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1、-高一 数 学 必 修 1 各 章 知 识点 总 结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合 H,A,P,Y(3)元素的无序性 :如：a,b,c 和 a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示：如：我校的篮球队员 ，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或 N+整数集 Z有理数集Q实数集 R1）列举法：
2、a,b,c 2）描述法：将集合中的元素的公共属写在大括号内表示集合性描述出来，的方法。x R|x-32,x|x-323）语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4）Venn图:4、集合的分类：含有有限个元素的(1)有限集 集合含有无限个元素的(2)无限集 集合不含任何元素的集例：(3)空集合x|x2=5二、集合间的基本关系1.?包含?关系子集注意：AB 有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。反之:集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记作 A B 或 BA2?相等?关系：A=B(5 5，且 55，则 5=5)2实例：设A=x|x-1=0 B=-1,1
3、?元素相同则两集合相等?即：任何一个集合是它本身的子集。A A真子集:如果 A B,且 AB 那就说集合A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 BA)如果 AB,BC,那么 A C如果 A B 同时 B A 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规空集是任何集合的空集是任何非空集合的定:子集，真子集。nnn有 n 个元素的集个子个非空真个真子集，2集，2-1合，含有2-2子集-人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第1页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第1页-三、集合的运算运算交集并集补集类型由所有属 A 且由所有属于A设 S 是一个集合，A 是定于属集合或S 的一个
4、子集，由S 中所有不属于 A的元素组义于 B 的元素所属于集合 B 的元叫做 S 中子成的集合，组成素所的集合,叫做组成的集合，叫集A 的补集（或A,B 的做 A,B交集记B的并集 记作：余集）记作 CSA，即作 A（读 A B-作B），即 A 交A B=x|xA且，（读作B），即 A 并A B=x|xA或，第 1 页 共 7 页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第2页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第2页-BxAB)xBABC A=xS,且x|xASS韦恩图示图1性A A=AA=A B=B AA B A质A B B图 2A A=AA=AA B=B ABAA B BuAu(C
5、 A)(C B)=Cu(AB)(C A)(C B)uu=C(A B)u(CAuA)=U(C uA)=A二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依
6、据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，实际问题中的函数的定义域还要保证实(7)际问题有意义.-人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第3页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第3页-相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备 )(见课本 21 页相关例 2)2值域 :先考虑其定义域(1)观
7、察法(2)配方法(3)代换法3.函数图象知识归纳y=f(x),(x A)中的 x 为横坐(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数标，函数为纵坐标的点的集合 C，叫y=f(x),(A)的图象 C值 P，做函数上每一yx(xy)点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反 y=f(x)的每一组有过来，以满足序实数对 x、y 为坐标的点 (x，y)，均在C 上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换第 2 页 共 7 页-人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第4页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第4页-4区间的概念（1）区间的分
8、类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个映射。记作?f（对应关系）：A（原象）B（象）?对于映射 f：AB 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解
9、析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),则 y=fg(x)=F(x)(xA)称为f、g 的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x 1)f(x 2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2时，都有 f
10、(x 1)f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：任取 x1，x2 D，且 x11，且*N nn0，记作0负数没有偶次方 0 的任何次方根0。都是根；a(a0)当 n 是奇数na，当 n 是偶数nnnaa|a|时，时，a(a0)2分数指数幂-人教版高中数学必修1
11、知识点总结-2016-第7页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第7页-正数的分数指数幂的意义，规定：mN*,nm na (a0,m,n n 1)amn11*am(a0,m,nN,n1)ann am0 的正分数指数0，0 的负分数指数幂没，3算性质实数指数幂的运幂等于有意义（1）ar ara r s(a0,r,sR)；第 4-共 7 页页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第8页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第8页-rs(a )（2）a rsrrR)(a0,r,s；sR)(a0,r,s（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般叫做指数函xya (a 0,且 a 1)
12、数，其中x地，函数是自变量，函数的R定义域为注意：指数函数的底数的取值范围，底数1不能是负数、零和2、指数函数的图象和性质a10a166554433221 111-4-22464 224600-11定义域定义域 RR值域 y值域 y0 0在 R 上单调在 R 上单调递增递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都函数图象都过过定定点（0，点（0，1）1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在 a，b1)值域是 f(a),f(b)或 f(b),fxa (a0 且 a上，f(x)(a)；（2）1；f(x)取遍所有正数当xR；若 x0，则 f(x)且仅当（3）对于指数函数x1)，总有 fa
13、(a0 且 af(x)(1)a；二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般，那么叫做为xaN(a 0,a 1)数x以底地，如果（3）(ab)a a-人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第9页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第9页-aN的对数，记作：x log数，loga N（a 底数，N 真a说明：1注意底数的限制a 0，且 a 1；2axNloga Nx；两个重要对3注意对数的书写格式loga N数：1常用对数：以10为底的对数N lg2自然对数：以无；理数e2.71828为底的对数的指数式与对数式对数的互化幂值真数ab Nloga N b底数第 5 页 共 7 页-N式）对数
14、ln N 人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第10页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第10页-对数指数（二）对数的运算性质如果 a 0，且 a1，M 0，N 0，那么：loga(M loga M loga N；1N)2MM logaN；logalogaNn loganlog MM(nR)a3注意：换底公式 logc b，且0）loga b（a0a1；c0，且 c1；blogc a利用换底公式推导下面的结论n（1）loga mbn loga b；（2）logab1logab，且1)叫做对数函0a数，其中m（二）对数函数1、对数函数的概yloga x(a念：函数自变量，函数的定0
15、，+）义域是（注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：12loglog5x，x都不是对数函数，而只能称其为对数y2y型函数50，且对数函数对底数的2限制：(aa1)2、对数函数的性质：0a11332.2.552211.x 是-人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第11页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第11页-.5110.5-15110.5-11 21 2 34 5 67 83456 7 8-0.0 51-1-1.5-2-2.定义域50 x值域为R在函数图象都 R 上递增过定点（0）1，（三）幂函数1地，形如、幂函数定义：2归纳、幂函数性质 y一般（并且
16、图象都过点（1）所有的幂函数在（-x 0，0-0.5 1-1-1.5-2-2定义域.50 x值域为在减 R R函定上递数点图象都过（1，0）(aR)其中的函数称为幂函数，）都有定义1）；1，+为常数人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第12页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第12页-0 时，幂函数的图象通并且在区间)上是增函数 特过原点，0,别地，（2）1 时，幂函数的图象1 时，幂函数的图象0上凸；当下凸；当)上是减函数 在第一象限内，0 时，幂函数的图象(0,当 x 从（3）在区间x 趋y 轴正半右边趋向原点时，y 轴右方无限时，轴，当于地逼近图象在图象在 x 轴上方无限x
17、 轴正半地逼近轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1(x)(x、函数零点的概念：对于函数 y f做函数yf(x)(xD)点。的零第 6-D)(x)，把使页 共 7 页0 成立的实数x 叫 f人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第13页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第13页-2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程实数根，亦即函数yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标。即：方程 f(x)f(x)的图象 x 轴有交有实数函函数 y 与点0根数f(x)有零y点3、函数零点的求法：（代数法）求方程 f的实数1(x)0根；f(x)的图（几何法）对于不能用求根公式的方程，
18、可2以将它与函数y象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：2二次函数 y axbx c(a0)0 有两不等实根，二次函数x 轴有（1），2axbx c的图象与两方程个交点，二次函数有两个零点0 有两相等实根，二次函数x 轴有（2），2axbx c的图象与一方程个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点0 无实根，二次函数的x 轴无交（3），2axbx c图象与点，二方程次函数无零点f(x)0人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第14页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第14页-第 7 页 共 7 页-人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第15页人教版高中数学必修1知识点总结-2016-第15页