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1、会计学 1热平衡统计分布规律第2页 共30页第九章第九章 热平衡统计分布规律热平衡统计分布规律研究对象：大量粒子组成的体系子系近独立：粒子相互作用能粒子自身能量 粒子间微弱相互作用能使其在足够长时间内实现平衡例：理想气体本章重点：本章重点：三个统计规律：麦克斯韦分子速率分布玻尔兹曼粒子按势能分布能均分定律两个基本概念：p,T第1页/共30页第3页 共30页第一节 第一节 统计方法的基本概念 统计方法的基本概念 一、统计规律 一、统计规律大量偶然事件整体所遵从的规律不能预测 多次重复掷骰子抛硬币伽尔顿板实验 例：要点 要点：统计规律 概率 分布函数 统计平均值 涨落第2页/共30页第4页 共30
2、页伽尔顿板实验每个小球落入哪个槽是偶然的少量小球按狭槽分布有明显偶然性大量小球按狭槽分布呈现规律性掷骰子每掷一次出现点数是偶然的掷少数次，点数分布有明显偶然性掷大量次数，每点出现次数约1/6，呈现规律抛硬币每抛一次出现正反面是偶然的抛少数次，正反数分布有明显偶然性抛大量次数，正反数约各1/2，呈现规律性第3页/共30页第5页 共30页共同特点：共同特点：1)群体规律：只能通过大量偶然事件总体显示出来，对少数事件不适用。2)量变质变：整体特征占主导地位例：理想气体实验定律，传真照片,3)与宏观条件相关:如：伽尔顿板中钉的分布。4)伴有涨落。第4页/共30页第6页 共30页二、统计规律的数学形式
3、二、统计规律的数学形式 概率理论(1)定义：总观测次数 N出现结果A次数 A出现的概率(2)意义：描述事物出现可能性的大小两类物理定律第一类：约束不可能事件第二类：约束可能性小事件违反能量守恒定律的事件不可能发生不违反能量守恒定律的事件并不都能发生例：一壶水在火上会沸腾？会结冰？第5页/共30页第7页 共30页(3)性质1)叠加定理不可能同时出现的事件互斥事件 出现几个互斥事件的总概率等于每个事件单独出现的概率之和出现所有可能的互斥事件的总概率为1归一化条件 归一化条件：出现 例：掷骰子出现16：W=1第6页/共30页第8页 共30页2)乘法定理 同时发生两个相容独立事件的概率是两个事件单独发
4、生时的概率之积相容统计独立事件：彼此独立，可以同时发生的事件例：同时掷两枚骰子其一出现 2：另一出现 3：同时发生第7页/共30页第9页 共30页三、几个基本概念 三、几个基本概念1.分布函数粒子出现在第 i 槽内的概率为：例：伽尔顿板实验槽:1,2,3,.粒子数:N 1,N 2,N 3.1,2,3,4,.该槽内小球数小球总数(大量)小球在x 附近，单位宽度区间出现的概率概率密度第8页/共30页第10页 共30页概率密度是 x 的函数分布函数一般情况：分布曲线f(x)O x曲线下总面积曲线下窄条面积第9页/共30页第11页 共30页类比 类比：黑体辐射能量按波长分布（将学）麦克斯韦分子运动速率
5、分布（将学）人口数量按年龄分布考试人数按分数分布大气中尘埃按直径分布星系中恒星按大小分布树上苹果按大小分布河床中卵石按尺度分布雹粒按尺度分布颗粒度问 题f(x)O x第10页/共30页第12页 共30页2.统计平均值分数平均值分数g出现的概率总人数人数按分数的分布 N g例：图示100人参加测试的成绩分布（满分50）分数平方平均值第11页/共30页第13页 共30页一般情况 一般情况测量值：出现次数：总次数：出现概率：统计平均值：同理：第12页/共30页第14页 共30页3.涨落实际出现的情况与统计平均值的偏差例 例伽尔顿板：某槽中小球数各次不完全相同，在平均值附近起伏。掷骰子：出现4，概率1
6、/6，每掷600次，统计平均实际:第13页/共30页第15页 共30页定量描述：误差理论前沿研究：控制论、（噪声、灵敏度）非线性、非平衡态热力学（耗散结构）例 例：均方涨落(标准误差)第14页/共30页第16页 共30页4.微观量和宏观量对多粒子体系的两种描述：关系 关系：宏观量是大量粒子运动的集体表现，是微观量的统计平均值。以系统整体为研究对象，表征整体特征的物理量。如：宏观量 宏观量：微观量 微观量：以系统内各子系为研究对象，表征个别子系特征的物理量。如：第15页/共30页第17页 共30页物质由分子组成，分子做无规则的热运动：第二节 第二节 理想气体的压强和温度 理想气体的压强和温度一、
7、气体分子动理论 一、气体分子动理论 实体物质由大量的、不连续的微粒分子组成 分子间相互作用rFOr 0斥力引力合力第16页/共30页第18页 共30页 分子永不停息地作热运动，其剧烈程度表现为温度 宏观模型：严格遵守三条实验定律质点：不计大小不计重量分子分子器壁除相撞外无相互作用自由质点：理想气体分子弹性质点：弹性碰撞分子 器壁分子 分子二、理想气体微观模型与统计假设 二、理想气体微观模型与统计假设1.模型宏观模型：无规运动的弹性质点的集合第17页/共30页第19页 共30页2.统计性假设（平衡态下）(1)分子处于容器内任一位置处的概率相同(均匀分布)分子数密度(2)分子沿各方向运动的概率相同
8、 任一时刻向各方向运动的分子数相同 分子速率在各个方向分量的各种平均值相同第18页/共30页第20页 共30页第19页/共30页第21页 共30页三、三、理想气体的压强公式 理想气体的压强公式 提出模型；统计平均；建立宏观量与微观量的联系；阐明宏观量的微观实质。从公式推导中领会经典气体分子动理论的典型思想方法:出发点 出发点:气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果 压强等于器壁单位时间内，单位面积上所受的平均 冲量 个别分子服从经典力学定律 大量分子整体服从统计规律第20页/共30页第22页 共30页(1)利用理想气体分子微观模型，考虑一个分子对器壁的一次碰撞而产生的冲量。推导思路 推导思路：
9、设分子质量为 m，一个分子一次碰撞对dS 的冲量的大小为弹性碰撞：第21页/共30页第23页 共30页的分子数密度该速度区间所有分子在 dt 时间内给予器壁 dS 的总冲量为该速度区间，在dt时间内，与器壁相撞的分子数为(2)该速度区间所有分子在dt时间内给予器壁的总冲量 第22页/共30页第24页 共30页为分子平均平动动能式中理想气体压强公式第23页/共30页第25页 共30页讨论 讨论：1)计入分子间相互碰撞，是否影响上述推 导和结论？2)如果容器中不是同种分子，结果如何？3)以上推导中的哪些地方应用了理想气体模型？哪些地方应用了统计性假设？提示 提示：1)同种理想气体分子 完全相同的弹
10、性小球非对心碰撞：导致对dS相撞次数增加、减少机会相同，对心碰撞：甲代乙，乙代甲考虑分子间碰撞不会影响结果。2)道尔顿分压定律总压强等于各种气体单独充满容器时压强之和第24页/共30页第26页 共30页(3)阐述宏观量的微观实质 压强是单位时间内所有气体分子施于单位面积容器壁的平均冲量。压强公式是一个统计规律,离开“大量 大量”、“平均 平均”，p 失去意义，少数分子不能产生稳定，持续的压强。观测时间足够长（宏观小，微观大）dS 足够大（宏观小，微观大）分子数足够多 压强公式反映了宏观量p与微观量统计平均值 的相互关系。宏观量是微观量的统计平均值 宏观量是微观量的统计平均值第25页/共30页第
11、27页 共30页四、四、理想气体温度公式 理想气体温度公式理想气体状态方程 玻尔兹曼常数 玻尔兹曼常数第26页/共30页第28页 共30页 理想气体温度 T 是分子平均 平均平动 平动动能 动能的量度，是分子热运动剧烈程度的标志。温度是大量分子热运动的集体表现 集体表现，是统计性概 念，对个别分子无温度可言。热力学认为 绝对零度只能逼近，不能达到。第27页/共30页第29页 共30页练习 练习：1.半径R的球形容器内储有某种理想气体，每个分子质量为m，平衡时分子数密度为n，推导压强公式。一个分子一次碰撞给器壁的冲量；该分子连续两次碰撞器壁的时间间隔；单位时间内该分子与器壁相撞次数；单位时间内该分子对器壁的冲量；单位时间内所有分子对器壁冲量；单位时间内、单位面积器壁所受平均冲量p=？mR第28页/共30页第30页 共30页mR第29页/共30页