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1、2020-20212020-2021 学年北京市学年北京市 101101 中学高一（上）期末数学试卷中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题）小题）.1已知函数 f（x）lg（4x）的定义域为 M，函数（）AMBNC4D的定义域为 N N，则 MN N2sin2021可化简为（）Asin41Bsin41Ccos41”的（）B必要不充分条件D既不充分也不必要条件），x（B，的值域为（）CD，Dcos413向量“，不共线”是“A充分不必要条件C充要条件4函数 ysin（x+A5已知偶函数 f（x）在（，0）上单调递减，若 af（1），bf（2），则 a，b，c 的大小
2、关系为（）AabcBacbCbacDcab，6log2x+b+clogx20，甲、乙两人解关于 x 的方程：甲写错了常数 b，得到根为乙写错了常数 c，得到根为Ax4Bx3，x64那么原方程的根正确的是（）Cx4 或 x8；Dx2 或 x37已知 2cos23sin21，（A2B2，），那么 tan 的值为（）CD8如图是函数ysinx（0 x）的图象，A（x，y）是图象上任意一点，过点A 作 x 轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B 可重合）设线段AB 的长为 f（x），则函数f（x）的图象是（）ABCD9已知 3sin（A）sin（+）B，则 cossin 的取值可以为（）CD10如图，
3、一个摩天轮的半径为 10m，轮子的最低处距离地面 2m如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每 30 分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点 P 与摩天轮天轮中心O 的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m 的时间大约是（）A8 分钟B10 分钟C12 分钟D14 分钟二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题）小题）.11已知向量（1，2），（x，4），且 ，则实数 x12若角 与角写为13已知幂函数在（0，+）上单调递增，则实数m 的值为的终边关于直线 yx 对称，则角 的终边上的所有角的集合可以14在如图所示的方格纸中，向量，的起点和终点均在格点（小正方形
4、顶点）上，若 与 x+y（x，y 为非零实数）共线，则的值为15某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常排气4 分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm 为浓度单位，1ppm 表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度 y（ppm）与排气时间 t（分钟）之间存在函数关系 y27mt（m 为常数）求得 m；若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5ppm 为正常，那么至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态16已知ABC，点 P 是平面上任意一点，且若，则 P 为ABC 的内心；（，R R），给出以下命题：若 1，则
5、直线 AP 经过ABC 的重心；若+1，且 0，则点 P 在线段 BC 上；若+1，则点 P 在ABC 外；若 0+1，则点 P 在ABC 内其中真命题为三、解答题（共三、解答题（共 4 4 小题）小题）.17已知函数（1）求函数 f（x）的值域：（2）若函数 g（x）logax 的图象与函数 f（x）的图象有交点，请直接写出实数 a 的取值范围18已知关于 x 的方程（1）求实数 b 的值；（2）求的值的两根为 sin 和 cos，19已知函数，（1）直接写出函数 f（x）的奇偶性；写出函数 f（x）的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：5f（3）g（3）；（3）由（2）中的各式概括出
6、f（x）和 g（x）对所有不等于 0 的实数 x 都成立的一个等式，并加以证明20设 A 是由 n 个实数构成的一个有序数组，记作 A（a1，a2，ai，an）其中ai（i1，2，n）称为数组 A 的“元”，i 称为数组 A 的“元”ai的下标，如果数组S（b1，b2，bm）（mn，mN N+）中的每个“元”都是来自数组 A 中不同下标的“元”，则称 S 为 A 的“子数组”定义两个数组 A（a1，a2，an），B（b1，b2，bn）的“关系数”为 C（A，B）a1b1+a2b2+anbn（1）若，B（b1，b2，b3，b4），且B 中的任意两个“元”互不相等，B；f（4）5f（2）g（2）；
7、f（9）的含有两个“元”的不同“子数组”共有p 个，分别记为 S1，S2，Spp；若 bjN N+，1bj101（j1，2，3，4），记最小值；（2）若，B（0，a，b，c），且 a2+b2+c21，S 为 B 的含有三，求 X 的最大值与个“元”的“子数组”，求C（A，S）的最大值参考答案参考答案一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题）小题）.1已知函数 f（x）lg（4x）的定义域为 M，函数（）AMBNC4D的定义域为 N N，则 MN N解：根据题意得，Mx|x4，Nx|x4，MN N故选：D2sin2021可化简为（）Asin41Bsin41Ccos41Dcos41解：sin2
8、021sin（36060139）sin（1390）sin139sin41故选：B3向量“，不共线”是“A充分不必要条件C充要条件”的（）B必要不充分条件D既不充分也不必要条件”成立，即解：当向量“，不共线”时，由向量三角形性质得“充分性成立，反之当向量“，方向相反时，满足“即必要性不成立，即向量“，不共线”是“故选：A4函数 ysin（x+A解：ysin（x+），x（B）cosx，的值域为（）CD”的充分不必要条件，”，但此时两个向量共线，因为 x（所以 cosx，1，1即函数的值域为故选：B5已知偶函数 f（x）在（，0）上单调递减，若 af（1），bf（2），则 a，b，c 的大小关系为（
9、）AabcBacbCbacDcab，解：因为偶函数 f（x）在（，0）上单调递减，所以 f（x）在（0，+）上单调递增，因为 af（1），bf（2），又 210，则 bac故选：C6log2x+b+clogx20，甲、乙两人解关于 x 的方程：甲写错了常数 b，得到根为乙写错了常数 c，得到根为Ax4Bx3，x64那么原方程的根正确的是（）Cx4 或 x8，x64，Dx2 或 x3，；f（），解：原方程可变形为：因为甲写错了常数 b，得到根为所以又因为乙写错了常数 c，得到根为所以所以原方程为解得 log2x2 或 3，所以 x4 或 8故选：C，7已知 2cos23sin21，（A2B2，）
10、，那么 tan 的值为（）CD解：因为 2cos23sin22（1sin2）3sin21，可得 sin2，cos2，因为（所以 sin故选：D8如图是函数ysinx（0 x）的图象，A（x，y）是图象上任意一点，过点A 作 x 轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B 可重合）设线段AB 的长为 f（x），则函数f（x）的图象是（），），cos，可得 tanABCD解：当 x当 x（0，故选：A9已知 3sin（时，A，B 两点重合，此时 f（x）0，故排除 C，D；）时，f（x）2x 是关于 x 的一次函数，其图象是一条线段，）sin（+），则 cossin 的取值可以为（）ABC，D解：因为
11、 3sin（）sin（+）3cos+sin所以，整理得所以当当 cos故选：C时，时，则，则10如图，一个摩天轮的半径为 10m，轮子的最低处距离地面 2m如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每 30 分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点 P 与摩天轮天轮中心O 的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m 的时间大约是（）A8 分钟B10 分钟C12 分钟tt，D14 分钟解：由题意知，在 t 时摩天轮上某人所转过的角为所以在 t 时此人相对于地面的高度为h10sin（由 10sin（得 sin（解得tttt）+12（t0）；）+1217，），即 5t15；所
12、以此人有 10 分钟相对于地面的高度不小于17 m故选：B二、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分11已知向量（1，2），（x，4），且 ，则实数 x2解：由已知，且，所以 14（2）x0，解得 x2，故答案为：212若角 与角写为解：角 的取值集合是|2k+角 与角的终边关于直线 yx 对称，则角 的终边上的所有角的集合可以，kZ Z，2（）的终边关于直线 yx 对称，可得2k+2k，kZ Z，+2k，kZ Z，可得角 的取值集合是|故答案为：|13已知幂函数+2k，kZ Z在（0，+）上单调递增，则实数m 的值为0解：由题意得：m11
13、，解得：m0 或 m2，m0 时，f（x）x2在（0，+）递增，符合题意，m2 时，f（x）1，是常函数，不合题意，故答案为：014在如图所示的方格纸中，向量，的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若 与 x+y（x，y 为非零实数）共线，则的值为解：设图中每个小正方形的边长为1，则（2，1），（2，2），（1，2），x+y（2x2y，x2y），与 x+y 共线，2（2x2y）x2y，5x6y，即故答案为：15某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常排气4 分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm 为浓度单位，1ppm 表示百万分之
14、一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度 y（ppm）与排气时间 t（分钟）之间存在函数关系y27mt（m 为常数）求得m；若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5ppm 为正常，那么至少需要排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态解：（1）函数 y27mt（m 为常数）经过点（4，64），64274m，解得 m；，（2）由（1）得 y由解得 t32，故至少排气 32 分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态故答案为：（1）；（2）3216已知ABC，点 P 是平面上任意一点，且若，则 P 为ABC 的内心；（，R），给出以下命题：若 1，则直线 AP 经过ABC 的重心；若
15、+1，且 0，则点 P 在线段 BC 上；若+1，则点 P 在ABC 外；若 0+1，则点 P 在ABC 内其中真命题为解：对于，的内心，则错；对于，由 1 知，AP，由向量加法法则知 APBC 中点，AP 经过ABC，此时 P 点在BAC 平分线上，但未必在ABC的重心，则对；对于，+111，P 点在 BC 延长线上，不在 BC 边上，则错；对于，令tP 点在ABC 外，则对；对于，取 1/4，1/2，+1/4，0+1，但 P 点在ABC 外，则错；故答案为：三、解答题共三、解答题共 4 4 小题，共小题，共 5050 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、演算步骤或
16、证明过程17已知函数（1）求函数 f（x）的值域：（2）若函数 g（x）logax 的图象与函数 f（x）的图象有交点，请直接写出实数 a 的取值范围解：（1）函数t+1，t1，由向量加法法则知，当则 f（x），因为 y1x 在（2，0）单调递减，可得 f（x）值域为1，3）（2）当 0a1，当 0 x2 时，g（x）logax 的图象与函数 f（x）的图象恒有交点，当 1a 时，当 0 x2 时，g（x）logax 是单调递增函数，则loga21，可得 a2则 1a2故得实数 a 的取值范围是 0a1 或 1a218已知关于 x 的方程（1）求实数 b 的值；（2）求解：（1）方程的值的两根
17、为 sin、cos，的两根为 sin 和 cos，sin+cos+（，sincos0，），即 sin+cossin（+）0，（sin+cos）2sin2+cos2+2sincos1+2解得：b则 b；（负值舍去），（2）（sincos）2sin2+cos22sincos12，sincossin+cos，19已知函数，（1）直接写出函数 f（x）的奇偶性；写出函数 f（x）的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：5f（3）g（3）0；（3）由（2）中的各式概括出 f（x）和 g（x）对所有不等于 0 的实数 x 都成立的一个等式，并加以证明解：（1）函数 f（x）为奇函数f（x）的单调递增区间
18、为（，0），（0，+），证明：任取 x1，x2（0，+），且 x1x2，则 f（x1）f（x2）（）（1+）0；f（4）5f（2）g（2）0；f（9）因为 x1，x2（0，+），且 x1x2，所以，所以0，所以 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2），所以 f（x）在（0，+）上单调递增，由奇函数的性质可得 f（x）在（，0）上单调递增，故（x）的单调递增区间为（，0），（0，+）（2）经过代入计算可得5f（3）g（3）0（3）由（2）中的各式概括出 f（x）和 g（x）对所有不等于 0 的实数 x 都成立的一个等式为f（x2）5f（x）g（x）0（x0），证明：f（x2）5f（x）
19、g（x）050，f（4）5f（2）g（2）0，f（9）020设 A 是由 n 个实数构成的一个有序数组，记作 A（a1，a2，ai，an）其中ai（i1，2，n）称为数组 A 的“元”，i 称为数组 A 的“元”ai的下标，如果数组S（b1，b2，bm）（mn，mN N+）中的每个“元”都是来自数组 A 中不同下标的“元”，则称 S 为 A 的“子数组”定义两个数组 A（a1，a2，an），B（b1，b2，bn）的“关系数”为 C（A，B）a1b1+a2b2+anbn（1）若，B（b1，b2，b3，b4），且B 中的任意两个“元”互不相等，B的含有两个“元”的不同“子数组”共有p 个，分别记为
20、 S1，S2，Spp6；若 bjN N+，1bj101（j1，2，3，4），记最小值；（2）若，B（0，a，b，c），且 a2+b2+c21，S 为 B 的含有三，求 X 的最大值与个“元”的“子数组”，求C（A，S）的最大值解：（1）根据“子数组”的定义可得，B 的含有两个“元”的不同“子数组”有（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共 6 个，p6；不妨设 b1b2b3b4，1bj101（j1，2，3，4），则当 b11，b22，b3100，b4101 时，X 取得最大值为当 b1，b2，b3，b4是连续的四个整数时，X 取得最小值为，；（2）由 B（0，a，b，c），且 a2+b2+c21 可知，实数 a，b，c 具有对称性，故分为 S 中含 0 和不含 0 两种情况进行分类讨论，当 0 是 S 中的“元”时，由于及 B 中三个“元”a，b，c 的对称性，可只计算a2+b2+c21，则（a+b）22（a2+b2）2（a2+b2+c2）2，可得故当时 a+b 达到最大值，故；中的三个“元”都相等的最大值，当 0 不是 S 中的“元”时，又 a2+b22ab，b2+c22bc，a2+c22ac，则当且仅当时，取到最大值，故 C（A，S）max1，综上，C（A，S）max1