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1、实对称矩阵的特征值和特征向量第1页，本讲稿共15页由于，对最后一式取复数转置，得到两边再右乘，得到所以有特征值都是实数。这样，是实数。由 的任意性，实对称矩阵 的特征向量都是实数向量。附注：进一步地有，实对称矩阵 的属于特征值的一、实对称矩阵特征值的性质定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。第2页，本讲稿共15页对上面第一式两边左乘，的特征向量。定理4.13实对称矩阵 的属于不同特征向量相互正交。证明：特征值的设，是实对称矩阵 的不同特征值，分别是属于特征值，于是，得到（4.12）而于是有这样，由 得到 是正交的。，即与第3页，本讲稿共15页特征向量相互正交的线性无关组。【注】实对称矩阵
2、的属于不同特征值的向量 和 对应特征向量 在4.1中里4中，例1矩阵是实对称矩阵，特征值（二重）对应特征都正交。把它们化为标准正交组。当然，彼此不正交，但可以通过标准正交化方法第4页，本讲稿共15页为 矩阵。把 分块为，也是 的属于 的定理4.14 设是阶实对称矩阵,则存在正交阵,使 为对角阵.下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。证明：对矩阵的阶数用数学归纳法。当 时,定理结论显然成立.假设对于所有 阶实对称矩阵来说定理成立。故不妨设 是单位向量，设是 的一个特征值，是属于特征值 的 特征向量,显然单位向量特征向量.第一列任意正交矩阵。记是以 为其中第5页，本讲稿共15页则 及 与 的各列向
3、量都正交，注意到根据归纳法假设，其中为 阶实对称矩阵。使得 对存在 阶正交矩阵所以第6页，本讲稿共15页并且令，则均为 阶正交矩阵，这表明阶实对称矩阵定理结论成立。为对角矩阵。根据数学归纳法原理，对任意第7页，本讲稿共15页对每个,其中 为 重的，二、实对称矩阵对角化方法具体步骤如下:根据定理4.14，任意一个实对称矩阵都可以对角化。求出 的所有特征值,第一步 对给定实对称矩阵，解特征方程，设 的所有不同的特征值为；第二步解齐次线性方程组求出它的一个基础解系；得到正交向量组，第三步 利用施米特正交化方法，把正交化，第8页，本讲稿共15页再把 单位化，得到一个标准正交组，；注意：它们都是属于的线
4、性无关特征向量！且第四步令，则是正交阵,为对角阵，与 中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。附注：矩阵主对角线元素（特征值！）排列顺序（实对称矩阵A 的标准形！）在不计排列顺序情况下，这种对角化形式是唯一的。第9页，本讲稿共15页例2 对矩阵求一正交阵,使成对角矩阵。的特征多项式为解：矩阵解特征方程得特征值（二重），。第10页，本讲稿共15页即求解对于，解齐次线性方程组得到一个基础解系，。对于，即求解解齐次线性方程组，得到一个基础解系。第1 1页，本讲稿共15页把正交化：得到将单位化，构造矩阵 第12页，本讲稿共15页的属于0的特征向量为。则为正交矩阵，并且使得矩阵对角化为：，求矩阵。例3设三阶实对称矩阵的特征值为，（二重），而解：因三阶实对称矩阵必可对角化，本题中对应于二重特征值1的线性无关向量应有两个特征向量组成，设为。根据定理4.13,它们都与 正交，故 是齐次线性方程组的基础解系，所以，可取（彼此正交）第13页，本讲稿共15页将它们单位化：则，是正交组，构造矩阵 则 为正交矩阵，对角化为：并且使得矩阵第14页，本讲稿共15页于是第15页，本讲稿共15页