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1、高等数学（物理类）教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；高等数学，物理类，公共基础课，6 学分。适用于理科基地班和物理，力学，计算机，自然地理，资源环境等专业的非基地班，教材选用1，2。理科其它专业的非基地班（如化学，生物，草科等）可采用教材3。（二）课程简介、目标与任务；高等数学课程是综合大学理科各专业必修的一门重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。通过本课程的学习，逐步培养学生的抽象思维的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、自学能力以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。（三
2、）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 没有先修课，是后续课程的基础。（四）教材与主要参考书。1 张志强，高等数学 (一元微积分)，兰州大学出版社，2008-8。2 张志强，高等数学 (多元微积分)，兰州大学出版社，2008-8。3 张志强，高等数学强化与考研教程 (第一册)，兰州大学出版社，2008-8。3 张志强，高等数学强化与考研教程 (第二册)，兰州大学出版社，2008-8。二、课程内容与安排下面打“*”号的内容是基地班要讲授的，对非基地班来说，这部分内容或不讲，或选讲，或只介绍必要的结论，可视具体情况而定。对个别虽非基地班但对数学要求较高、课时较为充裕的专业
3、（如力学专业），应尽量按基地班的要求讲授。对有些学时较少的专业，还可对下面所列的教学内容作进一步的删节。 第一章函数与极限（2024 课时）第一节 变量与函数函数的概念，表示法，函数性态的简单讨论，反函数，复合函数及初等函数。第二节 极限的概念8收敛变量，变量的极限，七种极限过程，用定义求极限的几个例子，无穷大量与无界变量。第三节 极限的性质与运算法则极限的基本性质，极限的四则运算法则，*Stolz 定理。第四节 极限存在的判别法及两个重要极限夹挤定理，单调有界定理，*Cauchy 收敛准则，Heine 定理，*数列与其子数列的收敛关系。第五节 无穷小量与无穷大量的阶无穷小量与无穷大量阶的比较
4、，记号 O,o 及,主要部分及无穷小（大）量的阶数。第六节 连续函数函数的连续性，函数的间断点，连续函数的运算性质及初等函数的连续性，*一致连续性的概念，闭区间上连续函数的性质。第二章导数与微分（12 课时）第一节 导数概念几个实际例子，导数的定义，导数的几何意义，用定义求导数的几个简单例子。第二节 求导法则导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的导数，隐函数的导数，参数方程所表示函数的导数。第三节 微分及其运算微分的定义与性质，微分的运算，微分应用于近似计算与误差估计。第四节 高阶导数与高阶微分高阶导数的概念，高阶导数的运算法则，参数方程及隐函数的高阶导数，高阶微分。第三章中值定理及其应用（
5、1416 课时）第一节 微分中值定理三个微分定理的引入，条件和结论，证明及推论。第二节 罗必塔法则基本不定式，其它形式的不定式。第三节 泰勒公式公式的引入，余项的不同形式，基本初等函数的麦克劳林展式及其几个简单的应用。第四节 函数几何性质的讨论单调性，极值，最值，凹凸与拐点。第五节 函数图形的描绘渐进线，函数作图的一般步骤。第六节 曲率概念的引入，曲率的计算，*密切圆与渐屈线。第四章不定积分（1014 课时）第一节 不定积分的概念与性质原函数与不定积分的定义，不定积分基本公式，不定积分的运算法则和直接积分法。第二节 两个基本积分法换元积分法，分部积分法。第三节 有理函数的积分待定系数法，*奥氏
6、法。第四节 三角函数的有理函数的积分万能代换，整角代换，降幂法及其它。第五节 简单无理函数的积分分式线性函数的有理幂，*欧拉代换，*二项微分式的积分。第五章定积分（1416 课时）第一节 定积分的概念和性质概念的引入，定义，可积分性，几何意义，性质。第二节 微积分基本定理*用定义计算定积分的几个例子，牛顿-莱布尼兹公式。第三节 定积分的换元法与分部积分法。第四节 定积分的应用微元分析法，平面图形的面积，特殊立体的体积，曲线弧长，定积分在物理、力学中的应用。*第五节 定积分的近似计算 第六节 广义积分的基本概念无穷积分，瑕积分。第六章广义积分与无穷级数（2026 课时）第一节 数项级数定义及收敛
7、性，收敛级数的性质，正项级数，任意项级数，绝对收敛级数。第二节 广义积分的收敛性无穷积分和数项级数的关系，无穷积分的收敛判别法，欧拉积分。第三节 函数项级数的一般概念收敛种种，*一致收敛性的判定，*一致收敛级数的性质和内闭一致收敛性。第四节 幂级数收敛半径，幂级数的运算及分析性质，函数的幂级数展开。第五节 富里叶级数-p,p 上的富里叶级数，正弦级数和余弦级数，任意区间上的富里叶级数，*富里叶级数的逐项积分和逐项微分，*富里叶级数的复数形式。第七章 简单微分方程（12 课时）第一节 微分方程的基本概念微分方程，解，通解，初始条件和特解等。第二节 一阶微分方程的基本解法可分离变量的微分方程，齐次
8、方程，准齐次方程，一阶线性微分方程，贝奴里方程。第三节 高阶线性微分方程解的结构线性微分算子与线性相关性，齐次线性微分方程解的结构，非齐次线性微分方程解的结构。第四节 常系数线性微分方程常系数二阶线性齐次方程，常系数二阶线性非齐次方程， *常系数高阶线性微分方程解法简介，*欧拉方程。第五节 几类高阶方程的降阶。第八章空间解析几何与矢量代数（16-18 课时）第一节 空间直角坐标系坐标系的建立，距离公式。第二节 矢量代数初步矢量的线性运算，矢量的共线与共面，矢量在轴上的投影，矢量的分解与坐标表示，矢量的数积，矢积与混合积，*二重矢积。第三节 空间曲线及曲面的一般概念。第四节 平面及直线平面的点法
9、式，一般式及其它几种形式，直线及其方程，点，线，面关系。第五节 二次曲面旋转曲面与锥面，压缩与伸展，二次曲面的各种类型。第六节 空间直角坐标系的变换平移，旋转与一般变换，欧拉角。第九章多元函数微分法及其应用（18 课时）第一节 多元函数的基本概念与 Rn 中的点集多元函数的定义， Rn 中的某些特定点集，二元函数的图形。第二节 多元函数的极限与连续多重极限，连续与间断，连续函数的运算法则，有界闭区域上的连续函数。第三节 偏导数定义，计算举例，可导与连续。第四节 多元的微分全微分的概念，可微分与可导，全微分在近似计算与误差估计中的应用。第四节 复合函数的求导法则第五节 全微分基本定理第六节 方向
10、导数与梯度。第七节 隐函数的导数一个方程所确定的隐函数，方程组所确定的隐函数（组）。第八节 几何方面的应用空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线，等值面与等值线。第九节 高阶导数与高阶微分。第十节 多元函数的泰勒公式。第十一节 多元函数的极值自由极值，条件极值，最值。第十章重积分和第一类线，面积分（1620 课时）第一节 概论质量模型，几类积分的一般定义，具体的形式，共同的性质。第二节 二重积分的计算累次化方法，*变量代换法，极坐标代换，广义极坐标代换。第三节 三重积分的计算累次化方法（“穿线法”与“切片法”）， *变量代换法，柱坐标、球坐标和广义球坐标代换。*第四节 含参变量的积分固
11、定（变动）限情形的参变量常意积分，含参变量的无穷积分与瑕积分。第五节 第一类曲线积分的计算。第六节 第一类曲面积分的计算投影化方法，*参数化方法，光滑曲面的面积，化第一类曲面积分为二重积分第七节 几类积分的应用质量，重心，转动惯量，*引力。第十一章第二类线，面积分及各类积分间的关系（14 课时）第一节 第二类曲线积分变力作功问题，第二类曲线积分的定义，性质与计算，两类曲线积分的关系。第二节 第二类曲面积分曲面侧的概念，流量问题，定义，性质与计算，两类曲面积分的关系。第三节 格林公式平面单连通域与多连通域，定理及其证明，应用于积分路线的变形。第四节 平面曲线积分与路径无关的条件问题的提出，定理及
12、其证明，原函数的求法。第五节 奥-高公式一维单连通与二维单连通的空间区域，定理及其证明。第六节 斯托克斯公式定理及其证明，*空间曲线积分与路径无关的条件。第七节 各种积分间的关系小结。第十二章场论初步（812 课时）第一节 矢量分析初步矢量函数的极限与连续，一元矢量函数的微分，一元矢量函数的积分，多元矢量函数的微积分。第二节 场的概念。第三节 数量场的梯度。第四节 矢量场的散度。第五节 矢量场的旋度。第六节 特殊的场无旋场，无散场，调和场。第七节 场的确定。*第八节 正交曲线坐标下的场论量第十三章 微分方程（续）（614 课时）第一节 一阶常微分方程的其它可解类型全微分方程，积分因子，一阶隐方
13、程。*第二节 解的存在与唯一性定理。*第三节 幂级数解法大意。第四节 标准微分方程组基本概念，消去法，首次积分，与一阶线性偏微分方程的关系。第五节 线性方程组基本理论，常系数齐次线性方程组的通解，常系数非齐次线性方程组解法举例。*第六节 拉普拉斯变换基本概念，拉普拉斯变换的性质，在求解微分方程中的应用。（一）教学方法与学时分配课堂教授，总学时 216 学时（二）内容及基本要求主要内容：极限计算，微积分。【重点掌握】：极限方法，一元微积分，多元微积分。【掌握】：级数、广义积分、场论、微分方程【了解】： 极限理论、定积分理论【一般了解】：一致连续性、一致收敛性。【难点】：极限理论、定积分理论、一致连续性、一致收敛性。制定人： 审定人：