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1、会计学1第二第二(d r)z变换与离散时间傅里叶变换变换与离散时间傅里叶变换第一页，共92页。2.1 z变换的定义变换的定义(dngy)及收敛域及收敛域 信号和系统信号和系统(xtng)的分析方法有两的分析方法有两种：种：时域分析方法时域分析方法变换域分析方法变换域分析方法连续时间信号与系统连续时间信号与系统(xtng)LT FT离散时间信号与系统离散时间信号与系统(xtng)ZT FT第1页/共92页第二页，共92页。一、一、ZT的定义的定义(dngy)z 是复变量，所在是复变量，所在(suzi)的复平面称为的复平面称为z平面平面第2页/共92页第三页，共92页。二、二、二、二、ZTZT的收
2、敛的收敛的收敛的收敛(shulin)(shulin)域域域域n n对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为(chn wi)X(z)的收敛域。n n n n级数收敛的充要条件是满足绝对可和第3页/共92页第四页，共92页。1）有限）有限(yuxin)长序列长序列第4页/共92页第五页，共92页。除除0和和两点是否收敛与两点是否收敛与n1和和n2取值情况有关取值情况有关(yugun)外，整个外，整个z 平面均收敛。平面均收敛。如果如果n20，则收敛域不包括，则收敛域不包括点点 如果如果n10，则收敛域不包括，则收敛域不包括0点点 如果如果n10n2，收敛域不包括，收敛域
3、不包括0、点点第5页/共92页第六页，共92页。2）右边）右边(yu bian)序列序列因果序列因果序列(xli)的的z变换必在变换必在处处收敛收敛在在处收敛的处收敛的z变换，变换，其序列其序列(xli)必为因果序列必为因果序列(xli)第6页/共92页第七页，共92页。3）左边）左边(zu bian)序列序列第7页/共92页第八页，共92页。4 4）双边）双边）双边）双边(shungbin)(shungbin)序列序列序列序列第8页/共92页第九页，共92页。例例1收敛收敛(shulin)域应是整个域应是整个z的闭的闭平面平面第9页/共92页第十页，共92页。例例2：求：求x(n)=RN(n
4、)的的z变换变换(binhun)及其收敛域及其收敛域第10页/共92页第十一页，共92页。例例3：求：求x(n)=anu(n)的变换的变换(binhun)及其收敛域及其收敛域第11页/共92页第十二页，共92页。例例4：求：求x(n)=-anu(-n-1)的变换的变换(binhun)及其收敛域及其收敛域第12页/共92页第十三页，共92页。例例5：求：求x(n)=a|n|，a为实数为实数(shsh)，求，求ZT及其收敛域及其收敛域第13页/共92页第十四页，共92页。第14页/共92页第十五页，共92页。n n给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。n nX(
5、z)在收敛域内解析，不能有极点，故：n n右边(yu bian)序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外n n左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内第15页/共92页第十六页，共92页。第16页/共92页第十七页，共92页。2.2 z反变换反变换(binhun)n n实质：求实质：求X(z)X(z)幂级数展开式幂级数展开式n nz z反变换的求解反变换的求解(qi ji)(qi ji)方法：方法：n n 围线积分法（留数法）围线积分法（留数法）n n 部分分式法部分分式法n n 长除法长除法z反变换反变换:从从X(z)中还原中还原(hun yun)出原序列出原序列x(
6、n)第17页/共92页第十八页，共92页。1 1、围数积分法求解、围数积分法求解(qi ji)(qi ji)（留数法）（留数法）若函数(hnsh)X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：第18页/共92页第十九页，共92页。1 1、围数积分法求解、围数积分法求解(qi ji)(qi ji)（留数法）（留数法）根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即而 其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条(y tio)反时针方向的闭合单围线。第19页/共92页第二十页，共92页。n n 若F(z
7、)在c外M个极点zm，且分母(fnm)多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：利用利用(lyng)留数定理求围线积分，留数定理求围线积分，令令 若若F(z)在围线在围线c上连续上连续(linx)，在，在c内有内有K个个极点极点zk，则：，则：单阶极点的留数：单阶极点的留数：第20页/共92页第二十一页，共92页。第21页/共92页第二十二页，共92页。第22页/共92页第二十三页，共92页。第23页/共92页第二十四页，共92页。思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何第24页/共92页第二十五页，共92页。2 2、部分分式、部分分式(fnsh)(fnsh)展开法求解展开法
8、求解IZT IZT：常见序列常见序列(xli)的的ZT参见书参见书p.54页的表页的表2-1若函数若函数X(z)是是z的有理分式的有理分式(yu l fn sh)，可表示为：，可表示为：利用部分分式的利用部分分式的z反变换和可以得到函数反变换和可以得到函数X(z)的的z反变换。反变换。第25页/共92页第二十六页，共92页。第26页/共92页第二十七页，共92页。第27页/共92页第二十八页，共92页。例例2 2设设利用部分利用部分(b fen)(b fen)分式法求分式法求z z反反变换。变换。解：解：第28页/共92页第二十九页，共92页。3 3、幂级数展开法求解、幂级数展开法求解(qi(
9、qi ji)ji)（长除法）（长除法）:一般一般X(z)是有理分式，可利用分子是有理分式，可利用分子(fnz)多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到数展开式，从而得到x(n)。第29页/共92页第三十页，共92页。n n根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数n n 将X(z)X(z)的n n x(n)展成z的 分子分母n n 按z的n n 因果序列(xli)负幂级数 降幂排列n n 左边序列(xli)正幂级数 升幂排列第30页/共92页第三十一页，共92页。例例1 1ROC1:)1 长除法长除法(chf)(chf)示例示例
10、解：由解：由RocRoc判定判定x(n)x(n)是因果是因果(yngu)(yngu)序列，序列，用长除法展成用长除法展成z z的负的负幂级数幂级数第31页/共92页第三十二页，共92页。ROC2:)1解：由解：由RocRoc判定判定(pndng)x(n)(pndng)x(n)是左边序列，用是左边序列，用长除法展成长除法展成z z的的正幂级数正幂级数第32页/共92页第三十三页，共92页。解：解：X(z)的的Roc为环状，故为环状，故x(n)是双边序列是双边序列 极点极点z=1/4对应右边对应右边(yu bian)序列，极点序列，极点z=4对对应左边序列应左边序列 先把先把X(z)展成部分分式展
11、成部分分式第33页/共92页第三十四页，共92页。第34页/共92页第三十五页，共92页。第35页/共92页第三十六页，共92页。1 1、线性性、线性性2.3 Z2.3 Z变换的基本性质变换的基本性质变换的基本性质变换的基本性质(xngzh)(xngzh)和定理和定理和定理和定理R1R2R|a|RR2 2、序列、序列(xli)(xli)的移位的移位3 3、z z域尺度变换域尺度变换(binhun)(binhun)（乘以指数序列）（乘以指数序列）4 4、z z域求导域求导 （序列线性加权）（序列线性加权）第36页/共92页第三十七页，共92页。Z Z变换的基本变换的基本变换的基本变换的基本(jb
12、n)(jbn)性质性质性质性质（续）（续）（续）（续）5 5、翻褶序列、翻褶序列(xli)(xli)1/RR6 6、共轭序列、共轭序列(xli)(xli)7 7、初值定理、初值定理8 8、终值定理、终值定理第37页/共92页第三十八页，共92页。Z变换的基本变换的基本(jbn)性质性质（续）（续）9 9、有限、有限(yuxin)(yuxin)项累项累加特性加特性ZTZT的主要性质的主要性质(xngzh)(xngzh)参见书参见书p.69p.69页的表页的表2-22-21010、序列的卷积和、序列的卷积和1111、序列乘法、序列乘法1212、帕塞瓦定理、帕塞瓦定理第38页/共92页第三十九页，共
13、92页。第39页/共92页第四十页，共92页。2.4 2.4 序列序列序列序列(xli)ZT(xli)ZT、连续信号、连续信号、连续信号、连续信号LTLT和和和和FTFT的关的关的关的关系系系系若：连续信号采样连续信号采样(ci yn)后的拉氏变换后的拉氏变换LT第40页/共92页第四十一页，共92页。抽样抽样抽样抽样(chu yn)(chu yn)(chu yn)(chu yn)序列：序列：序列：序列：当当两变换两变换(binhun)(binhun)之间的关系，就是由复变量之间的关系，就是由复变量s s平面平面到复变量到复变量z z平面的映射，其映射关系为平面的映射，其映射关系为对比对比(d
14、ub)(dub)：第41页/共92页第四十二页，共92页。进一步讨论这一映射进一步讨论这一映射进一步讨论这一映射进一步讨论这一映射(yngsh)(yngsh)(yngsh)(yngsh)关系：关系：关系：关系：1第42页/共92页第四十三页，共92页。s s平面平面(pngmin)(pngmin)到到z z平平面面(pngmin)(pngmin)的的映射是多值映射。映射是多值映射。辐射线辐射线=0 0T T平行直线平行直线=0 0正实轴正实轴=0实轴实轴=0Z平面平面S平面平面:第43页/共92页第四十四页，共92页。抽样序列在单位圆上的抽样序列在单位圆上的z z变换变换(binhun)(bi
15、nhun)，就等于其理想抽，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换样信号的傅里叶变换(binhun)(binhun)第44页/共92页第四十五页，共92页。数字数字(shz)(shz)频率频率w w表示表示z z平面的辐角，它和模拟角平面的辐角，它和模拟角频率频率W W的关系为的关系为在以后的讨论中，将用数字频率在以后的讨论中，将用数字频率(pnl)w(pnl)w来作为来作为z z平面上单位圆的参数，即平面上单位圆的参数，即所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是(hu sh)(hu sh)模拟频率对抽样频率的相对比值乘以模拟频率对抽样频率的相对比值乘
16、以2p2p第45页/共92页第四十六页，共92页。2.5 2.5 离散信号离散信号离散信号离散信号(xnho)(xnho)的付氏变换的付氏变换的付氏变换的付氏变换DTFTDTFT一、一、DTFT的定义的定义(dngy)变换变换(binhun)对：对：称为称为离散时间傅里叶变换（离散时间傅里叶变换（DTFT）。）。第46页/共92页第四十七页，共92页。FTFT存在存在(cnzi)(cnzi)的充分必要条件是：的充分必要条件是：如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期如周期(zhuq)序列，其傅里叶变换可用冲序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出
17、来。激函数的形式表示出来。第47页/共92页第四十八页，共92页。二、比较二、比较(bjio)ZT和和DTFT的定的定义：义：利用利用(lyng)ZT和和DTFT的关系可以有的关系可以有ZT计算计算DTFT。序列序列(xli)的傅里叶变换是序列的傅里叶变换是序列(xli)的的z变换在单位圆上的值变换在单位圆上的值第48页/共92页第四十九页，共92页。例例1 1、计算、计算(j sun)(j sun)门序列的门序列的DTFTDTFT(类似类似(li s)Sa(.)(li s)Sa(.)函函数数)(线性相位线性相位(xingwi)(xingwi)解：解：DTFT幅频特性：幅频特性：相频特性：相频
18、特性：第49页/共92页第五十页，共92页。图示说明图示说明图示说明图示说明(shumng)(shumng)：)(wX0p2p2-pp-N=8Nw第50页/共92页第五十一页，共92页。例例2 2、已知、已知 (),(),计算计算(j sun)(j sun)其其DTFTDTFT。由此可以由此可以(ky)得到得到FT的幅频特性和相频特性的幅频特性和相频特性第51页/共92页第五十二页，共92页。物理物理(wl)(wl)说明说明:若若 (语音信号处理中常用语音信号处理中常用该指数该指数 函数展宽单音信号的频谱函数展宽单音信号的频谱),),该信号该信号3db3db带宽带宽 (或或 )。具体求。具体求
19、 解过程如下：解过程如下：令令 即即 可解出可解出第52页/共92页第五十三页，共92页。三、三、三、三、FTFT与与与与DTFTDTFT的关系的关系的关系的关系(gun x)(gun x)归一化归一化 利用利用(lyng)FT与与DTFT关系计算下列序列关系计算下列序列的的 DTFT 例：例：第53页/共92页第五十四页，共92页。解：解：1）2）3）第54页/共92页第五十五页，共92页。2.6 DTFT的一些的一些(yxi)性质性质1 1、线性性：、线性性：2 2、实序列、实序列(xli)(xli)：实偶性：实偶性：实奇性：实奇性：3 3、时移特性、时移特性(txng)(txng)：第5
20、5页/共92页第五十六页，共92页。4 4、乘以指数序列、乘以指数序列(xli)(xli)（调制性）（调制性）5 5、序列、序列(xli)(xli)线性加线性加权权6 6、序列、序列(xli)(xli)翻褶翻褶7 7、序列共轭、序列共轭第56页/共92页第五十七页，共92页。8 8 8 8、卷积定理：、卷积定理：、卷积定理：、卷积定理：(时域时域时域时域)(频域频域频域频域)DTFT的主要性质的主要性质(xngzh)参见书参见书p.78页的表页的表2-39 9、帕色伐尔定理、帕色伐尔定理(dngl)(dngl)：(Parseval Theory)(Parseval Theory)频域卷积在一周
21、期频域卷积在一周期(zhuq)(zhuq)内积分内积分,称周期称周期(zhuq)(zhuq)卷积。卷积。第57页/共92页第五十八页，共92页。下面举例说明下面举例说明下面举例说明下面举例说明DTFTDTFT性质得使用。性质得使用。性质得使用。性质得使用。计算计算计算计算(j sun)(j sun)下列积分下列积分下列积分下列积分I I的值。的值。的值。的值。解：根据解：根据(gnj)(gnj)利用利用(lyng)(lyng)时域卷积定理有：时域卷积定理有：上式卷积上式卷积n=0时就是积分时就是积分I的值。的值。第58页/共92页第五十九页，共92页。2.7 周期性序列周期性序列(xli)的的
22、DTFT1、复指数(zhsh)序列的傅里叶变换q复指数复指数(zhsh)序列序列ejw0n的傅里叶变换，是以的傅里叶变换，是以w0为中心，以为中心，以2p的整数倍为间距的一系列冲激的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为函数，其积分面积为2pq思考，思考，DTFTcos(w0n+f)、DTFTsin(w0n+f)第59页/共92页第六十页，共92页。2、常数序列、常数序列(xli)的傅里叶变换的傅里叶变换q常数序列的傅里叶变换，是以常数序列的傅里叶变换，是以w=0为中心为中心(zhngxn)，以，以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为
23、2p3、周期、周期(zhuq)为为N的抽样序列串的傅里叶的抽样序列串的傅里叶变换变换q周期为周期为N的周期性抽样序列，其傅里叶变换是频的周期性抽样序列，其傅里叶变换是频率在率在w=w=2p p/N的整数倍上的的整数倍上的一系列冲激函数之和，这些一系列冲激函数之和，这些冲激函数的积分面积为冲激函数的积分面积为2p/Np/N第60页/共92页第六十一页，共92页。4、一般性的周期、一般性的周期(zhuq)为为N的周期的周期(zhuq)性性序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换第61页/共92页第六十二页，共92页。q周期性序列周期性序列 （周期为（周期为N）的傅里叶变换是）的傅里叶变换是一一系列冲激函数
24、串，其冲激函数的积分面积等于系列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于 乘以乘以，而，而 是是x(n)的一个周期的一个周期的傅里的傅里叶变换叶变换X(ejw w)在频域中在频域中w=w=2p/Np/N的整数倍的各抽样的整数倍的各抽样点上的抽样值。点上的抽样值。q即：即：第62页/共92页第六十三页，共92页。e e满足满足(m(mnz)0e 2p/Nnz)0e 2p/N从从w=0w=0之前开始之前开始(k(k ishish)抽样；抽样；在在w=2pw=2p之间结束抽样；之间结束抽样；此区间共有此区间共有N N个抽样值：个抽样值：0 0 k k N-1N-1第63页/共92页第六十四页，共92页。
25、周期周期(zhuq)序列的序列的DFS正变换和反变换正变换和反变换周期周期(zhuq)序列的傅里叶级数序列的傅里叶级数（DFS）其中：其中：第64页/共92页第六十五页，共92页。2.8 Fourier变换的对变换的对称称(duchn)性质性质共轭对称(duchn)序列：共轭反对共轭反对(fndu)称称序列：序列：任意序列可表示成任意序列可表示成xe(n)和和xo(n)之和之和:其中：其中：定义：定义：第65页/共92页第六十六页，共92页。其中：其中：同样，同样，x(n)的的Fourier变换变换 也可分解成：也可分解成：第66页/共92页第六十七页，共92页。对称对称(duchn)性质性质
26、 序列序列(xli)Fourier(xli)Fourier变换变换第67页/共92页第六十八页，共92页。实数序列的对称实数序列的对称(duchn)性质性质 序列序列(xli)Fourier(xli)Fourier变换变换第68页/共92页第六十九页，共92页。实数序列的实数序列的Fourier变换满足共轭对称性变换满足共轭对称性实部是实部是的偶函数的偶函数虚部是虚部是的奇函数的奇函数幅度是幅度是的偶函数的偶函数幅角是幅角是的奇函数的奇函数第69页/共92页第七十页，共92页。2.9 2.9 离散系统的系统函数离散系统的系统函数离散系统的系统函数离散系统的系统函数(hnsh)(hnsh)、系统
27、的频、系统的频、系统的频、系统的频率响应率响应率响应率响应LSI系统(xtng)的系统(xtng)函数H(z)：单位抽样响应h(n)的z变换其中其中(qzhng)：y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z)系统的系统的频率响应频率响应 ：单位圆上的系统函数单位圆上的系统函数,单位抽样响应单位抽样响应h(n)的的DTFT第70页/共92页第七十一页，共92页。1、若、若LSI系统系统(xtng)为因果稳定系统为因果稳定系统(xtng)稳定系统稳定系统(xtng)(xtng)的系统的系统(xtng)(xtng)函数函数H(z)H(z)的的RocRoc须包含须包含单位圆，单位圆，即频率响
28、应存在且连续即频率响应存在且连续H(z)须从单位圆到须从单位圆到的整个的整个z域内收敛即系统函数域内收敛即系统函数H(z)的全部极点的全部极点(jdin)必须在单位圆内必须在单位圆内1 1）因果：）因果：2 2）稳定：）稳定：序列序列h(n)绝对可和，即绝对可和，即而而h(n)的的z变换的变换的Roc：3 3）因果稳定：）因果稳定：RocRoc：第71页/共92页第七十二页，共92页。第72页/共92页第七十三页，共92页。2、系统函数、系统函数(hnsh)与差分方程与差分方程常系数线性差分(ch fn)方程：取取z变换变换(binhun)则系统函数则系统函数第73页/共92页第七十四页，共9
29、2页。第74页/共92页第七十五页，共92页。第75页/共92页第七十六页，共92页。第76页/共92页第七十七页，共92页。第77页/共92页第七十八页，共92页。3、系统的频率响应、系统的频率响应(pn l xin yn)的意的意义义1）LSI系统对复指数序列(xli)的稳态响应：第78页/共92页第七十九页，共92页。2）LSI系统对正弦序列系统对正弦序列(xli)的稳态响的稳态响应应输出同频输出同频 正弦序列正弦序列幅度受频率响应幅度幅度受频率响应幅度 加权加权相位为输入相位与系统相位响应之和相位为输入相位与系统相位响应之和第79页/共92页第八十页，共92页。3）LSI系统对任意(r
30、ny)输入序列的稳态响应 其中：其中：微分增量（复指数）：微分增量（复指数）：第80页/共92页第八十一页，共92页。4、频率响应的几何、频率响应的几何(j h)确定法确定法利用H(z)在z平面上的零极点(jdin)分布频率响应频率响应(pn l xin yn)：第81页/共92页第八十二页，共92页。则频率响应(pn l xin yn)的令令幅角：幅角：幅度：幅度：第82页/共92页第八十三页，共92页。n n零点位置影响零点位置影响(y(y ngxingxi ng)ng)凹谷点的位置与深度凹谷点的位置与深度n n零点在单位圆上，谷点为零零点在单位圆上，谷点为零n n零点趋向于单位圆，谷点趋
31、向于零零点趋向于单位圆，谷点趋向于零n n极点位置影响极点位置影响(y(y ngxingxi ng)ng)凸峰的位置和深度凸峰的位置和深度n n极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷n n极点在单位圆外，系统不稳定极点在单位圆外，系统不稳定第83页/共92页第八十四页，共92页。第84页/共92页第八十五页，共92页。第85页/共92页第八十六页，共92页。第86页/共92页第八十七页，共92页。第87页/共92页第八十八页，共92页。第88页/共92页第八十九页，共92页。5、IIR系统系统(xtng)和和FIR系统系统(xtng)无限(wxin)长单位冲激响应（I
32、IR）系统：单位冲激响应h(n)是无限(wxin)长序列有限长单位有限长单位(dnwi)冲激响应（冲激响应（FIR）系统：）系统：单位单位(dnwi)冲激响应冲激响应h(n)是有是有限长序列限长序列第89页/共92页第九十页，共92页。IIR系统：至少有一个系统：至少有一个FIR系统：全部系统：全部全极点系统全极点系统（自回归系统，自回归系统，AR系统系统）：分子只有常数：分子只有常数项项零极点系统零极点系统（自回归滑动平均系统，自回归滑动平均系统，ARMA系统系统）:分子不止常数项分子不止常数项收敛域收敛域 内无极点，是全零点系统内无极点，是全零点系统（滑动（滑动(hudng)平均系统，平均系统，MA系统）系统）第90页/共92页第九十一页，共92页。IIR系统：至少有一个系统：至少有一个有反馈环路有反馈环路(hun l)，采用递归型结，采用递归型结构构FIR系统：全部系统：全部无反馈无反馈(fnku)环路，多采用非递归结构环路，多采用非递归结构Homework：P831(1)(2)(3)3(1)7 10 14 18第91页/共92页第九十二页，共92页。