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1、考试考试说明说明内容内容知识要求知识要求了解了解(A)(A)理解理解(B)(B)掌握掌握(C)(C)两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式三年三年考题考题1313年年(5(5考考)：新课标全国卷：新课标全国卷T6T6广东广东T16T16 江西江西T3T3四川四川T14T14上海上海T9T91212年年(4(4考考)：重庆：重庆T5T5江西江西T4T4江苏江苏T11T11 广东广东T16T161111年年(3(3考考)：福建：福建T21T21江苏江苏T7T7广东广东T16T16第1页/共53页考情考情播报播报1.1
2、.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点公式进行化简、求值是高考考查的热点2.2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题合命题3.3.题型以选择题、填空题为主题型以选择题、填空题为主,属中低档题属中低档题 第2页/共53页【知识梳理知识梳理】1.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(1)C(-)(-):cos(-)=_.:cos(-)=_.(2)C(2)C(+)(+):cos(+)=_.:cos(+)=_.(3)S(
3、3)S(+)(+):sin(+)=_.:sin(+)=_.(4)S(4)S(-)(-):sin(-)=_.:sin(-)=_.(5)T(5)T(+)(+):tan(+)=_(,+k,:tan(+)=_(,+k,kZ).kZ).coscos+sinsincoscos+sinsincoscos-sinsincoscos-sinsinsincos+cossinsincos+cossinsincos-cossinsincos-cossin第3页/共53页(6)T(6)T(-)(-):tan(-)=:tan(-)=_(,-+_(,-+k,kZ).k,kZ).第4页/共53页2.2.二倍角的正弦、余弦、正
4、切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S(1)S22:sin2=_.:sin2=_.(2)C(2)C22:cos2=_=_=_.:cos2=_=_=_.(3)T(3)T22：tan 2=_(+k,kZ).tan 2=_(+k,kZ).2sincos2sincoscoscos2 2-sin-sin2 2 2cos2cos2 2-1-1 1-2sin1-2sin2 2第5页/共53页【考点自测考点自测】1.(1.(思考思考)给出下列命题：给出下列命题：两角和与差的正弦、余弦公式中的角两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的是任意的;存在实数存在实数,使等式使等式sin(+)=sin+sin s
5、in(+)=sin+sin 成立成立;在锐角在锐角ABCABC中，中，sin Asin Bsin Asin B和和cos Acos Bcos Acos B大小不确定大小不确定;公式公式tan(+)=tan(+)=可以变形为可以变形为tan+tan tan+tan=tan(+)(1-tan tan),=tan(+)(1-tan tan),且对任意角且对任意角,都成立都成立;存在实数存在实数，使，使tan 2=2tan.tan 2=2tan.其中正确的是其中正确的是()()A.B.C.D.A.B.C.D.第6页/共53页【解析解析】选选B.B.正确正确.对于任意的实数对于任意的实数,两角和与差的正
6、两角和与差的正弦、余弦公式都成立弦、余弦公式都成立.正确正确.如取如取=0=0，因为，因为sin 0=0,sin 0=0,所以所以sin(+0)=sin=sin+sin 0.sin(+0)=sin=sin+sin 0.错误错误.因为因为 A+BA+B,所以所以cos(A+B)cos(A+B)0,0,即即cos Acos B-sin Asin Bcos Acos B-sin Asin B0.0.所以所以sin Asin Bsin Asin Bcos Acos B.cos Acos B.错误错误.变形可以，但不是对任意角变形可以，但不是对任意角,都成立都成立.,+k+,kZ.,+k+,kZ.正确正
7、确.当当=k(kZ)=k(kZ)时，时，tan 2=2tan.tan 2=2tan.第7页/共53页2.2.计算计算sin 68sin 67-sin 23cos 68sin 68sin 67-sin 23cos 68的结果等于的结果等于()()【解析解析】选选B.B.原式原式=sin 68cos 23-cos 68sin 23=sin 68cos 23-cos 68sin 23=sin(68-23)=sin 45=sin(68-23)=sin 45=第8页/共53页3.(20143.(2014张家界模拟张家界模拟)已知锐角已知锐角满足满足cos 2=cos(-)cos 2=cos(-)，则则s
8、in 2sin 2等于等于()()【解析解析】选选A.A.由由cos 2=cos(-),cos 2=cos(-),得得(cos-sin)(cos+sin)=(cos+sin),(cos-sin)(cos+sin)=(cos+sin),由由为锐角知为锐角知cos+sin 0.cos+sin 0.所以所以cos-sin=cos-sin=，平方得，平方得1-sin 2=1-sin 2=所以所以sin 2=sin 2=第9页/共53页4.(20144.(2014武汉模拟武汉模拟)计算：计算：=_.=_.【解析解析】原式原式=答案：答案：第10页/共53页5.5.计算：计算：=_.=_.【解析解析】=答
9、案：答案：第11页/共53页6.6.已知已知tan(+)=3tan(+)=3，tan(-)=5tan(-)=5，则，则tan 2=_.tan 2=_.【解析解析】因为因为2=(+)+(-)2=(+)+(-)，所以所以tan 2=tantan 2=tan(+)+(-)(+)+(-)=答案：答案：第12页/共53页考点考点1 1 三角函数公式的逆用与变形应用三角函数公式的逆用与变形应用【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014威海模拟威海模拟)计算：计算：=_.=_.(2)(2)计算：计算：tan 20+tan 40+tan 20tan 40=_.tan 20+tan 40+tan 20t
10、an 40=_.(3)(3)的化简结果是的化简结果是_第13页/共53页【解题视点解题视点】(1)(1)观察式子的特点，利用特殊角的三角函数值，观察式子的特点，利用特殊角的三角函数值，逆用和差角的正切公式求解逆用和差角的正切公式求解.(2)(2)所求式子中有两个正切的和与积，故可逆用和角的正切公所求式子中有两个正切的和与积，故可逆用和角的正切公式求解式求解.(3)(3)逆用二倍角公式将根号内配方化简逆用二倍角公式将根号内配方化简.第14页/共53页【规范解答规范解答】(1)(1)=tan 45=1.=tan 45=1.答案：答案：1 1第15页/共53页(2)(2)因为因为tan 60=tan
11、(20+40)tan 60=tan(20+40)=所以所以tan 20+tan 40=tan 60(1-tan 20tan 40)tan 20+tan 40=tan 60(1-tan 20tan 40)所以原式所以原式=答案：答案：第16页/共53页(3)(3)原式原式=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|，因为因为所以所以cos 40cos 40，且，且sin 4cos 4,sin 4cos 4,所以原式所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4.=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin
12、4.答案：答案：-2sin 4-2sin 4第17页/共53页【易错警示易错警示】注意角的范围注意角的范围本例第本例第(3)(3)题容易忽略讨论题容易忽略讨论cos 4cos 4的符号及的符号及sin 4sin 4与与cos 4cos 4的大小的大小而直接求解导致错误，在涉及开方时，一定要讨论被开方数的而直接求解导致错误，在涉及开方时，一定要讨论被开方数的符号符号.第18页/共53页【规律方法规律方法】三种常见公式变形三种常见公式变形(1)(1)正切和差角公式变形：正切和差角公式变形：tan xtan y=tan(xy)tan xtan y=tan(xy)(1(1tan xtan xtan y
13、).tan y).(2)(2)倍角公式变形：降幂公式倍角公式变形：降幂公式(3)(3)升幂变形：升幂变形：第19页/共53页特殊角的三角函数的逆用特殊角的三角函数的逆用 当式子中出现当式子中出现 这些特殊角的三角函数值时，往这些特殊角的三角函数值时，往往就是往就是“由值变角由值变角”的一种提示的一种提示.可以根据问题的需要，将常可以根据问题的需要，将常用三角函数式表示出来，构成适合公式的形式，从而达到化简用三角函数式表示出来，构成适合公式的形式，从而达到化简的目的的目的.第20页/共53页【变式训练变式训练】化简：化简：=_.=_.【解析解析】答案：答案：第21页/共53页【加固训练加固训练】
14、1.1.化简化简 的结果是的结果是()()A.-cos 1 B.cos 1 C.cos 1 D.-cos 1A.-cos 1 B.cos 1 C.cos 1 D.-cos 1【解析解析】选选C.C.原式原式=第22页/共53页2.(20142.(2014西宁模拟西宁模拟)计算：计算：=_.=_.【解析解析】=tan(45-15)=tan 30=tan(45-15)=tan 30=答案：答案：第23页/共53页考点考点2 2 给角求值给角求值【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013重庆高考重庆高考)计算：计算：4cos 50-tan 404cos 50-tan 40=()=()(2)(
15、2014(2)(2014三明模拟三明模拟)计算：计算：=_=_【解题视点解题视点】(1)(1)先切化弦先切化弦,然后通分化简求解即可然后通分化简求解即可.(2)(2)综合运用二倍角公式，两角和与差的正余弦公式求解综合运用二倍角公式，两角和与差的正余弦公式求解.第24页/共53页【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.4cos 50-tan 40=4cos 50-C.4cos 50-tan 40=4cos 50-第25页/共53页(2)(2)原式原式=答案：答案：第26页/共53页【规律方法规律方法】给角求值问题的三个变换技巧给角求值问题的三个变换技巧(1)(1)变角：分析角之间的差异，巧用诱导
16、公式或拆分变角：分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)(2)变名：尽可能使得函数统一名称变名：尽可能使得函数统一名称.(3)(3)变式：观察结构，利用公式，整体化简变式：观察结构，利用公式，整体化简.提醒：提醒：“变式变式”时常用的方法有时常用的方法有“常值代换常值代换”“”“逆用变用公式逆用变用公式”“”“通分与约分通分与约分”“”“分解与组合分解与组合”“”“配方与平方配方与平方”等等.第27页/共53页【变式训练变式训练】(2014(2014长沙模拟长沙模拟)计算：计算：=()=()A.4 B.2 C.-2 D.-4A.4 B.2 C.-2 D.-4【解析解析】选选D.D.第28页
17、/共53页【加固训练加固训练】1.(20141.(2014伊宁模拟伊宁模拟)计算：计算：=_.=_.【解析解析】答案：答案：2 2第29页/共53页2.(20142.(2014宜昌模拟宜昌模拟)计算：计算：=_.=_.【解析解析】因为因为sin 50(1+tan 10)sin 50(1+tan 10)=所以所以答案：答案：第30页/共53页考点考点3 3 有限制条件的求值、证明问题有限制条件的求值、证明问题 【考情考情】有限制条件的求值问题是高考的热点有限制条件的求值问题是高考的热点.在高考中以选在高考中以选择题、填空题或解答题的形式出现，考查诱导公式，两角和与择题、填空题或解答题的形式出现，
18、考查诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的灵活应用等问题差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的灵活应用等问题.高频考点通关 第31页/共53页【典例典例3 3】(1)(2014(1)(2014南京模拟南京模拟)已知已知sin(-x)=,0sin(-x)=,0 x x ，则，则 =_.=_.(2)(2013(2)(2013广东高考广东高考)已知函数已知函数求求 的值的值.若若 求求第32页/共53页【解题视点解题视点】(1)(1)先求出先求出 -x-x的范围，再求出的范围，再求出cos(-x)cos(-x)的值，的值，最后根据最后根据2x,+x2x,+x与已知角与已知角 -x-x的
19、联系求解的联系求解.(2)(2)根据两角和与差的余弦公式展开，转化为特殊角和已知角根据两角和与差的余弦公式展开，转化为特殊角和已知角求解求解第33页/共53页【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为x(0,),x(0,),所以所以 -x(0,).-x(0,).又因为又因为所以所以又又=所以原式所以原式=答案：答案：第34页/共53页(2)(2)因为因为cos=,(,2)cos=,(,2)，所以所以第35页/共53页【通关锦囊通关锦囊】高考指数高考指数重点题型重点题型破解策略破解策略给值求值给值求值问题问题先化简需求值的式子先化简需求值的式子,再观察已知条件再观察已知条件与所求值的式子之间的联系
20、与所求值的式子之间的联系(从三角函从三角函数名及角入手数名及角入手),),最后将已知条件代入所最后将已知条件代入所求式子求式子,化简求值化简求值给值求角给值求角问题问题先求出角的某一个三角函数值先求出角的某一个三角函数值,再确定再确定角的范围角的范围,最后根据角的范围确定所求最后根据角的范围确定所求的角的角第36页/共53页【关注题型关注题型】与向量有关与向量有关的求值问题的求值问题向量的坐标运算会与三角函数有关向量的坐标运算会与三角函数有关联联,这类问题需要先用向量公式进行这类问题需要先用向量公式进行运算后运算后,再用三角公式进行化简和求再用三角公式进行化简和求值值条件等式的条件等式的证明证
21、明把所给条件化简后代入所要求证的把所给条件化简后代入所要求证的式子式子,或通过把所给条件化简变形得或通过把所给条件化简变形得出所要证明的式子出所要证明的式子第37页/共53页【特别提醒特别提醒】解答有限制条件的求值问题时解答有限制条件的求值问题时,要善于发现所求要善于发现所求的三角函数的角与已知条件角的联系的三角函数的角与已知条件角的联系,一般方法是拼角与拆角一般方法是拼角与拆角.第38页/共53页【通关题组通关题组】1.(20131.(2013江西高考江西高考)若若 ，则，则cos=()cos=()【解析解析】选选C.cos=C.cos=第39页/共53页2.(20142.(2014娄底模拟
22、娄底模拟)已知已知tan tan，tan tan 是方程是方程的两根，若的两根，若，()()，则，则+=()+=()A.B.A.B.或或C C-或或 D.D.第40页/共53页【解析解析】选选D.D.由题意得由题意得tan+tan=tan+tan=tan tan=4tan tan=4，所以所以tan 0tan 0，tan 0tan 0，又又，故故，所以所以-+0.-+0.又又tan(+)=tan(+)=所以所以+=+=第41页/共53页3.(20133.(2013四川高考四川高考)设设 ，则，则tan 2tan 2的的值是值是_【解析解析】根据题意根据题意sin 2=-sin sin 2=-s
23、in，可得，可得2sin cos=2sin cos=-sin-sin，可得可得cos=cos=，tan=tan=所以所以答案：答案：第42页/共53页【加固训练加固训练】1.(20141.(2014石家庄模拟石家庄模拟)已知向量已知向量a=(4,5cos)=(4,5cos)，b=(3=(3，-4tan).-4tan).若若ab，且，且(0,)(0,)，则，则cos(2-)=_.cos(2-)=_.【解析解析】因为因为ab，所以所以ab=0=0，即即12-20cos 12-20cos tan=0tan=0，所以所以12-20sin=012-20sin=0，即，即因为因为(0(0，)，所以，所以第
24、43页/共53页所以所以sin 2=2sin cos=sin 2=2sin cos=cos 2=1-2sincos 2=1-2sin2 2=所以所以cos(2-)=cos 2cos(2-)=cos 2cos +sin 2cos +sin 2sin sin 答案：答案：第44页/共53页2.(20142.(2014兰州模拟兰州模拟)已知已知sinsin和和coscos是关于是关于x x的方程的方程x x2 2-2xsin+sin2xsin+sin2 2=0=0的两个根的两个根.求证求证:2cos2=cos2.:2cos2=cos2.【证明证明】因为因为sin,cossin,cos是方程是方程x
25、x2 2-2xsin+sin-2xsin+sin2 2=0=0的两根的两根,所以所以sin+cos=2sin,sinsin+cos=2sin,sincos=sincos=sin2 2.因为因为(sin+cos)(sin+cos)2 2=1+2sincos,=1+2sincos,所以所以(2sin)(2sin)2 2=1+2sin=1+2sin2 2,即即4sin4sin2 2=1+2sin=1+2sin2 2,所以所以2(1-cos2)=1+1-cos2,2(1-cos2)=1+1-cos2,所以所以2cos2=cos2.2cos2=cos2.第45页/共53页【易错误区易错误区1010】给值
26、求角问题的易错点给值求角问题的易错点【典例典例】(2014(2014无锡模拟无锡模拟)已知已知，为三角形的两个内角，为三角形的两个内角，cos=cos=，sin(+)=sin(+)=，则，则=_.=_.第46页/共53页【解析解析】答案：答案：【误区警示】【规避策略】第47页/共53页【类题试解类题试解】(2014(2014济南模拟济南模拟)已知已知0 0 ,(1)(1)求求sin sin 的值的值.(2)(2)求求的值的值.第48页/共53页【解析解析】(1)(1)因为因为 ,所以所以第49页/共53页(2)(2)因为因为0 0 ,sin=,sin=,所以所以cos=cos=又又0 0 ,所
27、以所以0 0-.由由cos(-)=,cos(-)=,得得0 0-.所以所以sin(-)=sin(-)=所以所以sin=sinsin=sin(-)+(-)+=sin(-)cos+=sin(-)cos+cos(-)sin cos(-)sin 由由 得得=.(=.(或求或求cos=,cos=,得得=)=)第50页/共53页人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。第51页/共53页第52页/共53页谢谢大家观赏！第53页/共53页