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1、统计学统计学STATISTICS第第 3 章章 概率、概率分布与抽样分布概率、概率分布与抽样分布3.1 事件及其概率事件及其概率3.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布3.3 常用的抽样方法常用的抽样方法3.4 抽样分布抽样分布3.5 中心极限定理的应用中心极限定理的应用1统计学统计学STATISTICS学习目标学习目标事件及其概率事件及其概率随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布常用的抽样方法常用的抽样方法抽样分布抽样分布中心极限定理的应用中心极限定理的应用2统计学统计学STATISTICS3.1 事件及其概率事件及其概率3.1.1 试验、事件和样本空间3.1.2 事件的概率3.1
2、.3 概率的性质和运算法则3.1.4 条件概率与事件的独立性3.1.5 全概公式与逆概公式33统计学统计学STATISTICS试验、事件和样本空间试验、事件和样本空间34统计学统计学STATISTICS试试 验验(experiment)1.对试验对象进行一次观察或测量的过程对试验对象进行一次观察或测量的过程 掷一颗骰子，观察其出现的点数掷一颗骰子，观察其出现的点数从一副从一副52张扑克牌中抽取一张，并观察其结果张扑克牌中抽取一张，并观察其结果(纸牌的数字或花色纸牌的数字或花色)2.试验的特点试验的特点可以在相同的条件下重复进行可以在相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的每
3、次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果果5统计学统计学STATISTICS事件事件(event)1.事件：试试验验的的每每一一个个可可能能结结果果(任任何何样样本本点集合点集合)掷一颗骰子出现的点数为掷一颗骰子出现的点数为3用大写字母用大写字母A，B，C，表示表示2.随机事件(random event)：每每次次试试验验可可能能出出现也可能不出现的事件现也可能不出现的事件掷一颗骰子可能出现的点数掷一颗骰子可能出现的点数6统计学统计学STATIST
4、ICS事件事件(event)1.简单事件(simple event)：不不能能被被分分解解成成其其他他事事件组合的基本事件件组合的基本事件抛一枚均匀硬币，抛一枚均匀硬币，“出现正面出现正面”和和“出现反面出现反面”2.必然事件(certain event)：每每次次试试验验一一定定出出现现的的事件，用事件，用 表示表示掷一颗骰子出现的点数小于掷一颗骰子出现的点数小于73.不可能事件(impossible event)：每每次次试试验验一一定定不出现的事件，用不出现的事件，用 表示表示掷一颗骰子出现的点数大于掷一颗骰子出现的点数大于67统计学统计学STATISTICS样本空间与样本点样本空间与样
5、本点1.样本空间(sample Space)一个试验中所有结果的集合，用一个试验中所有结果的集合，用 表示表示例如：在例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空掷一颗骰子的试验中，样本空间表示为：间表示为：1,2,3,4,5,6在投掷硬币的试验中，在投掷硬币的试验中，正面，反面正面，反面2.样本点(sample point)样本空间中每一个特定的试验结果样本空间中每一个特定的试验结果用符号用符号 表示表示8统计学统计学STATISTICS事件的概率事件的概率39统计学统计学STATISTICS事件的概率事件的概率(probability)1.事事件件A的的概概率率是是一一个个介介于于0和和1之之间间的
6、的一一个个值值，用用以以度度量量试试验验完完成成时时事事件件A发发生生的的可可能能性性大大小小，记为记为P(A)2.当当试试验验的的次次数数很很多多时时，概概率率P(A)可可以以由由所所观观察察到的事件到的事件A发生次数发生次数(频数频数)的比例来逼近的比例来逼近在在相相同同条条件件下下，重重复复进进行行n次次试试验验，事事件件A发生了发生了m次，则事件次，则事件A发生的概率可以写为发生的概率可以写为 10统计学统计学STATISTICS概率的性质和运算法则概率的性质和运算法则311统计学统计学STATISTICS互斥事件及其概率互斥事件及其概率(mutually exclusive even
7、ts)在在试试验验中中，两两个个事事件件有有一一个个发发生生时时，另另一一个个就就不不能能发发生生，则则称称事事件件A与与事事件件B是是互斥事件,(没有公共样本点没有公共样本点)A AB B 互斥事件的文氏图互斥事件的文氏图(Venn diagram)(Venn diagram)12统计学统计学STATISTICS互斥事件及其概率互斥事件及其概率(例题分析例题分析)【例】在在一一所所城城市市中中随随机机抽抽取取600个个家家庭庭，用用以以确确定定拥拥有有个个人人电电脑脑的的家家庭庭所所占占的的比比例例。定义如下事件：定义如下事件：A：600个个家家庭庭中中恰恰好好有有265个个家家庭庭拥拥有有
8、电电脑脑 B：恰好有：恰好有100个家庭拥有电脑个家庭拥有电脑 C：特定户张三家拥有电脑：特定户张三家拥有电脑 说说明明下下列列各各对对事事件件是是否否为为互互斥斥事事件件，并并说明你的理由说明你的理由 (1)A与与B (2)A与与C (3)B与与 C13统计学统计学STATISTICS互斥事件及其概率互斥事件及其概率(例题分析例题分析)解：(1)事事件件A与与B是是互互斥斥事事件件。因因为为你你观观察察 到恰好有到恰好有265个家庭拥有电脑，就个家庭拥有电脑，就 不可能恰好有不可能恰好有100个家庭拥有电脑个家庭拥有电脑 (2)事件事件A与与C不是互斥事件。因为张三不是互斥事件。因为张三 也
9、许正是这也许正是这265个家庭之一，因而事个家庭之一，因而事 件与有可能同时发生件与有可能同时发生 (3)事事件件B与与C不不是是互互斥斥事事件件。理理由由同同(2)14统计学统计学STATISTICS互斥事件及其概率互斥事件及其概率(例题分析例题分析)【例】【例】【例】【例】同时抛掷两枚硬币，并考察其结果。恰好有一枚同时抛掷两枚硬币，并考察其结果。恰好有一枚 正面朝上的概率是多少？正面朝上的概率是多少？解解解解：用：用H H表示正面，表示正面，T T表示反面，下标表示反面，下标1 1和和2 2表示硬币表示硬币1 1 和硬币和硬币2 2。该项试验会有。该项试验会有4 4个互斥事件之一发生个互斥
10、事件之一发生 (1)(1)两枚硬币都正面朝上，记为两枚硬币都正面朝上，记为H H1 1H H2 2 (2)1 (2)1号硬币正面朝上而号硬币正面朝上而2 2号硬币反面朝上，记为号硬币反面朝上，记为H H1 1T T2 2 (3)1 (3)1号硬币反面朝上而号硬币反面朝上而2 2号硬币正面朝上，记为号硬币正面朝上，记为T T1 1H H2 2 (4)(4)两枚硬币都是反面朝上，记为两枚硬币都是反面朝上，记为 T T1 1T T2 215统计学统计学STATISTICS互斥事件及其概率互斥事件及其概率(例题分析例题分析)解：由由于于每每一一枚枚硬硬币币出出现现正正面面或或出出现现反反面面的的概概率
11、率都都是是1/2，当当抛抛掷掷的的次次数数逐逐渐渐增增大大时时，上上面面的的4个个简简单单事事件件中中每每一一事事件件发发生生的的相相对对频频数数(概概率率)将将近近似似等等于于1/4。因因为为仅仅当当H1T2或或T1H2发发生生时时，才才会会恰恰好好有有一一枚枚硬硬币币朝朝上上的的事事件件发发生生，而而事事件件H1T2或或T1H2又又为为互互斥斥事事件件，两两个个事事件件中中一一个个事事件件发发生生或或者者另另一一个个事事件件发发生生的的概概率率便便是是1/2(1/4+1/4)。因因此此，抛抛掷掷两两枚枚硬硬币币，恰恰好好有有一一枚枚出出现现正正面面的的概概率率等等于于H1T2或或T1H2发
12、发生生的的概概率率，也也就就是是两两种种事事件件中中每每个个事件发生的概率之和事件发生的概率之和 16统计学统计学STATISTICS互斥事件的加法规则互斥事件的加法规则(addition law)加法规则1.若若两两个个事事件件A与与B互互斥斥，则则事事件件A发发生生或或事事件件B发发生生的的概概率率等等于于这这两两个个事事件件各各自自的的概概率之和，即率之和，即 P(AB)=P(A)+P(B)2.事件事件A1，A2，An两两互斥，则有两两互斥，则有 P(A1A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An)17统计学统计学STATISTICS互斥事件的加法规则互斥事件的加法规则(例题分析例题
13、分析)解：解：解：解：掷一颗骰子出现的点数掷一颗骰子出现的点数(1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6)共有共有 6 6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 1/6 根据互斥事件的加法规则，得根据互斥事件的加法规则，得 【例】【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率18统计学统计学STATISTICS概率的性质概率的性质(小结小结)1.非负性非负性对任意事件对任意事件A，有，有 P 12.规范性规范性一一个个事事件件的的概概率率是是一一个个介介于于0与与1之之间间的的值值，即即对对于于任意事件
14、任意事件 A，有有0 P 13.必必然然事事件件的的概概率率为为1；不不可可能能事事件件的的概概率率为为0。即即P()=1；P()=04.可加性可加性若若A与与B互斥，则互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)推广到多个两两互斥事件推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有，有 P(A1A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An)19统计学统计学STATISTICS事件的补及其概率事件的补及其概率 事件的补(complement)事事件件A A不不发发生生的的事事件件，称称为为补补事事件件A A的的补补事事件件(或或称称逆逆事事件件)，记记为为 A。它它是是样样本本空空间间中中所所有不属于事
15、件有不属于事件A的样本点的集合的样本点的集合A A A AP(A)=1-P(A)20统计学统计学STATISTICS广义加法公式广义加法公式 广义加法公式广义加法公式 对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)两个事件的并两个事件的并两个事件的交两个事件的交21统计学统计学STATISTICS广义加法公式广义加法公式(事件的并或和事件的并或和)事件A或事件B发生的事件，称为事件A与事件B的并。它是由属于事件A或事件B的所有样本点的集合，记为AB或A+BBA A A AB B22统计学统计学STATISTICS
16、广义加法公式广义加法公式(事件的交或积事件的交或积)A AB B A AB B 事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合，记为BA 或AB23统计学统计学STATISTICS广义加法公式广义加法公式(例题分析例题分析)解：设设 A=员工离职是因为对工资不满意员工离职是因为对工资不满意 B=员工离职是因为对工作不满意员工离职是因为对工作不满意 依依 题题 意意 有有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15 P(AB)=P(A)+P(B)+P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55【例例例例】一一一
17、一家家计计算算机机软软件件开开发发公公司司的的人人事事部部门门最最近近做做了了一一项项调调查查，发发现现在在最最近近两两年年内内离离职职的的公公司司员员工工中中有有40%40%是是因因为为对对工工资资不不满满意意，有有30%30%是是因因为为对对工工作作不不满满意意，有有15%15%是是因因为为他他们们对对工工资资和和工工作作都都不不满满意意。求求两两年年内内离离职职的的员员工工中中，离离职职原原因因是是因因为为对对工工资资不不满满意意、或或者者对对工工作作不满意、或者二者皆有的概率不满意、或者二者皆有的概率24统计学统计学STATISTICS条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性325
18、统计学统计学STATISTICS条件概率条件概率(conditional probability)在在事事件件B已已经经发发生生的的条条件件下下事事件件A发发生生的的概概率率，称称为为已已知知事事件件B时时事事件件A的的条条件件概概率率，记记为为P(A|B)P(B)P(AB)P(A|B)=事件事件B B及其及其概率概率P P(B B)事件事件 A AB B及其概及其概率率P P(A AB B)事件事件事件事件事件事件A A A AA A 事件事件事件事件事件事件B B B B B B一旦事件一旦事件一旦事件一旦事件B B B B发生发生发生发生26统计学统计学STATISTICS条件概率条件概
19、率(例题分析例题分析)解：设设 A=顾客购买食品，顾客购买食品，B=顾客购买其他商品顾客购买其他商品 依题意有：依题意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35【例例例例】一一家家超超市市所所作作的的一一项项调调查查表表明明，有有80%80%的的顾顾客客到到超超市市是是来来购购买买食食品品，60%60%的的人人是是来来购购买买其其他他商商品品，35%35%的的人人既既购购买买食食品也购买其他商品。求：品也购买其他商品。求：(1)(1)已知某顾客购买食品的条件下，也购买其他商品的概率已知某顾客购买食品的条件下，也购买其他商品的概率 (2)(2)已知某顾客购买其他的条件下，也
20、购买食品的概率已知某顾客购买其他的条件下，也购买食品的概率27统计学统计学STATISTICS条件概率条件概率(例题分析例题分析)【例】一一家家电电脑脑公公司司从从两两个个供供应应商商处处购购买买了了同同一一种种计计算算机配件，质量状况如下表所示机配件，质量状况如下表所示 从这从这200个配件中任取一个进行检查，求个配件中任取一个进行检查，求 (1)取出的一个为正品的概率取出的一个为正品的概率 (2)取出的一个为供应商甲的配件的概率取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3)取出一个为供应商甲的正品的概率取出一个为供应商甲的正品的概率 (4)已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率已知取出一个
21、为供应商甲的配件，它是正品的概率甲乙两个供应商提供的配件 正品数次品数合计供应商甲 84690供应商乙 1028110合计1861420028统计学统计学STATISTICS条件概率条件概率(例题分析例题分析)解：设设 A=取出的一个为正品取出的一个为正品 B=取出的一个为供应商甲供应的配件取出的一个为供应商甲供应的配件 (1)(2)(3)(4)29统计学统计学STATISTICS乘法公式乘法公式(multiplicative law)1.用来计算两事件交的概率用来计算两事件交的概率2.以条件概率的定义为基础以条件概率的定义为基础3.设设A，B为两个事件，若为两个事件，若P(B)0，则，则4.
22、P(AB)=P(B)P(A|B)5.或或6.P(AB)=P(A)P(B|A)30统计学统计学STATISTICS乘法公式乘法公式(例题分析例题分析)【例例例例】一一家家报报纸纸的的发发行行部部已已知知在在某某社社区区有有75%75%的的住住户户订订阅阅了了该该报报纸纸的的日日报报，而而且且还还知知道道某某个个订订阅阅日日报报的的住住户户订订阅阅其其晚晚报报的的概概率率为为50%50%。求求某某住住户户既订阅日报又订阅晚报的概率既订阅日报又订阅晚报的概率 解：解：解：解：设设 A A =某住户订阅了日报某住户订阅了日报 B B=某个订阅了日报的住户订阅了晚报某个订阅了日报的住户订阅了晚报 依题意
23、有依题意有：P P(A A)=0.75=0.75；P P(B B|A A)=0.50)=0.50 P P(A AB B)=P P(A A)P P(B B|A A)=0.750.5=)=0.750.5=0.3750.37531统计学统计学STATISTICS独立事件与乘法公式独立事件与乘法公式(例题分析例题分析)【例】【例】【例】【例】从一个装有从一个装有3 3个红球个红球2 2个白球的盒子里摸球个白球的盒子里摸球(摸出后球不放回摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率，求连续两次摸中红球的概率 解：解：解：解：设设 A A =第第2 2次摸到红球次摸到红球 B B=第第1 1次摸到红球次摸到
24、红球 依题意有依题意有：P P(B B)=3/5=3/5；P P(A A|B B)=2/4)=2/4 P P(A AB B)=P P(A A)P P(B B|A A)=3/52/4=)=3/52/4=0.30.332统计学统计学STATISTICS独立事件与乘法公式独立事件与乘法公式(independent events)1.若若P(A|B)=P(A)或或P(B|A)=P(B)，则则称称事事件件A与与B事件独立，或称独立事件事件独立，或称独立事件 2.若若两两个个事事件件相相互互独独立立，则则这这两两个个事事件件同同时时发发生生的的概概率率等等于于它它们们各各自自发发生生的的概概率率之积，即之
25、积，即 P(AB)=P(A)P(B)3.若事件若事件A A1 1,A A2 2,A An n相互独立，则相互独立，则 P(A1,A2,An)=P(A1)P(A2)P(An)33统计学统计学STATISTICS独立事件与乘法公式独立事件与乘法公式(例题分析例题分析)【例例例例】一一个个旅旅游游经经景景点点的的管管理理员员根根据据以以往往的的经经验验得得知知，有有80%80%的的游游客客在在古古建建筑筑前前照照相相留留念念。求求接接下下来来的两个游客都照相留念的概率的两个游客都照相留念的概率 解：解：解：解：设设 A A =第一个游客照相留念第一个游客照相留念 B B=第二个游客照相留念第二个游客
26、照相留念 两个游客都照相留念是两个事件的交。在没两个游客都照相留念是两个事件的交。在没 有其他信息的情况下，我们可以假定事件有其他信息的情况下，我们可以假定事件A A 和事件和事件B B是相互立的，所以有是相互立的，所以有 P P(A AB B)=P P(A A)P P(B B)=0.800.80=)=0.800.80=0.640.6434统计学统计学STATISTICS独立事件与乘法公式独立事件与乘法公式(例题分析例题分析)【例例例例】假假定定我我们们是是从从两两个个同同样样装装有有3 3个个红红球球2 2个个白白球球的的盒盒子子摸摸球球。每每个个盒盒子子里里摸摸1 1个个。求求连连续续两两
27、次次摸摸中红球的概率中红球的概率 解：解：解：解：设设 A A =从第一个盒子里摸到红球从第一个盒子里摸到红球 B B=从第二个盒子里摸到红球从第二个盒子里摸到红球 依题意有依题意有：P P(A A)=3/5=3/5；P P(B B|A A)=3/5)=3/5 P P(A AB B)=P P(A A)P P(B B|A A)=3/53/5=)=3/53/5=0.360.3635统计学统计学STATISTICS全概公式与逆概公式全概公式与逆概公式336统计学统计学STATISTICS全概公式全概公式 全概公式B B B B B B B B5 5 5 5B B B B4 4 4 4B B B B1
28、 1 1 1B B B B3 3 3 3 完备事件组完备事件组完备事件组完备事件组37统计学统计学STATISTICS全概公式全概公式(例题分析例题分析)【例例例例】假假设设在在n n张张彩彩票票中中只只有有一一张张中中奖奖奖奖券券，那那么么第第二个人摸到奖券的概率是多少？二个人摸到奖券的概率是多少？解：解：解：解：设设 A A =第二个人摸到奖券，第二个人摸到奖券，B B=第一个人摸到奖券第一个人摸到奖券 依题意有依题意有：P P(B B)=1/=1/n n；P P(B B)=()=(n n-1)/-1)/n n P P(A A|B B)=0 )=0 P P(A A|B B)=1/)=1/n
29、 n-1-1 38统计学统计学STATISTICS逆概公式逆概公式 逆概公式(贝叶斯公式)P P(B Bi i)被称为事件被称为事件B Bi i的先验概率的先验概率(prior probabilityprior probability)P P(B Bi i|A A)被称为事件被称为事件B Bi i的后验概率的后验概率(posterior probability)(posterior probability)39统计学统计学STATISTICS逆概公式逆概公式(例题分析例题分析)【例例例例】某某考考生生回回答答一一道道四四选选一一的的考考题题，假假设设他他知知道道正正确确答答案案的的概概率率为为
30、1/21/2，而而他他不不知知道道正正确确答答案案时时猜猜对对的的概概率率应应该该为为1/41/4。考考试试结结束束后后发发现现他他答答对对了了，那那么么他他知道正确答案的概率是多大呢？知道正确答案的概率是多大呢？解：解：解：解：设设 A A =该考生答对了该考生答对了 ，B B=该考生知道正确答案该考生知道正确答案 依题意有依题意有：P P(B B)=1/2=1/2；P P(B B)=1-1/2=1/2)=1-1/2=1/2 P P(A A|B B)=1/4 )=1/4 P P(A A|B B)=1)=140统计学统计学STATISTICS3.2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布3.
31、2.1 随机变量3.2.2 离散型随机变量的概率分布3.2.3 离散型随机变量的数学期望和方差3.2.4 几种常用的离散型概率分布3.2.5 概率密度函数与连续型随机变量3.2.6 常见的连续型概率分布341统计学统计学STATISTICS随机变量随机变量342统计学统计学STATISTICS随机变量随机变量(random variables)1.一次试验的结果的数值性描述一次试验的结果的数值性描述2.一般用一般用 X，Y，Z 来表示来表示3.例如：例如：投掷两枚硬币出现正面的数量投掷两枚硬币出现正面的数量4.根据取值情况的不同分为离散型随机变根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变
32、量量和连续型随机变量43统计学统计学STATISTICS离散型随机变量离散型随机变量1.随随机机变变量量 X 取取有有限限个个值值或或所所有有取取值值都都可可以以逐个列举出来逐个列举出来 x1,x2，2.以确定的概率取这些不同的值以确定的概率取这些不同的值3.离散型随机变量的一些例子离散型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客数销售量顾客性别0,1,2,1000,1,2,0,1,2,男性为0,女性为144统计学统计学STATISTICS连续型随机变量连续型随机变量1.可以取一个或多个区间中任何值可以取一个或多个
33、区间中任何值 2.所所有有可可能能取取值值不不可可以以逐逐个个列列举举出出来来，而而是是取取数轴上某一区间内的任意点数轴上某一区间内的任意点3.连续型随机变量的一些例子连续型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查一批电子元件新建一座住宅楼测量一个产品的长度使用寿命(小时)半年后工程完成的百分比测量误差(cm)X 00 X 100X 045统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的概率分离散型随机变量的概率分布布346统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布1.列出离散型随机变量列出离散型随机变量X的所有可能取值的所有可能取值2.列出随机变量取
34、这些值的概率列出随机变量取这些值的概率3.通常用下面的表格来表示通常用下面的表格来表示X=xix1，x2，xnP(X=xi)=pip1，p2，pn4.P P(X X=x xi i)=)=p pi i称为离散型随机变量的概率函数称为离散型随机变量的概率函数p pi i 0 0；47统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布(例题分析例题分析)【例例】一部电梯在一周内发生故障的次数X及相应的概率如下表故障次数故障次数X=xi0123概率概率P(X=xi)pi0.100.250.35一部电梯一周发生故障的次数及概率分布一部电梯一周发生故障的次数及概率分布 (1)
35、(1)确定确定 的值的值 (2)(2)求正好发生两次故障的概率求正好发生两次故障的概率 (3)(3)求故障次数多于一次的概率求故障次数多于一次的概率 (4)(4)最多发生一次故障的概率最多发生一次故障的概率 48统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布(例题分析例题分析)解：解：(1)由于0.10+0.25+0.35+=1 所以，=0.30 (2)P(X=2)=0.35 (3)P(X 2)=0.10+0.25+0.35=0.70 (4)P(X1)=0.35+0.30=0.6549统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的数学期离散型随机变量的数学期
36、望和方差望和方差350统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望(expected value)1.离离散散型型随随机机变变量量X的的所所有有可可能能取取值值xi与与其其取取相相对对应的概率应的概率pi乘积之和乘积之和2.描述离散型随机变量取值的集中程度描述离散型随机变量取值的集中程度3.记为记为 或或E(X)4.计算公式为计算公式为51统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差(variance)1.随随机机变变量量X的的每每一一个个取取值值与与期期望望值值的的离离差差平平方和的数学期望，记为方和的数学期望，记为 2 或或D
37、(X)2.描述离散型随机变量取值的分散程度描述离散型随机变量取值的分散程度3.计算公式为计算公式为4.方差的平方根称为标准差，记为方差的平方根称为标准差，记为 或或D(X)52统计学统计学STATISTICS离散型数学期望和方差离散型数学期望和方差(例题分析例题分析)【例例例例】一一家家电电脑脑配配件件供供应应商商声声称称，他他所所提提供供的的配配件件100100个中拥有次品的个数及概率如下表个中拥有次品的个数及概率如下表 次品数次品数X=xi0123概率概率P(X=xi)pi0.750.120.080.05每每100100个配件中的次品数及概率分布个配件中的次品数及概率分布 求该供应商次品数
38、的数学期望和标准差求该供应商次品数的数学期望和标准差 53统计学统计学STATISTICS几种常用的离散型概率分几种常用的离散型概率分布布354统计学统计学STATISTICS常用离散型概率分布常用离散型概率分布离散型离散型概率分布概率分布两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布超几何分布超几何分布55统计学统计学STATISTICS两点分布两点分布1.一个离散型随机变量一个离散型随机变量X只取只取0和和1两个可能两个可能的值的值2.它们的概率分布为它们的概率分布为3.4.或或3.也称也称0-1分布分布56统计学统计学STATISTICS两点分布两点分布(例题分析例题分析)【例例】已知
39、一批产品的次品率为p0.04，合格率为q=1-p=1-0.04=0.96。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为X=xi0 1P(X=xi)=pi0.05 0.950.50.50 01 11 1x xP P(x x)57统计学统计学STATISTICS二项试验二项试验(伯努利试验伯努利试验)1.二项分布与伯努利试验有关二项分布与伯努利试验有关2.贝努里试验满足下列条件贝努里试验满足下列条件一一次次试试验验只只有有两两个个可可能能结结果果，即即“成成功功”和和“失败失败”“成功成功”是指我们感兴趣的某种特征是指我们感兴趣的某种特征一一次次试试
40、验验“成成功功”的的概概率率为为p，失失败败的的概概率率为为q=1-p，且概率且概率p对每次试验都是相同的对每次试验都是相同的 试验是相互独立的，并试验是相互独立的，并可以重复进行可以重复进行n次次 在在n次次试试验验中中，“成成功功”的的次次数数对对应应一一个个离离散散型型随机变量随机变量X X 58统计学统计学STATISTICS二项分布二项分布(Binomial distribution)1.重重复复进进行行 n 次次试试验验，出出现现“成成功功”的的次次数数的的概概率率分分布布称称为为二二项项分分布布，记记为为XB(n，p)2.设设X为为 n 次次重重复复试试验验中中出出现现成成功功的
41、的次次数数，X 取取 x 的概率为的概率为59统计学统计学STATISTICS二项分布二项分布1.对于对于P(X=x)0，x=1,2,n，有，有2.同样有同样有3.当当 n=1 时，二项分布化简为时，二项分布化简为60统计学统计学STATISTICS二项分布二项分布(例题分析例题分析)【例】【例】【例】【例】已知一批产品的次品率为已知一批产品的次品率为4%4%，从中任意有放回地抽，从中任意有放回地抽 取取5 5个。求个。求5 5个产品中：个产品中：(1)(1)没有次品的概率是多少？没有次品的概率是多少？(2)(2)恰好有恰好有1 1个次品的概率是多少？个次品的概率是多少？(3)(3)有有3 3
42、个以下次品的概率是多少？个以下次品的概率是多少？61统计学统计学STATISTICS泊松分布泊松分布(Poisson distribution)1.1837年年法法国国数数学学家家泊泊松松(D.Poisson，17811840)首首次提出次提出 2.用用于于描描述述在在一一指指定定时时间间范范围围内内或或在在一一定定的的长长度度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布面积、体积之内每一事件出现次数的分布3.泊松分布的例子泊松分布的例子一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数一定路段内，
43、路面出现大损坏的次数一定路段内，路面出现大损坏的次数一定时间段内，放射性物质放射的粒子数一定时间段内，放射性物质放射的粒子数一匹布上发现的疵点个数一匹布上发现的疵点个数一定页数的书刊上出现的错别字个数一定页数的书刊上出现的错别字个数 62统计学统计学STATISTICS泊松分布泊松分布(概率分布函数概率分布函数)给定的时间间隔、长度、面给定的时间间隔、长度、面 积、体积内积、体积内“成功成功”的平均的平均数数e=2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面给定的时间间隔、长度、面 积、体积内积、体积内“成功成功”的次数的次数63统计学统计学STATISTICS泊松分布泊松分布(例题分析例题分析
44、)【例例例例】假假定定某某航航空空公公司司预预订订票票处处平平均均每每小小时时接接到到4242次次订订票票电电话话，那那么么1010分分钟钟内内恰恰好好接接到到6 6次次电电话话的的概概率是多少？率是多少？解：解：解：解：设设X X=1010分钟内航空公司预订票处接到的电话次数分钟内航空公司预订票处接到的电话次数 64统计学统计学STATISTICS泊松分布泊松分布(作为二项分布的近似作为二项分布的近似)1.当当试试验验的的次次数数 n 很很大大，成成功功的的概概率率 p 很很小小时时，可可用用泊泊松松分分布布来来近近似似地地计计算算二二项项分分布布的概率，即的概率，即2.实际应用中，当 P0
45、.05，n20，np5时，近似效果良好65统计学统计学STATISTICS超几何分布超几何分布1.采采用用不不重重复复抽抽样样，各各次次试试验验并并不不独独立立，成成功功的概率也互不相等的概率也互不相等2.总总体体元元素素的的数数目目N很很小小，或或样样本本量量n相相对对于于N来来说说较较大大时时，样样本本中中“成成功功”的的次次数数则则服服从从超几何概率分布超几何概率分布3.概率分布函数为概率分布函数为66统计学统计学STATISTICS超几何分布超几何分布(例题分析例题分析)【例例例例】假假定定有有1010支支股股票票，其其中中有有3 3支支购购买买后后可可以以获获利利，另另外外7 7支支
46、购购买买后后将将会会亏亏损损。如如果果你你打打算算从从1010支支股股票票中中选选择择4 4支支购购买买，但你并不知道哪但你并不知道哪3 3支是获利的，哪支是获利的，哪7 7支是亏损的。求：支是亏损的。求：(1)(1)有有3 3支能获利的股票都被你选中的概率有多大？支能获利的股票都被你选中的概率有多大？(2)3 (2)3支可获利的股票中有支可获利的股票中有2 2支被你选中的概率有多大？支被你选中的概率有多大？解：解：解：解：设设N N=1010，MM=3=3，n n=4=467统计学统计学STATISTICS概率密度函数概率密度函数368统计学统计学STATISTICS连续型随机变量的概率分布
47、连续型随机变量的概率分布1.连连续续型型随随机机变变量量可可以以取取某某一一区区间间或或整整个个实数轴上的任意一个值实数轴上的任意一个值2.它取任何一个特定的值的概率都等于它取任何一个特定的值的概率都等于03.不能列出每一个值及其相应的概率不能列出每一个值及其相应的概率4.通常研究它取某一区间值的概率通常研究它取某一区间值的概率5.用用概概率率密密度度函函数数的的形形式式和和分分布布函函数数的的形形式来描述式来描述69统计学统计学STATISTICS概率密度函数概率密度函数1.设设X为为一一连连续续型型随随机机变变量量，x 为为任任意意实实数数，X的概率密度函数记为的概率密度函数记为f(x)，
48、它满足条件，它满足条件2.f(x)不是概率70统计学统计学STATISTICS连续型随机变量的期望和连续型随机变量的期望和方差方差1.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望2.方差方差71统计学统计学STATISTICS正态分布正态分布372统计学统计学STATISTICS正态分布正态分布(normal distribution)1.由由C.F.高斯高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出作为描述误差相对频数分布的模型而提出2.描述连续型随机变量的最重要的分布描述连续型随机变量的最重要的分布3.许多现象都可以由正态分布来描
49、述许多现象都可以由正态分布来描述 4.可用于近似离散型随机变量的分布可用于近似离散型随机变量的分布例如：例如：二项分布二项分布5.经典统计推断的基础经典统计推断的基础73统计学统计学STATISTICS概率密度函数概率密度函数f(x)=随机变量随机变量 X 的频数的频数 =正态随机变量正态随机变量X的均值的均值 =正态随机变量正态随机变量X的方差的方差 =3.1415926;e=2.71828x=随机变量的取值随机变量的取值(-x )74统计学统计学STATISTICS正态分布函数的性质正态分布函数的性质1.图形是关于图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在对称钟形曲线，且峰值在x=处处2.均均值
50、值 和和标标准准差差 一一旦旦确确定定，分分布布的的具具体体形形式式也也惟惟一一确确定定，不不同同参参数数正正态态分分布布构构成成一一个个完完整整的的“正正态态分分布布族族”3.均均值值 可可取取实实数数轴轴上上的的任任意意数数值值，决决定定正正态态曲曲线线的的具具体体位位置置；标标准准差差决决定定曲曲线线的的“陡陡峭峭”或或“扁扁平平”程程度度。越大，正态曲线扁平；越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭越小，正态曲线越高陡峭4.当当X X的的取取值值向向横横轴轴左左右右两两个个方方向向无无限限延延伸伸时时，曲曲线线的的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交两个尾端也无限渐近横轴，