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1、人教版高中数学人教版高中数学-必修必修知识点总结知识点总结函数函数)1(1(人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第1页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第1页高中数学高中数学 必修必修 1 1（函数）知识点（函数）知识点第一章第一章集合与函数概念集合与函数概念（1 1）集合的概念）集合的概念（2 2）常用数集及其记法）常用数集及其记法【1.1.11.1.1】集合的含义与表示】集合的含义与表示集合中的元素具有确定性、互异性和无序性集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.N表示自然数集，表示自然数集，N或或N表示正整数集，表示正整数集，Z表示整数集，表示整数集，Q表示有理数集，表示有
2、理数集，R表示实数表示实数集集.（3 3）集合与元素间的关系）集合与元素间的关系对象对象a与集合与集合M的关系是的关系是aM，或者，或者aM，两者必居其一，两者必居其一.（4 4）集合的表示法）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：描述法：x|x具有的性质具有的性质，其中，其中x为集合的代表元素为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5 5）集合的分类）集合的分类含有有限个元素
3、的集合叫做有限集含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合不含有任何元素的集合叫做空集叫做空集().).【1.1.21.1.2】集合间的基本关系】集合间的基本关系（6 6）子集、真子集、集合相等）子集、真子集、集合相等名称名称记号记号意义意义(1)A(1)AA AA A 中的任一元素都属中的任一元素都属于于 B B(2)(2)性质性质示意图示意图A B子集子集（或（或B A)A AB BA(3)(3)若若A B且且B C，则，则AC(4)(4)若若A B且且B A，则，则A B（1 1）A（A A 为非空子集）为非空子集）
4、A(B)A(B)B BA A或或真子集真子集（或（或 B BA A）A B，且，且 B B 中至中至少有一元素不属于少有一元素不属于 A AB BA A(2)(2)若若AB且且BC，则，则AC集合集合相等相等A A 中的任一元素都属中的任一元素都属A B于于 B B，B B 中的任一元素中的任一元素都属于都属于 A A(1)A(1)AB B(2)B(2)BA AA(B)A(B)（7 7）已知集合）已知集合有有2nA有有n(n 1)个元素，则它有个元素，则它有2n个子集，它有个子集，它有2n1个真子集，它有个真子集，它有2n1个非空子集，它个非空子集，它2非空真子集非空真子集.人教版高中数学-必
5、修1(函数)知识点总结-第2页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第2页【1.1.31.1.3】集合的基本运算】集合的基本运算（8 8）交集、并集、补集）交集、并集、补集名称名称记号记号意义意义性质性质示意图示意图交集交集ABx|x A,且且xBx|x A,或或xB并集并集ABA（2 2）A（3 3）AA（1 1）A（2 2）A（3 3）AA（1 1）UUA A B AB BA A AB AB BA AB BA AB B1 1A(UA)2 2A(UA)U补集补集UAx|xU,且xA(AB)(UA)(UB)(AB)(UA)(UB)【补充知识】含绝对值的不等式与一元【补充知识】含绝对值的不等
6、式与一元二次不等式的解法二次不等式的解法（1 1）含绝对值的不等式的解法）含绝对值的不等式的解法不等式不等式解集解集|x|a(a 0)x|a x a|x|a(a 0)x|x a或或x a人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第3页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第3页把把axb看看 成成 一一 个个 整整 体体，化化 成成|x|a，|ax b|c,|ax b|c(c 0)|x|a(a 0)型不等式来求解型不等式来求解（2 2）一元二次不等式的解法）一元二次不等式的解法判别式判别式 b24ac二次函数二次函数 0 0 0y ax2bxc(a 0)的图象的图象O O一元二次方程一元二
7、次方程ax2bxc 0(a 0)的根的根bb24acx1,22a（其中（其中x1x1 x2 b2a无实根无实根 x2)x|x ax2bxc 0(a 0)的解集的解集x|x x1或或x x2b2aRax2bxc 0(a 0)的解集的解集x|x1 x x21.21.2函数及其表示函数及其表示【1.2.11.2.1】函数的概念】函数的概念（1 1）函数的概念）函数的概念设设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合，对于集合A中任何一个数中任何一个数x，在集，在集合合B中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数应法则应法则f(x)和它对应，和它对应，那么
8、这样的对应那么这样的对应（包括集合（包括集合A，B以及以及A到到B的对的对f）叫做集合）叫做集合A到到B的一个函数，记作的一个函数，记作f:A B函数的三要素函数的三要素:定义域、值域和对应法则定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2 2）区间的概念及表示法）区间的概念及表示法人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第4页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第4页设设a,b是两个实数，且是两个实数，且a b，满足，满足a 满足满足a x b的实数的实数x的集合叫做闭区间，记做的集合叫做闭区间，
9、记做a,b；x b的实数的实数x的集合叫做开区间，记做的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足；满足a x b，或，或a x b的的 a,x b,x b实数实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做的集合叫做半开半闭区间，分别记做a,b)，(a,b；满足；满足x a,x的实数的实数x的集合分别记做的集合分别记做a,),(a,),(,b,(,b)注意：对于集合注意：对于集合x|a x b与区间与区间(a,b)，前者，前者a可以大于或等于可以大于或等于b，而后者必须，而后者必须a b（3 3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：f(x)是整式时，定义域是全体实数是整
10、式时，定义域是全体实数f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 1y tan x中，中，x k2(k Z)零（负）指数幂的底数不能为零零（负）指数幂的底数不能为零若若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等是由有限个基本初等函数的
11、四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为的定义域为a,b，其复合函数，其复合函数fg(x)的定义域应由不等式的定义域应由不等式a g(x)b解出解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4 4）求
12、函数的值域或最值）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函
13、数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值数的值域或最值判别式法：若函数判别式法：若函数y f(x)可以化成一个系数含有可以化成一个系数含有y的关于的关于x的二次方程的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，则在，则在a(y)0时，由于时，由于x,y为实数，故必须有为实数，故必须有 b2(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值，从而确定函数的值域或最值人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第5页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第5页不等式法：利
14、用基本不等式确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法函数的单调性法【1.2.21.2.2】函数的表
15、示法】函数的表示法（5 5）函数的表示方法）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6 6）映射的概念）映射的概念设设A、B是两个集合，是两个集合，如果按照某种对应法则如果按照某种对应法则f，对于集合，对于集合A中任何一个元素，中任何一个元
16、素，在集合在集合B中中）叫做）叫做都有唯一的元素和它对应，都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合那么这样的对应（包括集合集合集合A，B以及以及A到到B的对应法则的对应法则fA到到B的映射，记作的映射，记作f:A BA到集合到集合B的映射，且的映射，且a A,bB如果元素如果元素a和元素和元素b对应，那么我们把对应，那么我们把给定一个集合给定一个集合元素元素b叫做元素叫做元素a的象，元素的象，元素a叫做元素叫做元素b的原象的原象1.31.3函数的基本性质函数的基本性质【1.3.11.3.1】单调性与最大（小）值】单调性与最大（小）值（1 1）函数的单调性）函数的单调性定义及判定方法定义
17、及判定方法函数的函数的性性 质质定义定义如果对于属于定义域如果对于属于定义域 I I 内某内某个区间上的任意两个自变量个区间上的任意两个自变量函数的函数的单调性单调性的值的值 x x1 1、x x2 2,当当 x x x x 时，都时，都1 12 2 有有 f(xf(x)f(x)f(x)，那那么么就就说说1 12 2 f(x)f(x)在这个区间上是增函数在这个区间上是增函数图象图象判定方法判定方法（1 1）利用定义）利用定义y yy=f(X)y=f(X)f(x)f(x)1（2 2）利用已知函数的）利用已知函数的f(x)f(x)2单调性单调性（3 3）利用函数图象利用函数图象（在（在某个区间图某
18、个区间图o ox x1x x2x x象上升为增）象上升为增）（4 4）利用复合函数）利用复合函数人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第6页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第6页（1 1）利用定义）利用定义如果对于属于定义域如果对于属于定义域 I I 内某内某个区间上的任意两个自变量个区间上的任意两个自变量的值的值 x x1 1、x x2 2，当，当 x x xf(x)f(x)，那那么么就就说说1 12 2 f(x)f(x)在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数y yf(x)f(x)1y=f(X)y=f(X)f(x)f(x)2（2 2）利用已知函数的）利用已知函数的单调性单调性
19、（3 3）利用函数图象利用函数图象（在（在某个区间图某个区间图x x2o ox x1x x象下降为减）象下降为减）（4 4）利用复合函数）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对对于于复复合合函函数数y fg(x)，令令u g(x)，若若y f(u)为为增增，u g(x)为为增增，则则若若y f(u)为减，为减，u g(x)为减，为减，则则y fg(x)为增；为增；若若y f(u
20、)y fg(x)为增；为增；为增，为增，u g(x)为减，则为减，则y fg(x)为减；若为减；若y f(u)为减，为减，u g(x)为增，则为增，则yy fg(x)为减为减（2 2）打“”函数）打“”函数af(x)x(a 0)的图象与性质的图象与性质xof(x)分别在分别在(,a、a,)上为增函数，分别在上为增函数，分别在 a,0)、(0,a上为减函数上为减函数（3 3）最大（小）值定义）最大（小）值定义一般地，设函数一般地，设函数xy f(x)的定义域为的定义域为If(x)M；，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足：（1 1）对）对于任意的于任意的xI，都有，都有（2 2）存在）存在x0
21、I，使得，使得f(x0)M那么，我们称那么，我们称M是函数是函数f(x)的最大值，记作的最大值，记作fmax(x)M一般地，设函数一般地，设函数有有y f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数m满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的xI，都，都（2 2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)m那么，我们称那么，我们称m是函数是函数f(x)的最小值，的最小值，f(x)m；记作记作fmax(x)m【1.3.21.3.2】奇偶性】奇偶性（4 4）函数的奇偶性）函数的奇偶性定义及判定方法定义及判定方法函数的函数的性性 质质定义定义图象图象判定方法判定方法人教版高中数学-必修1(
22、函数)知识点总结-第7页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第7页如果对于函数如果对于函数 f(x)f(x)定义域内定义域内任意一个任意一个 x x，都有，都有f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么函数那么函数 f(x)f(x)叫做奇函叫做奇函 数数函数的函数的奇偶性奇偶性如果对于函数如果对于函数 f(x)f(x)定义域内定义域内任任 意意 一一 个个 x x，都都 有有f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么函数那么函数 f(x)f(x)叫做叫做 偶函数偶函数若函数若函数（1 1）利用定义（要先）利用定义（要先判断定义域是否关于判断定义域是否关于原点对称）原点对称）（2 2）利用
23、图象（图象）利用图象（图象关于关于 y y 轴对称）轴对称）（1 1）利用定义（要先）利用定义（要先判断定义域是否关于判断定义域是否关于原点对称）原点对称）（2 2）利用图象（图象）利用图象（图象关于原点对称）关于原点对称）f(x)为奇函数，且在为奇函数，且在x 0处有定义，则处有定义，则f(0)0奇函数在奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两
24、个偶函数，两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象补充知识函数的图象（1 1）作图）作图利用描点法作图：利用描点法作图：确定函数的定义域；确定函数的定义域；化解函数解析式；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基要准确记忆一次函数、二次函数、反比例
25、函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象本初等函数的图象平移变换平移变换h0,左移h个单位y f(x)y f(x h)h0,右移|h|个单位k0,上移k个单位y f(x)y f(x)kk0,下移|k|个单位伸缩变换伸缩变换01,伸y f(x)y f(x)1,缩0A1,缩y f(x)y Af(x)A1,伸对称变换对称变换y轴x轴 y f(x)y f(x)y f(x)y f(x)直线yx原点y f(x)y f(x)y f(x)y f1(x)去掉y轴左边图象y f(x)y f(|x|)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第8页人
26、教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第8页保留x轴上方图象y f(x)y|f(x)|将x轴下方图象翻折上去（2 2）识图）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3 3）用图）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观
27、性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章第二章基本初等函数基本初等函数()2.12.1指数函数指数函数【2.1.12.1.1】指数与指数幂的运算】指数与指数幂的运算（1 1）根式的概念）根式的概念如果如果xn a,aR,xR,n 1，且，且n N，那么，那么x叫做叫做a的的n次方根当次方根当n是奇数是奇数n时，时，a的的n次方根用符号次方根用符号的的n次方根用符号次方根用符号式子式子na表示；当表示；当n是偶数时，正数是偶数时，正数a的正的的正的n次方根用符号次方根用符号na表示，负表示，负na表示；表示；
28、0 0 的的n次方根是次方根是 0 0；负数；负数a没有没有n次方根次方根a叫做根式，叫做根式，这里这里n叫做根指数，叫做根指数，a叫做被开方数叫做被开方数当当n为奇数时，为奇数时，a为任意实数；为任意实数；当当n为偶数时，为偶数时，a 0 根根 式式 的的 性性 质质：(na)n a；当当n为为 奇奇 数数 时时，nan a；当当n为为 偶偶 数数 时时，na (a 0)a|a|a (a 0)nmn（2 2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：正数的正分数指数幂的意义是：a指数幂等于指数幂等于 0 0nam(a 0,m,nN,且且n 1)0 0mn的正分数的正分数
29、正正 数数 的的 负负 分分 数数 指指 数数 幂幂 的的 意意 义义 是是：a1m1()nn()m(a 0,m,nN,且且aan 1)0 0 的负分数指数幂没有意义的负分数指数幂没有意义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3 3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质aras ars(a 0,r,sR)(ar)s ars(a 0,r,sR)r(ab)arbr(a 0,b 0,rR)人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第9页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第9页【2.1.22.1.2】指数函数及其性质】指数函数及其性质（4 4）指数函数）指
30、数函数函数名称函数名称定义定义函数函数指数函数指数函数y ax(a 0且且a 1)叫做指数函数叫做指数函数a 10 a 1x xy y图象图象y y a a(0,1)(0,1)y y a ax xy yy y 1 1y y 1 1(0,1)(0,1)O O定义域定义域值域值域x xR(0,)O Ox x过定点过定点奇偶性奇偶性单调性单调性图象过定点图象过定点(0,1)，即当，即当x 0时，时，y 1在在R上是减函数上是减函数非奇非偶非奇非偶在在R上是增函数上是增函数ax1(x 0)函数值的函数值的变化情况变化情况ax1(x 0)ax1(x 0)ax1(x 0)ax1(x 0)ax1(x 0)a
31、变化对变化对 图象的影响图象的影响在第一象限内，在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低越大图象越低2.22.2对数函数对数函数【2.2.12.2.1】对数与对数运算】对数与对数运算（1 1）对数的定义）对数的定义若若ax N(a 0,且a 1)，则，则x叫做以叫做以a为底为底N的对数，记作的对数，记作x logaN，其中，其中a叫做底数，叫做底数，N叫做真数叫做真数负数和零没有对数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：对数式与指数式的互化：x（2 2）几个重要的对数恒等式）几个重要的对数恒等式 logaN ax N(a 0,a 1,N 0)log
32、a1 0，logaa 1，logaab b人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第10页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第10页（3 3）常用对数与自然对数）常用对数与自然对数常用对数：常用对数：lgN，即，即log10（4 4）对数的运算性质）对数的运算性质如果如果a加法：加法：logaN；自然对数：；自然对数：lnN，即，即logeN（其中（其中e 2.71828）0,a 1,M 0,N 0，那么，那么M logaN loga(MN)减法：减法：logaM logaN logaM logaMn(nR)alogaN NMN数乘：数乘：nlogalogabMnlogbNn(b 0
33、,且b 1)logaM(b 0,nR)换底公式：换底公式：logaN logbab【2.2.22.2.2】对数函数及其性质】对数函数及其性质（5 5）对数函数）对数函数函数函数名称名称定义定义函数函数对数函数对数函数y logax(a 0且且a 1)叫做对数函数叫做对数函数a 10 a 1y y logloga ax xy yx x 1 1y yx x 1 1y y logloga ax x图象图象(1,0)(1,0)O O(1,0)(1,0)x x(0,)O Ox x定义域定义域值域值域过定点过定点奇偶性奇偶性单调性单调性在在(0,)上是增函数上是增函数R图象过定点图象过定点(1,0)，即当
34、，即当x 1时，时，非奇非偶非奇非偶在在(0,)上是减函数上是减函数y 0logax 0(x 1)函数值的函数值的变化情况变化情况logax 0(x 1)logax 0(x 1)logax 0(0 x 1)logax 0(x 1)logax 0(0 x 1)a变化对变化对 图象的影响图象的影响在第一象限内，在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高越大图象越靠高人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第11页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第11页(6)(6)反函数的概念反函数的概念设设函函数数y f(x)的的定定义义域域为为A，值
35、值域域为为C，从从式式子子y f(x)中中解解出出x，得得式式子子x(y)如果对于如果对于y在在C中的任何一个值，通过式子中的任何一个值，通过式子x(y)，x在在A中都有唯一确定的值中都有唯一确定的值和它对应，那么式子和它对应，那么式子x记作记作x(y)表示表示x是是y的函数，函数的函数，函数x(y)叫做函数叫做函数y f(x)的反函数，的反函数，f1(y)，习惯上改写成，习惯上改写成y f1(x)（7 7）反函数的求法）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式将将xy f(x)中反解出中反解出x f1(y)；f1(y)改写成改写
36、成y f1(x)，并注明反函数的定义域，并注明反函数的定义域（8 8）反函数的性质）反函数的性质原函数原函数y f(x)与反函数与反函数y f1(x)的图象关于直线的图象关于直线y x对称对称y f(x)的定义域、值域分别是其反函数的定义域、值域分别是其反函数y f1(x)的值域、定义域的值域、定义域若若P(a,b)在原函数在原函数一般地，函数一般地，函数函数函数y f(x)的图象上，则的图象上，则P(b,a)在反函数在反函数y f1(x)的图象上的图象上y f(x)要有反函数则它必须为单调函数要有反函数则它必须为单调函数2.32.3幂函数幂函数（1 1）幂函数的定义）幂函数的定义一般地，函数
37、一般地，函数y x叫做幂函数，其中叫做幂函数，其中x为自变量，为自变量，是常数是常数（2 2）幂函数的图象）幂函数的图象人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第12页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第12页（3 3）幂函数的性质）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限一、二象限(图象关于图象关于y轴对称轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称图象关于原点对称)；是非
38、奇非；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果上为增函数如果 0，则幂函数，则幂函数y轴轴q（其中（其中p,q互互pqp的图象在的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与轴与奇偶性：奇偶性：当当为奇数时，为奇数时，幂函数为奇函数，幂函数为奇函数，当当为偶数时，为偶数时，幂函数为偶函数幂函数为偶函
39、数当当qp质，质，p和和qZ），若若是偶函数，若是偶函数，若p为奇数为奇数q为奇数时，为奇数时，则则y xqp是奇函数，是奇函数，若若p为奇数为奇数q为偶数时，为偶数时，则则y xp为偶数为偶数q为奇数时，则为奇数时，则y x是非奇非偶函数是非奇非偶函数图象特征：幂函数图象特征：幂函数y x,x(0,)，当，当1时，若时，若0 x 1，其图象在直线，其图象在直线y x下方，若下方，若x 1，其图象在直线，其图象在直线y x上方，当上方，当1时，若时，若0 x 1，其图象在直线，其图象在直线y x上方，若上方，若x 1，其图象在直线其图象在直线y x下方下方补充知识二次函数补充知识二次函数（1
40、1）二次函数解析式的三种形式）二次函数解析式的三种形式一般式：一般式：f(x)ax2bxc(a 0)顶点式：顶点式：f(x)a(xh)2k(a 0)两根式：两根式：f(x)a(x x1)(x x2)(a 0)（2 2）求二次函数解析式的方法）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求（3 3）二次函数图象
41、的性质）二次函数图象的性质二次函数二次函数f(x)更方便更方便f(x)ax2bxc(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为的图象是一条抛物线，对称轴方程为x b,顶点坐标是顶点坐标是2ab4acb2(,)2a4a人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第13页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第13页当当a 0时，时，抛物线开口向上，抛物线开口向上，函数在函数在(,bbb时，时，上递减，上递减，在在,)上递增，上递增，当当x 2a2a2abb上递增，在上递增，在,)上上2a2a4acb2fmin(x)4a；当；当a 0时，抛物线开口向下，函数在时，抛物线开口向下，函数在(,4acb
42、2b递减，当递减，当x 时，时，fmax(x)4a2a二次函数二次函数f(x)ax2bxc(a 0)当当 b24ac 0时，图象与时，图象与x轴有两个交点轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|x1x2|（4 4）一元二次方程）一元二次方程ax2|a|bxc 0(a 0)根的分布根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的
43、判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程设一元二次方程ax2bxc 0(a 0)的两实根为的两实根为x1,x2，且且x1 x2令令f(x)ax2bxc，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：对称轴位置：x数值符号数值符号k kx x1 1x x2 2 b判别式：判别式：端点函端点函2ayf(k)0ya 0 x b2ax2kx1Ox2xkx1Oxbx 2ax x1 1x x2 2k kf(k)
44、0a 0ya 0f(k)0yx Ob2ax1Ox2kxx1a 0 x2kxx x x1 1k kx x2 2afaf(k k)0 0b2af(k)0人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第14页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第14页ya 0yf(k)0 x1Okx2xx1Okx2a 0 xf(k)0k k1 1x x1 1x x2 2k k2 2yf(k1)0a 0yx f(k2)0 x2k2b2aOk1x1xOk1x1x2k2xbx 2af(k1)0a 0f(k2)0有且仅有一个根有且仅有一个根 x x1 1（或（或 x x2 2）满足）满足 k k1 1x x1 1（或（或
45、 x x2 2）k k2 2f f(k k1 1)f f(k k2 2)0 0，并同时考虑，并同时考虑f f(k k1 1)=0)=0 或或 f f(k k2 2)=0)=0 这两种情况是否也符合这两种情况是否也符合yf(k1)0a 0yf(k1)0Ok1x1k2x2xOx1k1x2k2xf(k2)0a 0f(k2)0k k1 1x x1 1k k2 2p p1 1x x2 2p p2 2此结论可直接由推出此结论可直接由推出（5 5）二次函数）二次函数设设f(x)ax2bxc(a 0)在闭区间在闭区间p,q上的最值上的最值f(x)在区间在区间p,q上的最大值为上的最大值为M，最小值为，最小值为
46、m，令，令x0（）当（）当a1(pq)20时（开口向上）时（开口向上）若若bbbb p，则，则m f(p)若若p q，则，则m f()若若 q，则，则2a2a2a2am f(q)a a 0 0b bx x 2 2f fa a(q(qf fa a 0 0f fx x(p(pb bx x f f2 2a a(q(qO Ox xb ba a 0 0 x xf f2 2a a(p(px x人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第15页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第15页若若b b a a0 0b b x x 0 0 x x a af f2 2a a2 2a a()当当a 0时时(开口
47、向下开口向下)f f(p(pbxbbbx(q(q若若 p，则，则M q，则，则M f()若若 q，则，则 f(p)若若p 2a2a2a2ax xx xO ObM f(q)O Of ff ff()00bb x0，则，则M f(q)x0，则，则M f(p)2a2aa a 0 0若若bf(p(pbf()2a2a)(q(q2aa a 0 0f ff fbf()2aa a 0 0 x xff f(b)2a(p(pO O(q(qx x(p(p(p(pf f(q(qbb x0，则，则m f(q)x0，则，则m f(p)2a2ab bx x 2 2a a2af fO Ob bx x 2 2a a(q(qf f
48、O Ox xb bx x 2 2a aa a 0 0f f(p(pbf()x0a a 0 0 x xff f(b)2aO O(q(qb bx x 2 2a af fx0f f(q(qO Ox x(p(pb b 2 2x x第第a a三三 章章函数的应用函数的应用一、方程的根与函数的零点一、方程的根与函数的零点1 1、函数零点的概念：对于函数、函数零点的概念：对于函数做函数做函数y f(x)(x D)，把使，把使f(x)0成立的实数成立的实数x叫叫y f(x)(x D)的零点。的零点。2 2、函数零点的意义：函数、函数零点的意义：函数y f(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)0实数根，亦即
49、函数实数根，亦即函数y f(x)的图象与的图象与x轴交点的横坐标。即：轴交点的横坐标。即：方程方程f(x)0有实数根有实数根函数函数y f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y f(x)有零点有零点3 3、函数零点的求法：、函数零点的求法：人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第16页人教版高中数学-必修1(函数)知识点总结-第16页y f(x)的零点：的零点：1 1（代数法）求方程（代数法）求方程f(x)0的实数根；的实数根；求函数求函数2 2（几何法）（几何法）对于不能用求根公式的方程，对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数可以将它与函数并利用函数的性质找出零点并利用函数
50、的性质找出零点4 4、二次函数的零点：、二次函数的零点：二次函数二次函数y f(x)的图象联系起来，的图象联系起来，y ax2bx c(a 0)2），方程），方程ax bx c点，二次函数有两个零点点，二次函数有两个零点2 0有两不等实根，二次函数的图象与有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交轴有两个交），方程），方程ax bx c 0有两相等实根（二重根）有两相等实根（二重根），二次函数的图象与，二次函数的图象与x轴轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程），方程ax数无零点数无零点2bx c 0无实根，二次函数的图象与无实根，二