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1、会计学1序列的序列的Z变换与傅里叶变换变换与傅里叶变换2本章目录n n序列的Z变换n n序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换 n n序列的序列的Z Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系变换、傅里叶变换的关系 n nMatlabMatlab实现实现第1页/共65页32.1 引言n n信号与系统的分析方法:n n时域时域分析分析n n变换域变换域分析分析n n连续时间信号与系统连续时间信号与系统 n n信号用信号用时间时间 t t的函数的函数表示表示n n系统用系统用微分方程微分方程描述描述n n离散时间信号与系统离散时间信号与系统 n n信号用信号用序列序
2、列表示表示n n系统用系统用差分方程差分方程描述描述第2页/共65页4时域与频域分析 傅里叶变换傅里叶变换 时间域 频率域(复频域)拉普拉斯变换 推推广广离散时间傅里叶变换 时间域 频率域(复频域)Z变换 推推广广n连续时间信号与系统n离散时间信号与系统第3页/共65页5本章主要内容n n序列的Z变换n nZ Z变换的主要性质变换的主要性质n n序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换n n傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性质第4页/共65页62.2 序列的Z变换n nZ变换及其收敛域的定义n n几种序列的Z变换及其收敛域n n逆Z变换n nZ变换的性质和定理n n利用Z变换求解差分方程第5页/共
3、65页72.2.1 Z变换及其收敛域的定义 n n序列的序列的Z Z变换定义变换定义n n双双边边Z Z变变换换nn单单边边Z Z变变换换 n n因果序列因果序列的的Z Z变换变换:单单边边Z Z变换可以看成变换可以看成因果序列情况下的双边因果序列情况下的双边Z Z变换变换 第6页/共65页8Z平面与单位圆n n 变量变量z z的极坐标形式的极坐标形式 n nZ Z平面平面:Z Z变换定义变换定义式中z所在的复平面，z是一个连续复变量，具有实部和虚部n n 单位圆单位圆:nn在在Z Z平面上平面上|z z|=1|=1为半径的圆为半径的圆nn单位圆上的参数可表示为单位圆上的参数可表示为 第7页/
4、共65页9例:求序列的Z变换 例例2.1 2.1 求序列求序列 的的Z Z变换变换。解：解：序列序列x x(n n)是因果序列，根据是因果序列，根据Z Z变换的定义变换的定义 分分析收敛性：析收敛性：X X(z z)是无穷项幂级数。是无穷项幂级数。nnX(z)X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为可用封闭形式，即解析函数形式表示为 nn当当|z|a|z|a时级数发散，当时级数发散，当|z|z|a|a|时级数收敛。时级数收敛。第8页/共65页10Z变换的收敛域n n根据级数理论，式根据级数理论，式(2.1)(2.1)收敛收敛的充分必要条件是满足绝对的充分必要条件是满足绝对可和条件，即可和条件
5、，即n n收敛域收敛域:对于给定的任意序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合组成的区域。n n 根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域域 nn收敛半径收敛半径RRx x-可以小到可以小到0 0，RRx x+可以大到可以大到 nn收敛域以原点为中心，收敛域以原点为中心，RRx x-和和RRx x+为半径的环域为半径的环域 第9页/共65页112.2.2 2.2.2 几种序列的几种序列的Z Z变换及其收敛域变换及其收敛域 序列x(n)的性质决定了X(z)的收敛域，不同形式的序列其收敛域不同。n n 有限长序列：有限长序列：00|z|z|+或 0|z|+n
6、n 右边序列：右边序列：R Rx-x-|z|z|+n n 左边序列：左边序列：0 0|z|z|R Rx x+n n 双边序列：双边序列：R Rx-x-|z|z|R Rx x+第10页/共65页12有限长序列n n 有限长序列只在有限区间有限长序列只在有限区间n n1 1 n n n n2 2内具有非零内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零的有限值，在此区间外序列值都为零 n n Z Z变换变换 n n 要求：在有限区间内级数的每一项都有界，要求：在有限区间内级数的每一项都有界，则有限项的和有界，级数就收敛。则有限项的和有界，级数就收敛。x(n)有界开域n n 边界讨论：边界讨论：z=0z=
7、0及及z=z=两点是否也收敛与两点是否也收敛与n n1 1、n n2 2取值情况有关。取值情况有关。第11页/共65页13例：求有限长序列的Z变换例2.2 求序列 的Z变换。讨论：讨论：nn 假设假设|a|a|是有限值，且是有限值，且|a|a|1 1。nn X(z)X(z)有一个有一个z=az=a的极点，但也有一个的极点，但也有一个z=az=a的零点，将零极点对消。的零点，将零极点对消。nn 收敛域为收敛域为0 0|z|+|z|+。解：解：根据根据Z Z变换的定义变换的定义 第12页/共65页14右边序列n n 右边序列只在有限区间右边序列只在有限区间n n n n1 1 内具有非零的有内具有
8、非零的有限值，在此区间外序列值都为零限值，在此区间外序列值都为零 n n Z Z变换变换 n n 假设：级数假设：级数(2.5)(2.5)在某个圆在某个圆|z z|=|=|z z1 1|上绝对收敛上绝对收敛第13页/共65页15右边序列（因果）的收敛域假设：z z是圆外任意一点，即是圆外任意一点，即|z z|z z1 1|n n 当当n n1 100时，序列为因果序列时，序列为因果序列 n n 显然，级数显然，级数X X(z z)收敛。收敛。n n 讨论：级数讨论：级数X X(z z)中没有正幂中没有正幂项，项，|z z|=+|=+时级数收敛，因此时级数收敛，因此收敛域包括收敛域包括 点，即为
9、点，即为RxRx-|z z|+|+第14页/共65页16右边序列（非因果）的收敛域n n 当当n n1 1 0 0时，序列为非因果序列时，序列为非因果序列 n n 显然，当显然，当z z取有限值时，级数取有限值时，级数X X1 1(z z)的值有限，的值有限，而级数而级数X X2 2(z z)收敛。所以，级数收敛。所以，级数X X(z z)的收敛域是的收敛域是以以R Rx x-为半径的圆的外部区域，即为半径的圆的外部区域，即R Rx x-|z z|+第15页/共65页17左边序列n n 左边序列只在有限区间左边序列只在有限区间n n n n2 2内具有非零的有限内具有非零的有限值，在此区间外序
10、列值都为零值，在此区间外序列值都为零 n n Z Z变换变换 n n 假设：级数假设：级数(2.5)(2.5)在某个圆在某个圆|z z|=|=|z z2 2|上绝对收敛上绝对收敛第16页/共65页18左边序列（逆因果）的收敛域假设：z z是圆内任意一点，即是圆内任意一点，即|z z|z z2 2|n n 当当n n2 2 0 0时，序列为逆因果序列时，序列为逆因果序列 n n 显然，级数显然，级数X X(z z)收敛。收敛。n n 讨论：级数讨论：级数X X(z z)中没有负幂中没有负幂项，项，|z z|=0|=0时级数收敛，因此收时级数收敛，因此收敛域包括敛域包括0 0点，即为点，即为0|0
11、|z z|R Rx x+第17页/共65页19左边序列（非逆因果）的收敛域n n 当当n n2 20 0时，序列为非因果序列时，序列为非因果序列 n n 显然，当显然，当z z取取0 0外的有限值时，级数外的有限值时，级数X X2 2(z z)的值的值有限，而级数有限，而级数X X1 1(z z)收敛。所以，级数收敛。所以，级数X X(z z)的收的收敛域是以敛域是以R Rx x+为半径的圆的内部区域，即为半径的圆的内部区域，即0 0|z z|R Rx+x+第18页/共65页20例：求左边序列的Z变换例2.3 求序列 的Z变换。解：讨论：讨论：nn 当当|az|az|1 1，即，即|z|z|1
12、/|a|1/|a|时，级数收敛。时，级数收敛。X(z)X(z)可用封闭形式表示可用封闭形式表示nn X(z)X(z)有一个有一个z=1/az=1/a的极点，但也有一个的极点，但也有一个z=0z=0的零点的零点 。第19页/共65页21双边序列n n 双边序列指双边序列指n n从从-到到+都具有非零的有限值，都具有非零的有限值，可看成右边序列和左边序列的和可看成右边序列和左边序列的和 n n Z Z变换变换 n n 讨论：讨论：X X1 1(z z)收敛域为收敛域为0 0|z|z|RRx x+；X X2 2(z z)收敛域为收敛域为RRx x-|z z|+。双边序列。双边序列Z Z变换的收敛域是
13、公共部分。变换的收敛域是公共部分。nn 如果满足如果满足RRx x-r,p,c=residuez(b,a);r,p,c=residuez(b,a);n n 输入参数输入参数:b=b=b b0 0，b b1 1，b bMM为分子多项式的系数为分子多项式的系数,a=a=a a0 0，a a1 1，a aNN为分母多项式的系数，这些多项式为分母多项式的系数，这些多项式都按都按z z的降幂排列的降幂排列n n 输出参数输出参数:r r是极点的留数，是极点的留数，p p是极点，是极点，c c是无穷项多项式的是无穷项多项式的系数项，仅当系数项，仅当MM N N时存在。时存在。第61页/共65页63例：计算
14、逆Z变换 例例2.19 2.19 计算计算 的逆的逆Z Z变换。变换。解解:有理分式有理分式X X(z z)分子和分母多项式都按分子和分母多项式都按z z的降幂排列。的降幂排列。n nb=0,1;a=2,-3,1;%b=0,1;a=2,-3,1;%多项式的系数多项式的系数n nr,p,c=residuez(b,a);%r,p,c=residuez(b,a);%求留数、极点和系数项求留数、极点和系数项n ndisp(disp(留数留数:);disp(r);%:);disp(r);%显示输出参数显示输出参数n ndisp(disp(极点极点:);disp(p);:);disp(p);n ndisp
15、(disp(系数项系数项:);disp(c);:);disp(c);程序运行结果为程序运行结果为n n留数留数:1 -1:1 -1n n极点极点:1.0000 0.5000:1.0000 0.5000n n系数项系数项:X X(z z)的部分分式形式的部分分式形式为为逆逆Z Z变换变换为为第62页/共65页642.5.2 2.5.2 周期序列傅里叶级数的周期序列傅里叶级数的MatlabMatlab实现实现 nDFS式(2.77)的矩阵形式的矩阵形式nn由周期序列的由周期序列的DFSDFS定义，定义，00n n NN-1-1，00k k NN-1-1，有，有nn只需计算只需计算WWN N因子，由
16、矩阵理论可计算式因子，由矩阵理论可计算式(2.99)(2.99)第63页/共65页65例：计算例：计算周期序列周期序列离散傅里叶级数离散傅里叶级数 例例2.21 2.21 计算计算 以以NN=4=4为周期进行周期延拓，求周期序列的离散傅里叶级数为周期进行周期延拓，求周期序列的离散傅里叶级数。解解:n nxn=0,1,2,3;N=4;%xn=0,1,2,3;N=4;%设定序列和周期设定序列和周期n nn=0:1:N-1;k=0:1:N-1;%n=0:1:N-1;k=0:1:N-1;%设定设定n n和和k kn nWN=exp(-j*2*pi/N);%WN=exp(-j*2*pi/N);%设定设定
17、WnWn因子因子n nnk=n*k;WNnk=WN.nk;%nk=n*k;WNnk=WN.nk;%计算计算WW矩阵矩阵n nXk=xn*WNnk;%Xk=xn*WNnk;%计算计算DFSDFS的系数的系数XkXkn ndisp(xn);disp(Xk);%disp(xn);disp(Xk);%显示计算结果显示计算结果(系数系数)程序运行结果为程序运行结果为n n0 1 2 30 1 2 3n n6.0000 -2.0000+2.0000i -2.0000-0.0000i -2.0000-2.0000i6.0000 -2.0000+2.0000i -2.0000-0.0000i -2.0000-2.0000i第64页/共65页