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1、会计学1线性代数总复习分析线性代数总复习分析线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第一部分第一部分第一部分第一部分 行列式行列式行列式行列式行行列列式式排列概念性质展开式计算应用逆序奇/偶排列一个排列中，某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做该排列的逆序数。第一部分第一部分第一部分第一部分 行列式行列式行列式行列式第1页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习行行列列式式排列概念性质展开式计算应用逆序奇/偶排列逆序数为奇数的排列叫奇排列。逆序数为偶数的排列叫偶排列。第一部分第一部分第一部分第一部分 行列式行
2、列式行列式行列式第2页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习行行列列式式排列概念性质展开式计算应用 D=(不同行、不同列元素乘积的代数和)第一部分第一部分第一部分第一部分 行列式行列式行列式行列式第3页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习行行列列式式排列概念性质展开式计算应用 性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 行列式互换两行(列)，行列式变号。推论:行列式有两行(列)相同，则此行列式为零。性质3 行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k，等于用数k乘以该行列式。推论:行列式的某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号外。性质
3、4 行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则此行列式为零。第一部分第一部分第一部分第一部分 行列式行列式行列式行列式第4页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习行行列列式式排列概念性质展开式计算应用 性质5 若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和，即若性质6 行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式值不变。则此行列式等于两个行列式之和，即第一部分第一部分第一部分第一部分 行列式行列式行列式行列式第5页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习行行列列式式排列概念性质展开式计算应用 第一部分第一部分第一部分第一部分 行列式行列式行列
4、式行列式代数余代数余子式子式一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij,令Aij=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式.第6页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习行行列列式式排列概念性质展开式计算应用 第一部分第一部分第一部分第一部分 行列式行列式行列式行列式克拉默法则(求解齐次线性方程组的一种方法)齐次线性方程组有非零解的充分条件三角化法递推法数学归纳法展开法拆项法 第7页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习其它几个重要定理及结论：定理 n阶行列式的
5、某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零.即 ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0(i j)a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0(i j).上(下)三角行列式的值等于主对角线元素的乘积第一部分第一部分第一部分第一部分 行列式行列式行列式行列式第8页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第二部分第二部分第二部分第二部分 矩阵矩阵矩阵矩阵第二部分第二部分第二部分第二部分 矩阵矩阵矩阵矩阵矩矩阵阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换mn个数构成的m行n列的数表加法：A+B=(aij+bij),A、B是同型矩阵 A+B=
6、B+A,(A+B)+C=A+(B+C),A+O=A,A+(A)=O,数乘：kA=k(aij)k(lA)=(kl)A,(k+l)A=kA+lA,k(A+B)=kA+kBcij=aikbkj.k=1s矩阵乘法：AB=C，其中C是mn矩阵.(AB)C=A(BC),A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(kA)B=k(AB).第9页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第二部分第二部分第二部分第二部分 矩阵矩阵矩阵矩阵第二部分第二部分第二部分第二部分 矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换转置：A=(aij),AT=(aji)方
7、阵的行列式：(AT)T=A,(kA)T=kAT,(A+B)T=AT+BT,(AB)T=BTAT.设A=aijnn为方阵,元素aij的代数余子式为Aij,则称如下矩阵为方阵A的伴随矩阵.矩矩阵阵第10页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第二部分第二部分第二部分第二部分 矩阵矩阵矩阵矩阵矩矩阵阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得 AB=BA=E.则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.注意：A可逆detA0(A 1)1=A.(AT)1=(A 1)T.(kA)1=k 1A 1.(AB)1=B 1A 1.运算性质逆阵的求法
8、:定义法用伴随矩阵用伴随矩阵用初等行变换(A E)(A-1 A)逆阵的证法:A 0，R(A)=n,反证法第11页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第二部分第二部分第二部分第二部分 矩阵矩阵矩阵矩阵矩矩阵阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换单位矩阵对角矩阵初等矩阵对称矩阵定义：非0子式的最高阶数求法：初等变换或定义的性质：经初等变换矩阵的秩不变几种常用的初等变换及对应的初等矩阵行阶梯矩阵、行最简型、标准型第12页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习其它几个重要定理及结论：第二部分第二部分第二部分第二部分 矩阵矩阵矩
9、阵矩阵矩阵等价：矩阵等价：若矩阵A经过有限次初等变换化为B,则称A与B等价.记为A B.（注意与相似、合同、正交相似的区别）A与B等价R(A)=R(B)定理.方阵A可逆的充要条件是A可写成有限个初等矩阵的乘积.推论1.方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价。推论2.mn阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶 可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得 PAQ=B。与等价有关的重要定理定理.对mn矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的初等矩阵;对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的初等矩阵.第13页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第三部分第三部分第三
10、部分第三部分 向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解第三部分第三部分第三部分第三部分 向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解n维维向向量量运算线性表示线性相关性k1 1+k2 2+kn n=0 ki均为0，则1,2,n线性无关 只要有一个ki不为0，1,2,n 线性相关 最大线性无关组：最大线性无关组：向量组A中，能找到r个向量线性无关，任意r+1个线性相关，则这r个向量构成的向量组是A的一个最大线性
11、无关组。求法：求法：非零子式法、初等变换法最大无关组包含的向量的个数最大无关组向量组的秩第14页/共33页向量组与矩阵的关系线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第三部分第三部分第三部分第三部分 向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解矩阵A=(1,2,s)列向量组列向量组列向量组列向量组:11,22,ss 注：行向量的问题与列向量相同矩阵矩阵A A的秩的秩R(A A)向量组的秩向量组的秩R RTT 最高阶非零子式最高阶非零子式最大线性无关组最大线性无关组 第15页/共33页线性代
12、数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第三部分第三部分第三部分第三部分 向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解线性方程组Ax=bb=0?齐次方程组是否非齐次方程组行阶梯形矩阵初等行变换R(A)nR(A)R(A b)解的结构基础解系有无非零解有解判定第16页/共33页3.4.1 3.4.1 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组 第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 例.求的基础解系与通解.解:初等行变换 该方程组的基础解系可取为 通解为
13、第17页/共33页第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 3.4.2 3.4.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组 解:初等行变换可见原方程组有解,且例.求方程组 的通解.第18页/共33页第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 3.4.2 3.4.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组 由此可得原方程组的通解可见原方程组有解,且第19页/共33页向量组的线性相关性与非齐次方程组解的关系线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第三部分第三部分第三部分第三部分 向
14、量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解有解 无解 向量b能由 1,2,n线性表示？是 否 Ax=(1,2,n)x=b有无穷多组解有唯一解 有效方程数少于未知数个数？R(A)R(A b)?是 否 R(A)R(A b)n?无 有 Ax=b有矛盾方程?方程组有解 方程组无解 否 是是 否 第20页/共33页向量组的线性相关性与齐次方程组解的关系线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第三部分第三部分第三部分第三部分 向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组
15、的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解有非零解 只有零解 向量组1,2,n线性相关？是 否 Ax=(1,2,n)x=0R(A)nR(A)=n注意：齐次线性方程组不会出现矛盾方程。只有零解有无穷多组非零解 R(A)n?是 否 有效方程数少于未知数个数？否是第21页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第四部分第四部分第四部分第四部分 向量空间向量空间向量空间向量空间第四部分第四部分第四部分第四部分 向量空间向量空间向量空间向量空间向向量量空空间间 V对于+，k 封闭1,2,r是V中一线性无关向量组,V中任一向量都能由1,2,r 线性表示,则称1
16、,2,r 是向量空间V的一组基.r称为V的维数.1,2,r是向量空间V 的一组基.对V,唯一的一组有序实数k1,kr使=k11+k22+krr.则称r维向量k1,k2,krT 为 在1,r 这组基下的坐标.注意：由基的不唯一性可知坐标不唯一定义基、维数坐标基变换与坐标变换向量内积第22页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第四部分第四部分第四部分第四部分 向量空间向量空间向量空间向量空间定义基、维数坐标基变换与坐标变换向向量量空空间间基变换公式：注意：P可逆，且P的列向量pi是 i在 1,2,r这组基下的坐标。P是由1,2,r到1,2,r的过渡矩阵,V 在这两组基
17、下的坐标分别为x,y。x=Py,y=P1x.坐标变换公式：称P为从基1,2,r到1,2,r的过渡矩阵.(1,2,r)=(1,2,r)P 向量内积第23页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第四部分第四部分第四部分第四部分 向量空间向量空间向量空间向量空间定义基、维数坐标基变换与坐标变换向向量量空空间间定义：向量内积(1)对称性:,=,;(2)线性性:k11+k22,=k11,+k22,;(3),0;且,=0 =0.(4)|,|,.性质：正交：施密特(Schmidt)方法若,=0,则称与正交.第24页/共33页(EA)=0基础解系法线性代数总复习线性代数总复习线性代
18、数总复习线性代数总复习第五部分第五部分第五部分第五部分 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量第五部分第五部分第五部分第五部分 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量特特征征值值与与特特征征向向量量A=，0 定义求法性质相似矩阵实对称阵特征值特征向量定义法 特征方程|EA|=0定义法1+n=tr(A).1n=|A|.A 可逆1,n全不为零.|EA|=|EAT|.第25页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第五部分第五部分第五部分第五部分 方阵的特征值与特征向量方阵的
19、特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量概念求法性质相似矩阵实对称阵特特征征值值与与特特征征向向量量矩阵相似，则其特征值相同。不同特征值的特征向量线性无关。k重特征值至多有k个线性无关的特征向量。A有n个线性无关的特征向量P-1AP=BR(iE-A)=n-r，i是r重特征值A有n个不同的特征值A是实对称阵定义矩阵可对角化的条件应用An=P-1 nP第26页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第五部分第五部分第五部分第五部分 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量概念求法性质相似矩阵实对称阵的特性
20、特特征征值值与与特特征征向向量量必可相似对角化不同特征值的特征向量互相正交特征值全是实数k重特征值必有k个线性无关的特征向量与对角阵合同第27页/共33页矩阵等价、相似、合同、正交相似的联系与区别A,BMn,A与B相似 存在可逆矩阵P，使P-1AP=BA与B合同 存在可逆矩阵C，使CTAC=BA与B正交相似 存在正交阵Q，使QTAQ=Q-1AQ=BA,BMmn,A与B等价 存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B共同的性质：自反性、对称性、传递性线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第五部分第五部分第五部分第五部分 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特
21、征值与特征向量方阵的特征值与特征向量第28页/共33页等价、相似、合同、正交相似的关系A与B相似 A与B合同 A与B正交相似方阵A与B等价等价、相似、合同、正交相似的不变量等价:秩，即R(A)=R(B)相似:秩，即R(A)=R(B)特征多项式，|EA|=|EB|特征值合同:秩，即R(A)=R(B)对称性，即若A对称，则B也对称 对称阵A、B对应的二次型的正(负)惯性指数 对称阵A、B对应的二次型的规范型正交相似:相似+合同线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第五部分第五部分第五部分第五部分 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征
22、向量第29页/共33页实对称阵对角化的步骤求A全部特征值根据（所有特征值的重根次数之和等于n）对每个ki重特征值 i求方程(A-iE)x=0的基础解系得出对应于特征值 i的ki个线性无关的特征向量将对应于特征值 i的ki个线性无关的特征向量正交、单位化（总共可以得到n个两两正交的单位特征向量）将n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P，即可满足P-1AP=。线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第五部分第五部分第五部分第五部分 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量求方阵特征值和特征向量的步骤 计算|EA|求|EA|=0的根 求
23、(EA)x=0的基础解系 第30页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第六部分第六部分第六部分第六部分 二次型二次型二次型二次型二二次次型型基本概念标准型化正定二次型第六部分第六部分第六部分第六部分 二次型二次型二次型二次型定义：含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数矩阵表示：f=xTAxA对称，称A为f的矩阵，称f 为A的二次型，且f与A一一对应。标准形：只含平方项规范型：ki在-1,0,1,中取值二次型的秩：R(f)=R(A)惯性定理第31页/共33页线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第六部分第六部分第六部分第六部分 二次型二次型二次型二次型基本概念标准型化正定二次型二二次次型型配方法正交变化法写出二次型矩阵A将A相似对角化，同时得正交变换矩阵Q令x=Qy，即得标准型定义 x 0 f(x)0 充要条件特征值全大于0正惯性指数等于nA与E合同顺序主子式全大于0有可逆阵Q,使A=QTQ第32页/共33页