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1、第六节对数与对数函数 最 新考纲1 .理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2 .理解对数函数的概念及单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,1 0,，勺对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4 .了解指数函数夕=a (a 0,且 与 对 数 函 数_ y=l o g 0,且a Wl)互为反函数.考向预测考情分析：对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题.学科素养：通过对数运算考查数学运算的核心素养；通过对数函数的
2、图象与性质考查直观想象、逻辑推理的核心素养.积累必备知识基础落实赢得 良 好 开 端一、必 记3个知识点1 .对数(1)对数的概念:如果/=M“0,且。#1)，那么数x叫做以。为底N的对数，记作,其 中。叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质：al o g a N；l o g a a b=b(a 0,且 a Wl).(3)对数的运算性质如 果 介0且M0,N 0,那么 l o&(A W)=；l o g“沪 l o g“M=(n G R).(4)换底公式：(a 0,且 a Wl,b0,c0,且 c Wl).2 .对数函数及其性质(1)概念：函数y=l o g M(”0,且 叫 做 对 数
3、函 数，其 中x是自变量，定义域是(0,+).(2)对数函数的图象与性质a0 a l 时，y 0；当0%l 时,y 0在(0,+8)上是_ _ _ _ _ _ _ _在(0,+8)上是_ _ _ _ _ _ _ _3.反函数指数函数y=a S 0,且 aW l)与对数函数 5 0,且 aW l)互为反函数，它们的图象关于直线 对称.它们的定义域和值域正好互换.二、必明2 个常用结论1.换底公式的三个重要结论 10gl力=);lOgam b-og(lb；logb a n ilogab logfcC logcd=log/.2.对数函数图象的特点(1)当时，对数函数的图象呈上升趋势；当 01时，底数
4、越大，图象越靠近x 轴；当 0al 时，logx0.()(4)函数y=ln 芸 与 y=ln(l+x)ln(lx)的定义域相同.()(二)教材改编2.必 修 1予73练习T3改编 已知=2 心,/=log2|,C=10gip则()A.abc B.achC.cba D.cdb3.必修1P74习 题 改 编 计算：Ig i-lg s U lg 7V5=.(三)易错易混4.函数y=3+lo以(x+3)的 图 象 必 经 过 定 点 的 坐 标 为.5.(忽视底数a 的讨会出错)若 log|0,且 2 1),则 实 数 的 取 值 范 围 是.(四)走进高考6.2021全国乙卷理 设 a=21n 1.
5、01,b=In 1.02,c=M 而 一 1,则()A.abc B.bcaC.bac D.ca=用，且+：=2,则 m=()A.2 B.4 C.6 D.92.2 0 2 2 临沂期末改编 若 1 0“=4,10A=2 5,则下列选项中不正确的是()A.a+b=2 B.ba=lC.6 8 1 g22 D.h-ag 63 .已知 若 lo g a b+lo g M7=|,ah=ba,则 a=,b=.4 .计算：(l)lg 2 5 +lg 2-lg 5 0+(lg 2)2；(2 严 g 3/T g 9+l(lg V 2 7+lg 8-lg V l 0 0 0)lg 0.3 1 g l.2-(3)(l
6、o g 3 2 +lo g 9 2)-(lo g43 +1 0 g s 3).反思感悟对数运算的一般思路首 先 利 用 赛 的 运 算 把 底 数 或 真 数 进 行 变 形，化 成 分 数电f 指 数 系 的 形 式，使 系 的 底 数 最 简，然 后 再 用 对 数 的 运 算性 质 化 简 合 并将 对 数 式 化 为 同 底 数 对 数 的 和、差、倍 数 运 算，然 后 逆图-用 对 数 的 运 算 性 质，转 化 为 同 底 数 对 数 真 数 的 积、商、赛的运算考点二 对数函数的图象及应用 基础性、综合性 例 1 (1)2 0 2 2 泰安模拟 函数y=ln(2 的大致图象为(
7、)AB(2)已知函数Z(x)=f g 2 X XO,且关于X的方程大x)+x-q=o 有且只有一个实根,(3X,x 0,则实数。的 取 值 范 围 是.听课笔记：反 思 感 悟 对数型函数图象的考查类型及解题思路(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解.(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象.特别地，当底数与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法.【对 点 训
8、练】2.X3，则(A.C.2 0 2 2 西安调研 设 xi，小均为实数，且e ri=lnx e-X 2=ln(x2+1)e-X 3=lg)XX2X3X2X3X|B.%1%3%2D.X2XX考点三对数函数的性质及其应用 综合性角 度 1 比较对数值的大小例 2 2 0 2 0 全国卷I H 设 a=lo g 3 2,f e=log 53,c=|,则()A.acb B.abcC.bca D.cah(2)2 0 2 2 衡水检测 已知广心吟/,=lOg i 0.2,c=ah,则 m b,c的大小关系是()2 2A.abcC.acb听课笔记:B.cabD.bc2 的 解 集 为()A.(2,+0)B
9、.(0,0 U(2,+8)C.(0,y)U (VI,+)D.(V2,+8)听课笔记：反思感悟求解对数不等式的两种类型及方法类型方法形如1 0 g a X1 0 g 6借助=10%的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a与 0 b需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y=lo g d 的单调性求解角度3 对数型函数性质的综合应用 例 4 已知函数,/(x)=I o g 4(a x2+3).(1)若火1)=1,求/(x)的单调区间；(2)是否存在实数0,使H x)的最小值为0?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.听课笔记：反思感悟求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤一求求出函数的定义域
10、，所有问题都必须在定义域内讨论.二判判断对数函数的底数与1 的关系，分。1 与 0 g 2/I,f e=lo g 2 9 lo g 2-/3,c=k g 3 2,则 a,b,c 的大小关系是()A.abcC.abbc2 .已知函数兀c)=lo g a(8 a x)(a 0,且 a K l),若兀K)1在区间 1,2 上恒成立，则实数a的 取 值 范 围 是.微专 题 巧借运算性质拟合函数破压轴思想方法 例 2021辽宁大连期中 定义在(0,+8)上的增函数大x),满足对于任意正实数x,y恒有兀/)=/(x)+JU),且3)=1,则不等式J(x)+/(x8)2的解集是()A.(-1,9)B.(0
11、,8)C.(8,9)D.(0,9)解析:方法一(一般解法)因为_/(盯)=&)+/8),次3)=1,所以2=(3)=/(3)+3)=/(3X 3)=/(9),则不等式/(x)+/(x-8)0,因为函数/(X)在定义域(0,+8)上为增函数，所以不等式等价为J x-8 0,即(x(x-8)0,8,解得 8cx9,t-1 x 0)，则不等式 J(x)+f(x8)2 可化为 logjx+Iog3(x8)2,pog3 x(x-8)2,fx(x-8)0,即1x 0,x 8 0,x 8 0,解得8Vx9.答案：c名师点评本题是一个抽象函数的试题，如果直接研究抽象函数的单调性有困难，可尝试根据抽象函数的结构
12、和形式，从中找到一个能“拟合”这个规律的具体函数，结合具体函数的性质解决问题.如本题抽象函数有性质”外 力=於)+/8),可以借助对数函数模型解题.变式训练 若.危)满足对任意的 实 数 都 有；(a+b)=/(a)：/(b)且 1)=2,则 煤+牌+f（5）f（2 015）f（2 017）f（2 019）A.1 009 B.2018 C.2019D.2 020第六节对数与对数函数积累必备知识、1.(l)x=Iog N Q)N(3)log“+logJV 108aM logJV log3f(4)产logc a2.(2)(0,+8)R(1,0)增 函 数 减 函 数3.J=logax y=x三、1
13、.答案：(1)X(2)X(3)X(4)V2.解析：因为 bl.所以 ca6.2 3答案：D3.解析：原式=lg4+加 2T g 7-|lg 8 +lg7+jg5=21g2+glg2+lg5)_21g2=4答案：i4.解析：因为当x=-2 时，y=3+0=3,所以该函数的图象必过定点(-2,3).答案：(一2,3)5.解析：当0 1时，log03bg/=1,所以0l.所以实数a 的取值范围是(0,；)U(1,+8).答案：(0,U(1,+)6.解析：a=21n 1.01=ln 1.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2X 0.01+0.012)ln 1.02=6,所以ha；下 面比较。与
14、m 6 的大小关系.记/(x)=21n(1+x)V l+4x+1,则flQ)=0 f(x)=-2 =&l+4x-l-x).八 叼 u,j w i+x 后赤(i+x)a T 由于 l+4x(l+x)2=2xN=x(2x)所以当 0 x0,gpV TT4(l+x),/(x)0,所以外)在 0,2 上单调递增，所以人0.01)次 0)=0,即 21n L01WT的一1,即 0 c；令 g(x)=ln(l+2x)V l+4x+1,贝g(0)-0,g(X)一言7而-(l+2x)Vl+4)由于 l+4x(l+2x)2=-4f,在 x 0 时，1 +4 x(1+2 x)2 0,所以g，(x)v O,即函数g
15、(x)在 0,+8)上单调递减，所以g(0.0 1)v g(0)=0,即 I n 1.0 2 /L 0 41,即综上，bc=l g 2 5,则 a+b=l g 4+l g 2 5=l g 10 0=2,故 A 正确；6-a=l g 2 5-l g 4=l g 答 l g 6 且 1g g v l,故 B 错误，D 正确；a 6=l g 4 1g 2 5 =4 1g 2 1g 5 4 1g 2-l g 4=8 1g22,故 C 正确.答案：B3 .解析：设 l o g w =f,则/1,因为 f+*|,所以t=2,则=岳.又M=b ,所以 二心 即 2 6=，又 解得 6=2,a=4.答案：4
16、24 .解析：(1)原式=(I g 2)2+(l +l g 5)l g 2+l g 52=(l g 2+l g 5+l)l g 2+2 1g 5=(1+l)l g 2+2 1g 5=2(l g 2+l g 5)=2._ J(lg 3)Z-2 lg 3+i 0坨3+3整2)U)尿六(Ig 3-l)(lg 3+2 1 g 2-l)_(l-lg 3)|(lg 3+2 lg 2-l)-(Ig 3-l)(lg3+21g2-l)32(3)原式31g2 51g3 S21g 3 6lg2 4=+监.阴+监=阐+坨)/妃+3=7 g 3 Ig 9/lg 4 lg87 lg 3 21g3,21g2 31g2/考点
17、二例 1解析：令 x)=l n(2 一|x|),易知函数兀0 的定义域为 x|-2 x l 时，直线y=-x+a与y=/(x)只有一个交点.答案：(1)A (2)(1,+0 0)对点训练1 .解析：函数y=2 1 og 4(l x)的定义域为(-8,1),排 除 A,B项；函数_p=2 1 og 4(l -x)在定义域上单调递减，排除D 项，故选C 项.答案：C2 .解析：画出函数,y=l n x,y=l n(x+l),y=l g x 的图象，如图所示：由图象直观性，知X 2 X 1 X 3.答案：D考点三例 2 解析：(1)因为 a=l og 32=l og 3遮 l og s V 2 5
18、=|=c,所以 acb.Q 2(2)函数y=(力与y=l og”的图象关于直线y=x 对称，则0 (J 1 l og i 0.2,.ab.又 c 5=G 严 骂。2=(|)|O 8I 2=O.2O-2 a c.答案：(1)A (2)B例 3解析：因为偶函数次x)在(-8,0 上是减函数，所以火对在(0,+8)上是增函数.又大1)=2,所以不等式(I og 2 x)2=/U),即|l og 2 X|1,解得 0 2.答案：B例 4解析：因为川)=1,所以l og 4(a+5)=l.因此 a+5=4,即 a=-1,这时 fix)=l og 4(x2+2 x+3).由一/+2 +3 0,得一l x
19、0,13a-l，解得 a =y-=1 乙a故 存 在 实 数 使火x)的最小值为0.对点训练1 .解析：因为 4Z=l og 2 3+l og 2 V 3=l og 2 3V 3=|l og 2 3 l,b=I og 2 9 l og 2 /3=I og 2 3V 3=a,c=I og 32 l og 33=1.所以 abc.答案：B2 .解析：当a l 时，)=1 0&(8 a x)在 1,2 上是减函数，由於)1 在区间 1,2 上恒成立，则 _/(X)m i n=y(2)=l 0 g a(8 2)1 ,即 8-2 a a,且 8 290,解 得 l a|.当0 a 1 在区间 1,2 上
20、恒成立，知大X)m i n=/O)=1 0 g rt(8 一4)1,且 8 2 a 0.，8-a 0,此时解集为0.综上可知，实数a的取值范围是(1,1).微专题巧借运算性质拟合函数破压轴变式训练解析：方法一 因为外)满足对任意的实数“，b 都有/(4+Z)=/(a)：/S),且/(1)=2,所以寅a+l)=X”)负1),所 以 誓=,1)=2,圻|、/f _ f _ f_f(2 016)_f(2 018)_f(2 020)_/在行.所以而_ 而 _ 而 _ 一五 丽 懑 而?一西 而 一 2,(共有 0 1 0 项)所6匕 以同+,丽式4)+,而f(6)+,+,f(2 016)+f(2 018)f(2 020)1 n，lnvX_2 _ 2 0 2 0.方 法 二 根 据 题 意 可 设 )=2 ,则0+3+也+虱2。+f(2 018)f(2 020)=丝 二+T=2 X 1 0 1 0 =2 0 2 0f(l)f(3)f(5)f(2 015)十 f(2 017)十 f(2 019)2 十 23T-V019 乙 U 1U Z答案：D