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1、基础知识梳理及基础题型归纳立体几何模块目录第一节 简单空间几何体.1【知识点1认识简单几何体.1【知识点2】投影问题.7【知识点3】三视图问题（备选内容）.9【知识点4】斜二测画法.11第二节点、线、面的位置关系.15【知识点5】平面的概念及点、线、面之间的位置关系.15【知识点6】空间两条直线的位置关系.21【知识点7】平行公理（公理4）.22【知识点8】等角定理及异面直线所成的角.23【知识点9】直线和平面的位置关系.27【知识点101两个平面的位置关系.28第 三 节 直 线、平面平行的判定及其性质.31【知识点11】直线与平面平行的判定.31【知识点12】平面与平面平行的判定定理.35
2、【知识点13】直线与平面平行的性质.39【知识点14】平面与平面平行的性质.44第 四 节 直 线、平面垂直的判定及其性质.51【知识点15】直线与平面垂直的判定.51【知识点16】直线与平面所成的角.55【知识点17】距离问题.58【知识点18二面角的概念.62【知识点191平面与平面垂直.65【能力提升】垂直问题难点突破专题.68第五节空间几何体的表面积和体积.73【知识点20】空间几何体的表面积.73【知识点21空间几何体的体积.82第六节空间向量与立体几何.89一、空间向量的线性运算.89【知识点1空间向量的概念.89【知识点2】空间向量的加减运算及运算律.90【知识点3】数乘向量运算
3、.91二、空间向量的基本定理.93【知识点4】共线向量定理.93【知识点5】共面向量定理.94【知识点6】空间向量分解定理.95三、两个向量的数量积.981【知识点7】两个向量的数量积.9 8四、空间向量的直角坐标运算.1 0 3【知识点8】空间向量的坐标表示.1 0 3【知识点9】空间向量的坐标运算.1 0 4【知识点1 0】空间向量的平行、垂直及模、夹角.1 0 4第七节立体几何中的向量方法.1 0 8一、空间向量与平行关系.1 0 8二、空间向量与垂直关系.1 1 2三、空间向量与空间角.1 1 5四、空间向量与距离.1 2 02篇一立体几何知识点全面扫描及典例体验第一节简单空间几何体【
4、知识点1】认识简单几何体1.空间几何体（1）概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.（2）多面体与旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体（如图），围成多面体的各个多边形叫做多面体的面;相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2.几种常见的多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.E i yA册 i 面一：；*.昵如图可记作：棱柱4BC DE F-A B C D E F1底面（底）：两个互相
5、平行的面侧面：其余各面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与底面的公共顶点.棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.N顶点健 核 一/测面4 B如图可记作，棱锥S-A B C D底面（底）：多边形面.侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：各侧面的公共顶点.棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.0木 1、4,7哄 上 底 面A，上/下底面顶点如图可记作：棱台ABC D-A B C D上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面.侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与上（下）底面的公共顶
6、点.3.棱柱、棱锥、棱台的关系1在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）.上底面扩大到与下底面相等上底面变小4.（1）各种棱柱之间的关系棱柱的分类棱柱直 棱 柱（侧棱垂直底面）正 棱 柱（底面是正多边形）一般的直棱柱斜 棱 柱（侧棱不垂直底面）常见的几种四棱柱之间的转化关系底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面四棱柱侧棱垂直于底面直四棱柱底面是平行四边形底面是正方形所有棱长相等所有棱长相等底面是长方形底面是矩形长方体-平行六面体体方正（2）棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表:名称底面侧面侧棱高平行于底面的截面棱柱斜棱柱
7、平行且全等的两个多边形平行四边形平行且相等与底面全等直棱柱平行且全等的两个多边形矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等棱锥正棱锥一个正多边形全等的等腰三角形有一个公共顶点且相等过底面中心与底面相似其他棱锥一个多边形三角形有一个公共顶点与底面相似棱台正棱台平行且相似的两个正多边形全等的等腰梯形相等且延长后交于一点与底面相似其他棱台平行且相似的两个多边形梯形延长后交于一点与底面相似2温馨提醒：正四面体是所有棱长相等的特殊的正三棱锥。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。5.旋转体圆柱定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.相关概念(图1)表示法：圆柱用表示它的
8、轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱。，。.图1侧 面母 线A底 面 I圆 锥(2)圆锥定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.相关概念(图2)表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO.(3)圆台定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.相关概念(图3)表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台底 面侧 面母 线轴底 面圆 台图3半 径直 径球图4(4)球定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.相关概念(图4)表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为
9、球0.(5)圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.II圆柱6.简单组合体上底缩小上底扩大至等下底面.-一4%-上底缩小为一点为行的展平等拓面全面点底不底顶与但上母锥二圆台圆(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、3球等几何结构特征的物体组成的.(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.【典型题型】【例1】下列几何体中，是棱柱，是棱锥，是棱台(仅填相应序号).【变 式1】下 列 几 何 体 是 台 体 的 是()【变式2】如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形
10、成的几何体的形状是【例2】下 列 说 法 正 确 的 有(填 序 号).棱柱的侧面都是平行四边形；棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；棱台的侧棱所在直线均相交于同一点;多面体至少有四个面.【变 式1】判断下列各命题是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形;(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.4【例 3】在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的
11、两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A.20 B.1 5 C.1 2 D.1 0【变 式 1】过球面上任意两点/、8作大圆，可能的个数是（）A.有且只有一个 B.一个或无穷多个 C.无数个D.以上均不正确【例 4】某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒（如图），则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（）【变 式 1】如图，在 4X3的纸上用线条勾画出一个图形，使每一格作为一个面，能折成一个正方体.你能画出4个这样的图形吗？【例 5】（1）在半径等于1 3 cm的球内有一个截面，它的面积是25。c m2,求球心到截面的距离.（2）一个圆台的母线长为1 2 c m,两
12、底面面积分别为4 n c m?和 25 兀 c m?.求：圆台的身；截得此圆台的圆锥的母线长.5【变 式 1】己知球的两个平行截面的面积分别为5 n 和 8 n,它们位于球心的同一侧，且距离为1,那么这个球的半径是（）A.4 B.3 C.2 D.O.5.【能力】【例 6】如图所示，在侧棱长为2百 的 正三棱锥VABC中，NAVB=NBVC=NCVA=40,过 A 作截面A E F,求截面4A E F 周长的最小值.【探究变式】【变式1】如图所示，在所有棱长均为1 的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A 出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A 1,则 爬 行 的 最 短 路 程 为.【变式2】如图，一只
13、正三棱锥ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为8,一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1的最短路线长为？6【变式3】如图所示，已知圆锥SO中，底面半径，=1,母线长/=4,M 为母线双上的一个点，且 SM=x,从点历拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点4 求:(1)绳子的最短长度的平方人均；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离;(3(x)的最大值.【知识点2】投影问题1.投影问题光是直线传播的，由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影平行投影：
14、把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影。在平行投影中，投影线正对着 即垂直)投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.例 1.如图所示，在正方体/8C A-/181G D 1中中，M N分别是881、BC的中点.则图中阴影部分在平面小 上 的 正 射 影 为()7AB.C._ X,D-wD A【变 式 1】如图所示，在正方体A B C D-A B C D 中，M 为 D D 的中点,则图中阴影部分BC,M在平面BCC,B,上【变式2将正方体（如图所示）截去两个三棱锥，得到图所示的几何体，则该几何体在平面BCGBi的正投影为【答案】B【变式3】下列图形：线段；直线；球；梯形；长方体，其中投影不可
15、能是线段的是（填序号）.【例 2】如图所示，棱长为1 的正方体A B C D-A i B i g D i 中，若 E,F 分别为4 4 的外的中点，G 是正方形Be。/的中心，则空间四边形A E F G在 该 正 方 体 的 面 上 的 投 影 的 面 积 的 最 大 值 为.8 变 式 1】半径为R的球。放置在水平平面a上，点 P位于球。的正上方，且到球。表面的最小距离为R，则从点P发出的光线在平面a上形成的球。的中 心 投 影 的 面 积 等 于.【知识点3三视图问题（备选内容）（1）光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图,（2）光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图,（3）光线从
16、几何体的上面向下面正投影得到的投影图,正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图.叫做几何体的正视图;叫做几何体的侧视图;叫做几何体的俯视图;太难了，有没有熟悉的场景理解三视图啊？长方体看为空间，下面对应的面看为投影面。熟 悉 1：简单几何体的三视图1 1 V 6C侧视图9动动手：作出三棱锥P-ABD的三视图例 2.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()H bz正视图 侧视图A B C D 俯视图【变式2】沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()A【变式3】如图(1)(2)(3)(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分
17、别为()10俯视图(1)A.三棱台、三棱柱、二 A正 视 图 侧 视 图C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台【例3】如图所示，画出下列组合体的三视图.俯视【变 式1】某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征.正视图 侧视图俯视图【知 识 点4】斜二测画法1 .用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点0,画直观图时，把它们画成对应的/轴和y轴，两轴相交于点。，且使N x o _/=4 5(或13 5),它们确定的平面表示水平面.(2)画线：已知图形中平行于x轴或
18、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于V轴或V轴的线段.(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原来的长度不变,平行于夕轴的线段，蛇度变为原来的一半.2 .立体图形直观图的画法规则：画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x O y 垂直的轴O z,且平行于0 z 的线段长度不变，其他同平面图形的画法.【典例】11例1（平面图形的直观图）画出如图水平放置的直角梯形的直观图.【思考】若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？【反思】在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐
19、标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可.变 式1：如图所示，为一个水平放置的正方形N8C0,它在直角坐标系 勿 中，点8的坐标为（2,2）,则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶 点 夕 到x轴的距离为.例2 （由直观图还原平面图形）如图所示，B C是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.12【反思】由直观图还原平面图形的关键（1）平行/轴的线段长度不变，平行，轴的线段扩大为原来的2 倍.（2）对于相邻两边不与、/轴平行的顶点可通过作/轴，y 轴的平行线确定其在x。）
20、，中的位置.【变式2】如图所示，矩 形 O H B C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O=6 cm,C D=2 c m,则原图形是.【例 3】（原图形与直观图的面积计算）如图所示，梯 形 4 囱是一平面图形/8C。的直观图.若4D M/O y1,AB/CDx，=-C,i=2,AD=O A =1.试画出原四边形的形状，并求出原图形3的面积.【反思】（1）由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45。（或 135。）角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高.（2）若一个平面多边形的面积为S,它的直观图面积为S ,则 S=S.
21、4【变式3】如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形H B 。，若 O B=,那么原三角形的面积是.13【例 4】(简 单 几 何 体 的 直 观 图)用斜二测画法画长、宽、高 分 别 为 4 cm、3 cm、2 cm 的长方体A BC DA B C D 的直观图.【反思】直观图中应遵循的基本原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段.(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的去(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.【变式4】用
22、斜二测画法画出六棱锥P-/8 C D E E 的直观图，其中底面月8CDEF为正六边形，点尸在底面上的投影是正六边形的中心0.(尺寸自定)14第二节 点、线、面的位置关系【知识点5】平面的概念及点、线、面之间的位置关系1.平面的概念(1)平面的概念：广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念.(2)平面的画法:(3)平面的表示方法一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图D_7CA _ _/AB一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.平面通常用希腊字母a,4y 表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表
23、示，如图中的平面a、平 面 4 C 等.2 .点、线、面之间的位置关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达位置关系符号表示点 P在 直 线 上P C A B点。不 在 直 线 上C i AB点 A/在平面A C内A/e 平面A C点 4不在平面/C 内N停平面A C直线A B与直线B C交于点BA B CB C=B直 线 在 平 面 ZC 内/B U平面A C直 线 不 在 平 面 ZC 内441 a 平面A C153.平面的基本性质公理(推论)文字语言图形语言符号语言作用公 理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内A aB a(1)判定直线在平面内；(
24、2)证明点在平面内公 理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线*P G aP J a W.PGl(1)判断两个平面是否相交：(2)判定点是否在直线上；(3)证明点共线问题公 理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面,c/力,B,C不共线=M,B,C确定一个平面a推 论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面/0/=/和/确定一个平面a(1)确定一个平面的依据；(2)证明平面重合；推 论2(3)证明点、线共面经过两条相交直线，有且只有一个平面aCb=A=af b 确定一个平面a推 论3经过两条平行直线，有且只有一个平面/一
25、；7a/b=a,b 确定一个平面a【典例讲解】类型一、符号表示问题【例1】(点、直线、平面之间的位置关系的符号表示)如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.【反思】(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.16【变 式 1】若 点/在 直 线 6 上，6 在平面.内，则点4直线6,平 面 夕 之 间 的 关 系 可 以 记 作.（填序号）A Gb e 仇 A R b u p；A U b U.；【变式2】空间两两相
26、交的三条直线，可 以 确 定 的 平 面 数 是.【思 考 1】在正方体N 8C。一小囱C|D|中，P,Q,R分别是4）,SG的中点，那么正方体经过P,Q,R的 截 面 图 形 是.【变 式 1】如图，直角梯形/8 O C 中，AB/C D,AB C D,S是直角梯形/8 O C 所在平面外一点，画出平面S B D和平面S A C的交线.类型二、点线共面问题【例 2】（点线共面）如图，己知：a U a,b ug a C i b=A,P b,P Q/a,求证：P Q a.【变 式 1】求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.17【反思】证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直
27、线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.【变式2】已知/|A/2=Z,12cb=B,l C l3C,如图所示.求证：直线/i，h，在同一平面内.类型三，点共线、线共点问题【例 3】(点共线)如图，在正方体/8 C。一中，设线段4 c与平面/8GA交于点0,求证：B,Q,。三点共线.【反思】证明多点共线通常利用公理2,即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.18【变 式 1】已知 48 C在平面a 外，其三边所
28、在的直线满足Z 8 C a=P,B C H a=Q,A CHa=R,如图所示.求 证：P,Q,R三点共线.【变式2】若直线/与平面a 相交于点O,A,BW l,C,Da,S.AC/BD,则 O,C,。三点的位置关系是.【例 4】（线共点问题）如图所示，在正方体力88-小 B iGA中，E 为 的 中 点，F为 4小 的中点.求证：C E,D F,D 4 三线交于一点.【反思】证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交.于两点，再证点重合，从而得三线共点.19【变
29、 式 1】如图，已知。，E 是 48 C的边N C,8c上的点，平面a 经过。，两点，若直线4 8与平面a的交点是P,则点尸与直线D E 的 位 置 关 系 是.【变式2】如图所示，在空间四边形4 8 c o 中，E,尸 分 别 是 和 C 8上的点，G,，分别是。和“。上的 点,唠 磊、A H C G 、1,-=-=2.H D G D求证：E H,BD,R7三条直线相交于同一点.20【知识点6】空间两条直线的位置关系1.在同一平面内，两条直线位置关系：平行与相交.空间中，既不平行又不相交的两条直线叫做异面直线。空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在 同一平面内有且只有二个
30、平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一 个平面内没有判断异面直线的方法方法内容定义法不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线定理法过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线反证法判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线典型例题异面直线的判断【例1】（1）在四棱锥 一/8。中，各棱所在的直线互为异面的有_ _ _ _ _（2）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么N 8,C D,异面直线的有几对？分别是哪几对？小C A一对.E F,GH这四条线段所在直线是【反思】（1）判断空间中两条直线位置关系的关键点建立空间观念，全面考虑两条直
31、线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.（2）判定两条直线是异面直线的方法证明两条直线既不平行又不相交.重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为Z C a,S e c t,BC I,l U a,则 与/是 异 面 直 线（如图）.21【变 式 1（1）如果把两条异面直线看成“1 对”，那么六棱锥的棱所在的1 2条直线中，异面直线共有_ _ _ _ _ _ _ _ 对，（2）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论:A B L E F；EF与 M
32、N是异面直线；M N/C D.以上结论中正确的序号为【变式2】如图所示，在三棱锥/8。中，E,尸 是 棱 上 异 于 儿。的两个不同点，G,H是梭BC上异于B,C的两个不同点，给出下列说法:与CD互为异面直线；切 分 别 与 D C,互为异面直线;EG与切互为异面直线；EG与 4 B互为异面直线.其 中 说 法 正 确 的 是.（填序号）【知识点7】平行公理（公理4）平行公理（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：a /b-a/c.h/c典型例题【例 1】（概念理解）.下 列 四 个 结 论 中 错 误 命 题 的 个 数 是.垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的
33、两直线平行；若直线a,b,c 满足。b,b _ L c,则 a _ L c；若 直 线 伍/2是异面直线，则与八，/2都相交的两条直线是异面直线.22【变 式 1】下列三种说法：若直线a,b相交，b,c 相交，则 a,c 相交；若。6,则。，6与 c 所成的角相等；若 a X.b,6 _ L c,则 a/c.其 中 正 确 的 个 数 是.【思 考 1】已知在空间四边形/8 C Z）中，M,N分别是8的中点，且 N C=4,80=6,则 MV的取值范围为.【知识点8】等角定理及异面直线所成的角（1）等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.（2）异面直线
34、所成的角定义前提两条异面直线a,b作法经过空间任意一点。，作直线a /a,h/b结论我们把a和 b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a.6所成的南范围记异面直线a与 b所成的角为2 则 0 W 90 特殊情况当90。时.异面直线a,6互相垂直，记作a _ L Z）【例 1】（公理4 与等角定理的应用）如图，已知在棱长为a的正方体/8 C。一/山C i。中，M,N分别是棱 8,的中点.求证：(1)四边形 A M 1 G 是梯形;Q)N D N M=N D i A C.【反思】（1）空间两条直线平行的证明定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.利用公理4 找到一条直线，使所证的直线都
35、与这条直线平行.23(2)等角定理的结论是相等，在实际应用时，一般是借助于图形判断两角的两边方向是否相同.【变 式1】如图所示，已知E,F,G,分别是空间四边形/8 C C的边BC,C D,。/的中点.(1)求证：E,F,G,，四点共面;(2)若求证：四边形EFG”是矩形.【变式2】如图所示，E,尸分别是长方体小的棱4 4 G C的中点.求证：四边形田。尸是平行四边形.24【思 考 I】如图所示 MC 和,，的对应顶点的连线4BB，、9 交于同一点。，且 窝 令=而23-)4(1)求 证:ABAB,AC AC,BC/BC:(2)求 里”的值.S&ABC【例 3】(求异面直线所成的角)在空间四边
36、形/8 C O 中，AB=CD,且与CO所成锐角为30。，E,尸分别为8C,4。的中点，求与Z 8 所成角的大小.【反思】求两条异面直线所成的南的一般步躲(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.(2)计算南：求角度，常利用三角形.(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补25角就是所求异面直线所成的南.【变 式 1】如图所示，在正方体/B C D/山i G。中.(1)求 4G与 8 1 c所成角的大小；(2)若 E,尸 分 别 为 的 中 点，求 4G与所所成角的大小.【变式2】如图，点 P,0
37、分别是正方体/8 C。一小与G。的面对角线4。，8。的中点，则异面直线P。和 8G所成的角为()A.30 B.4 5.6 0 D.9 0【思 考 1】如图，在三棱柱中，4 4 1 与 Z C,所成的角均为6 0。，N 8/C=9 0。，且/8=Z C=/小，求异面直线48与/G所成角的余弦值.26G A【思考2】设P是直线/外一定点，过点P且 与/成30。角的异面直线有 条.【方法小结】1 .判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.对于异面直线的判断，常用判定定理和反证法.2 .在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的
38、角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为（0。，9 0,在解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法（可利用图中已有的平行线）；中位线平移法；补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.【知识点9】直线和平面的位置关系三种位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交；（3）直线与平面平行.直线与平面的位置关系：（1）直 线/在平面a内（/U a）.（2）直 线/在平面a外直线I与平面a相交（/n
39、a=Z）直线/与平面a平行（/a）典型例题【例1】（直线与平面的位置关系）（1）若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（）A.直线上所有的点都在平面外B.直线上有无数多个点都在平面外C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上至少有一个点在平面内（2）下列四个命题中正确命题的个数是（）如果”，6是两条直线，a/b,那么“平行于经过，的任何一个平面；如果直线a和平面a满足。a,那么a与平面a内的任何一条直线平行；如果 直 线b和平面a满足aa/a,bQ a,那么27如果a 与平面a上的无数条直线平行，那么直线a 必平行于平面a.A.0 B.1 C.2 D.3【反思】在判断直线与平面的位置关系时
40、，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断.【变 式 1（1）若直线。不平行于平面a,则下列结论成立的是（）A.a 内的所有直线都与直线a 异面B.a 内不存在与a 平行的直线C.a 内的直线都与。相交D.直线a 与平面a有公共点（2）一条直线/上有相异的三个点4,B,C 到平面a 的距离相等，那么直线/与平面a 的位置关系是（）A./aB./aC./与a相交但不垂直 D./a或/Ua【变式2】如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（）A.平行
41、B.直线在平面内C.相交或直线在平面内 D.平行或直线在平面内【思 考 1】若 a,b 是两条异面直线，且 a 平面a,则 6 与a 的 位 置 关 系 是.【知识点101两个平面的位置关系两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行.平面与平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行%/但 _/a/B0 个两平面相交a AHaC B=l无数个点（共线）【例 2】（平面与平面的位置关系）在以下三个命题中，正确的命题是（）平面a 内有两条直线和平面0平行，那么这两个平面平行；平面a 内有无数条直线和平面 平行，贝 布 与 丑平行；在平面a,内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面
42、平行或相交.A.B.C.D.【反思】利用正方体（或长方体）这 个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真假，另28外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.【变式1】已知两平面a,尸平行，且 aUa,下列四个命题：。与夕内的所有直线平行；。与夕内无数条直线平行；直线。与用内任何一条直线都不垂直：a与B无公共点.其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【变式2】下列说法中正确的是（）A.两个平面可以只有一个交点B.一条直线与一个平面最多有一个公共点C.两个平面有一个公共点，则它们相交或重合D.两个平面有三个公共点，它们一定重合【
43、变式3】两条相交直线a,6都在平面a 内且都不在平面夕内，且平面a 与丑相交，则 a和 6（）A.一定与平面 都相交 B.至少一条与平面夕相交C.至多一条与平面厂相交 D.可能与平面尸都不相交【思考2】若三个平面两两相交，则 它 们 交 线 的 条 数 为.【变式1】一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面（）A.平 行 B.相交C.平行或重合 D.平行或相交【变式2】互不重合的三个平面最多可以把空间分成 个部分.【例 3】（作图）（1）画出两平行平面；（2）画出两相交平面.【变 式1在图中画出一个平面与两个平行平面相交.29【变式2】试画出相交于一点的三个平面.【思
44、考3】如图所示，在棱长为“的正方体力B C D 481GA中，M,N分别是力小，A G的中点，过。,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线/.(1)画出/的位置；(2)设 求p s i 的长.D【方法小结】1 .弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.2 .长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.30第 三 节 直 线、平面平行的判定及其性质【知识点111直线与平面平行的判定线面平行的判
45、定定理定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行aa bUaa/b.=a a典型例题：例 1 如果两直线。6,且。a,则 6 与a 的位置关系是（）A.相交 B.b/aC.bCaD.ba或 bUa【反思】用判定定理判定直线a 和平面a平行时，必须具备三个条件（1）直线。在平面a 外，即 H a;（2）直线6 在平面a 内，即/?Ua;（3）两直线a,6 平行，即 4伉 这三个条件缺一不可.【变 式 1】下列说法正确的是（）A.若直线/平行于平面a 内的无数条直线，贝 U/aB.若直线a 在平面a外，则。aC.若直线a n/=0,直线b U
46、 a,则 4aD.若直线a b U a,那么直线a 就平行于平面a 内的无数条直线【变式2】有以下四个说法，其中正确的说法是（）若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行；若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交.A.B.C.D.【变式3】过直线/外两点，作与/平行的平面，则这样的平面（）A.不可能作出 B.只能作出一个C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在【例 2】如图，S 是平行四边形N8CD所在平面外一点，M,N 分分别是S/,8。的中点，试 证 明 平面 SBC.3
47、1【变 式 1】如图，S 是平行四边形/5 C D 所在平面外一点，M,N 分别是“，8。上的点，且 迪=2*S M N B求证：MN平面S8c.【反思】利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理.【变式2】如图，四边形4 8 8 是平行四边形，P 是平面48C。外一点，M,N 分别是48,P C 的中点.求证：MN平面P AD.【例 3】在三棱柱Z 8 C-/山C i中，D,E 分别是棱8C,C G 的中点，在 线 段 上 是 否 存 在 一 点收，使直线。E 平面小
48、/C?请证明你的结论.32A,AC,【变式1】在三棱柱中，若 为 N 8的中点，求证：8 G 平面/C M.【反思】证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线.【变式2】如图，。是长方体力8C。一，山iG G 底面对角线/C 与 8。的交点，求证：平面4 G D【方法小结】1.判断或证明线面平行的常用方法33(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作).(2)判定定理法：a a,bU a,a/b=a/a.(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内.2.证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质.(2
49、)利用平行四边形的性质.(3)利用平行线分线段成比例定理.【思 考1】如图所示，尸为矩形4 8 8所在平面外一点，矩形对角线交点为O,M为P 8的中点，给出五个结论：O M/P D；。河平面尸。；平面PD4；。用平面尸8 4 。A/平面P8C其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【变 式1】如图，在四面体/8C。中，M,N分别是ZC。，8C。的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_ _ _ _ _ _ _ _【思考2】如图，在三棱台中，AB=2DE,G,分别为4C,8 c的中点.求证：B D 平面FG H.【变式2】如图，四边形Z8CD为正方形，为等腰直角三角形，A B=A E,
50、尸是线段。的中点，在直线NE上是否存在一点/，使得PM平面8CE.若存在，指出点收的位置，并证明你的结论.34E【知识点121平面与平面平行的判定定理面面平行的判定定理示定理图形文字符号平面与平面平行的判定定理口一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a u 4b u a/ab/a尸夕 a例 1（概念理解）a,a 是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定a 4的是（）A.a,，都平行于直线/,m,B.a 内有三个不共线的点到在的距离相等C./,，是a 内的两条直线且/夕，m/pD./,?是异面直线且/a,m/a,1/0,m/p【反思】（1）在判定两个平面是否平行时，一定要强调