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1、第七节二次型的正定性现在学习的是第1 页，共23 页5.7 二次型的正定性一、正 负 定的定 义二次型的另一个重要 问题 是分 类问题。对 于 标 准形式的有心二次曲 线椭圆及双曲 线，前者二次型对 于任意一 组x,y 不全为零或对任意的现在学习的是第2 页，共23 页，其值恒大于0，我们称其为恒正二次型或正定二次型。而后者对于不全为零的，其值既可取正值也可取负值，我们称其为不定二次型。我们将上述概念推广到一般情况。现在学习的是第3 页，共23 页定义5.8 设n 元二次型则 称f 为 正定（半正定）二次型。这时称A 为正定矩阵（或半正定矩阵）记A0(或A0)若对任意的x0，恒有f0(或f0)
2、若对任意的x0，恒有f0(或f0)则称f 为负定（半负定）二次型。这时称A 为负定矩阵（或半负定矩阵）记A0(或A0)现在学习的是第4 页，共23 页其它情况称二次型 为 不定二次型A 称不定矩阵。所谓不定指存在X0 有f0,又存在X0 有f0因二次型与 实对 称矩 阵A一一 对应，故 讨论 二次型的正定性与 讨论A 的正定性是等价的。二。二次型正定性的判别现在学习的是第5 页，共23 页设 二次型 经 可逆 线 性 变换变 成 实 二次型，即由故由此可得，如果正定时，故当时，从而，即 正定。现在学习的是第6 页，共23 页反之，如正定，时，故当时，从而即正定即正定正定。同理负 定（不定）负
3、定（不定）。现在学习的是第7 页，共23 页总 之，二次型 经 可逆 线 性 变换 后正定性是不 变 的。又因 标 准形的正定性一目了然，故可利用 标 准形的正定性来判断原二次型的正定性。显 然，对 于 标 准形正定。由此得：现在学习的是第8 页，共23 页定理5.10 n 个 变 量的 实 二次型正定的正 惯 性指数 为n（即正 项 的个数）。又因 为实对 称矩 阵A存在正交矩阵P,使得：其中为A 的特征 值。故有现在学习的是第9 页，共23 页推 论1 A 正定A 的特征 值 全正。又因 为，故又得推 论2 A 正定。推 论3 A 正定存在可逆矩 阵p，使现在学习的是第10 页，共23 页
4、例5.7.1 判断二次型的正定性。A 的特征 值。解方法一：利用定理5.10 的推论1，求的特征 值为均 为 正，故A 正定，即现在学习的是第11 页，共23 页解方法二：用配方法化二次型 为标 准形令，其正 惯 性指数 为p=2,故正定现在学习的是第12 页，共23 页与被判 别 正定性 类 似，关于 负 定性判 别 有如下 结论：1）n 个 变 量的 实 二次型负 定的 负惯 性指数 为n2）n 个 变 量的 实 二次型负 定n 个特征 值 皆小于0；.存在可逆矩 阵p 使得3）n 个变量的实二次型负定现在学习的是第13 页，共23 页利用化 标 准形的方法判正定性是一个 间 接的方法，一
5、般 还 比 较 麻烦。下面我 们 介 绍 一个直接利用矩 阵 的 顺 序主子式判其正定性的方法。按自然 顺 序取A 的前k 行k 列 组 成的k 阶 行列式称A 的k 阶顺 序主子式。现在学习的是第14 页，共23 页定理5.11n 阶实对称矩阵A 正定A 的各 级顺 序主子式全大于0。即。该 定理称霍 尔 威茨定理。证 略。现在学习的是第15 页，共23 页n 阶实对 称矩 阵A 负 定奇数 阶顺 序主子式小于0。偶数 阶顺 序主子式大于0。与此对应有：定理5.12 现在学习的是第16 页，共23 页例5.7.2 判断下列二次型的正定性。解 1）的矩 阵为，故是 负 定的。现在学习的是第17
6、 页，共23 页2）f 的矩 阵为，故f 既非正定，非也 负 定。现在学习的是第18 页，共23 页例5.7.2 取何 值，是正定的？，要使f 正定即A 正定 则 必 须 使且 联 立解上面两不等式得：现在学习的是第19 页，共23 页例5.7.3 证 明A 正定证：A 正定 二次型，令代入得：，同理可 证 如A 负 定现在学习的是第20 页，共23 页例5.7.4 实 二次型A 正定的充分必要条件 为：存在可逆矩 阵B 使得：A=BTB证 明：必要性：因A 正定，故存在可逆p 使得：pTAp=I 上式左乘（pT）-1,右乘p-1得：令B=p-1得：A=BTB充分性：因A=BTB，相 应 二次
7、型 为：现在学习的是第21 页，共23 页因B 可逆，故 对设n 维 向量，则：，故f 正定，即A 正定。同理可 证：A 负 定。注：（1）请 同学 们 将上述关于矩 阵正 负 定的判定 总结 一下（2）大家可否按不同的体系 对 上述关于矩 阵 正 负 定的判定 进 行 证 明，以加 强 推 证 能力的 训练。（3）关于正 负 定的运算，应 用也可总结 一下。现在学习的是第22 页，共23 页注：（1）请同学们将上述关于矩阵正负定的判定总结一下（2）大家可否按不同的体系对上述关于矩阵正负定的判定进行证明，以加强推证能力的训练。（3）关于正负定的运算，应用也可总结一下。现在学习的是第23 页，共23 页