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1、4.3 4.3 实对称矩阵实对称矩阵实数域实数域上的上的称为称为实对称矩阵实对称矩阵.如如A A为对称矩阵为对称矩阵本节证明：本节证明：实对称矩阵实对称矩阵且对任一且对任一实对称矩阵实对称矩阵A A，存在存在正交矩阵正交矩阵Q Q，使得使得的特征值和特征向量的特征值和特征向量一定可以对角化，一定可以对角化，对称对称矩阵矩阵定理定理4.12 4.12 都是都是实数实数.一、一、实对称矩阵实对称矩阵实对称实对称矩阵的特征值矩阵的特征值说明：说明：若若A A是是实数域实数域上的上的则则都是实数都是实数.对称对称矩阵，矩阵，的特征值的性质的特征值的性质定理定理4.134.13对应于不同特征值的对应于不
2、同特征值的是相互正交的是相互正交的.A A是是实对称矩阵实对称矩阵,A A的两个特征值的两个特征值则则 实对称矩阵的实对称矩阵的特征向量特征向量证证即即定理定理4.14 4.14 是对角矩阵是对角矩阵.定理定理4.144.14 则存在则存在n n阶阶正交正交 设设A A是是n n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,矩阵矩阵Q Q,使得使得 是对角矩阵是对角矩阵.则存在则存在n n阶阶正交正交 设设A A是是n n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,矩阵矩阵Q Q,使得使得 例例特征值特征值:特征向量特征向量:两两正交两两正交将它们单位化将它们单位化令令Q Q为正交矩阵为正交矩阵为单位正为单位正交向量组交向量组例例
3、 解解特征值特征值:将将 正交化正交化.Q Q-1-1A AQ Q为对角矩阵为对角矩阵.求正交矩阵求正交矩阵Q Q,使使例例 Q Q-1-1AQAQ为对角矩阵为对角矩阵.求正交矩阵求正交矩阵Q,Q,使使特征值特征值将将 正交化正交化.令令再将再将单位化单位化.特征值特征值:两两正交两两正交.再将它们单位化再将它们单位化.两两正交两两正交,为单位向为单位向量量.Q Q为正交矩阵为正交矩阵.对应于对应于对应于对应于令令例例 证证 是对应的特征向量是对应的特征向量,2 2 =0=0(1)1)=0=0 =0=0或或1 1试证幂等矩阵试证幂等矩阵则称则称A A是是幂等矩阵幂等矩阵.的特征值的特征值则则设设 是是A A的的任任一特征值一特征值,只能是只能是0 0或或1.1.如果矩阵如果矩阵A A满足满足证明证明:特征向量分别是特征向量分别是 用反证法用反证法 假设假设则有特征值则有特征值,证证 是对应于不同特征值的特征向量是对应于不同特征值的特征向量,矛盾矛盾.则则对应的对应的不是不是A A的特征向量的特征向量.是是A A的特征向量的特征向量,线性无关线性无关.不是不是A A的特征向量的特征向量.设设1 12 2是矩阵是矩阵A A的的两个两个不同不同特征值特征值,已知已知使使