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1、会计学1高数微分中值定理与导数的应用高数微分中值定理与导数的应用2 微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1.预备定理费马(Fermat)定理 费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节 微分中值定理第2页/共106页3第3页/共106页4几何解释:第4页/共106页5证明:第5页/共106页6 右图，区间a,b上一条光滑曲线弧，且两端点处的函数值相等，除区间端点外处处有不垂直于x 轴的切线，在最高点和最低点处切线有何特点？观察与思考：第6
2、页/共106页7几何解释:2.2.2.2.罗尔罗尔罗尔罗尔(RolleRolle)定理定理定理定理xO yCx abyf(x)AB 如果连续光滑的曲线 yf(x)在端点 A、B 处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点 C(x,f(x)，曲线在 C点的切线平行于 x 轴。如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点x(a,b)，使得f(x)0。第7页/共106页8证由费马引理,第8页/共106页9注意：如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。f(x)不满足条件(1)BxO yAab f(x)不
3、满足条件(3)xO yABab f(x)不满足条件(2)xO yABabc第9页/共106页10但它满足定理的三个条件，有水平切线y y=f(x)0 x 可能有同学会问，为什么不将条件(1)(2)合并为f(x)在a,b上可导？可以.但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数.例如函数 ，则显然x=0时，函数不可导，即不符合加强条件；第10页/共106页11例1验证第11页/共106页12 例2 不求导数，判断函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导数有几个零点，以及其所在范围。解 f(1)f(2)f(3)0，f(x)在1,2，2,3上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点 x1
4、，使 f(x1)0，x1是 f(x)的一个零点。在(2,3)内至少存在一点 x2，使f(x2)0，x2也是f(x)的一个零点。f(x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及(2,3)内。可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。第12页/共106页13设且在内可导,证明至少存在一点使分析:要证即容易验证证在上满足罗尔定理条件.证明 设由罗尔定理定理得.至少存在一个x,使得即从而第13页/共106页14连续可微端点函数值相等分析:设函数 内可导，证明 第14页/共106页15由罗尔定理,至少存在一点证第15页/共106页16分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键.第16页/共106
5、页17n n对于罗尔定理中的第三个条件对于罗尔定理中的第三个条件对于罗尔定理中的第三个条件对于罗尔定理中的第三个条件 很多函数都很多函数都很多函数都很多函数都不满足不满足不满足不满足，这样就限制了罗尔定，这样就限制了罗尔定，这样就限制了罗尔定，这样就限制了罗尔定理的适用范围，要是能取消就好了理的适用范围，要是能取消就好了理的适用范围，要是能取消就好了理的适用范围，要是能取消就好了。第17页/共106页18观察与思考：连续光滑的曲线yf(x)在端点A、B处的纵坐标不相等。f(x)？，f(h)？问题：直线AB的斜率k？答案：f(x)f(h)k，C2h xO yABaby=f(x)C1x f(b)f
6、(a)f(x)(ba)。f(b)f(a)？第18页/共106页19三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日中值公式第19页/共106页20几何意义：C2h xO yABaby=f(x)C1x 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉氏公式第20页/共106页21证明作辅助函数 第21页/共106页22例3第22页/共106页23拉格朗日中值公式又称有限增量公式.或特别地,或拉格朗日中值公式另外的表达方式：第23页/共106页24推论1证明第24页/共106页25推论2证明第25页/共106页26例4证由推论1知,第2
7、6页/共106页27例5利用拉格朗日定理可证明不等式.证第27页/共106页28例6证由上式得第28页/共106页29例7证类似可证：特别，第29页/共106页304.4.4.4.柯西柯西柯西柯西(CauchyCauchy)中值定理中值定理中值定理中值定理 设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点x(a，b)内，使得如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：第30页/共106页31xO yAB f(b)f(a)g(a)g(b)C1g(x)C2g(h)柯西中
8、值定理的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为直线AB的斜率为曲线在点C1和C2的斜率为第31页/共106页32证明 易知 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理的全部条件，因此，至少存在一点 x(a,b)，使作辅助函数 第32页/共106页33练习：练习：练习：练习：P132 习题3-12.6.改为:7.9.11.(2)改为:第33页/共106页34证第34页/共106页35第二节第二节第二节第二节 洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则 在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.第3
9、5页/共106页36说明：第36页/共106页37例例例例.求求求求解:原式注意:不是不定型不能用洛比达法则!机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页/共106页38例例例例.求求求求解:原式 思考:如何求(n 为正整数)?机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页/共106页39例等价无穷小替换思考：能不能直接洛必达法则？第39页/共106页40例例例例.求求求求解:注意到原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第40页/共106页41第41页/共106页42例例能否继续用洛必达法则？第42页/共106页43说明说明说明说明:1)前面两例表明时,后者比前者趋于更快.例如,而用洛比达法则
10、2)第43页/共106页443)3)若若若若例如,极限不存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第44页/共106页45例第45页/共106页46例解极限不存在洛必达法则失效。第46页/共106页47二、其他不定型二、其他不定型二、其他不定型二、其他不定型:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例.求解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第47页/共106页48解:原式例例例例.求求求求机动 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化取倒数转化取对数转化第48页/共106页49例例例例.求求求求解:例5 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化取倒数转化取对数转化第49页/共106页50例第5
11、0页/共106页51例或解(重要极限法)：第51页/共106页52第三节 泰勒(Taylor)公式一、问题的提出二、Pn和Rn的确定三、泰勒(Taylor)中值定理四、简单的应用五、小结 思考题第52页/共106页53一、问题的提出一、问题的提出在近似计算和理论分析中，我们总希望能用一个简单的函数来近似的表示一个复杂的函数。我们知道，最简单的函数就是多项式，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出其函数值来。因此我们常用多项式来近似表达函数。【回顾已有结论】：近似公式第53页/共106页54【不足】1、精确度不高；2、误差不能估计.因此，对于精度要求较高且需要估计误差的时候，就必
12、须用高次多项式来近似表达函数，同时可以给出误差公式。（1）具备什么样条件的函数才能用多项式近似表达出来？【问题】第54页/共106页55（3）用这个多项式去近似代替给定的函数时所产生的误差是多少？即余项问题。（2）如果存在这样的多项式，如何去求它？即定出这个多项式的系数。第55页/共106页56分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在 点相交第56页/共106页57二、二、Pn和和Rn的确定的确定 1.求 n 次近似多项式要求:令则第57页/共106页58故2.余项估计令(称为余项),则有第58页/共106页59第59页/共106页60第60页/共106页61三、三、
13、三、三、泰勒泰勒泰勒泰勒(TaylorTaylor)中值定理中值定理中值定理中值定理其中 拉格朗日型余项第61页/共106页62第62页/共106页63说明:第63页/共106页64皮亚诺形式的余项在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为第64页/共106页65麦克劳林(Maclaurin)公式此时泰勒公式称为麦克劳林公式.拉格朗日型余项皮亚诺型余项第65页/共106页66四、简单的应用四、简单的应用【解】代入公式,得第66页/共106页67由公式可知估计误差其误差【总结】求n阶麦克劳林公式的步骤：(3)写出麦氏展式.第67页/共106页68【常用函数的麦克劳林公式】尽量熟记这些公式第68页
14、/共106页69第69页/共106页70第70页/共106页71第71页/共106页72第72页/共106页73第73页/共106页74【例2】【解】由于分母故需将于是分别展为【思考】是否正确？为什么？第74页/共106页75例3解第75页/共106页77第四节第四节第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法第77页/共106页78函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系观察与思考：函数单调增加函数单调减少 函数的单调性与导数
15、的符号有什么关系？第78页/共106页79 函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。函数的单调性与导数符号的关系观察结果：函数单调减少函数单调增加第79页/共106页80定理第80页/共106页81证应用拉格朗日定理,得第81页/共106页82例1解例2解第82页/共106页83例3解第83页/共106页84例4解第84页/共106页85例4解也可用列表的方式，第85页/共106页86导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法:注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,y2O24224x y=x3 驻点第86页/共106页87例5证利用函数的单调性证明不等式第
16、87页/共106页88即原式成立。例6证第88页/共106页89由连续函数的零点存在定理知，利用函数的单调性讨论方程的根。例7证第89页/共106页90小结小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.第90页/共106页91问题:如何研究曲线的弯曲方向?二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点NABM第91页/共106页92观察与思考：函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？第92页/共106页93 定义一 如果在某区间内，曲线弧位于其
17、上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的。曲线凹向的定义凹的凸的第93页/共106页94曲线凹向的定义凹的凸的第94页/共106页95图形上任意弧段位于所张弦的上方：凸的图形上任意弧段位于所张弦的下方：凹的第95页/共106页96定义二第96页/共106页97观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点凹的凸的当曲线是凹的时，f(x)单调增加。当曲线是凸的时，f(x)单调减少。曲线凹向的判定曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。第97页/共106页98定理第98页/共106页99例8解x y
18、O第99页/共106页100例9解凹凸凹拐点拐点第100页/共106页101第101页/共106页102例10解拐点的求法：1.找出二阶导数为零的点或不可导点；2.若它两边的二阶导数值异号,则为拐点,若同号则不是拐点.第102页/共106页103例11解第103页/共106页104利用函数图形的凹凸性,证明不等式 例12证第104页/共106页10521122112Ox y 解：f(x)3x233(x+1)(x1)。当x(,1)时，f(x)0，函数f(x)在(,1)内单调增加；当x(1,1)时，f(x)0，函数f(x)在(1,+)内单调增加。第105页/共106页106感谢您的观看！第106页/共106页