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1、第七节二次型的正定性第1页，共23页，编辑于2022年，星期二5.7 二次型的正定性二次型的正定性一、正一、正负负定的定定的定义义二次型的另一个重要二次型的另一个重要问题问题是分是分类问题类问题。对对于于标标准形式的有心二次曲准形式的有心二次曲线椭圆线椭圆及双曲及双曲线线，前者二次型，前者二次型对对于任意一于任意一组组x,y不不全为零或对任意的全为零或对任意的第2页，共23页，编辑于2022年，星期二，其值恒大于，其值恒大于0，我们称其为恒正二次型，我们称其为恒正二次型或正定二次型。而后者对于不全为零的或正定二次型。而后者对于不全为零的，其值既可取正值也可取负值，我们，其值既可取正值也可取负值
2、，我们称其为不定二次型。我们将上述概念称其为不定二次型。我们将上述概念推广到一般情况。推广到一般情况。第3页，共23页，编辑于2022年，星期二定义定义5.8 设设n元二次型元二次型则则称称f为为正定（半正定）二次型。正定（半正定）二次型。这时这时称称A为正定矩阵（或半正定矩阵）记为正定矩阵（或半正定矩阵）记A0(或或A0)若对任意的若对任意的x0，恒有，恒有f0(或或f0)若对任意的若对任意的x0，恒有，恒有f0(或或f0)则称则称f为负定（半负定）二次型。这时为负定（半负定）二次型。这时称称A为负定矩阵（或半负定矩阵）记为负定矩阵（或半负定矩阵）记A0,又存在又存在X0有有f0因二次型因二
3、次型与与实对实对称矩称矩阵阵A一一一一对应对应，故，故讨论讨论二次型的正定性二次型的正定性与与讨论讨论A的正定性是等价的的正定性是等价的。二。二次型正定性的判别二。二次型正定性的判别第5页，共23页，编辑于2022年，星期二设设二次型二次型经经可逆可逆线线性性变换变换变变成成实实二次型二次型，即，即由由故故由此可得，如果由此可得，如果正定正定时时，故当故当时时，从而从而，即，即正定。正定。第6页，共23页，编辑于2022年，星期二反之，如反之，如正定正定，时时，故当故当时时，从而从而即即正定即正定即正定正定正定。同理正定。同理负负定（不定）定（不定）负负定（不定）。定（不定）。第7页，共23页
4、，编辑于2022年，星期二总总之，二次型之，二次型经经可逆可逆线线性性变换变换后后正定性是不正定性是不变变的。又因的。又因标标准形的准形的正定性一目了然，故可利用正定性一目了然，故可利用标标准准形的正定性来判断原二次型的正形的正定性来判断原二次型的正定性。定性。显显然，然，对对于于标标准形准形正定正定。由此得：。由此得：第8页，共23页，编辑于2022年，星期二定理定理5.10 n个个变变量的量的实实二次型二次型正定正定的正的正惯惯性指数性指数为为n（即正（即正项项的个数）。又因的个数）。又因为实对为实对称矩称矩阵阵A存在正交矩阵存在正交矩阵P,使得：使得：其中其中为为A的特征的特征值值。故有
5、。故有第9页，共23页，编辑于2022年，星期二推推论论1 A正定正定A的特征的特征值值全正。又因全正。又因为为，故又得推，故又得推论论2 A正定正定。推推论论3 A正定正定存在可逆矩存在可逆矩阵阵p，使，使第10页，共23页，编辑于2022年，星期二例例5.7.1 判断二次型判断二次型的正定性。的正定性。A的特征的特征值值。解方法一：解方法一：利用定理利用定理5.10的推论的推论1，求，求的特征的特征值为值为均均为为正，故正，故A正定，即正定，即第11页，共23页，编辑于2022年，星期二解方法二：用配方法化二次型解方法二：用配方法化二次型为标为标准形准形令令，其正，其正惯惯性指数性指数为为
6、p=2,故正定故正定第12页，共23页，编辑于2022年，星期二与被判与被判别别正定性正定性类类似，关于似，关于负负定性定性判判别别有如下有如下结论结论：1）n个个变变量的量的实实二次型二次型负负定定的的负惯负惯性指数性指数为为n2）n个个变变量的量的实实二次型二次型负负定定n个特征个特征值值皆小于皆小于0；.存在可逆矩存在可逆矩阵阵p使得使得3）n个变量的实二次型个变量的实二次型负定负定第13页，共23页，编辑于2022年，星期二利用化利用化标标准形的方法判正定性是准形的方法判正定性是一个一个间间接的方法，一般接的方法，一般还还比比较较麻麻烦烦。下面我。下面我们们介介绍绍一个直接利用一个直接
7、利用矩矩阵阵的的顺顺序主子式判其正定性的序主子式判其正定性的方法。按自然方法。按自然顺顺序取序取A的前的前k行行k 列列组组成的成的k阶阶行列式行列式称称A的的k阶顺阶顺序主子式。序主子式。第14页，共23页，编辑于2022年，星期二定理定理5.11n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A正定正定A的各的各级顺级顺序主子式全大于序主子式全大于0。即。即。该该定理称霍定理称霍尔尔威茨定理。威茨定理。证证略。略。第15页，共23页，编辑于2022年，星期二n阶实对阶实对称矩称矩阵阵A负负定定奇数奇数阶顺阶顺序主子式小于序主子式小于0。偶数偶数阶顺阶顺序主子式大于序主子式大于0。与此对应有：定理与此对应有：定理
8、5.12 第16页，共23页，编辑于2022年，星期二例例5.7.2 判断下列二次型的正定性。判断下列二次型的正定性。解解 1）的矩）的矩阵为阵为，故是故是负负定的。定的。第17页，共23页，编辑于2022年，星期二2）f的矩的矩阵为阵为，故故f既非正定，非也既非正定，非也负负定。定。第18页，共23页，编辑于2022年，星期二例5.7.2 取何取何值值，是正定的？是正定的？，要使要使f正定即正定即A正定正定则则必必须须使使且且 联联立解上面两不等式得：立解上面两不等式得：第19页，共23页，编辑于2022年，星期二例例5.7.3证证明明A正定正定证证：A正定正定二次型二次型，令，令代入得：代
9、入得：，同理可同理可证证如如A负负定定第20页，共23页，编辑于2022年，星期二例例5.7.4实实二次型二次型A正定的充分必要条件正定的充分必要条件为为：存在可逆矩：存在可逆矩阵阵B使得：使得：A=BTB证证明：必要性：因明：必要性：因A正定，故存在可逆正定，故存在可逆p使使得：得：pTAp=I上式左乘（上式左乘（pT）-1 ,右乘右乘p-1得：得：令令B=p-1得：得：A=BTB充分性：因充分性：因A=BTB，相，相应应二次型二次型为为：第21页，共23页，编辑于2022年，星期二因因B可逆，故可逆，故对对设设n维维向量向量，则则：，故，故f正定，即正定，即A正定。同理可正定。同理可证证：
10、A负负定定。注：（1）请同学们将上述关于矩阵正负定的判定总结一下（2）大家可否按不同的体系对上述关于矩阵正负定的判定进行证明，以加强推证能力的训练。（3）关于正负定的运算，应用也可总结一下。第22页，共23页，编辑于2022年，星期二注：（注：（1）请同学们将上述关于矩）请同学们将上述关于矩阵正负定的判定总结一下阵正负定的判定总结一下（2）大家可否按不同的体系对上述）大家可否按不同的体系对上述关于矩阵正负定的判定进行证明，以关于矩阵正负定的判定进行证明，以加强推证能力的训练。加强推证能力的训练。（3）关于正负定的运算，应用也可）关于正负定的运算，应用也可总结一下。总结一下。第23页，共23页，编辑于2022年，星期二