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1、数模选修数模选修灰色预测灰色预测(yc)与灰色关联分与灰色关联分析析第一页，共105页。2 2灰色灰色(hus)系统理论简系统理论简介介 著名学者邓聚龙教授于著名学者邓聚龙教授于2020世纪世纪7070年代末、年代末、8080年代初提出；年代初提出；诞生标志：邓教授第一篇灰色系统诞生标志：邓教授第一篇灰色系统(xtng)(xtng)论文论文“The “The Control Problems of Grey Systems”Control Problems of Grey Systems”，发表于北荷兰出版，发表于北荷兰出版公司期刊公司期刊 System&Control Letter,1982
2、,No.5 System&Control Letter,1982,No.5。第1页/共105页第二页，共105页。3 3 灰色系统理论的研究对象灰色系统理论的研究对象 “部分信息已知部分信息已知,部分信息未知部分信息未知”的的“小样本、贫信息小样本、贫信息”不确定性系统。不确定性系统。灰色系统理论的研究内容灰色系统理论的研究内容 灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预测、灰决策、灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预测、灰决策、灰控制灰控制(kngzh)(kngzh)、灰评估、灰数学等。、灰评估、灰数学等。灰色系统理论的应用领域灰色系统理论的应用领域 农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工
3、程、农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制(kngzh)(kngzh)科学等。科学等。第2页/共105页第三页，共105页。4 4项目项目灰色系统灰色系统概率统计概率统计模糊数学模糊数学研究对象研究对象贫信息不确定贫信息不确定随机不确定随机不确定认知不确定认知不确定基础集合基础集合灰色朦胧集灰色朦胧集康托集康托集模糊集模糊集方法依据方法依据信息覆盖信息覆盖映射映射映射映射途径手段途径手段灰序列算子灰序列算子频率统计频率统计截集截集数据要求数据要求任意分布任意分布典型分布典型分布隶属度可知隶属度可
4、知侧重点侧重点内涵内涵内涵内涵外延外延目标目标现实规律现实规律历史统计规律历史统计规律认知表达认知表达特色特色小样本小样本大样本大样本凭经验凭经验三种不确定性系统研究方法的比较分析 (灰色系统理论、概率(gil)统计、模糊数学)第3页/共105页第四页，共105页。5 5 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能(zh nn)通过它与外界的联系来加以观测研究。灰色系统内的一部分(b fen)信息是已知的，另一 部分(b fen)信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。灰色(hus)系统、白色系统和黑色系统 白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分
5、的。第4页/共105页第五页，共105页。6 6灰色灰色(hus)系统基系统基本原理本原理1、差异信息(xnx)原理：差异即信息(xnx)，凡信息(xnx)必有差异。2、解的非唯一性原理：信息不完全、不确定的解是非(shfi)唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。3、最少信息原理：灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信息”。4、认知根据原理：信息是认知的根据。5、新信息优先原理：新信息对认知的作用大于老信息。6、灰性不灭原理：“信息不完全”是绝对的。第5页/共105页第六页，共105页。7 7灰色(hus)系统理论的主要内容n灰色系统理论经过20多年的发展，已基本建立
6、起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以灰色关联空间为依托的分析体系、以灰色序列生成为基础的方法(fngf)体系，以灰色模型（GM）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。第6页/共105页第七页，共105页。8 8灰色(hus)系统的应用范畴灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：（1）灰色关联分析。（2）灰色预测(yc)：人口预测(yc)；初霜预测(yc)；灾变预测(yc).等等。（3）灰色决策。（4）灰色预测(yc)控制。灰色(hus)系统理论是人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。第7页/共105
7、页第八页，共105页。9 9灰色(hus)关联分析 第8页/共105页第九页，共105页。1010一、关联分析(fnx)的背景n客观世界中的事物往往现象复杂，因素繁多。我们往往需要对系统进行因素分析，这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上，因素间关联性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键(gunjin)和起点。第9页/共105页第十页，共105页。1111n因素分析的基本方法过去主要采取回归分析、方差分析，主成分分析等办法，但是这种方法需要大量数据作为基础，计算量大。n 而灰色
8、系统理论采用的关联分析方法可以克服这个(zh ge)弊端。n灰色系统理论进行系统分析的方法：关联度分析法第10页/共105页第十一页，共105页。12122.灰色(hus)关联分析法 灰色灰色灰色灰色(hus)(hus)(hus)(hus)关联分析是灰色关联分析是灰色关联分析是灰色关联分析是灰色(hus)(hus)(hus)(hus)系统理论的一系统理论的一系统理论的一系统理论的一个分支应用灰色个分支应用灰色个分支应用灰色个分支应用灰色(hus)(hus)(hus)(hus)关联分析方法对受多种关联分析方法对受多种关联分析方法对受多种关联分析方法对受多种因素影响的事物和现象从整体观念出发进行综
9、合评因素影响的事物和现象从整体观念出发进行综合评因素影响的事物和现象从整体观念出发进行综合评因素影响的事物和现象从整体观念出发进行综合评价是一个被广为接受的方法价是一个被广为接受的方法价是一个被广为接受的方法价是一个被广为接受的方法基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之
10、就越小。联度就越大，反之就越小。联度就越大，反之就越小。联度就越大，反之就越小。第11页/共105页第十二页，共105页。1313应用(yngyng)举例问题：对该地区(dq)总收入影响较直接的是养猪业还是养兔业？第12页/共105页第十三页，共105页。1414第13页/共105页第十四页，共105页。1515灰色关联灰色关联(gunlin)分分析法的步骤析法的步骤利用灰色关联分析进行综合利用灰色关联分析进行综合利用灰色关联分析进行综合利用灰色关联分析进行综合(zngh)(zngh)(zngh)(zngh)评价的步骤是：评价的步骤是：评价的步骤是：评价的步骤是：1 1 1 1根据评价目的确定
11、评价指标体系，收集评价数据。根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。设n个数据序列形成(xngchng)如下矩阵：其中 为指标的个数,第14页/共105页第十五页，共105页。16162 2确定参考数据列确定参考数据列 参参考考数数据据列列应应该该是是一一个个理理想想(lxing)(lxing)的的比比较较标标准准，可可以以以以各各指指标标的的最最优优值值 （或或最最劣劣值值）构构成成参参考考数数据据列列，也也可可根根据据评评价价目目的的选选择择其其它它参参照照值值记作记作 T T第15页/共105页第
12、十六页，共105页。17173 3对指标数据进行对指标数据进行(jnxng)(jnxng)无量纲化无量纲化 无量纲化后的数据序列形成如无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：下矩阵：第16页/共105页第十七页，共105页。1818常常常常用用用用的的的的无无无无量量量量(wling)(wling)(wling)(wling)纲纲纲纲化化化化方方方方法法法法有有有有均均均均值值值值化化化化法法法法（见见见见（121212123 3 3 3）式式式式）、初初初初值值值值化化化化法法法法（见见见见（121212124 4 4 4）式）和）式）和）式）和）式）和 标准化变换等标准化变换等标准化变换等标准化
13、变换等第17页/共105页第十八页，共105页。1919 或或或或采采采采用用用用内内内内插插插插法法法法使使使使各各各各指指指指标标标标数数数数据据据据取取取取值值值值范范范范围围围围（或或或或数数数数量量量量级级级级）相同相同相同相同 例例例例如如如如，某某某某地地地地县县县县级级级级医医医医院院院院病病病病床床床床使使使使用用用用率率率率最最最最高高高高为为为为90%90%90%90%，最最最最低低低低为为为为60%60%60%60%，我我我我们们们们可可可可以以以以(ky)(ky)(ky)(ky)将将将将90%90%90%90%转转转转化化化化10101010，60%60%60%60%
14、转转转转化化化化为为为为1 1 1 1，其其其其它它它它可可可可以以以以(ky)(ky)(ky)(ky)通通通通过过过过内内内内插插插插法法法法确确确确定定定定其其其其转转转转化化化化值如值如值如值如80%80%80%80%转化为多少？可进行如下计算：转化为多少？可进行如下计算：转化为多少？可进行如下计算：转化为多少？可进行如下计算：解之得，即解之得，即解之得，即解之得，即80%80%80%80%转化为转化为转化为转化为7 7 7 7第18页/共105页第十九页，共105页。20204 4 4 4逐个逐个逐个逐个(zhg)(zhg)(zhg)(zhg)计算每个被评价对象指标序列计算每个被评价对
15、象指标序列计算每个被评价对象指标序列计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值 即即即即 （）为被为被为被为被评价对象的个数）评价对象的个数）评价对象的个数）评价对象的个数）5 5 5 5确定确定确定确定 与与与与两级最小差 n4逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考(cnko)序列对应元素的绝对差值 n 即 （）为被评价对象的个数）n5确定 n n与两级最小差 两级最大差 第19页/共105页第二十页，共105页。21216 6 6 6计算
16、关联系数计算关联系数计算关联系数计算关联系数 由由由由（121212125 5 5 5）式式式式，分分分分别别别别(fnbi)(fnbi)(fnbi)(fnbi)计计计计算算算算每每每每个个个个比比比比较较较较序序序序列列列列与参考序列对应元素的关联系数与参考序列对应元素的关联系数与参考序列对应元素的关联系数与参考序列对应元素的关联系数第20页/共105页第二十一页，共105页。22227 7计算关联度计算关联度 对对各各评评价价对对象象（比比较较(bjio)(bjio)序序列列）分分别别计计算算其其个个指指标标与与参参考考序序列列对对应应元元素素的的关关联联系系数数的的均均值值，以以反反映映
17、各各评评价价对对象象与与参参考考序序列列的的关关联联关关系系，并并称称其其为为关联度，记为：关联度，记为：第21页/共105页第二十二页，共105页。23238 8如如果果(rgu)(rgu)各各指指标标在在综综合合评评价价中中所所起起的的作作用用不不同同，可可对对关联系数求加权平均值即关联系数求加权平均值即 9 9依依据据各各观观察察对对象象的的关关联联度度，进进行行排排序序，得得出出综综合合评评价价结结果果第22页/共105页第二十三页，共105页。24243.3.灰色灰色(hus)(hus)关联分析的应用关联分析的应用举例举例 例例例例1 1 1 1：利利利利用用用用灰灰灰灰色色色色关关
18、关关联联联联分分分分析析析析对对对对6 6 6 6位位位位教教教教师师师师工工工工作作作作状状状状况况况况进进进进行行行行综综综综合评价合评价合评价合评价1 1 1 1评评评评价价价价指指指指标标标标包包包包括括括括：专专专专业业业业(zhuny)(zhuny)(zhuny)(zhuny)素素素素质质质质、外外外外语语语语水水水水平平平平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤n2对原始数据经处理后得到(d do)以下数值，见下表 编号编号专业专业外语外语教学量教学量科研科研论文论
19、文著作著作出勤出勤189875292787573839796647468884365866983868957648第23页/共105页第二十四页，共105页。25253 3确定参考数据确定参考数据(shj)(shj)列：列：4 4计算计算 ，见下表见下表编号编号专业专业外语外语教学教学量量科研科研论文论文著作著作出勤出勤110123702212416130203252431114635133006161042251第24页/共105页第二十五页，共105页。26265 5求最值求最值6 6依据依据(yj)(yj)（12125 5）式，）式，取计算，得取计算，得 第25页/共105页第二十六页，
20、共105页。2727同同理理得得出出(d(d ch)ch)其其它它各各值，见下表值，见下表编号编号10.7780.7781.0001.0000.7780.7780.6360.6360.4670.4670.3330.3331.0001.00020.6360.636 0.7780.778 0.6360.636 0.4670.467 0.6360.636 0.3680.368 0.7780.778 31.0001.000 0.6360.636 1.0001.000 0.5380.538 0.5380.538 0.4120.412 0.6360.636 40.5380.538 0.7780.778 0
21、.7780.778 0.7780.778 0.4120.412 0.3680.368 0.5380.538 50.7780.778 0.5380.538 0.5380.538 1.0001.000 0.7780.778 0.3680.368 0.7780.778 60.7780.778 1.0001.000 0.4670.467 0.6360.636 0.5380.538 0.4120.412 0.7780.778 第26页/共105页第二十七页，共105页。28287 7分别计算每个人各指标关联分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）：系数的均值（关联序）：8 8如果不考虑各指标权重如果
22、不考虑各指标权重(qun zhn)(qun zhn)（认为各指标同（认为各指标同等重要），六个被评价对象由等重要），六个被评价对象由好到劣依次为好到劣依次为1 1号，号，5 5号，号，3 3号，号，6 6号，号，2 2号，号，4 4号号即即 第27页/共105页第二十八页，共105页。2929存在的问题及解决(jiju)方法第28页/共105页第二十九页，共105页。3030灰色预测与决策模型研究党耀国 刘思峰等著科学出版社本书中提及了一些其它的灰色关联度，如绝对关联度，相对关联度等 等，并且针对各自的适用范围进行了讨论。所以如果是在数学建模的过程中，我们可以(ky)根据实际的需要，确定我们的
23、关联度的计算公式。第29页/共105页第三十页，共105页。3131生成(shn chn)数第30页/共105页第三十一页，共105页。3232 将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处理称为生成.客观世界尽管复杂,表述其行为的数据可能是杂乱无章的,然而它必然是有序的,都存在着某种内在规律,不过这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接(zhji)从原始数据中找到某种内在的规律.对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律.常用的灰色系统生成方式(fngsh)有:累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等.第31页/共105页第三十二页，共105页。33331.累加生成(shn c
24、hn)累加生成,即通过数列间各时刻数据的依个累加以得到新的数据与数列.累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数列.累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法(fngf),它在灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成新的序列的一种手段.第32页/共105页第三十三页，共105页。3434第33页/共105页第三十四页，共105页。35352.2.一次累加生成一次累加生成一次累加生成一次累加生成(shn chn)(shn chn)算例算例算例算例例：例：x x
25、(0)(0)=(3.2=(3.2，3.33.3，3.43.4，3.63.6，3.8)3.8)求求 x x(1)(1)(k)(k)解：解：第34页/共105页第三十五页，共105页。3636第35页/共105页第三十六页，共105页。3737对非负数据，累加次数越多则(du z)随机性弱化越多，累加次数足够大后，可认为时间序列已由随机序列变为非随机序列。一般随机序列的多次累加序列，大多可用指数曲线逼近。第36页/共105页第三十七页，共105页。3838存在(cnzi)的问题第37页/共105页第三十八页，共105页。3939解决(jiju)的方法第38页/共105页第三十九页，共105页。40
26、403.累减生成(shn chn)累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(Inverse Accumulated Generating Operation),累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程(guchng)中用来获得增量信息,其运算符号为.第39页/共105页第四十页，共105页。4141第40页/共105页第四十一页，共105页。4242第41页/共105页第四十二页，共105页。4343第42页/共105页第四十三页，共105页。4444第43页/共105页第四十四页，共105页。4545例令K0，X1(0)=0累减生成(shn c
27、hn)序列第44页/共105页第四十五页，共105页。4646图 8-7第45页/共105页第四十六页，共105页。4747第46页/共105页第四十七页，共105页。4848第47页/共105页第四十八页，共105页。4949第48页/共105页第四十九页，共105页。5050没有(mi yu)累加生成时的误差为21.26%第49页/共105页第五十页，共105页。51514.均值(jn zh)生成 第50页/共105页第五十一页，共105页。5252第51页/共105页第五十二页，共105页。53535.级比生成(shn chn)第52页/共105页第五十三页，共105页。5454第53页
28、/共105页第五十四页，共105页。5555第54页/共105页第五十五页，共105页。5656第四节：GM 模型(mxng)第55页/共105页第五十六页，共105页。5757 灰色理论(lln)的微分方程性模型称为GM模型，G表示grey（灰），M表示model（模型）。GM（1，N）表示1阶的，N个变量的微分方程型模型 GM（1，1）则是1阶的，1个变量的微分方程型模型。灰色理论的GM模型的机理和特点(tdin)，可归纳为：一般系统理论只能建立差分模型，不能建立微分模型。而灰色系统理论建立的是微分方程型模型。差分模型是一种递推模型，只能按阶段分析系统的发展，只能用于短期(dun q)分析
29、，只能了解系统显漏的变化。而灰色理论，基于关联度收敛原理、生成数、灰导数、灰微分方程等观点和方法建立了微分方程型模型。第56页/共105页第五十七页，共105页。5858系统行为数据列往往是没有规律的，是随机变化(binhu)的。灰色理论用数据处理的方法（灰色理论称为数据生成），将杂乱无章的原始数据整理成规律较强的生成数列再作研究。灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的，因此杂乱无章的数据后面，必然潜藏着某种规律，而灰数的生成，就是从杂乱无章的原始数据中去开拓、发现，寻找这种内在规律，这是一种现实规律，不是先验规律。灰色理论(lln)通过多个GM
30、（1，N）模型来解决高阶系统的建模问题。第57页/共105页第五十八页，共105页。5959灰色理论通过模型计算值与实际值之差（残差）建立GM（1，1）模型，作为提高模型精度的主要途径。残差的GM（1，1）模型，一般(ybn)只注重现实规律，最新数据的修正，因此残差GM（1，1）与主模型之间在时间上一般(ybn)是不同步的。所以灰色预测模型经常是差分微分模型。用灰色理论建模，一般都采用三种检验方式：a.残差大小（或平均值、或最近一个(y)数据的残差值）的检验，按点检验。b.关联度检验，建立模型与指定函数之间近似性的检验。c.后验差检验，是残差分布统计特性的检验。GM模型所得数据必须经过逆生成作
31、还原(hun yun)后才能用。第58页/共105页第五十九页，共105页。6060设时间(shjin)序列 有n个观察值，通过累加生成(shn chn)新序列 则GM(1,1)模型(mxng)相应的白化形式微分方程为：其中：称为发展灰数；称为内生控制灰数。1.GM(1,1)模型 第59页/共105页第六十页，共105页。6161记 第60页/共105页第六十一页，共105页。6262称 为 的紧邻均值生成序列 则 第61页/共105页第六十二页，共105页。6363设为待估参数(cnsh)向量，可利用(lyng)最小二乘法求解。解得：则微分方程(wi fn fn chn)可表示为第62页/共
32、105页第六十三页，共105页。6464 对其做累减还原(hun yun)，即可得到原始数列 的灰色预测模型为:求解微分方程(wi fn fn chn)，即可得预测模型：第63页/共105页第六十四页，共105页。6565 由灰色预测方法原理由灰色预测方法原理,-a,-a 主要控制系统发展态主要控制系统发展态势的势的 大小大小,即反映预测的发展态势即反映预测的发展态势,被称为发展系数被称为发展系数;u u 的大小反映了数据变化的关系的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量被称为灰色作用量,其中其中:当当-a 0.3 -a 0.3 时时,GM(1,1),GM(1,1)模型可用于中长期预测模型
33、可用于中长期预测;当当 0.3 -a 0.5 0.3 -a 0.5 时时,GM(1,1),GM(1,1)模型可用于短期模型可用于短期预测预测,中长期预测慎用中长期预测慎用;当当 0.5 -a 1 0.5 -a 1 -a 1 时时,不宜采用不宜采用GM(1,1)GM(1,1)模型模型,可考虑其可考虑其他预测方法。他预测方法。第64页/共105页第六十五页，共105页。6666一般(ybn)有残差检验、关联度检验和后验差检验。二、模型(mxng)检验（1）残差检验(jinyn)按预测模型计算并将累减生成然后计算原始序列与的绝对误差序列及相对误差序列。给定a,当成立,称模型为残差合格模型.a 取0.
34、01、0.05、0.1 分别为：优、合格、勉强合格第65页/共105页第六十六页，共105页。6767（2）关联度检验(jinyn)根据(gnj)前面所述关联度的计算方法算出与原始(yunsh)序列的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当=0.5时，关联度大于0.6便满意了。第66页/共105页第六十七页，共105页。6868第67页/共105页第六十八页，共105页。6969（3）后验差检验(jinyn)a.计算(j sun)原始序列标准差:b.计算(j sun)绝对误差序列的标准差：c.计算方差比：d.计算小误差概率：第68页/共105页第六十九页，共105页。7070 精度检验(jin
35、yn)等级参照表相对误差相对误差 关联度关联度均方差比均方差比值值小误差概小误差概率率一级一级二级二级三级三级四级四级0.010.010.050.050.100.100.200.200.900.900.800.800.700.700.600.600.350.350.500.500.650.650.800.800.950.950.800.800.700.700.600.60若相关(xinggun)误差，关联度、后验差检验在允许范围之内，则可用所建模型进行预测，否则应进行残差修正。第69页/共105页第七十页，共105页。7171例：某县皮棉产量如表，试建立(jinl)GN(1.1)预测模型，并预
36、测第8期皮棉产量。序序 号号123456产量产量(百万担百万担)2.673.133.253.363.563.72解：令X0(1)、X0(2)、X0(3)、X0(4)、X0(5)、X0(6)对立于原始(yunsh)序列数据第一步，构造累加生成序列：生成序列 X1=2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69第二步，构造数据矩阵(j zhn)B和数据向量 Yn：第70页/共105页第七十一页，共105页。7272第三步，计算(j sun)BTB，(BTB)-1Yn：即a=-0.043879 u=2.925663第71页/共105页第七十二页，共105页。7373第四步，得出(d
37、 ch)预测模型：第五步：残差检验(jinyn)：（1）计算：第72页/共105页第七十三页，共105页。7474（2）累减生成(shn chn)序列：原始(yunsh)序列（3）计算绝对误差及相对误差(xin du w ch)序列：绝对误差序列 00，0.02，0.04，0.02，0.01相对误差序列0/2.67100%，0.02/3.13 100%，0/3.25 100%，0.04/3.36100%，0.02/3.56 100%，0.01/3.72 100%=0.064%,0,1.19%,0.56%,0.27%相对误差小于1.19%，模型精确度高。第73页/共105页第七十四页，共105页
38、。7575第六步，进行关联度检验(jinyn)：（1）计算序列 X0与X0的绝对误差(i)：第74页/共105页第七十五页，共105页。7676（2）计算关联系数：由于只有(zhyu)两个序列，故不再寻第二级最小及最大：（3）计算(j sun)关联度：r=0.67 是满足(mnz)p=0.5 时的检验准则 r0.6 的。第75页/共105页第七十六页，共105页。7777第六步，后验差检验(jinyn)：（1）计算（2）计算X0序列(xli)均方差：（3）计算(j sun)残差的均值：（4）计算残差的均方差：第76页/共105页第七十七页，共105页。7878（5）计算(j sun)C：（6）
39、计算小误差(wch)概率：S00.67450.36710.2476第八步，模型经检验(jinyn)合格后可用于预测，预测公式为：本例中i=7即该县第八期皮棉产量为4.23百万担。第77页/共105页第七十八页，共105页。7979GM(1,1)模型应用实例(shl)的MATLAB实现第78页/共105页第七十九页，共105页。8080解(1)累加生成(shn chn)数列为：年份1999 2000 2001 2002 2003 2004销售额2.673.133.253.363.563.72建立(jinl)GM（1，1）预测模型，并预测2005，2006年产品销售额 原始数据列为：2.67,3.
40、13,3.25,3.36,3.56,3.72 2.6700 5.8000 9.0500 12.4100 15.9700 9.6900X0=2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72;X1(1)=X0(1)for k=2:6 X1(k)=X1(k-1)+X0(k)end第79页/共105页第八十页，共105页。8181(2)构造数据矩阵(j zhn)B和数据向量Y：z=0 4.2350 7.4250 10.7300 14.1900 17.8300load hslitifor k=2:6 z(k)=(1/2)*(X1(k)+X1(k-1)endB=-4.2350 1.0000 -7
41、.4250 1.0000 -10.7300 1.0000 -14.1900 1.0000 -17.8300 1.0000Y=3.1300 3.2500 3.3600 3.5600 3.7200B=(-z(2:6)ones(5,1)Y=(X0(2:6)第80页/共105页第八十一页，共105页。8282(3)计算(j sun)系数 alfa=-0.0440 2.9256alpha=inv(B*B)*B*Y(4)得出(d ch)预测模型 u=alpha(2)/alpha(1)v=X0(1)-uu=-66.5503v=69.2203第81页/共105页第八十二页，共105页。8383(5)进行参差(
42、cn c)检验 得u=alpha(2)/alpha(1)v=X0(1)-ufor n=0:6 X2(n+1)=v*exp(-alpha(1)*n)+uendX2u=-66.5503v=69.22031）根据预测公式(gngsh)，计算 X2=2.6700 5.7809 9.0315 12.4283 15.9777 19.6867 23.5623第82页/共105页第八十三页，共105页。8484得X3(1)=X2(1)for m=1:6 X3(m+1)=X2(m+1)-X2(m)end2）累减生成(shn chn)序列 X3=2.6700 3.1109 3.2507 3.3968 3.5494
43、 3.7089 3.8756而原始数据为2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72 3）计算绝对参差和相对(xingdu)参差序列 绝对(judu)残差序列 daita0=0.0000 0.0191 0.0007 0.0368 0.0106 0.0111daita0=abs(X0-X3(1:6)第83页/共105页第八十四页，共105页。8585相对参差(cn c)序列 kesi=0.0000 0.0061 0.0002 0.0109 0.0030 0.0030kesi=daita0./X0平均相对(xingdu)参差 meankesi=mean(kesi)meankesi=0
44、.00390.6的检验准则meanaita=mean(aita)=0.6745第85页/共105页第八十六页，共105页。8787（7）进行(jnxng)后验差检验 1）计算X0均值(jn zh)、均方差X0mean=mean(X0)=0.2817X0std=std(X0)=0.3671daita0mean=mean(daita0)=0.0130daita0std=std(daita0)=0.0137C=0.03724）计算(j sun)小参差概率2）计算参差均值、均方差3）计算C=daita0std/X0stdS0=0.6745*X0stdS0=0.2476e=0.0130 0.0061 0
45、.0124 0.0237 0.0025 0.0020e=abs(daita0-daita0mean)对所有的e都小于S0，故小参差概率P=length(find(eS0)/length(e)C=0.03720.35,故预测模型是合格的。而同时第86页/共105页第八十七页，共105页。8888(8)预测(yc)得即2005年的产品(chnpn)销售额预测值为4.0498亿元。u=-66.5503v=69.2203X2006=4.0498X2005=X3(7)X2(8)=v*exp(-alpha(1)*7)+uX3(8)=X2(8)-X2(7)X2006=X3(8)即2005年的产品(chnpn
46、)销售额预测值为3.8756亿元。即2006年的产品销售额预测值为4.0498亿元。第87页/共105页第八十八页，共105页。8989GM(1,1)残差模型(mxng)若用原始经济(jngj)时间序列模型(mxng)检验不合格或精度不理想时，要对建立的GM(1,1)模型(mxng)进行残差修正或提高模型(mxng)的预测精度。修正的方法是建立GM(1,1)的残差模型(mxng)。建立的GM(1,1)第88页/共105页第八十九页，共105页。9090可获得生成(shn chn)序列的预测值若用原始(yunsh)序列建立的GM(1,1)模型 对于(duy)残差序列 若存在 ，使得当 时，的符号
47、一致，且 则称残差序列 为可建模残差尾部。第89页/共105页第九十页，共105页。9191的累加生成(shn chn)序列，并建立相应(xingyng)的GM(1,1)模型 计算(j sun)残差序列 得修正模型其中正负号取值与残差尾部符号一致第90页/共105页第九十一页，共105页。9292有关(yugun)建模的问题说明（1）给定原始序列X0中的数据不一定要全部用来建立模型，对原始序列的取舍不同，可得模型不同，即a、u的值不同。（2）建模的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳跃出现。（3）一般建模数据序列应当由最新数据及其相邻数据构成，当再出现新数据时，可采取两种处理方法：一是
48、将新信息加入原始序列中，重估参数；二是去掉(q dio)原始序列中最老的一个数据，再加上最新数据，所形成序列和原序列维数相等，再重估参数。第91页/共105页第九十二页，共105页。9393灰色(hus)预测第92页/共105页第九十三页，共105页。9494 预测方法有300种，通常用回归分析法、德尔菲法、趋势外推法、最小方差预测法、马尔可夫预测法、模型法、指数平滑法、残差辨识方法等。三种类型：回归马尔可夫称统计型 灰色(hus)预测与模型法属连续型 指数平滑与残差辨识则属递推型灰色(hus)系统模型的预测，称灰色(hus)预测。灰色(hus)预测可分为五类：第93页/共105页第九十四页，
49、共105页。9595数列预测 对系统行为特征值大小的发展变化进行预测，称为系统行为数据列的变化预测，简称数列预测。例如粮食产量的预测商品销售量发展变化的预测年平均(pngjn)降水量发展变化的预测人口的预测货运量的预测外贸额发展变化的预测这种预测的特点是：对行为特征量等时距地观测。预测的任务是：了解这些行为特征量在下一个时刻有多大。第94页/共105页第九十五页，共105页。9696灾变预测 对系统行为特征量超出某个阈值（界限值）的异常值将在何时出现的预测称为灾变预测。所以说，灾变预测即对异常值出现时刻的预测。由于异常值往往会使人们(rn men)的生活、生态环境、农业生产等的正常活动带来异常
50、结果，造成灾害，所以也称为这种预测为灾变预测。如年平均降水量大于某个阈值（可容许值）便是涝灾,小于某个阈值是旱灾年产量大于某个指定值，是丰年,小于某个指定值，是欠年环境中某种物质(wzh)含量超出某个阈值，是污染 灾变预测的特点是：对异常值出现的时间进行预测。预测的任务不是确定异常值的大小（因为异常值的大小是指定的灰数），而是确定异常值出现的时间。灾变预测建模所用数据已不是行为特征量本身，而是异常行为特征值发生的时间，这是对时间来说不是等间距的，或者说建模数据的序列，是按序号给出的时间间隔。第95页/共105页第九十六页，共105页。9797第96页/共105页第九十七页，共105页。9898