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1、人教人教A版版 必修第一册必修第一册第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数4.4.3 不同函数增长的差异不同函数增长的差异课程目标课程目标1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长的快慢.2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较,培养数学建模和数学运算等核心素养.数学学科素养数学学科素养1.数学抽象：常见增长函数的定义、图象、性质；2.逻辑推理：三种函数的增长速度比较；3.数学运算：由函数图像求函数解析式；4.数据分析：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数；5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结函数性质.自主预习，回答
2、问题自主预习，回答问题阅读课本阅读课本136-138页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题1.三种函数模型的性质三种函数模型的性质？2.三种函数的增长速度比较三种函数的增长速度比较？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。知识清单知识清单1.三种函数模型的性质 2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0,+)上,函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数,但增长速度不同.(2)在区间(0,+)上随着x的增大,函数y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而函数y=logax(a1)的增长速度则
3、会越来越慢.(3)存在一个x0,使得当xx0时,有logaxxn1,n0时,在区间(0,+)上,对任意的x,总有logaxxn0,b1)表达的函数模型,称为指数型函数模型,也常称为“爆炸型”函数模型.()答案:(1)(2)(3)2.已知三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为()A.y1,y2,y3B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1D.y1,y3,y2解析:通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知,对数型函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数型函数的增长是爆炸式增长,y2
4、随x的变化符合此规律;幂函数型函数的增长速度越来越快,y1随x的变化符合此规律,故选C.答案:C题型分析题型分析 举一反三举一反三 题型一题型一 比较函数增长的差异比较函数增长的差异 例1函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以1x12,9x210,所以x16x2,从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(6)x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019).因为g(2 019)g(6),所以f(2 019)g(2 019)g(6)f(6)
5、.变式变式1.在本例(1)中,若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解第(1)题呢?解:由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.变式变式2.本例条件不变,(2)题改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2 019),g(2 019)的大小.解:因为f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以1x12,9x210,所以x18x2,从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(8)x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019).因为g(2 019)g(
6、8),所以f(2 019)g(2 019)g(8)f(8).解题方法解题方法（由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法）根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.1.当a1时,有下列结论:指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.其中正确的结论是()A.B.C.D.答
7、案:B2.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2xy2y3B.y2y1y3C.y1y3y2D.y2y3y1解析:在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2y1y3.答案:B题型二题型二 体会指数函数的增长速度体会指数函数的增长速度例例2甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.
8、你觉得哪个公司捐款最多?分析:分别计算三个公司在10天内的捐款总数.解解:三个公司在10天内捐款情况如下表所示.由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元.解题方法解题方法（指数函数的增长速度的实际应用指数函数的增长速度的实际应用）解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增长是介于两者之间的.1.某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2x(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图,图所示.(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.