 与曲线C相切，.)=7四 ，即=J.yj+k2 l+k2设 M(5，X),N(XZ，%)，将y=+W代入曲线E整理得：万-a%*-2片切
21、+。2)=0,加 一/无2 H 0,A=4a2尸(加2 +b2_a2k2)o,2a2km a2m2+a2b2二 不+=和 下，叱2=日 71.：/M ON=3,:.OM ON=0 即%+乂%=0y y2=(履|+in)(kx2+tri)=lcxx2+km(x、+x2)+nrk2a2b2-m2b2a2k2-b2a2nr+a2b2 k2a2b2-in2b2-1-a -b2(k2-b2整理得Fk2+a2b2b2-a2:.-y =h2,即层=2/,c2=3a2,e=Bb-a故曲线E的离心率为g.9.(2022河南南阳中学三模(文)已知点。为圆。：f +y2=上一动点，过点。分别作x轴、y轴的垂线，垂足
22、分别为A、B,连接BA并延长至点P,使得|R4|=1,点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设直线，与曲线C交于不同于右顶点Q的M,N两点，且Q M L Q N,求|。加 卜|。凶 的最大值.丫2【答案】土+V=14.3225【解析】【分析】(1)注意到4为8P的中点，由相关点法，即可求得曲线C的方程；先判断直线/恒过点7怎，0),而|。4|刎即为 QMN面积的两倍，故将问题转化为求 QWV面积的最大值.(1)设点尸(x,y),0 a)，为)，则 A(%,o)、5(0,%)，由题意的|AB|=1，因为=所以丽=衣 而 丽=(%-%),A P =(x-x0,y),所以广 F 代入圆。
23、：f+y2=l得曲线C的方程为三+2=41为=7由题意知，直线/的斜率不为0,则不妨设直线/的方程为x =6+，(m#2).V 2 =联立 得 彳+)=1消去 得9 2+4 2+2卜政+1一4 =0,x=ky+mA =4%2加-4件+4)(4)0,化简整理,得公+4 病.设 N ,%),则%+芳 =.因为QM J L QN,所 以 西 丽=0.因为Q(2,0),所 以 轲 =(.一2,%),Q N=(x2-2,y2),得(士2)&一2)+乂必=。，将 菁=外|+机，=b 2 +机代入上式，得(X+1)%+%(?-2)(必+%)+(机-2=0 ,得仅).容+如 一2).熟+(“一2)23解得机=
24、或机=2 (舍去)，所以直线/的方程为x =+4，则直线/恒过点T,0所以5衡=3|。斗|%-%|=?%+4 y M =8 2 5(&2+4)-3 6-X-5-2 5 V (公+4)-设=七，则0 区；，S-xJ-36 +2 5 r,易知y=4x J 3 6产+2 5/在(。，|上单调递增,所以当r 时，S,2M N取得最大值为1 3 2又SN M N=。叫 例，所以他MMML=2双 刎)1 1 1 a x=石 1 0.(2 0 2 2河南 宝丰县第一高级中学模拟预测(理)已知点A(l,0),动 点 到 直 线X=4的距离与到点A的距离的比为2,设动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；若
25、点3(-1,0)，点尸，。为曲线C上位于x轴上方的两点，且P A Q 8,求四边形P A 8 Q的面积的最大值.【答案】工+?=14 3(2)3【解析】【分析】（1）直接法求点的轨迹方程；（2）由已知得A ,8为所求椭圆C的焦点，通过计算|PE|=|Q F|,可得四边形P E F Q 为平行四边形，将所求四边形尸他。的面积转化为求三角形P O E 的面积，从而得到$四边形 厚地=2SN誓，利用换元法及导数法即可求出面积的最大值.|x-4|-设M（x,y）,由题意得J q iy+y,=2,所以k-4|=24 一 1）2 +/,两边平方，得（x 4）2=4（x l）2+4 y2,2 2o 2化简，
26、得乙+匕=1,即曲线c的方程 为 三+二=1.4 3 4 3（2）如图，由（1）知曲线C 为椭圆，A,B 为其焦点，延长R 4 与椭圆相交于另一点E,延长。8 与椭圆相交于另一点F.设直线PE1 的方程为x=?y+i,2（片方），网七,为），联 立 方 程Z+=I4 3 一 消去X 并化简，得（3 加+4）y2+6 m y 9 =0,x=m y+6m 9所以i=-五百，跖=-病 丁所以|PE|=J（X|-X2）2 +（%-%）2 =J l +%2,（,+必）2_ 4）|必=讨|一4。不=1.V I 3 疗+4）3 川+4 3 m+4因为P A/Q 3,所以P E/QF ,设。F的方程为x=，畋
27、 1,同理可求|QF|=1；（1：Z）,所以|P|=|QF|,所以四边形P MQ 为平行四边形,所以四边形P A B Q的面积S四 边 形 P ABQ=SPQE=2sp0E l-l l 1点0 到直线P E的距离d=1 1=-；=+，1 +机 12(l +/n21 6，1 +疗所以=-o-X-=-z-3 nr+4 J i +*3 +4所以S四 边 形皿。=2SN O E=子c _ _ 12令J l +疗=(2 1),所以四边 物“畋一m 石 一 彳，令一+；,则 八 3-亨1,显然当4时，y 0.所以y=3 f+；在 上 单 调 递 增，所以当1=1,即m=o 时，y 取得最小值，且 =4,所
28、以(S四 边 物 色)心=3,即四边形P A 8 Q 的最大值为3.11.(2022 全国模拟预测(理)已知4-2,0),8(2,0),动点M(x,y)满足A M与 的 斜 率 之 积 为-L 记 M的轨迹4为曲线C.(1)求点M的轨迹方程;(2)点 P,。在 C 上，且 A P LA。，求AAPQ面积的取值范围.【答案】三+V=l(x*2)4 12。弱16【解析】【分析】(1)设点M(x,y),由坐标分别求出直线A M、8 M的斜率，结 合 斜 率 之 积 为 得 到 关 于 x,V得方程，化简即可，注意考虑斜率不存在，得到取值范围；(2)直线A P 的斜率为 腹，由点斜式得到直线A P 的
29、方程，联立椭圆C 消去V得到关于了的一元二次方程，联立韦达定理求得刖 再由弦长公式求 得 附，因为A P U。，则直线A Q 的斜率为-)同理可得阙，代 入 =；阉 阙K N化简得到关于左的式子，利用换元法和对勾函数得到取值范围.(1)直线A M的斜率为kAM=-(x w -2),直线B M的斜率为kR M=-J(x w 2),x+2x-2由题意可知：kA M%=-7,-7=-4 =丁+4 丫 2 =4 (xw 2),x+2 x-2 42故曲线C 的方程为：y +/=l(x 2).不妨设P 在x 轴的上方，直线A P 的斜率为比则%0.则直线AP的方程为：y=A(x+2),联立椭圆C：+)，2
30、 =l,得（1 +4k2*+16公 x+16k2-4=0,即=（16代一叩+4用（搐公-4）=160,则由韦达定理得：-2 4=竺 二苫=1 +4公-8 +21 +4公所以，H=7i7F|s+2|=Vi7FT7r=由于A P L 4 Q,所以AQ的 斜 率 为 直 线AQ的方程为：y=-l(x+2),K k以4代替4n|A Q|=4&a+1二+4所以 2=；|A 刊 A 0=；4,1+r 4 kdic +1X-x1 +4公8-X+i）8伏+工）/+4 （1 +4公）/2+4）4（Z+J_y+91，二 8f8令f=k+:，由于女 0,所以此2,5 2-4产+9二，9.K42+一由于4/+彳9 在
31、此2时单调递增，所以=2时面积最大，此时%”。=考16综上：S&AP Q 0.1|,故 P Q面积的取值范围为(0,卷16.2512.(2022 四川石室中学三模(理)已知点M(0,2百)，N(0,-20)，R(4,2后)，2(4,0),动点S,T满 足 启=几 届,M T =2AM R(/L e R),直线MS与N 7交于一点P.设动点尸的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)直线4：3 x-2)，=O与曲线C交于A,B两点，G为线段AB上任意一点(不与端点重合)，倾斜角为a的直线6经过点G,与曲线C交于E,尸两点.若 看三的值与点G的位置无关,求证：IG ER G FI.|(JA|*|
32、Go I。7【答案】(1)二+二=1:16 12(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)设P(x,y)，由M,P,S三点共线，得4(y 2 6)=一2 6，由N,P,T三点共线，得+2 6)=4 6 x ,消去X即得解;(2)不妨设点A在第一象限，设点G(2m,3附，其中若直线4的斜率不存在，则直线4的方程为x=2 m,故IM FIGA|GB|不为定值.若直线的斜率存在，设直线4的斜率为人，则直线4的方程为=-(2左-3)%.将直线/2的方程代入曲线C的方程化简、整理得到韦达定理计算即得证.解：由题意，知 R&=（0,-2 6），从而 S（4,2 6（1-2）,则 M g =（4,-27 i
33、i）.设P（x,y）,贝I J诂=,广2 6），N P =（x,y+2.由M,P,S三点共线，得4（y-2月）=-2百/U.由疝?=（4,0），得7（8尢2石），从而N =（8/1,4 5国.由N,P,T三点共线，得8 y +2后）=4百x,消去；I得3 2（丁-1 2）=-2 4/,整理得工+片=1 ,1 6 1 2即曲线C的方程为 工+=1.1 6 1 2证明：由题意并结合（1）易 知（不妨设点A在第一象限），4 2,3）,B（-2,-3）.设点G（2M,3/M）,其中-1 加 1,则|G 4|=岳（1一 九）,G B=7 1 3（1+/M）,所以|G 4|-|G 8|=1 3（l-，2）
34、若直线4的斜率不存在，则直线4的方程为x =2m,此时王（2”,，1 2-3所1 F（2m,-V 1 2-3 w2）,故EF 1 2（4-/M2）I G A I-I G B I -1 3（l-w2j不为定值.若注线，2的斜率存在，设直线4的斜率为人,则直线4的方程为丫 =丘-（24-3）7.将直线4的方程代入曲线C的方程化简、整理，得（4公+3）/-8切7（24-3）x+4（24 3）2机2-4 8 =0.坟 E（AX），厂c（程必）、，川占+2=-8 h （22 k-3）X4（2/-3）2疗-4 8tX2=D TK.十 ,3所以|E F|2=（l +/）a_xJ（1 +公）6 4/加（2k
35、-3）2-1 6（4 4 2+3）（24 -3）2/-1 2（4 A2+3）24 8（1 +左2）（2&-3）2 加 2-0 6 +1 2）（4公+3 ，E F|2 4 8（1 +公）（24 一3）2病一（1 6公+1 2）“I G A H G B I =1 3（叱+3丫（苏-1）因为M 1 的 值 与 的 值 无 关，I GA|CJD I所以(2左 一 3)2=1 6 22+1 2,解得A =-g,所以与&=4噂=2m,所以G是 E F 的中点，即|G E|=|G F|.1 3.(20 22 福建三明模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，。为原点，尸。,0),过直线/：x=4 左侧且不在x 轴
36、上的动点P，作P H，/于点”,N H P F 的角平分线交x 轴于点M,且归 川=2附用，记动点尸的轨迹为曲线C.求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 与x 轴正半轴交于点A，过点S(-4,0)的直线乙 交 C 于 A,B 两 点,AS=ABS，点 T 满足W =/l 而，其中 4 0,得?2 或机 一2,设A 6,y J,8（孙%），则%+%=常，以 工 乎了.5m+4 3/7?+4由 福=2 的得一H =-2%，所以4=丛，%设7（为,%）,由X T =4无,得%-X =4（必一%），所以为=）+为 2 2），1 2 y M =2 x363疗+4 一 31 +2 1 +A 7 +%必2 4
37、机3/+4m3所以/=my（）-4 =m x 4=1,m所以点了 卜 吟）在直线x =-l 匕且 为 W ，乂因为s（-4,o）与A（2,0）关于直线X =1 对称,所以7 S 4，是等腰三角形,（或者证明直线T S 与直线以 的斜率互为相反数）所以 NTSA=N%S,因为 NA8 =NTSA+NgS,所以 Z A/B=2 N T S O ,综上所述，ZAITB=2ZTS O.1 4.（2 0 2 2 江苏 南京市宁海中学模拟预测）已知平面上一动点P 到定点F（l,0）的距离与它到定直线x =-1 的距离相等，设动点P 的轨迹为曲线C（1）求曲线C 的轨迹方程（2）已知点网2,2 收），过点8
38、 引圆M:（x-4 +y 2=r2（o r +y2=(x+l)2,所以y2=4x,所以曲线C的方程为y2=4x,(2)由已知8(2,2 0),所以切线BP,BQ的斜率存在,设切线BP的方程为y=4(x-2)+2/，2k.+2y/2则圆心M(4,0)到切线AP的距离d=r,日所以(4一,)婷+8&匕+8-产=0,设切线BQ的方程为 尸匕(x 2)+2 0 ,同理可得(4-/)始+8正&+8-r=0,所以&是方程（4-产）42+8-7=0的两根,所以4+&=4 ,k#,=工，2 r2_4 2），联立 上 空-2）+2&,户4广 跖+872=0.y=4x所以2恁=-8”8&,所以 y=-2 0 +k
39、、同理必=-2，5+；,左2rrpi _2A/2+j +（_2 夜）+二所以；=y+%=h 包22（,=-2 0 +2+（匕 k2）=-2向2.叱b优8&=-272+2-48-尸4-r2=-2近 一 世，8一 广因为0 Y 2,所 以:J丁!8 8-广 4所以-6夜 2.曲线C 的方程为a+三=1(工0)；设。（%,%）（%工0 ）,（O j）,线段AO的中点为。（然，与 及 T则直线A D的斜率 =三，直线好的斜率kQK=J y,人 i-乙 40 乙2%一 ，由题可 知 鼬 曝=T,2 =一 1,整理得为-萼 =三%+2 玉）-2 V 2 J 22又.手+*1,.%（）=_ ：,得=告故 0
40、,吟）.又M E 为等边三角形，有|明=|A j,二 J（x 0 +2丫 +y；=卜2+（_ 当）整理得片+4/+?=（）,2.5 x：+3 2%+1 2 =0 ,解 得/=w 或%=-6（舍去），将为=一,代 入 +?=1，解得=芈 或%=_芈.点 的 坐 标 为-|，W 或（一|，一 竽 1 6.（2 0 2 2 河南平顶山模拟预测（理）在平面直角坐标系x O y中，一动圆经过点F （2,0）且与直线尤=-2 相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点M（m,0）（m 0）作两条互相垂直的直线4 4,且4 与曲线交于A,8两点，4 与曲线交于C,。两点,点 P，。分别为A
41、 B,CQ的中点，求AMPQ面积的最小值.【答案】（D/=8x 1 6【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，列出等量关系，整理得到轨迹方程；（2）设出直线方程，与第一问求出的抛物线联立，得到两根之和，两根之积，从而表达出点尸，。的坐标，表达出A MPQ面积，利用基本不等式求出面积的最小值.（1）设圆心为A（x,y）,由题意得：（X-2）2+/=|X+2|,两边平方，整理得：2=以，故曲线的方程为产=心.（2）显然直线4,，2 斜率均存在，不妨设4：x =仔+W，（4 0）与 y2 =8 x 联立得：/-8ky-8m=O,设 4（不丫|）,3（七,）,则 y+%=8 太%必=-8 m，则%+=Z（
42、y +%）+2 6=8 公+2?，故 :=4 公+加,%=4 k，所以 P（4/+m,4 人），由于直线4,4 互.相垂直，故。(提 +码,所以 SM P=g jl +z 4.+、-司.，+-1)+m-=8(k+-)1 6 J k-=1 6,当且仅当仁:，即氏=1时等号成立，所以AMPQ面积的最小值为16.17.(20 21.福建省德化第一中学三 模)在平面直角坐标系中，AABC的两个顶点A,B的坐标分别为(T O),(1,0),平面内两点G,M 同时满足以下3个条件：G是 A B C 三条边中线的交点：M是 A B C 的外心；G M H A B(1)求4 A B C的顶点C的轨迹方程：(2
43、)若点尸(2,0)与(1)中轨迹上的点E,尸三点共线，求|产目 P FI 的取值范围2【答案】(1)/+4=1(尸 0)；【解析】【分析】(1)设出点的坐标，利用两点间的距高公式即可求得轨迹方程；(2)设出三点所在的直线方程，与(1)中的轨迹方程联立，由判别式大于0求出公的范围，利用韦达定理得到E,F两点横坐标的和与积，将|因表示为的关系式，进一步得到|即归下|的取值范围.(1)设 C(x,y),G (%,0)，M(,y,w)因为例是 4 8 C 的外心，所以|恻=|四所以M在 线 段 的 中 垂 线 上，所 以 如=三 d=0,因为GM/AB,所以=%，又 G是 A B C 三条边中线的交点
44、，所以G是 A 8 C 的重心,日 一 一 1 +1 +x x 0 +0+y y所以与=-=-,%=不 上=彳，3 3 3 3所以=%=，又网=陷，所以业+心 占 一 0)=(0 7)2+导 丫2化简得/+1 _ =1(丫二0),所以顶点C 的轨迹方程为*2+q =1()，HO)；因为尸，E,尸三点共线，所以尸，E,尸三点所在直线斜率存在且不为0,设所在直线的方程为y=%(x-2),联立y=攵(无-2)，得 价+3)-4 入+4&2-3=0.由 =(4/一 4(/+3)(4/_3)0,得 A2 1.设 E(X QJ,F(x,y2),则4公=正/43所以仍斗归目=J l+公|2-与|.，1 +e
45、 2-匈=(1 +&2)|4-2(西+)+不引=(1+).4俨+3)_8%2+(4_3)改 2+390+公)18公+3公+3乂0 二 1,所以3 r+3 4,9所以3)轴的距离记为止且点例满足：罚祢4-1,记点M 的轨迹为曲线卬.(1)求曲线W的方程;(2)设点P 为 x 轴上除原点。外的一点，过点P 作直线4，4，4 交曲线W于点C,。，4 交曲线W于点E,F,G,H分别为CD,E F的中点，过点尸作x 轴的垂线交GH于点N,设 CD,EF,ON的斜率分别为匕，&,%的，求证：匕依+&)为定值.【答案】(i)v+4=i8 6(2)证明见解析【解析】【分析】(1)设M(x,y),则”=N，根据
46、平面向量数量积的坐标表示化简计算即可；(2)设P(%,0)和直线G”的方程，进而求出点G 的坐标，设C(%,为)、。(而，如)，利用点差法和弦中点坐标公式计算化简可得4的事+?)6+3 与左+3%=0,同理可得4化 与+加)片+3毛&+3%=0,根 据 韦 达 定 理 可 得4(8：+回,代入匕 收+自)计算化简即可.(1)设M(x,y),由题意得d=W，MA=(2-x,/3-y),MB=(-2-x,-y/3-y).-cl2由 =1,4二(2 x,6 y)(一 2一 演 一 6一 了)=-一12.x2-4+y2-3 =y-l.3x“2 _ X-b y=o 4即 M 的轨迹方程为5+F =l；o
47、 6(2)显然G”斜率存在，设P(x0,0),设 G”的方程为：y=k4x+m由题意知CO的方程为：y=4(x-%)联立方程i户 一 引y=k4x+mX/()+.k-k.解得：，/,、_ k kAxa+m)可 得.G八/+-(幻+)、I 用-勺 kk&J设C(Xc，%)，力(x,%),C,Q都在曲线W上,则 有 足+左=18 6量+豆=18 62 _ 2 2 _ 2.得：飞 一 +一切=08 6则有：&|=黄3 xc+xD4 yc+yD又G为C O中点，则有；k、=火-即=_ 3xc-xD 4勺的%+M可得：4（%+加）左2+3为左+3 m =0同理可得：4（k4xQ+ni）k +3 xnk2
48、+3 m=0故占，与为关于左 的方程4（勺+，）公+3%氏+3帆=0的两实根3 x由韦达定理得：K+2-诉F p将x =/代入直线G”中得：=勺/+m可得：N（%&%+故有：%3 =幻。+”xo则占化+3=她 空 _ 3%=_,故七（匕+他）为定值一）须）4（4 4/+）2）4 41 9.（2 0 2 2全国模拟预测（理）已知圆O:f +y 2 =2与x轴交于A,B两点，动点尸满足直线 与直线BP的斜率之乘积为2（D求动点P的轨迹E的方程；（2）过点（1,0）的直线/与曲线E交于M,N两点，则在x轴上是否存在定点。，使 得 丽 丽的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由
49、.【答案】5+丁=1,（x w 0）；存在点。修，o使 得 的 丽 为定值-三，理由见解析；2=1,卜工土联立得：佯+2川+2.1 =0,设M（%,y）,M（w，%），niI2k 1则=F y M=-E所以 QM-QN=(xl-m,yl)x2-m,y2)=(xt-m)(x2-m)+yly2=与电-2(X +毛)+/7?+y%=(1 +6 1)(1 +62)+1+佻)+切2 +乂必=俨+1）乂+（成）（+丫2）+（必1）2（2 Am-5=m-2 -l 7 k2+2当4?-5 =0即机时，的 所 为 定值，即存在点。件,0 使 得 西 西 为定值二；4）1 6综上：存在点。，。卜 吏 得 西 丽
50、为定值2 0.（2 0 2 2.全国.高考真题）已知双曲线cJ J =l（a （U0）的右焦点为尸（2,0）,渐近线方程为y =石x.求C的方程；（2）过尸的直线与C的两条渐近线分别交于4,8两点，点a,%）,。伍,必）在C上，且%。，M0.过户且斜率为-6的直线与过。且斜率为G的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：M在A 8上；PQ/AB.|M 4 R A7 8 .注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2【答案】/_匕=13（2）见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得。的值，利用渐近线方程求得“，b的关系，进而利用。，儿。的平方关系求得。涉的值，得到双