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1、1灰色系统理论简介 著名学者邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代初提出；诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文“The Control Problems of Grey Systems”，发表于北荷兰出版公司期刊 System&Control Letter,1982,No.5。第1页/共105页2 灰色系统理论的研究对象 “部分信息已知,部分信息未知”的“小样本、贫信息”不确定性系统。灰色系统理论的研究内容 灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。灰色系统理论的应用领域 农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、
2、控制科学等。第2页/共105页3项目项目灰色系统灰色系统概率统计概率统计模糊数学模糊数学研究对象研究对象贫信息不确定贫信息不确定随机不确定随机不确定认知不确定认知不确定基础集合基础集合灰色朦胧集灰色朦胧集康托集康托集模糊集模糊集方法依据方法依据信息覆盖信息覆盖映射映射映射映射途径手段途径手段灰序列算子灰序列算子频率统计频率统计截集截集数据要求数据要求任意分布任意分布典型分布典型分布隶属度可知隶属度可知侧重点侧重点内涵内涵内涵内涵外延外延目标目标现实规律现实规律历史统计规律历史统计规律认知表达认知表达特色特色小样本小样本大样本大样本凭经验凭经验三种不确定性系统研究方法的比较分析 (灰色系统理论、
3、概率统计、模糊数学)第3页/共105页4 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。灰色系统、白色系统和黑色系统 白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。第4页/共105页5灰色系统基本原理1、差异信息原理：差异即信息，凡信息必有差异。2、解的非唯一性原理：信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。3、最少信息原理：灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信息”。4、认知根据原理：信息是
4、认知的根据。5、新信息优先原理：新信息对认知的作用大于老信息。6、灰性不灭原理：“信息不完全”是绝对的。第5页/共105页6灰色系统理论的主要内容n灰色系统理论经过20多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以灰色关联空间为依托的分析体系、以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（GM）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。第6页/共105页7灰色系统的应用范畴灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：n（1）灰色关联分析。n（2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预测.等等。n（3）灰色决策。
5、n（4）灰色预测控制。灰色系统理论是人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。第7页/共105页8灰色关联分析 第8页/共105页9一、关联分析的背景n客观世界中的事物往往现象复杂，因素繁多。我们往往需要对系统进行因素分析，这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上，因素间关联性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键和起点。第9页/共105页10n因素分析的基本方法过去主要采取回归分析、方差分析，主成分分析等办法，但是这种方法需要大量数据作为基础，计算量大。而灰色系统理论采用
6、的关联分析方法可以克服这个弊端。n灰色系统理论进行系统分析的方法：关联度分析法第10页/共105页112.灰色关联分析法 灰色关联分析是灰色系统理论的一个分支应用灰色关联分析方法对受多种因素影响的事物和现象从整体观念出发进行综合评价是一个被广为接受的方法基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。第11页/共105页12应用举例问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪业还是养兔业？第12页/共105页13第13页/共105页14灰色关联分析法的步骤利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是：1 1根据评价目的确定评价指标体系，收集评价
7、数据。设n个数据序列形成如下矩阵：其中 为指标的个数,第14页/共105页152 2确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值 （或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值记作 T第15页/共105页163 3对指标数据进行无量纲化 无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：第16页/共105页17常用的无量纲化方法有均值化法（见（12123 3）式）、初值化法（见（12124 4）式）和 标准化变换等第17页/共105页18 或采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同 例如，某地县级医院病床使用率最高为90%90%，最低为60%60%，我们可以将90
8、%90%转化1010，60%60%转化为1 1，其它可以通过内插法确定其转化值如80%80%转化为多少？可进行如下计算：解之得，即80%80%转化为7 7第18页/共105页194 4逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值 即 （）为被评价对象的个数）5 5确定 与两级最小差 n4逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值 即 （）为被评价对象的个数）n5确定 与两级最小差 两级最大差 第19页/共105页206 6计算关联系数 由（12125 5）式，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数第20页/共105页217 7计算
9、关联度 对各评价对象（比较序列）分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联度，记为：第21页/共105页228 8如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均值即 9 9依据各观察对象的关联度，进行排序，得出综合评价结果第22页/共105页233.3.灰色关联分析的应用举例 例1 1：利用灰色关联分析对6 6位教师工作状况进行综合评价1 1评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤n2对原始数据经处理后得到以下数值，见下表 编号编号专业专业外语外语教学量教学量科研科研论文论文著作著作出勤出
10、勤189875292787573839796647468884365866983868957648第23页/共105页243 3确定参考数据列：4 4计算 ，见下表编号编号专业专业外语外语教学教学量量科研科研论文论文著作著作出勤出勤110123702212416130203252431114635133006161042251第24页/共105页255 5求最值6 6依据（12125 5）式，取计算，得 第25页/共105页26同理得出其它各值，见下表编号编号10.7780.7781.0001.0000.7780.7780.6360.6360.4670.4670.3330.3331.0001.
11、00020.6360.636 0.7780.778 0.6360.636 0.4670.467 0.6360.636 0.3680.368 0.7780.778 31.0001.000 0.6360.636 1.0001.000 0.5380.538 0.5380.538 0.4120.412 0.6360.636 40.5380.538 0.7780.778 0.7780.778 0.7780.778 0.4120.412 0.3680.368 0.5380.538 50.7780.778 0.5380.538 0.5380.538 1.0001.000 0.7780.778 0.3680.
12、368 0.7780.778 60.7780.778 1.0001.000 0.4670.467 0.6360.636 0.5380.538 0.4120.412 0.7780.778 第26页/共105页277 7分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）：8 8如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1 1号，5 5号，3 3号，6 6号，2 2号，4 4号即 第27页/共105页28存在的问题及解决方法第28页/共105页29灰色预测与决策模型研究党耀国 刘思峰等著科学出版社本书中提及了一些其它的灰色关联度，如绝对关联度，相对关联度等 等，并且针对各自的
13、适用范围进行了讨论。所以如果是在数学建模的过程中，我们可以根据实际的需要，确定我们的关联度的计算公式。第29页/共105页30生成数第30页/共105页31 将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处理称为生成.客观世界尽管复杂,表述其行为的数据可能是杂乱无章的,然而它必然是有序的,都存在着某种内在规律,不过这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始数据中找到某种内在的规律.对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律.常用的灰色系统生成方式有:累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等.第31页/共105页321.累加生成 累加生成,即通过数列间各时刻数据的依个累加以得到新的
14、数据与数列.累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数列.累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成新的序列的一种手段.第32页/共105页33第33页/共105页342.一次累加生成算例例：x(0)=(3.2，3.3，3.4，3.6，3.8)求 x(1)(k)解：第34页/共105页35第35页/共105页36对非负数据，累加次数越多则随机性弱化越多，累加次数足够大后，可认为时间序列已由随机序列变为非随机序列。
15、一般随机序列的多次累加序列，大多可用指数曲线逼近。第36页/共105页37存在的问题第37页/共105页38解决的方法第38页/共105页393.累减生成 累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(Inverse Accumulated Generating Operation),累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为.第39页/共105页40第40页/共105页41第41页/共105页42第42页/共105页43第43页/共105页44例令K0，X1(0)=0累减生成序列第44页/共105页45图 8-7第45
16、页/共105页46第46页/共105页47第47页/共105页48第48页/共105页49没有累加生成时的误差为21.26%第49页/共105页504.均值生成 第50页/共105页51第51页/共105页525.级比生成 第52页/共105页53第53页/共105页54第54页/共105页55第四节：GM 模型第55页/共105页56 灰色理论的微分方程性模型称为灰色理论的微分方程性模型称为GMGM模型，模型，GG表示表示greygrey（灰），（灰），MM表示表示modelmodel（模型）。（模型）。GMGM（1 1，N N）表示）表示1 1阶的，阶的，N N个变量的微分方程型模型个变量
17、的微分方程型模型 GMGM（1 1，1 1）则是）则是1 1阶的，阶的，1 1个变量的微分方程型模型。个变量的微分方程型模型。灰色理论的GM模型的机理和特点，可归纳为：一般系统理论只能建立差分模型，不能建立微分模型。而灰色系统理论建立的是微分方程型模型。差分模型是一种递推模型，只能按阶段分析系统的发展，只能用于短期分析，只能了解系统显漏的变化。而灰色理论，基于关联度收敛原理、生成数、灰导数、灰微分方程等观点和方法建立了微分方程型模型。第56页/共105页57系统行为数据列往往是没有规律的，是随机变化的。灰色理论用数据处理的方法（灰色理论称为数据生成），将杂乱无章的原始数据整理成规律较强的生成数
18、列再作研究。灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的，因此杂乱无章的数据后面，必然潜藏着某种规律，而灰数的生成，就是从杂乱无章的原始数据中去开拓、发现，寻找这种内在规律，这是一种现实规律，不是先验规律。灰色理论通过多个GM（1，N）模型来解决高阶系统的建模问题。第57页/共105页58灰色理论通过模型计算值与实际值之差（残差）建立GM（1，1）模型，作为提高模型精度的主要途径。残差的GM（1，1）模型，一般只注重现实规律，最新数据的修正，因此残差GM（1，1）与主模型之间在时间上一般是不同步的。所以灰色预测模型经常是差分微分模型。用灰色理论建模，一
19、般都采用三种检验方式：a.残差大小（或平均值、或最近一个数据的残差值）的检验，按点检验。b.关联度检验，建立模型与指定函数之间近似性的检验。c.后验差检验，是残差分布统计特性的检验。GM模型所得数据必须经过逆生成作还原后才能用。第58页/共105页59设时间序列 有n个观察值，通过累加生成新序列 则GM(1,1)模型相应的白化形式微分方程为：其中：称为发展灰数；称为内生控制灰数。1.GM(1,1)模型 第59页/共105页60记 第60页/共105页61称 为 的紧邻均值生成序列 则 第61页/共105页62设为待估参数向量，可利用最小二乘法求解。解得：则微分方程可表示为第62页/共105页6
20、3 对其做累减还原，即可得到原始数列 的灰色预测模型为:求解微分方程，即可得预测模型：第63页/共105页64 由灰色预测方法原理,-a 主要控制系统发展态势的 大小,即反映预测的发展态势,被称为发展系数;u 的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量,其中:当-a 0.3 时,GM(1,1)模型可用于中长期预测;当 0.3 -a 0.5 时,GM(1,1)模型可用于短期预测,中长期预测慎用;当 0.5 -a 1 时,不宜采用GM(1,1)模型,可考虑其他预测方法。第64页/共105页65一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。二、模型检验（1）残差检验 按预测模型计算并将累减生成然后计算原
21、始序列与的绝对误差序列及相对误差序列。给定a,当成立,称模型为残差合格模型.a 取0.01、0.05、0.1 分别为：优、合格、勉强合格第65页/共105页66（2）关联度检验 根据前面所述关联度的计算方法算出与原始序列的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当=0.5时，关联度大于0.6便满意了。第66页/共105页67第67页/共105页68（3）后验差检验 a.计算原始序列标准差:b.计算绝对误差序列的标准差：c.计算方差比：d.计算小误差概率：第68页/共105页69 精度检验等级参照表相对误差相对误差 关联度关联度均方差比均方差比值值小误差概小误差概率率一级一级二级二级三级三级四级四
22、级0.010.010.050.050.100.100.200.200.900.900.800.800.700.700.600.600.350.350.500.500.650.650.800.800.950.950.800.800.700.700.600.60若相关误差，关联度、后验差检验在允许范围之内，则可用所建模型进行预测，否则应进行残差修正。第69页/共105页70例：某县皮棉产量如表，试建立GN(1.1)预测模型，并预测第8期皮棉产量。序序 号号123456产量产量(百万担百万担)2.673.133.253.363.563.72解：令X0(1)、X0(2)、X0(3)、X0(4)、X0(
23、5)、X0(6)对立于原始序列数据第一步，构造累加生成序列：生成序列X1=2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69第二步，构造数据矩阵B和数据向量Yn：第70页/共105页71第三步，计算BTB，(BTB)-1Yn：即a=-0.043879 u=2.925663第71页/共105页72第四步，得出预测模型：第五步：残差检验：（1）计算：第72页/共105页73（2）累减生成序列：原始序列（3）计算绝对误差及相对误差序列：绝对误差序列00，0.02，0.04，0.02，0.01相对误差序列0/2.67100%，0.02/3.13 100%，0/3.25 100%，0.04
24、/3.36100%，0.02/3.56 100%，0.01/3.72 100%=0.064%,0,1.19%,0.56%,0.27%相对误差小于1.19%，模型精确度高。第73页/共105页74第六步，进行关联度检验：（1）计算序列X0与X0的绝对误差(i)：第74页/共105页75（2）计算关联系数：由于只有两个序列，故不再寻第二级最小及最大：（3）计算关联度：r=0.67 是满足 p=0.5 时的检验准则 r0.6 的。第75页/共105页76第六步，后验差检验：（1）计算（2）计算X0序列均方差：（3）计算残差的均值：（4）计算残差的均方差：第76页/共105页77（5）计算C：（6）计
25、算小误差概率：S00.67450.36710.2476第八步，模型经检验合格后可用于预测，预测公式为：本例中i=7即该县第八期皮棉产量为4.23百万担。第77页/共105页78GM(1,1)模型应用实例的MATLAB实现第78页/共105页79解(1)累加生成数列为：年份1999 2000 2001 2002 2003 2004销售额2.673.133.253.363.563.72建立GM（1，1）预测模型，并预测2005，2006年产品销售额 原始数据列为：2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72 2.6700 5.8000 9.0500 12.4100 15.9700 9
26、.6900X0=2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72;X1(1)=X0(1)for k=2:6 X1(k)=X1(k-1)+X0(k)end第79页/共105页80(2)构造数据矩阵B和数据向量Y：z=0 4.2350 7.4250 10.7300 14.1900 17.8300load hslitifor k=2:6 z(k)=(1/2)*(X1(k)+X1(k-1)endB=-4.2350 1.0000 -7.4250 1.0000 -10.7300 1.0000 -14.1900 1.0000 -17.8300 1.0000Y=3.1300 3.2500 3.360
27、0 3.5600 3.7200B=(-z(2:6)ones(5,1)Y=(X0(2:6)第80页/共105页81(3)计算系数 alfa=-0.0440 2.9256alpha=inv(B*B)*B*Y(4)得出预测模型 u=alpha(2)/alpha(1)v=X0(1)-uu=-66.5503v=69.2203第81页/共105页82(5)进行参差检验 得u=alpha(2)/alpha(1)v=X0(1)-ufor n=0:6 X2(n+1)=v*exp(-alpha(1)*n)+uendX2u=-66.5503v=69.22031）根据预测公式，计算 X2=2.6700 5.7809
28、9.0315 12.4283 15.9777 19.6867 23.5623第82页/共105页83得X3(1)=X2(1)for m=1:6 X3(m+1)=X2(m+1)-X2(m)end2）累减生成序列 X3=2.6700 3.1109 3.2507 3.3968 3.5494 3.7089 3.8756而原始数据为2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72 3）计算绝对参差和相对参差序列 绝对残差序列 daita0=0.0000 0.0191 0.0007 0.0368 0.0106 0.0111daita0=abs(X0-X3(1:6)第83页/共105页84相对参差
29、序列 kesi=0.0000 0.0061 0.0002 0.0109 0.0030 0.0030kesi=daita0./X0平均相对参差 meankesi=mean(kesi)meankesi=0.00390.6的检验准则meanaita=mean(aita)=0.6745第85页/共105页86（7）进行后验差检验 1）计算X0均值、均方差X0mean=mean(X0)=0.2817X0std=std(X0)=0.3671daita0mean=mean(daita0)=0.0130daita0std=std(daita0)=0.0137C=0.03724）计算小参差概率2）计算参差均值、
30、均方差3）计算C=daita0std/X0stdS0=0.6745*X0stdS0=0.2476e=0.0130 0.0061 0.0124 0.0237 0.0025 0.0020e=abs(daita0-daita0mean)对所有的e都小于S0，故小参差概率P=length(find(eS0)/length(e)C=0.03720.35,故预测模型是合格的。而同时第86页/共105页87(8)预测 得即2005年的产品销售额预测值为4.0498亿元。u=-66.5503v=69.2203X2006=4.0498X2005=X3(7)X2(8)=v*exp(-alpha(1)*7)+uX3
31、(8)=X2(8)-X2(7)X2006=X3(8)即2005年的产品销售额预测值为3.8756亿元。即2006年的产品销售额预测值为4.0498亿元。第87页/共105页88GM(1,1)残差模型若用原始经济时间序列模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的GM(1,1)模型进行残差修正或提高模型的预测精度。修正的方法是建立GM(1,1)的残差模型。建立的GM(1,1)第88页/共105页89可获得生成序列的预测值若用原始序列建立的GM(1,1)模型 对于残差序列 若存在 ，使得当 时，的符号一致，且 则称残差序列 为可建模残差尾部。第89页/共105页90的累加生成序列，并建立相应的GM(1
32、,1)模型 计算残差序列 得修正模型其中正负号取值与残差尾部符号一致第90页/共105页91有关建模的问题说明（1）给定原始序列X0中的数据不一定要全部用来建立模型，对原始序列的取舍不同，可得模型不同，即a、u的值不同。（2）建模的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳跃出现。（3）一般建模数据序列应当由最新数据及其相邻数据构成，当再出现新数据时，可采取两种处理方法：一是将新信息加入原始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，再加上最新数据，所形成序列和原序列维数相等，再重估参数。第91页/共105页92灰色预测第92页/共105页93 预测方法有300种，通常用回归分析法、
33、德尔菲法、趋势外推法、最小方差预测法、马尔可夫预测法、模型法、指数平滑法、残差辨识方法等。三种类型：回归马尔可夫称统计型 灰色预测与模型法属连续型 指数平滑与残差辨识则属递推型灰色系统模型的预测，称灰色预测。灰色预测可分为五类：第93页/共105页94数列预测 对系统行为特征值大小的发展变化进行预测，称为系统行为数据列的变化预测，简称数列预测。例如粮食产量的预测商品销售量发展变化的预测年平均降水量发展变化的预测人口的预测货运量的预测外贸额发展变化的预测这种预测的特点是：对行为特征量等时距地观测。预测的任务是：了解这些行为特征量在下一个时刻有多大。第94页/共105页95灾变预测 对系统行为特征
34、量超出某个阈值（界限值）的异常值将在何时出现的预测称为灾变预测。所以说，灾变预测即对异常值出现时刻的预测。由于异常值往往会使人们的生活、生态环境、农业生产等的正常活动带来异常结果，造成灾害，所以也称为这种预测为灾变预测。如年平均降水量大于某个阈值（可容许值）便是涝灾,小于某个阈值是旱灾年产量大于某个指定值，是丰年,小于某个指定值，是欠年环境中某种物质含量超出某个阈值，是污染 灾变预测的特点是：对异常值出现的时间进行预测。预测的任务不是确定异常值的大小（因为异常值的大小是指定的灰数），而是确定异常值出现的时间。灾变预测建模所用数据已不是行为特征量本身，而是异常行为特征值发生的时间，这是对时间来说
35、不是等间距的，或者说建模数据的序列，是按序号给出的时间间隔。第95页/共105页96第96页/共105页97第97页/共105页98第98页/共105页99第99页/共105页100季节灾变预测 若行为特征量异常值的出现，或者某种事件的发生是在一年中个特定时区，则这种预测称为季节灾变预测。云南春雨是在春天出现临西早霜是在秋末冬初的9、10、11月出现洪水是在汛期出现 季节灾变预测，是一种特定时区内的灾变预测。其特点是：灾变一般仅仅发生在一年的某个特定时段。第100页/共105页101拓扑预测（亦称波形预测、整体预测）拓扑预测是对一段时间内行为特征数据波形的预测。拓扑预测在不同的场合有不同的意义
36、。对水利方面年径流量曲线来说，拓扑预测意味着在对未来某段时间内总径流量的预测。对气象方面年平均降水量曲线来说，拓扑预测是对某几年总降水量的预测。对生产系统来说，拓扑预测可以是对几年内生产总产值、总产量的预测。而从本质来看，拓扑预测则是对一个变化不规则的行为数据数列的整体发展进行预测。第101页/共105页102系统综合预测 将某一系统各种因素的动态关系找出，建立系统动态框图。系统的行为特征量是系统的输出。总系统行为特征量是系统总输出，系统中各环节的行为特征量是系统的中间输出。系统综合预测，是控制系统动态研究的内容。其预测模型与前述数列预测、灾变预测的不同。它不是一个孤立的GM（1，1）模型，而是一串相互关联的GM（1，N）模型，即控制理论中的状态模型，或者传递函数模型，这是一种输出输入关系，不是单一数列的变化关系；它不但可以了解整个系统的变化，还可以了解系统中各个环节的发展变化，一般属于系统的综合研究，因此称为系统综合预测。作系统综合预测时，必须有某些量是自主的，是可以用GM（1，1）表征的。第102页/共105页103第103页/共105页104第104页/共105页105感谢您的观看。第105页/共105页