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1、关于无穷小无穷大极限运算法则现在学习的是第1页，共30页当一、一、无穷小无穷小定义定义1(P39).若0 xx 时,函数,0)(xf则称函数)(xf0 xx 例1(P39):,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limxx函数 x1x时为无穷小;,011limxx函数 x11当x)x(或为时的无穷小无穷小.时为无穷小.)x(或机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明现在学习的是第2页，共30页说明说明(P39):2、0是可以作为无穷小的唯一常数0 xx 时,函数,0)(xf(或 )x则称函数)(xf为0 xx 定义定义1.若(或 )x则时的无穷小无穷小.机动 目录 上页 下页
2、 返回 结束 1、无穷小不是很小的数定理1现在学习的是第3页，共30页其中 为0 xx 时的无穷小量.定理定理 1(P39).(无穷小与函数极限的关系)Axfxx)(lim0 Axf)(,证证:Axfxx)(lim0,0,0当00 xx时,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证.机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷大现在学习的是第4页，共30页Mxf)(二、二、无穷大无穷大定义定义2(P40).若任给任给 M 0,000 xx一切满足不等式的 x,总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大,使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(
3、lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx)(x)(lim(xfx(正数正数 X),记作,)(Mxf总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意现在学习的是第5页，共30页注意注意(P40):1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例例(P42题题6),函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但0)(2nf所以x时,)(xf不是无穷大!oxyxxycos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2现在学习的是第6页，共30页例例 2(P40).证明11lim1xx证证:任给正数 M,要使,11Mx即,11Mx只要取
4、,1M则对满足10 x的一切 x,有Mx11所以.11lim1xx11xy若,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线.渐近线1说明说明(P41):xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小无穷大关系现在学习的是第7页，共30页三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小;若)(xf为无穷小,且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2(P41).在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2证明现在学习的是第8页，共30页,)(l
5、im0 xfxx,0,0,01M|00 xx证 设取当时，有,1|)(|Mxf,)(1xf)(1xf0 xx 即所以为当时的无穷小.0)(lim0 xfxx,0)(xf,0M,0,1M|00 xx反之，设且 取当 时，有,1|)(|Mxf,0)(xf,|)(1|Mxf)(1xf0 xx 由得所以为当时的无穷大.内容小结现在学习的是第9页，共30页内容小结内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系思考与练习思考与练习P42 题1,3P42 题3 提示:21xy,21x210140 x第五节 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第10页，共30页 第一
6、章 二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一、无穷小运算法则、无穷小运算法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则现在学习的是第11页，共30页时,有,min21一、一、无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1(P43).有限个无穷小的和还是无穷小.证证:考虑两个无穷小的和.设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时,有2,02当200 xx时,有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明现在学习的是第12页，共30页说
7、明说明:无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小!例如，例如，nnnnnn2221211lim1(P56,题 4(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2现在学习的是第13页，共30页定理定理2(P43).有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证:设,),(10 xxMu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时,有M取,min21则当),(0 xx时,就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小.推论推论 1(P44).常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2(P44).有限个无穷小的乘积是无穷小.机动 目录 上页
8、下页 返回 结束 例1现在学习的是第14页，共30页oyx例例1(P48例例8).求.sinlimxxx解解:1sinx01limxx利用定理 2(P43)可知.0sinlimxxxxxysin机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限四则运算法则现在学习的是第15页，共30页二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则)()(lim)2(xgxf)(lim)(limxgxfBA,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(lim)1(xgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 3 (P44).若机动 目录 上页 下页 返回 结束)()(lim)3(xgxf)(lim)(limxgxfB
9、A说明说明(P45):定理 3 可推广到有限个有限个函数相加、减、乘的情形.推论现在学习的是第16页，共30页推论推论 1(P45).)(lim)(limxfCxfC(C 为常数)推论推论 2 (P45).nnxfxf)(lim)(lim(n 为正整数)例例2(P46).设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理4现在学习的是第17页，共30页定理定理4(P45).若,lim,limByAxnnnn则有)(lim)1(nnny
10、x nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理3(P44)直接得出结论.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3现在学习的是第18页，共30页 x=3 时分母为 0!31lim3xxx例例3(P46).设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(,)(xQxP都是多项式,0)(0 xQ试证:.)()(lim00 xRxRxx证证:)(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明(P47):若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则.例如例如.934li
11、m223xxxx)3)(3()1)(3(lim3xxxxx6231 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4现在学习的是第19页，共30页例例4(P47).求.4532lim21xxxx解解:x=1 时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母=0,分子0,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束 由P41定理2有例5现在学习的是第20页，共30页例例5.求.125934lim22xxxxx解解:x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母“抓大头抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 有理分式极限一般结果现在学习的是
12、第21页，共30页一般有如下结果一般有如下结果(P48)：为非负常数)nmba,0(00mn 当(如如P47 例例5)(如如P47 例例6)(如如P47 例例7)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 mn 当mn 当复合函数极限运算现在学习的是第22页，共30页定理定理6(P48).设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有)(lim0 xfxxAufau)(lim 说明说明(P49):若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得)(lim0 xfxxAufu)(lim机动 目
13、录 上页 下页 返回 结束 例7三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则现在学习的是第23页，共30页例例7.求求解解:令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61(见见 P47 例例3)原式=uu61lim6166(见见 P34 例例5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8现在学习的是第24页，共30页例例8.求求解解:方法方法 1.11lim1xxx,xu 则,1lim1ux令11112uuxx1 u 原式)1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1)1)(1(lim1xxxx)1(lim1xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结现在学习的是第
14、25页，共30页内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法0)1xx 时,用代入法(分母不为 0)0)2xx 时,对00型,约去公因子x)3时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习现在学习的是第26页，共30页思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在?为什么?答答:不存在.否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在,与
15、已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解:原式22)1(limnnnn)11(21limnn212.问机动 目录 上页 下页 返回 结束 3题现在学习的是第27页，共30页3.求.)1(lim2xxxx解法解法 1 原式=xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式=22011limttt111lim20tt 0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 4题现在学习的是第28页，共30页4.试确定常数 a 使.0)1(lim33xaxx解解:令,1xt 则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此作业现在学习的是第29页，共30页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第30页，共30页