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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学姓名 准考证号本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4 页，选择题部分1至 3 页；非选择题部分3 至4 页.满 分 150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式：如果事件A,B互斥，则 柱体的体积公式P(A +B)=P(A)+P(B)如果事件4,8相互独立，则P(A 8)=P(A)-P(8)V=Sh其中S表示柱体的底面积，/7表示柱
2、体的高锥体的体积公式若事件A在一次试验中发生的概率是p,则次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P“(k)=CA(1-p)j (Z =0,1,2,台体的体积公式v=g(s+糜+S2)其中S1,S2表示台体的上、下底面积，力 表示台体的高V -S h3其中S表示锥体的底面积，人 表示锥体的高球的表面积公式S=4万店球的体积公式4 ,V=-TTR33其中R表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合A=1,2 ,B =2,4,6 ,则()A.2 B.1,2【答案】D【解析】【分析】利用并
3、集的定义可得正确的选项.【详解】A U 3=1,2,4,6 ,C.2,4,6 D.1,2,4,6 故选：D.2.已知a,0eR,a+3i=（/?+i）i（i 为虚数单位），则（）A.a l,b 3 B.a=,b 3 C.a ,b=-3 D,a=,b 3【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求。,从【详解】a+3 i=l+历，而。/为 实数，故。=-1,。=3,故 选:B.x 2 0,3.若实数x,y 满足约束条件 2 x+y 7 4 0,则 z=3x+4y的最大值是（）x-y-2 0,A.20 B.18 C.13 D.6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线
4、z=3x+4y后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：x=2 x=2 /、由 c r c 可得 c,故 A 2,3),2x+y-7 =0 1y=3故 Z m ax=3x2+4x3=18，故选：B.4.设x e R,则“sinx=l”是“COSX=0”的（A.充分不必要条件 B.必要不充分条件)C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答 案】A【解 析】【分 析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详 解】因 为 112%+852%=1可 得：当sinx=l时，cosx=0.充分性成立；当cosx=0时，sinx=l,必要性不成立；所 以 当x e R,sinx
5、=l是cosx=0的充分不必要条件.故选：A.5.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示（单 位：cm）,则 该 几 何 体 的 体 积（单位：cn?）是（）A.22KB.87t22C.it316D.7 13【答 案】C【解 析】【分 析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根 据 球，圆柱，圆台的体积公式求出.【详 解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为1 c m,圆台的下底面半径为2 c m,所以该几何体的体积1 4 ,3,2 c 1 c/V-x n x
6、l+7T X1 x2+X2X K X2+K X3 I2 4-A/TCX22 X T IXI2 j cm3.故选：C.6.为了得到函数y =2 s i n3 x的图象，只要把函数y =2 s i n，x +，J图象上所有的点（）ITTTA.向左平移彳个单位长度 B.向右平移;个单位长度TTTTC.向左平移一个单位长度 D.向右平移一个单位长度1 5 1 5【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出.【详解】因为y =2 s i n3 x =2 s i n+|,所以把函数y =2 s i n3 x+1 图象上的所有点向右7T平移百个单位长度即可得到函数y =2 s i n3 x的
7、图象.故选：D.7 .已知2 =5,log8 3 =）,则4 a 3=（）2 5 5A.25 B.5 C.D.-9 3【答案】C【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，幕的运算性质以及对数的运算性质即可解出.14 （2 S2?5【详解】因为2 =5,=log83 =-log23,即*=3,所以4.=广=*=第3 4 I2M）J,故选：C.8.如图，已知正三棱柱A B C -A蜴G，A C =例，E,F分别是棱B C，A G上 的 点.记E F与4片所成的角为a,所与平面A B C所成的角为 夕，二面角尸3 C A的平面角为/,则（）BA,a /3 y【答案】AB.P a yC.P y aD.
8、a y/3【解析】【分析】先用几何法表示出a,仇r，再根据边长关系即可比较大小.【详解】如图所示，过 点/作E PLA C于P,过P作尸于连接P E,则 a-Z.EFP,P=/.FEP,y-FMP,t a na =-=t a n BPE所以e W/W y,故选：A.9.已知a,O e R,若对任意x eR,a|x-A|+|x-4|一|2 x-5|2 0,则（）A a?B.al,b,b3D.al,b3【答案】D【解析】【分析】将问题转换为。口一。以2 1一5|一|1一4 ,再结合画图求解.【详解】由题意有：对任意的xe R,有。|%一。以2彳一5|-|彳一4|恒成立.设/(x)=a|x _。，g
9、(x)=|2 x-5|-|x-4|=1 X,X 一23 x 9,一 x 4即/(X)的图象恒在g(x)的上方(可重合)，如下图所示:3由图可知，a3,1 /?3,或lW a v 3,1 Z?4一一 3,a故选：D.1 0.已知数列 4满足q =1,。“+则（）5 5 7A.2 lO O aloo B.1 0 0 a 0 0 3 C.3 lO O aloo-,累加可求出一 彳（+2）,得出1 0 0 qoo 3,再利用%4 3一q 3 a 31 1 1 1 I f,1-=-g.2【详解】；4=1,易得。2=。，1），依 次 类 推 可 得（0,1）由题意，“f 一1铲 J ，即 嬴1 =而3幻=
10、11 +10，7D.万 1 0 0%0 G,-a2 4 3 a3 a2 3_ L _ J _ _ L 1a4 a3 3 1 1 ,c、-,(2),an-3累加可得,即-：(+2),(2 2),a”3 an 33/、1 100 /+2 几_ 2)即G o o -34 1 111 17=3 +2_-=-2)+1i ia2 q231 +11i _ _ i _2a2 3a4 a3 3J _ _ _ _1_a“%3用,1 ,1/累加可得1 彳(31 f 1 1 z,、311-133+-(-+-+-+|33+-1|-1x 4 +-1x 9 4|39,“2 3 99 J 33(22 66)即|；综上：l O
11、 O t J i o Q 2 2填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S=H-c 2a2-I 2，其中 a,b,c 是三角形的三边，S 是三角形的面积.设某三角形的三边4=血,。=百,0=2，则该三角形的面积S=.【答案】叵.4【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出.辛 侪7 1 田小 C 1 2 2 f c2+2-2Y 1 LV9/4+2 3丫 7 23【详解】因为S =J c a-，所以S =J 4x 2-=-I 2)4 I 2 J J 4故答案为：叵.412.已知多项式(X+2)(%-1)4=%+/+。4%4+%/，则。2=%+。2+/+。4+。5 =.【答案】.
12、8 .-2【解析】【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令 =0求出与，再令X =1即可得出答案.【详解】含尤2项为：叱 窗3(1)3+2.9.(_ 1)2=_4X 2+1 2 1=8：,故4=8；令 x =0,即 2=q),令九=1,艮|J 0=。0+4+。2+。3 +。4+。5，。+出+生+。4+。5 =-2,故答案为：8；2.13.若3s i n a s i n，=,则s i n a,c o s 2 =【答案】.上 叵 .-10 5【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到a的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出a ,接下来再求夕.【详解】a +/
13、=,s i n/?=c o s a ,即 3s i n a c o s a =，艮网等s i n a-噜c o s m令s i n 8=*W噜,则 V 15 s i n(a-9)=5/i 5 ,：.a-9 =%+2kjv,k e Z、即=8+2%乃，s i n a =s i n 。+巳+2Z)I 210则 c o s 2=2c o s 2 夕一 1 =2s i n2 l,.X（i n则/5 =若当时，则A a的最大值是一【答案】【解析】c 37.28.3+G#舟 3【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值功的最大值即可.1 1 V 7 7 7 4 3 7【详解】由已知/(/=一
14、f +2 =；，/北+厂1 =忌,所 以/吗啜,当 x Wl 时，由 l /(x)4 3 可得 1 一%2+2 1 时，由 l K/(x)K3 可得 l Vx +工-1 K 3,所以 l x 4 2 +百,X1 4/(X)3等价于-1 4 x 4 2+百，所以口 向0一1,2 +6,所以匕一a的最大值为3 +6.故答案为：，3 +J.2 81 5 .现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为久 则 尸4=2)=,E4)=.【答案】,.#1-3 5 7 7【解析】【分析】利用古典概型概率公式求尸C=2),由条件求4分布列，再由期
15、望公式求其期望.【详解】从写有数字1 2 2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有C；种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有C：+C；C：种，所以P=2)=,；=,由己知可得占的取值有1,2,3,4,D至唱S噜C2 3 1 1,p(g=3)=,P(=4)=G 35 1 7 C 35所以E e）1X12+2X +3XA+4X=35 35 35 35 7故答案为：3512T2 216.已知双曲线-1 =130力 0）的左焦点为凡 过尸且斜率为“的直线交双曲线于点A（%,y）,交双曲线的渐近线于点6（%，%）且 石 0彳 2.若|F B|=3|E 4|,则双曲线的离心率是【答案】巫4
16、【解析】h【分析】联立直线A 3 和渐近线/,：）,=x 方程，可求出点8,再根据|F 8|=3|E 4|可求得点A,最后a根据点A 在双曲线上，即可解出离心率.b b b【详解】过尸且斜率为 的直线A 3:y =（x+c）,渐近线4：丁二一x，4。4。a联立 4。，得FB=3FA,得-b 3 3a）9 9a Jy=xI a而占人左m 曲砧L H1 325c2 b2c2 1能,旦 c2 81 后1“南、药 3娓而点A 在双曲线上，于TH-.-=1 J解得：,所以离心率e=-.8 1/8 1/a2 24 4故答案为：巫.417.设点P在单位圆的内接正八边形4 4 4的边A 4上，则 而;+%?+
17、成 的 取值范围是【答案】12+20,16【解析】【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，4 4所在直线为x轴，&A所在直线为丫轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设尸(x,y),再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到阳;+阳；+.+巨或=8(/+)2)+8,然后利用COS225 0。尸区1即可解出.【详解】以圆心为原点，4 4所在直线为X轴，4 4所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：因为c o s 2 2.5 W|O P|Wl,所以l+c；s 4 5.2 +y 2 ,故 西；+；+所;的取值范围是 1 2 +2 72,1 6.故答案为：1 2 +2 ,1 6.三、解
18、答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 8.在AABC中，角4,B,C所对的边分别为小b,c.已知4 =&c,c o s C =g .(1)求s i n A的值：(2)若人=1 1,求AABC的面积.【答案】(1)；5(2)22.【解析】【分析】(1)先由平方关系求出si n C,再根据正弦定理即可解出；2 2 2(2)根据余弦定理的推论co sC=一厂以及4 a=&c可解出”,即可由三角形面积公式labS=L a/?si n C求出面积.2【小 问1详解】3 4 1-由于co sC=,0 l .记%的前 项和为S”(n e N*).(1)若 S4 -2a2
19、a3 +6 =0,求 S,；(2)若对于每个eN*，存在实数q,使。,+4,4+1+4%,%+2+15。,成等比数列,取值范围.【答案】(1)S 二31 5 n (w N*)n2(2)l d L所以d =3,所以为=3-4 ,所以 S=(q+%)=3、5,2 2【小问2详解】因为 an+l+4 c,a“+2+15 q,成等比数列，所以(。的+A,)=(+%)(4+2+15%)，(4-l +4 q J =(-l+nd-d+cn)(-l+nl+d+15cn),c：+(14 d -8 nd+8)c+J2=0,由已知方程c；+(14 J-8M+8)g+d2=0的判别式大于等于0,所以 =(14 d 8
20、加 +8)2 4 i/220,所以(16 4 8加/+8)(12-8加+8)2 0对于任意的 w N*恒成立，所以(“一2 一1(2-3一2 2 0对于任意的6 1 0,当=2时，由(2d-2d-l)(4 d 3d 2)2 0,可得d 4 2当3时，(n-2)J-l (2n-3)J-2 (n-3)(2n-5)0,又dl所以l e,则0 b-/(a)g(i i)若0 Q e,2V 工3，则十2 e-a 1 1 2 t-a 十 占 x3 a(注:e =2.71 8 2 8 是自然对数的底数）【答案】X）的减区间为0,增区间为；,+0 0.（2 ）（2）（i ）见解析；（i i）见解析.【解析】【分
21、析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（i ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（i i）k=且,m =-,则题设不等式可转化为4+1 -2 2 二）（：二:+12）,结合零点满足的方X e m 36m（4+G）程进一步转化为I n m +（加1）（加一 1 3乂加2 旭+7 2(加+1)0,利用导数可证该不等式成立.【小 问1详解】/(力=-32x-e2x2当0 x|,/g x)0,故/(x)的减区间为0,、,4-00./【小问2详解】(i)因为过(a,。)有三条不同的切线，设切点为(E,/(七)=1,2,3,故/(%)匕=,故方
22、程力一力=/(力(工-。)有3个不同的根,该方程可整理为x 2x2 ex-ci)-In x+/?=0,2x设 g(x)x-ae 1 ,-In x+Z?,2x+卜(了1 +了e(/、匕 1 +彳e,“X)的 增 区 间 为 1 e则 9合1一彳(x-e)(x-a),当0 x a时，g )0；当e x 0,故g(x)在(0,e),(a,+oo)上为减函数，在(e,a)上为增函数,因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)0,故ee-a)-lne+0,1 ea e整理得到：h -YG=f (a),此时-12 ea+41-2ea 1 3 e-1 =-in a,2e 2 2 2。3 e设(Q)=5-In
23、ci t 则/(Q)=e-2。2a20,3 e故()为(e,+8)上的减函数，故(卜万一-lne=0,故0(一 1).(i i)当Ov e时，同(i)中讨论可得：故g(x)在(O,a),(e,+a)上为减函数，在(a,e)上为增函数,不妨设 xl x2 x3f 则。玉 。/v e&，因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)0,整理得到：-1-1 /?-bln。，2e 2e因为王 X2 X3,故0 玉 Q e V X3，/、Q +e ea,又 g(x)=1-+-Inx+Z7,X N X设，=，=/?G(0,1)，则方程l-1-5 lnx+/?=。即为:x e x 2x2a+ee e e记:=一，
24、/2 =一也=一，x x2 x3则为一(m+l)，+,产+lnf+8=0有三个不同的根,要证:2 e a I I 2 e a e a 2e e a一+-十 TT，即证2+r3-e 6e-x,x2 6e 6e a 6e即证:13-m2 -m即证:13-mzi+t3-o2 -m0,不即证:2(m-l3)(/n2-m+12)t,+人一2-7-r-m 3 6/7 7&+，3),27 777而一(zn+l)：+Z j2+lntx+6=0且一(加+1).+lnZ3+Z?=O ,故 I nZ j In-，；)一(?+1)(4 _ g)=0,-2 2 I n t,-I n L rl+r3-2-=-x-故即证:
25、2 *I n.I nq,则/，(女)=1一；一2 1晨 0,)k-1 仅-1)1 人 71 1 2 2 2设“()=&-2 1 nA ,则(4)=1 +不一一-=0即0 (左)0,k k k k k故9(Z)在(l,+oo)上为增函数，故(p(k)(p(m),所以(k+1)如 女(m-1 3)(m2-m+1 2)(zn+l)lnm(m-1 3)(w2-/n+1 2)k-l-7 2 -12记 6 y(z)=I n m +1 3)(zn2 机+1 2)7 2(加+1),Qml,(m一 1)-(3 d-2 0/-4 9，”+72)(加一 1)-(3，/+3)7 2 机+72 2(Z+1)所以少(利)在(0,1)为增函数，故6 y(2)勿(1)=0,j,(加一 1)(加一 1 3)(/一根+1 2)(m +l)lnm(m-l3(m2-m +l2)故 I n m +-o,7 2(任1)m-1 7 2故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.