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1、华南农业大学期末考试试卷（华南农业大学期末考试试卷（A 卷）卷）2009 学年第一学期 学年第一学期 考试科目：考试科目：常微分方程 考试类型：（闭卷）考试 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：考试时间：120分钟分钟 学号 姓名 年级专业 题号题号 一一 二二 三三 四四 五五 总分总分 得分得分 评阅人评阅人 一、单项选择题（一、单项选择题（35=15 分，分，请将正确答案填到下面的表格中请将正确答案填到下面的表格中）题号 1 2 3 4 5 答案 1.下列微分方程为二阶线性方程的是（）222.1d ydyAdxdx+=20 xy 22.3dydyBxydxdx0+=22.d ydyCxxd
2、xdx+=sin y 22.53sd ydyinDxxydxdx+=x 2.微分方程有三个特解()()()yp x yq x yf x+=2123,xxyeyxeyx e=x，则微分方程的通解为=（）y12.()xxAcc x xee+12.()xxBcc x xee+1212.()(1)xxCcc x xecc e+1212.()(1)xxDcc x xecc e+3.以下各函数组在它们相应定义区间内是线性相关的有（）.sin2cossinAttttxt 2.cos21cosBt2.1Cx 2.ttDetet e 4.线性方程组23dxydtdyxydt=的奇点是（）.A稳定结点 .B不稳定
3、结点 稳定焦点 .C.D不稳定焦点 第 1 页，共 6 页 5.微分方程(,)(,)0M x y dxN x y dy+=存在只与x有关的积分因子的充要条件为（）.MNyx()AyN=.(MNyxByN)=.MNyxCM=()x .(MNyx)DxN=二、填空题（二、填空题（35=15 分）分）6.已知某曲线上任一点平分过该点的法线夹在两坐标轴之间的线段，则该曲线方程为 。7.方程13dyxydxxy+=+通过变换 可化为齐次方程 。8.如果()t是方程组xAx=满足初始条件0()t=的解，那么()t=。9.对于二阶线性齐次方程（其中为连续函数），若有()()0 xp t xq t x+=()
4、,()p t q t 成立，则xt=是方程的解。10.二阶Euler方程22235d ydyxxydxdx+=0通过变换 可化为二阶常系数齐次线性微分方程。三、计算题（三、计算题（50 分）分）11.求下列方程的通解：（64=24 分）分）（1）0)46()63(3222=+dyyyxdxxyx （2）21+=dxdydxdyx 第 2 页，共 6 页（3）0)(12=+xx （4）ttexxxtcos22=+12.试求方程组Axx=的一个基解矩阵，并计算，其中)exp(tA1243A=.（8 分）分）第 3 页，共 6 页 13.设为连续函数，且满足，求.（9 分）分）)(xfdttftxe
5、xfxx)()()(0=)(xf 14.设1,11:),(+yxDyx，求初值问题=0)1(22yyxdxdy的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。（9 分）分）第 4 页，共 6 页 四、证明题（四、证明题（62=12 分）12 分）15.设是阶线性方程组()tnAxx=dtd（A是nn的常数矩阵）的标准基本解矩阵（即），证明，其中为某一值。(0)E=100()()()tttt=0t 16.证明：如果在区间上是某一个线性齐次方程组的基解矩阵，那么此方程组必为)(tbtaxx)()(1ttdtd=。并求作一个线性齐次微分方程组，使它的基解矩阵为。=ttteteet0)(第 5 页，共 6 页 五、讨论题（五、讨论题（8 分）分）17.某自激振动系统以数学形式表示如下（范德波尔方程）)0(0)1(222=+xdtdxxdtxd 试讨论系统的平衡状态（即驻定解）的稳定性态。第 6 页，共 6 页