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1、第三节 研究有限差分格式稳定性的Fourier方法,3.1 Fourier方法,以一维对流方程为例：,左偏差分格式：,在节点上：,等式两边分别用Fourier积分表示：,由此可得:,因此,实际上，我们就是用增长因子来判断稳定性的,假设：,Parseval等式,由假设,Parseval等式,说明：增长因子的任意次幂有界保证了差分格式的 稳定性，以上推导步步可逆，即由差分格式 的稳定性可以得出增长因子的任意次幂是有 界的。,结论：差分格式（1.2）稳定的充分必要条件是：存在,如果对于线性方程组，或多层格式，离散的形式为 差分方程组：,利用Fourier积分得到,此时,稳定性条件：,补充：,注：所以
2、对于增长矩阵通过矩阵的特征值来得到稳定 性的条件，增长因子是特殊的增长矩阵。,我们给出下面关于稳定性判别的结论,3.2 判别准则,(*),注：条件(*)被称为Von Neumann条件，Von Neumann 条件是稳定性的必要条件，其重要性在于很多情况下， 这个条件也是稳定性的充分条件。,注:判断稳定性关键是求增长因子或增长矩阵的特征值。,3.3 例子,Fourier方法在具体应用时，可以采取离散的形式， 直接从差分方程入手。不必要扩充、Fourier积分的 烦琐步骤。具体是：,以左偏格式为例：,代入差分方程,整理得：,增长因子为：,实际应用时，我们常用更严格的控制条件，即,例. 考虑扩散方
3、程,的隐式格式,的稳定性.,解. 先把差分格式变形为,例. 考虑扩散方程,的Richardson格式,的稳定性.,这是一个三层格式,一般先化为等价的二层差分方程组.,解. 先把差分格式变形为,增长矩阵为,增长矩阵为,其特征值为,显然,不满足von Neumann条件,格式不稳定.,稳定性的分类：,1、条件稳定：稳定性对时间、空间步长有限制的。,如：对流方程的左偏显示格式。,2、无条件稳定（绝对稳定）：稳定性对时间、 空间步长没有有限制的。,如：隐式格式。,3、无条件不稳定（绝对不稳定）：对任何时间、 空间步长格式不稳定。,如：扩散方程的Richardson格式。,作业,P44 1. 3.,练习：对一维对流方程,1、写出右偏差分格式、中心差分格式,2、用Fourier方法分析两种差分格式的稳定性 并说明两种格式的收敛性。,