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1、力学刚体的定轴转动1第1页，共25页，编辑于2022年，星期五CA B F由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：5.1 刚体的运动刚体的运动一一.刚体刚体（rigid body）的概念的概念t t+t 才才感受到力感受到力固体中弹性波的速度固体中弹性波的速度（k劲度）劲度）若若 v ，则，则 k ，此时物体有无限的刚性，此时物体有无限的刚性，它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。我们把这种不能变形的物体称为我们把这种不能变形的物体称为刚体。刚体。2第2页，共25页，编辑于2022年，星期五 显然，刚体是个理想化
2、的模型，显然，刚体是个理想化的模型，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一刚体是特殊的质点系，刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对其上各质点间的相对位置保持不变。位置保持不变。质点系的规律都可用于刚体，质点系的规律都可用于刚体，般的质点般的质点系有所简化。系有所简化。通常通常v固体固体 103m/s，所以只要我们讨论的运动所以只要我们讨论的运动过程的速度比此慢得多，过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。就可把固体视为刚体。实际的意义。实际的意义。但是它有但是它有3第3页，共25页，编辑于2022年，星期五的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。的直
3、线在运动各个时刻的位置都彼此平行。二二.刚体的运动形式刚体的运动形式1.平动平动（translation）：）：刚体做平动时，可用质心或其上任何一刚体做平动时，可用质心或其上任何一平动是刚体的基本运动形式之一。平动是刚体的基本运动形式之一。2.转动转动（rotation）：）：转动也是刚体的基本运动形式之一，转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为它又可分为定轴转动定轴转动和和定点转动。定点转动。连接刚体内任意两点连接刚体内任意两点点的运动来代表整体的运动。点的运动来代表整体的运动。4第4页，共25页，编辑于2022年，星期五 定轴转动：定轴转动：且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。且各
4、圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。定点转动：定点转动：整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。3.平面运动：平面运动：刚体上各点的运动都平行于某一刚体上各点的运动都平行于某一4.一般运动：一般运动：刚体不受任何限制的的任意运动。刚体不受任何限制的的任意运动。它可分解为以下两种刚体的基本运动：它可分解为以下两种刚体的基本运动：随随基点基点O（可任选）的（可任选）的平动平动 绕通过基点绕通过基点O的瞬时轴的的瞬时轴的定点转动定点转动运动中各质元均做圆周运动，运动中各质元均做圆周运动，运动中刚体上只有一点固定不动，运动中刚体上只有一点固定不动，固定平面的运动。固
5、定平面的运动。5第5页，共25页，编辑于2022年，星期五O O OO 转动与基点的选取无关。转动与基点的选取无关。两种分解，基点选取不同，两种分解，基点选取不同，例如：例如：平动可以不同，平动可以不同，动力学中，常选动力学中，常选质心质心为基点。为基点。三三.刚体转动的描述（运动学问题）刚体转动的描述（运动学问题）1.定点转动定点转动（rotation about a fixed point）（1）角量的描述）角量的描述 为反映为反映瞬时轴瞬时轴的方向及刚体转动的快慢的方向及刚体转动的快慢转动却相同，转动却相同，或或和转向，引入和转向，引入角速度矢量角速度矢量6第6页，共25页，编辑于202
6、2年，星期五与转向成右螺旋关系。与转向成右螺旋关系。（不一定沿着瞬时轴）（不一定沿着瞬时轴）基点基点OP瞬时轴瞬时轴刚体刚体的方向的方向沿瞬时轴，沿瞬时轴，为反映为反映 的变化情况，引入的变化情况，引入角加速度矢量角加速度矢量 。转向转向7第7页，共25页，编辑于2022年，星期五（2）线量和角量的关系）线量和角量的关系vrrP 基点基点O瞬时轴瞬时轴刚体刚体旋转加速度旋转加速度 向轴加速度向轴加速度 2.定轴转动定轴转动（rotation about a fixed axis）转轴固定，转轴固定，。和和和和退化为退化为代数量代数量8第8页，共25页，编辑于2022年，星期五 O刚体刚体vPr
7、r定轴定轴参参考考方方向向z9第9页，共25页，编辑于2022年，星期五5.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 把刚体看作无限多质元构成的质点系。把刚体看作无限多质元构成的质点系。令令转动惯量转动惯量（对（对z轴）轴）（rotational inertia）vi刚体刚体 O,ri定轴定轴zmiriFi10第10页，共25页，编辑于2022年，星期五vi刚体刚体 O,ri定轴定轴zFiimiri则则即即转动定律转动定律其中其中定轴情况下，可不写下标定轴情况下，可不写下标 z，记作：，记作：与牛顿第二定律相比，有：与牛顿第二定律相比，有：M 相应相应F，J 相应相应 m，相应相应 a。11第
8、11页，共25页，编辑于2022年，星期五哪种握法转动惯量大？哪种握法转动惯量大？12第12页，共25页，编辑于2022年，星期五5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算dmrm转轴转轴 J 由质量对轴的分布决定。由质量对轴的分布决定。一一.常用的几种转动惯量表示式常用的几种转动惯量表示式 13第13页，共25页，编辑于2022年，星期五1、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。环平面垂直并通过圆心。解：细圆环解：细圆环R又解又解:J J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结
9、果相同。14第14页，共25页，编辑于2022年，星期五2 求质量为求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的转动惯的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是量也是mR2/2。15第15页，共25页，编辑于2022年，星期五3.求一质量为求一质量为m的均匀实心球对其一条直径的均匀实心球对其一条直径 为轴的为轴的 转动转动惯量。惯量。解：解：一球绕一球绕Z轴旋转，离轴旋转，离 球心球心Z
10、高处切一厚为高处切一厚为dz的的薄圆盘。其半径为薄圆盘。其半径为其体积：其体积：其质量：其质量：其转动惯量：其转动惯量：YXZORrdZZ16第16页，共25页，编辑于2022年，星期五YXZORrdZZ17第17页，共25页，编辑于2022年，星期五4、求长为、求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标解：取如图坐标dm=dx18第18页，共25页，编辑于2022年，星期五前例中前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，表
11、示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距相距L/2。可见：。可见：推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为相距为d，刚体对其转动惯量为，刚体对其转动惯量为J，则有，则有：JJCmd2。这个结论称为这个结论称为平行轴定理平行轴定理。平行轴定理平行轴定理19第19页，共25页，编辑于2022年，星期五二二.计算转动惯量的几条规律计算转动惯量的几条规律1.对同一轴对同一轴J具有可叠加性具有可叠加性20第20页，共25页，编辑于2022年，星期五 右图所示刚体对经过棒端且右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何与棒垂直的轴的转动惯量如何计
12、算？计算？(棒长为棒长为L、球半径为、球半径为R）21第21页，共25页，编辑于2022年，星期五3.对薄平板刚体的正交轴定理对薄平板刚体的正交轴定理 2.平行轴定理平行轴定理JCdmJC平行平行 ri mi x z yi y xiO即即如图如图22第22页，共25页，编辑于2022年，星期五 例例 求求对薄圆盘的一条直径的转动惯量，对薄圆盘的一条直径的转动惯量，已知圆盘已知圆盘 yx z 圆盘圆盘 R C m 解：解：思考思考下图中的下图中的 Jz 如何求？如何求？zlDmCaazm23第23页，共25页，编辑于2022年，星期五5.4 转动定律应用举例转动定律应用举例定轴定轴 ORthmv
13、0=0 绳绳（不可伸长）（不可伸长）已知：已知：R=0.2m，m=1kg，v0=0，h=1.5m，滑动，滑动，下落时间下落时间 t=3s。求：求：轮对轮对 O 轴轴 J=？解：解：动力学关系：动力学关系：对轮：对轮：T=TmgmaRGTN对对m：运动学运动学关系：关系：(3)(4)(1)(2)绳轮间无相对绳轮间无相对24第24页，共25页，编辑于2022年，星期五(1)(4)联立解得：联立解得：分析结果：分析结果：量纲对；量纲对；h、m 一定，一定，J t，若若J=0，得，得 代入数据：代入数据：正确。正确。合理；合理；此为一种用实验测转动惯量的方法。此为一种用实验测转动惯量的方法。25第25页，共25页，编辑于2022年，星期五