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1、基础知识梳理及基础题型归纳立体几何模块目录第一节 简单空间几何体1【知识点1认识简单几何体1【知识点2】投影问题7【知识点3三视图问题（备选内容）9【知识点4】斜二测画法11第二节点、线、面的位置关系15【知识点5】平面的概念及点、线、面之间的位置关系15【知识点6】空间两条直线的位置关系21【知识点7】平行公理（公理4）22【知识点8】等角定理及异面直线所成的角23【知识点9】直线和平面的位置关系27【知识点10两个平面的位置关系28第三节 直线、平面平行的判定及其性质31【知识点11】直线与平面平行的判定31【知识点12】平面与平面平行的判定定理35【知识点13】直线与平面平行的性质39【
2、知识点14平面与平面平行的性质44第四节直线、平面垂直的判定及其性质51【知识点15】直线与平面垂直的判定51【知识点16】直线与平面所成的角55【知识点17】距离问题58【知识点18二面角的概念62【知识点19平面与平面垂直65【能力提升】垂直问题难点突破专题68第五节空间几何体的外表积和体积73【知识点20空间几何体的外表积73【知识点21空间几何体的体积82第六节空间向量与立体几何89一、空间向量的线性运算89【知识点1空间向量的概念89【知识点2】空间向量的加减运算及运算律90【知识点3】数乘向量运算91二、空间向量的基本定理93【知识点4】共线向量定理93【知识点5】共面向量定理94
3、【知识点6】空间向量分解定理95三、两个向量的数量积98在正方体ABCD-ABCR中，M为DD的中点,那么图中阴影局部BC.M在平面BCCB上【变式1】如下图,【变式2】将正方体（如图所示）截去两个三棱锥，得到图所示的几何体，那么该几何体在平面BCGB的正投影为【答案】B【变式3】以下图形：线段；直线；球；梯形；长方体，其中投影不可能是线段的是（填序号）.【例2】如下图，棱长为1的正方体中，假设E,尸分别为44的小的中点，G是正 方形BCG当的中心，那么空间四边形AEFG在该正方体的面上的投影的面积的最大值为.三、两个向量的数量积【知识点7】两个向量的数量积1 .两个向量的夹角（1）定义：两个
4、非零向量a, b,在空间任取一点。，作法=，OB=b,那么/力08叫做向量与1 的夹角，记作（a, b）.（2）范围：（a, b e0,兀.特别地：当a, b）=；时，ab.2 .两个向量的数量积定义:两个非零向量Q,那么同向C0S，b叫做小的数量积（或内积），记作。力.（2）数量积的运算律（3）两个向量的数量积的性质数乘向量与向量数量积的结合律&)力交换律ab=ba分配律(a+)c=ac+c两个向量数量 积的性质假设，是非零向量，贝台“6 = 0假设。与。同向，那么6 =同回；假设反向，那么。力=一同回. 特别地，。=同2或同=a a假设。为心的夹角，那么cos8=ea-bab【类型一】空间
5、向量的数量积运算【例1】（1）以下命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.?2 炉=防夕）2；以+夕旧一夕| = 一夕2|；假设a与（9）,均不为0,那么它们垂直.（2）设。=用 b =120, |a|=3, |*|=4,求：优加 （342力）.（。+2力）.98【反思】(1)明 的模及。与的夹角，直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于与h的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa =同2及数量积公式进行计算.【练习1】 m 均为单位向量，它们的夹角为60。，那么|+3臼等于()A. 7 B. 10 C. 13 D. 4例2长方体438中，AB=
6、AAi=2, AD=4, E为侧面4S的中心，F为AD的中点,试 计算：(l)BCEDi； Q)而靠 1； (3)EF-FCi.【反思】两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量 积不满足结合律.【练习2】正四面体W8C的棱长为1,求：+为) +函；(2)或+而+次|.【类型二】利用数量积求夹角或模【例3】 族平面4BC,且4BC是48 = 90。的等腰直角三角形，口ABB31,口班6C的对角线都分 别相互垂直且相等，假设AB=a,求异面直线34与ZC所成的角.99【反思】利用向量求异面直线夹角的方法【练习 3】如图，在空间四面体 048。中，04
7、= 8, AB = 6, AC=49 BC=5, NCMC=45。，NOAB = 60。, 求04与8C所成角的余弦值.【例 4】如下图，在平行六面体/BCD481Gz)1 中，AB=, AD=2, AAi = 3, /B4D = 90。, ZBAAi= ND44=60。，求4G 的长.【感悟】 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两 点为端点的向量，将此向量表示为几个向量的和的形式，求出这几个向量的两两之间的夹角以及 它们的模，利用公式同=。以求解即可.100【练习5】如图，线段N8_L平面a, BCUa, CDA.BC,。尸J_平面a,且NZ)C
8、F=30。，。与4在。的同 侧，假设AB=BC=CD = 2,求4。两点间的距离.【类型三】利用空间向量的数量积解决垂直问题【例5】如图，在空间四边形04C8中，OB = OC, AB=AC,求证：0/L8C.【反思】(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.(2)1正明与空间向量 b, c有关的向量刑，垂直的方法先用向量明 b, c表示向量加，n9再判断向量 1, 的数量积是否为0.【练习6】向量”，。满足：闷=2,步|= 2,且与2一。互相垂直，那么与的夹角为.【方法小结】.空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用46
9、=|q|cos% b并结合运算律进行计算.(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公 式进行运算.1 .在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为模和夹角的向量的数量积.(3)代入力=|ag|cos% b求解.101【思考】如图，在正三棱柱Z3C力山1G中，底面边长为2.(1)设侧棱长为1,求证：AByA.BCx,(2)设力囱与8G的夹角为;，求侧棱的长.102U!、空间向量的直角坐标运算【知识点8】空间向量的坐标表示空间直角坐标系及空间向量的坐标(1)建立空
10、间直角坐标系Qxyz,分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i, j, k,这三个互相垂直的 单位向量构成空间向量的一个基底亿j, k9这个基底叫做单位正交基底.单位向量i. j, 都叫做坐 标向量.(2)空间向量的坐标在空间直角坐标系中，任一向量明根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(, Q2, 3),使= cii, aj 34分别为向量。在i, /, A方向上的分向量，有序实数组(0,。2,。3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标.上式可简记作” = (qi, L2， 43).【例1】如图，在棱长为1的正方体力5。一，B C D中，E, F, G分别为棱，O C , BC的中点，以蕊,应)
11、，AA 为基底，求以下向量的坐标.(1)A9AG9AF；(2)胡函，DG.【反思】用坐标表示空间向量的步3聚103【练习1 设正四棱锥S-RP2尸304的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系，求SP，尸2尸3的坐标.【知识点9】空间向量的坐标运算空间向量a, b,其坐标形式为4 =(0,。2,。3), b = (bl,厉，/73).向量运算向量表示坐标表示加法31+bi, 仍+岳，久+如减法a-b(061,。2 12,。3 一如数乘za（241, 一，2a3）数量积ab061+0262+0363【例 2】 =(1, -2,1), 1 5 = (1,2, -1),那么 b 等于()A. (2
12、, 4,2)B. ( 2,4, -2)C. (一2,0, -2)D. (2,1, -3)【反思】关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.【练习 2】假设向量 %),力= (1,2,1), c=(l,l,l),且满足条件(c-a)(2b)=2,那么 x=【知识点10】空间向量的平行、垂直及模、夹角设 a =(Qi,。2,。3), 6 = (61, bz,仇)，贝IJ名称满足条件向量表大形式坐标表示形式a/ bCl =Xb 9 42
13、 = 202，Q3=2/?3（2R）a Lbab=0-ibl +22 +，3,3 = 0模a= a aa= a?+a5+a?夹角cos，b） =/0161+0262+0363cos a, b）104【例 3】空间三点，(一2,0,2),例一1,1,2), 0(3,0,4),设=就，b=AC.(1)假设罔=3, c/BC,求 c；(2)假设ka-b与ka-2b互相垂直，求k.【反思】(1)平行与垂直的判断应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用适当引入参数(比方向量
14、明。平行，可设。=Y)，建立关于参数的方程.选择坐标形式，以到达简化运算的目的.【练习3】在正方体4G中，, F, G, H分别是CG, BC, CQ和4G的中点.证明:AB VEHx(2)4G_L平面五。.105【练习4】如图，在棱长为1的正方体48。一481Goi中，E,尸分别为48和8c的中点，试在棱8归 上找一点，使得。平面EFBi.【例4】棱长为1的正方体/8CQ481Gd中，E, F, G分别是。i, BD, 8用的中点.(1)求证：EFCF；(2)求旗与无所成角的余弦值；求CE的长.【反思】通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐 标时
15、便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再 利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.106【练习5】如图，在四棱锥P46。中，底面是边长为2的菱形，/DAB = 60。,对角线/C与8。相交 于点O,2。，平面/8。，P8与平面N8C。所成的角为60。.(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)假设E是P8的中点，求异面直线。E与口所成角的余弦值.【方法小结】.在空间直角坐标系中，点力(xi, y, Z1), 3(X2, 2, 22),那么N3 = (X2XI,又一Xl, Z2Z). 一个向量 在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐
16、标减去它的起点坐标.1 .两点间的距离公式：假设Z(xi, y9 zi), 5(x2,歹2, Z2),那么 AB = AB= AB2= (%2Xi)2+(V2i)2+(z2zi)2.2 .空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题， 把空间两条直线所成角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对 应向量的夹角的取值范围.107D变式1】半径为R的球。放置在水平平面。上，点夕位于球。的正上方，且到球。外表的最小距离为R， 那么从点P发出的光线在平面。上形成的球。的中心投影的面积等于.【知识点3三视图问题（备选内容）叫做几何
17、体的正视图;叫做几何体的侧视图;叫做几何体的俯视图;（1）光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图, （2）光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图, （3）光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图, 正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图.太难了，有没有熟悉的场景理解三视图啊？长方体看为空间，下面对应的面看为投影面。熟悉1：简单几何体的三视图侧视图第七节 立体几何中的向量方法、空间向量与平行关系【知识点111直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个.平面的法向量的定义直线取直线/的方向向量m那
18、么。叫做平面a的法向量.注：直线的方向向量(平面的法向量)不唯一？【例1】如图3,43C。是直角梯形，ZABC=90o, S4_L平面SA=AB = BC=1, AD=, 试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量;(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量.A D【反思】1 .利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n = (x, y, z).(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.(3)列方程组：由列出方程组.(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取士1).(6)得结论：得到平面的一个法向量.2.求平面法向量的三个注意
19、点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量.(2)取特值：在求n的坐标时，可令x, y, z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量.注意0:提前假定法向量n=(x, y, z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.108练习1正方体力8。-45Goi中，E、尸分别为棱4。、45的中点，在如图3-2-2所示的空间直角 坐标系中，求：图322(1)平面BDDiBi的一个法向量;(2)平面BDEF的一个法向量.【知识点12空间中平行关系的向量表示109线线平行设两条不重合的直线/,加的方向向量分别为=(0, bl, Cl), b =(Q2, bl, C2), 贝
20、Ij /加bi，C1) = (Q2，b2, C2)线面平行设/的方向向量为 =(Q1，bl，),。的法向量为 =(Q2, 贝Ij /12 + 6仍2+。1。2 = 0bl， C2)，面面平行设a, S的法向量分别为 = （ai，bl, Cl）,。=（42, bz，ci） 那么a/Bu/0（ai, b, c = k（ci2, bz，。2）【类型一】用向量证明线线平行【例1】如图3-2-3所示，在正方体NBC。-/131Goi中，E,厂分别为。和3囱的中点.求证：四边 形/EG厂是平行四边形.图 3-2-3反思1.两直线的方向向量共线（垂直）时，两直线平行（垂直）；否那么两直线相交或异面.2 .直
21、线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直 时，直线在平面内或线面平行；否那么直线与平面相交但不垂直.3 .两个平面的法向量共线（垂直）时，两平面平行（垂直）；否那么两平面相交但不垂直.【练习1】长方体力BCD-451Goi中，E,厂分别是面对角线囱O, /山上的点，且。归=2协1, BF=2E4i. 求证：EF/AC1.【类型二】用向量证明线面平行【例2】在正方体48cLMiBiCQ中，M, N分别是CG, 31G的中点.求证：平面43DZ110【练习2】在如下图的多面体中，平面/8, AE上EB, AD/EF, EF/BC, BC=2AD=4, EF
22、=3, AE=BE=2, G是8C的中点，求证：平面OEG.【类型三】利用向量证明面面平行【例3】在正方体48048601中，M, N分别是CG,囱G的中点，试证明平面小平面CBD.Z【练习3】如图3-2-9,在正方体48CZM山1GO1中，。为底面4SC。的中心，P是。的中点.设。是 CG上的点，那么当点。在什么位置时，平面。出。平面以O?图 3-2-9111规律方法1.向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线/的方向向量是小平面。的法向量是“，那么要证明/*只需证明aJ_,即=0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行， 要证明一条直线
23、和一个平面平行，在平面内找一个向量与直线的方向向量是共线向量即可.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不 共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能 够用平面内两个不共线向量线性表示即可.2.证明面面平行的方法设平面a的法向量为，平面的法向量为也贝桁夕二、空间向量与垂直关系【知识点13空间中垂直关系的向量表示空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线/的方向向量为=(0，。2,。3)，直线机的方向向量为力=(力，bi，儿)， 那么 = 00。161+。2岳 +。363 = 0线面垂直设直线/的方
24、向向量是a =(0, b, Cl),平面a的法向量是 =(42,岳，C2)， 贝U /J_aa/ua=ku0(ai, b, )=%(。2, b, C2)(kR)囿面垂直假设平面a的法向量 = (0，bi，ci),平面4的法向量o = (2，b?, C2)，那么a_L4台 _L PgUP = 0 0 02 + 6仍2 +。1。2 = 0注：假设一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，那么这两个平面垂直。【类型一】用向量证明线面垂直【例1】如下图，正三棱柱48C-481G的所有棱长都为2,。为CC的中点.求证：力囱，平面112规律方法1.坐标法证明线面垂直有两种思路法一：(1)建立空
25、间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.2.使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否那么常常选用法一解决.【练习1】如图3-2-15,正方形43C。和矩形ZCE尸所在的平面互相垂直，AB= 2, AF=1, M 是线段物的中点.求证：平面【类型二】用向量法证明面面垂直【例2】如图3-2-12所示，在直三棱柱中，AB_LBC, AB =
26、 BC=2, BBX = , E为8囱的中点, 证明：平面4EGJL平面441GC.规律方法1 .利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理 将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂 直，得面面垂直.1132.向量法证明面面垂直的优越性主要表达在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度.【练习2】如下图，/台。是一个正三角形，CJ_平面/BC, BD/CE,且C=C/=28DA求证：平面。胡_L平面EC4.114三、空间向量与空间
27、角【知识点14空间角的向量求解方法角的分类向量求法范围两异面直线/1与/2所成的角。设/i与/2的方向向量为跖b,贝1cos =|cosa,ab 一0,兀1 2J直线/与平面a所成的角。设/的方向向量为用 平面。的法向量为，那么.na*nsin 3=cos = 同间0,兀_ 2J二面角a-/的平面角。设平面a,4的法向量为m, 2，那么|cos 0| = |cos = |ni|,|2|0, 71注：（1）线面所称角/当a, nG 0,一时，3=；当（一时，0=(2)条件平面明少的法向量分别为，v, a,4所构成的二面角的大小为仇 ，1）=/图形琮71 VS7关系0=(p0=n-(p计算COS
28、9 = COS(PCOS e=-COS(P条件平面明少的法向量分别为，v, a,4所构成的二面角的大小为仇 ，1）=/图形琮71 VS7关系0=(p0=n-(p计算COS 9 = COS(PCOS e=-COS(P【例1】如图，在三棱柱CMa。闻囱中，平面0861。平面0/6,= 00i=2, 0A= 3,求异面直线/出与401所成角的余弦值的大小,NOiOB = 60。，N40B = 90。,且。8【类型一】求两条异面直线所成的角115规律方法1 .几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再 解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以防止复杂
29、的几何作图和论证过程，只 需对相应向量进行运算即可.o, 712.由于两异面直线夹角。的范围是I 2，而两向量夹角。的范围是0,兀,故应有cos 9=|cos求 解时要特别注意.【练习1】四棱锥S-48C。的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，是的的中点，那么SD 所成的角的余弦值为多少？【类型二】求直线与平面所成的角【例 2】如图，四棱锥 PdBC。中，E4_L底面 Z8CZ), AD/BC, AB=AD=AC=3, PA=BC=4, M 为线 段上一点，AM=2MD, N为尸。的中点.证明平面(2)求直线4N与平面尸A/N所成角的正弦值.116规律方法假设直线/与平面a的夹角为仇利用法向
30、量计算。的步骤如下:【练习2】如图，在四棱锥P-IBCO中，平面平面48C。，PA上PD, PA = PD, ABA,AD, AB=,AD=2, AC=CD= 5.(1)求证：。_1_平面以从(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱口上是否存在点使得8M平面PC。？假设存在，求名的值；假设不存在，说明理由.【类型三】求二面角确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系的方法：法一：观察法，通过观察图形，观察二面角是大于兀，还是小于兀22法二：在二面角所含的区域内取一点P,平移两个平面的法向量，使它们的起点为P,然后观察法 向量的方向，假设两个法向量同时指向平面内侧或同时指向外侧，
31、那么二面角与法向量的夹角互补，假设两个 法向量方向相反，那么二面角与法向量的夹角相等.117动动手：作出三棱锥P-ABD的三视图（黑色局部）:例1.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图，那么该几何体的侧视图为（例2.假设某几何体的三视图如下图，那么这个几何体的直观图可以是（）侧视图侧视图【变式1某几何体的正视图和侧视图均如下图，那么该几何体的俯视图不可能是（）【变式2】沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如下图，那么该几何体的侧视图为 （）【变式3】如图（1）（2）（3）（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（）10【例3】如图，在四棱锥P-48CQ中，A
32、B/CD,且NA4P=/。0=90。.PAB证明：平面必8,平面必。；(2)假设 R4=PD=AB=DC, ZAPD = 90,求二面角 Z-P8-C 的余弦值.方法小结利用向量法求二面角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定二面角的大小.【练习3】如图，几何体是圆柱的一局部，它是由矩形4BCZ)(及其内部)以边所在直线为旋转轴旋转120。得到的，G是标的中点.图 3-2-24(1)设P是在上的一点，APLBE,求NC8尸的大小;(2)当Z3=3,力。=2时，求二面角E-
33、ZG-C的大小.118【练习4】如图，在三棱锥P-/80中，平面力8。，BA=BP=BQ, D, C, E,产分别是BQ, AP, 的中点，AQ=2BD, PD与EQ交于点、G, PC与FQ交于点、H,连接G”.(1)求证：AB/GH；(2)求二面角D-GH-E的余弦值.119四、空间向量与距离【知识点15利用空间向量求距离（X） 点到平面的距离: 先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长.如图,设= （，4C）是平面Q的一个法向量,尸0（如 乂），zo）为。外一点，P（x, y, z）是平面。内的任意一点,6Z2 + /)2 + c2那么点A到平面。的
34、距离:PPo-n | _ |a(xo-x) + h(yo y)+c(zoz)| a 注：线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.【例1】正方体力8co43GO的棱长为2, E, F, G分别是GC, DiA1,48的中点，求点力到平面EFG的距离.120【练习1】 如下图，在棱长为1的正方体力BC。一481Goi中，E, F分别为BBi, CG的中点，DG=过 F, G的平面交441于点，求。Mi到平面EFG”的距离. 3121正视图侧视图正视图侧视图正视图侧视图俯视图 (1)俯视图俯视图(4)俯视图(2)(3)A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台B.三棱台、三
35、棱锥、圆锥、圆台D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台【例3】如下图，画出以下组合体的三视图.【变式1】某组合体的三视图如下图，试画图说明此组合体的结构特征.侧视图【知识点4】斜二测画法1 .用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规那么画轴：在图形中取互相垂直的x轴和歹轴，两轴相交于点。，画直观图时，把它们画成对应的/ 轴和V轴，两轴相交于点。且使/。3=45。(或135。)，它们确定的平面表示水平面.画线：图形中平行于1轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于V轴或V轴的线段.取长度：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原来的长度不变,平行于歹轴的线段，袋 度变为原来的一半.2 .立体图形直观图
36、的画法规那么：画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面/ 0, /垂直 的轴。，且平行于O zz的线段长度不变，其他同平面图形的画法.【典例】11 例1（平面图形的直观图）画出如图水平放置的直角梯形的直观图.【思考】假设将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何?【反思】在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形 尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线 段来作出其对应线段.确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这 些顶点顺次连结即可.变式1：如下图，为一个水平
37、放置的正方形48cO,它在直角坐标系xOy中，点8的坐标为（2,2）,那么在 用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点夕 到/轴的距离为.例2 （由直观图还原平面图形）如下图，夕。是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还 原成平面图形.OV D A xOV D A x12【反思】 由直观图还原平面图形的关键(1)平行M 轴的线段长度不变，平行” 轴的线段扩大为原来的2倍.(2)对于相邻两边不与，、/ 轴平行的顶点可通过作，轴，yf轴的平行线确定其在xOy中的位置.【变式2】如下图，矩形A B C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中A =6 cm,C Df =2 cm,那么原图形是【例3】(
38、原图形与直观图的面积计算)如下图，梯形4小G。1是一平面图形/8CQ的直观图.假设7AD/Of yf , ABCiDi,GA=2, 4。1 = 0。= 1 试画出原四边形的形状，并求出原图形3的面积.【反思】(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中 变为与水平直线成45。(或135。)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高.(2)假设一个平面多边形的面积为S,它的直观图面积为S,那么S = S.4【变式3】如下图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形H Bf 0,，假设O夕 =1,那么原三角形48。的面积是.13。 B
39、x【例4】(简单几何体的直观图)用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCDA B C D的直观图.【反思】 直观图中应遵循的基本原那么用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平 行于轴、V轴、z轴的线段.(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于丁轴的线段长度变为原来的1.(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.【变式4】 用斜二测画法画出六棱锥PZNCOEb的直观图，其中底面b为正六边形，点。在底 面上的投影是正六边形的中心。.(尺寸自定)14第二节点、线、面的位置关系【知识点5】平面的概念及
40、点、线、面之间的位置关系1 .平面的概念(1)平面的概念：广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的 几何概念.(2)平面的画法:一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图D4_/4B一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被 遮挡局部用虚线画出来.Ae7 B(3)平面的表示方法平面通常用希腊字母见人y表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面心 平面/C等.2,点、线、面之间的位置关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达位置关系符号表示点P在直线上PAB点。不在直线力8上C&AB点用在平面AC内“金平面ZC点4
41、不在平面AC内4在平面AC直线48与直线BC交于点BABCBC=B直线在平面AC内43U平面AC直线441不在平面4c内44。平面AC153.平面的基本性质【典例讲解】公理(推论)文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一 个平面内，那么这条直线上所 有的点都在这个平面内AaBanABUa(1)判定直线在平面 内；(2)证明点在平面内公理2如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他公共点，这 些公共点的集合是经过这个 公共点的一条直线PaPG0.J，今 aC0=l.PSI(1)判断两个平面是 否相交；(2)判定点是否在直 线上；(3)证明点共线问题公理3经过不在同一条直线上的
42、三 点，有且只有一个平面4,8,。不共线0B,。确定一个平面a推论1经过一条直线和这条直线外 的一点，有且只有一个平面和/确定一个平面a(1)确定一个平面的依据；(2)证明平面重合；(3)证明点、线共面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面aG/?=4=a,力确定 一个平面a推论3经过两条平行直线，有且只有一平面a/b=a、6 确定一 个平面Q类型一、符号表示问题【例1】(点、直线、平面之间的位置关系的符号表示)如图用符号表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系.【反思】(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之 间的位置关系如何，试着用文字语言
43、表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.16【变式1】 假设点/在直线6上，6在平面用内，那么点4直线上平面出之间的关系可以记作.（填 序号）AGbe仇 Aebu伙 Aubu/3；Aube。.【变式2】空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是.【思考1】在正方体4SC。一/山iGOi中，P,。，R分别是43, 40, 81cl的中点，那么正方体经过P, 火的截面图形是.【变式1】如图，直角梯形中，AB/CD, ABCD, S是直角梯形48。所在平面外一点，画出平 面SBD和平面SAC的交线.类型二、点线共面问题【例2】（点线共面）如图，己知：aUa, bUa, ab=A, Pb, PQ/a,求证：PQUa.【变式1】求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.17【知识点7】两个向量的数量积98四、空