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1、 第一章 三、区域和邻域一、集合的概念二、集合的运算第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 集合元素 a 属于集合 M,记作元素 a 不属于集合 M,记作一、集合1.定义及表示法定义 1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.(或).注:M 为数集 表示 M 中排除 0 的集;表示 M 中排除 0 与负数的集.机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：x 所具有的特征例:整数集合 或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数开区间闭区间机动
2、 目录 上页 下页 返回 结束 无限区间点的 邻域其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心 邻域左 邻域:右 邻域:机动 目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集,或称 B 包含 A,2.集合之间的关系及运算定义2.则称 A若 且则称 A 与 B 相等,例如,显然有下列关系:,若设有集合记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 3.给定两个集合 A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集机动 目录 上页 下页 返回 结束 或为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
3、第二节 映射与函数 一、映射的概念 二、逆映射与复合映射 三、函数的概念 四、函数的基本性态二、映射1.映射的概念 某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1.引例2.引例3.(点集)(点集)向 y 轴投影机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义4.设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得 有唯一确定的与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像,记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像.集合 X 称为映射 f 的定义域;Y 的子集称为
4、f 的 值域.注意:1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.机动 目录 上页 下页 返回 结束 对映射若,则称 f 为满射;若有 则称 f 为单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.引例2,3机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例2引例2例1.海伦公式例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集 自身之间定义了一种映射(满射)例3.如图所示,则有(满射)(满射)机动 目录 上页 下页 返回 结束 X(数集 或点集)说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X()Y(数集)机动 目录 上页 下页 返回 结束 f 称为X
5、 上的泛函X()X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子.名称.例如,2.逆映射与复合映射(1)逆映射的定义 定义:若映射 为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为 f 的逆映射.机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)复合映射机动 目录 上页 下页 返回 结束 手电筒D引例.复合映射 定义.则当 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复设有映射链记作合映射,时,或机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意:构成复合映射的条件 不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.定义域三、函数1.函数的概念 定义4.设数集 则称映射 为
6、定义在D 上的函数,记为 f(D)称为值域 函数图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值 定义域 对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域 值域又如,绝对值函数定义域值 域机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.已知函数求 及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域 值 域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.函数的几种特性设函数 且有区间(1)有界性使称 使称 说明:还可定义有上界、有下界、无界(2)单调性为有界函数.在 I 上有界.使若对任意正数 M,均存在 则称 f(x)无界
7、.称 为有上界称 为有下界当时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数;单调减函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)奇偶性且有若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.说明:若在 x=0 有定义,为奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦 记机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如,奇函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记机动 目录 上页 下页 返回 结束(4)周期性且则称 为周期函数,若称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 为了规范事业单位
8、聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第三节 复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、函数的运算3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数 为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 性质:2)函数 与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数(2)复合函数 则设有函数链称为由,确定的复合函数,机动 目录 上页 下页
9、返回 结束 复合映射的特例 u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 不可少.例如,函数链:函数但函数链 不能构成复合函数.可定义复合机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第四节基本初等函数与初等函数一、幂函数二、指数函数与对数函数三、三角函数与反函数四、初等函数4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过
10、有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P17 P21)机动 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例:符号函数当 x 0当 x=0当 x 0取整函数当机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5.求的反函数及其定义域.解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第五节 经济学中常用的函数 一、需求函数 二、供给函数 三、生产函数 四、成本函数 五、收益函数 六、利润函数为
11、了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 一、需求函数 某一商品的需求量是指关于一定的价格水平，在一定的时间内，消费者愿意而且有支付能力购买的商品量。如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化很少，即可认为其他因素对需求暂无影响，则需求量Q便是价格P的函数 记为 Qf（P）称f为需求函数。同时他的反函数也称为需求函数。内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构 作业 P21 6(5),(8),(10);8;10;11;15;18;19;20 2.函数的定义及函数的二要素第二节 目录 上页 下页 返回 结束 且备用题证明证:令则由消去得时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设函数 的图形与均对称,求证 是周期函数.证:由 的对称性知于是故是周期函数,周期为机动 目录 上页 下页 返回 结束