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1、会计学1研究有限差分格式稳定性的研究有限差分格式稳定性的Fourier方法方法分解分解在节点上：在节点上：第1页/共21页等式两边分别用等式两边分别用Fourier积分表示积分表示：由此可得由此可得:第2页/共21页因此因此实际上，我们就是用增长因子来判断稳定性的实际上，我们就是用增长因子来判断稳定性的第3页/共21页假设：假设：Parseval等式等式由假设由假设Parseval等式等式第4页/共21页说明：增长因子的任意次幂有界保证了差分格式的说明：增长因子的任意次幂有界保证了差分格式的 稳定性，以上推导步步可逆，即由差分格式稳定性，以上推导步步可逆，即由差分格式 的稳定性可以得出增长因子
2、的任意次幂是有的稳定性可以得出增长因子的任意次幂是有 界的。界的。结论结论：差分格式（：差分格式（1.2）稳定的充分必要条件是：存在）稳定的充分必要条件是：存在第5页/共21页如果对于如果对于线性方程组线性方程组，或多层格式，离散的形式为，或多层格式，离散的形式为差分方程组差分方程组：利用利用Fourier积分得到积分得到此时此时第6页/共21页稳定性条件：稳定性条件：补充：补充：注：所以对于增长矩阵通过矩阵的特征值来得到稳定注：所以对于增长矩阵通过矩阵的特征值来得到稳定 性的条件，增长因子是特殊的增长矩阵。性的条件，增长因子是特殊的增长矩阵。我们给出下面关于稳定性判别的结论第7页/共21页3
3、.2 3.2 判别准则判别准则判别准则判别准则(*)注注：条件条件(*)被称为被称为Von Neumann条件，条件，Von Neumann条件是稳定性的必要条件，其重要性在于很多情况下，条件是稳定性的必要条件，其重要性在于很多情况下，这个条件也是稳定性的充分条件这个条件也是稳定性的充分条件。第8页/共21页注注:判断稳定性关键是求增长因子或增长矩阵的特征值。判断稳定性关键是求增长因子或增长矩阵的特征值。第9页/共21页3.3 3.3 例子例子例子例子Fourier方法在具体应用时，可以采取离散的形式，方法在具体应用时，可以采取离散的形式，直接从差分方程入手。不必要扩充、直接从差分方程入手。不
4、必要扩充、Fourier积分积分的的烦琐步骤。具体是：烦琐步骤。具体是：以左偏格式为例以左偏格式为例：第10页/共21页代入差分方程代入差分方程整理得：整理得：增长因子为：增长因子为：实际应用时，我们常用更严格的控制条件，即实际应用时，我们常用更严格的控制条件，即第11页/共21页第12页/共21页例例.考虑扩散方程考虑扩散方程的隐式格式的隐式格式的稳定性的稳定性.解解.先把差分格式变形为先把差分格式变形为第13页/共21页第14页/共21页例例.考虑扩散方程考虑扩散方程的的Richardson格式格式的稳定性的稳定性.这是一个三层格式这是一个三层格式,一般先化为等价的二层差分方程组一般先化为
5、等价的二层差分方程组.解解.先把差分格式变形为先把差分格式变形为第15页/共21页增长矩阵为第16页/共21页增长矩阵为其特征值为显然显然不满足不满足von Neumann条件条件,格式不稳定格式不稳定.第17页/共21页稳定性的分类稳定性的分类：1、条件稳定条件稳定：稳定性对时间、空间步长有限制的。如：对流方程的左偏显示格式。2、无条件稳定（绝对稳定）无条件稳定（绝对稳定）：稳定性对时间、空间步长没有有限制的。如：隐式格式。3、无条件不稳定（绝对不稳定）无条件不稳定（绝对不稳定）：对任何时间、空间步长格式不稳定。如：扩散方程的Richardson格式。第18页/共21页作业作业P44 1.3.第19页/共21页练习：练习：对一维对流方程对一维对流方程1、写出右偏差分格式、中心差分格式、写出右偏差分格式、中心差分格式2、用、用Fourier方法分析两种差分格式的稳定性方法分析两种差分格式的稳定性并说明两种格式的收敛性。并说明两种格式的收敛性。第20页/共21页