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1、一、行列式一、行列式1、二阶三阶行列式的计算第1页/共64页2、n阶行列式的计算性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.性质行列式中如果有两行（列）元素成比性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零(1)利用行列式的性质计算（化为三角形）（化为三角形）第2页
2、/共64页性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变第3页/共64页例 计算行列式解第4页/共64页第5页/共64页(2)利用行列式展开计算定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即第6页/共64页例例第7页/共64页第8页/共64页二、矩阵二、矩阵1、矩阵的逆的求法（
3、1）公式法（伴随法）第9页/共64页（2）初等变换法行的初等变换第10页/共64页例例1 1 求方阵 的逆矩阵.解解（公式法）第11页/共64页第12页/共64页故第13页/共64页（初等变换法）（初等变换法）第14页/共64页第15页/共64页即初等行变换第16页/共64页2、矩阵的秩矩阵秩的求法矩阵秩的求法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.第17页/共64页例例解第18页/共64页第19页/共64页第20页/共64页三、向量之间的关系三、向量之间的关系1、线性组合 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示定义定义第21页/共64页存在矩
4、阵 ，使得矩阵方程有解判定判定线性表示能由第22页/共64页线性表示存在矩阵 ，使得矩阵方程有解第23页/共64页例设证明向量 能由向量组 线性表示，并求表示式。解只需证矩阵与矩阵有相同的秩。下面把矩阵 化为行最简形：法一第24页/共64页行的初等变换行的初等变换向量 可由向量组 线性表示。第25页/共64页由最简形知，方程组的通解为从而其中 为任意常数。第26页/共64页法二设即也即第27页/共64页其中 为任意常数。解得其通解为故向量 可由向量组 线性表示，且其中 为任意常数。第28页/共64页定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关2、线
5、性相关性、线性相关性第29页/共64页定理定理判定判定第30页/共64页第31页/共64页例例1第32页/共64页第33页/共64页解解第34页/共64页第35页/共64页3、最大无关组及向量组的秩、最大无关组及向量组的秩设有向量组 ，满足下面两个条件：如果能在 中选出 个向量（1）向量组 线性无关；线性表示。（2）向量组 中的每一个向量都能由向量组则称向量组 为向量组 的最大无关组。最大无关组所含向量的个数 称为向量组的秩。第36页/共64页向量组的秩的求法向量组的秩的求法向量组向量组 的秩的秩的秩的秩矩阵矩阵最大无关组的求法最大无关组的求法第37页/共64页第38页/共64页且 列向量组的
6、一个最大无关组为第39页/共64页因此第40页/共64页四、线性方程组的解四、线性方程组的解定理 元线性方程组1)有唯一解2)无解3)无穷多解定理 元齐次线性方程组 有非零解第41页/共64页定理 设矩阵 的秩 ，则齐次线性 的解集 的秩为线性方程组其中 为任意实数。非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的一个特解为齐次线性方程组的基础解系为则非齐次线性方程组的解解为第42页/共64页例 求解非齐次方程组解：第43页/共64页令则为任意常数）法1：第44页/共64页法2：令得又原方程组对应的齐次方程组的通解是令得基础解系所以原方程组的通解是为任意常数）第45页/共64页五、特征值与特征向量五、
7、特征值与特征向量（1）如何求 的特征值？解特征方程特征方程的根即为矩阵 的特征值。（2）如何求属于特征值 的特征向量？解齐次线性方程组 其非零解即为属于特征值 的特征向量1、特征值与特征向量的求法第46页/共64页例例 设求A的特征值与特征向量解解第47页/共64页第48页/共64页得基础解系为：第49页/共64页使得 则若存在可逆矩阵 ，（1）为矩阵 的特征值（2）为对应于特征值 的特征向量。2、方阵的对角化第50页/共64页A能否对角化？若能对角例例解解第51页/共64页解之得基础解系第52页/共64页所以 可对角化.第53页/共64页注意注意即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应第54页/共64页3、实对称矩阵的对角化第55页/共64页利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.具体步骤为：第56页/共64页例 设求正交矩阵 ，使得 为对角阵。解：第57页/共64页当 时，齐次线性方程组为得基础解系令第58页/共64页令先正交化：再单位化：令第59页/共64页当 时，齐次线性方程组为令得基础解系单位化得第60页/共64页得正交矩阵有第61页/共64页第62页/共64页考试安排考试安排第十六周周五3、4节课（6月10日）1、2班：教学5号楼2023、4班：教学5号楼204第63页/共64页感谢您的观看！第64页/共64页