十字模型定弦定角练习题及答案.pdf

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1、十字模型+定弦定角选 择 题（共 1 7小题）1.如图，点。是 正 方 形 的 中 心，E、F、G、分别是边43、CD、BC、40上的点，且EF上G H ,EF、G相交于点。，下列结论：AE =B G ；Z BE0=Z C G 0；（3）0 E =O H；S 正 方 物BCO*4 s四 边 形 花。”中正确的有（）C.3个 D.4个2.如图，在等腰R t A A B C 中，AB AC =90 ,AB =AC ,B C =2五,点。是 ZC边上一动点，连接8。，以 为 直 径 的 圆 交 8。于点E,则线段CE 长度的最小值为（）A.2 0-2 B.V 5-2 C.75-1 D.73-13 .

2、如图，。的半径为1,弦 4 8=1,点尸为优弧标上一动点，ZC,力尸交直线尸8 于点4 .在平面直角坐标系中，已知点4（4,0）、8（-6,0）,点 C是夕轴正半轴上的一个动点，当/8。4 =4 5。时，点。的坐标为（）第1页（共83页）A.(0,6)B.(0,8)C.(0,1 0)D.(0,1 2)5.在 R t A A B C 中，Z C =9 0 ,A C =Q ,B C =1 2,点 O 为线段 8c 上一动点.以 C D 为 0直径，作/。交。于点E,连 B E ,则 8 E 的最小值为（）6 .直线y =x +4 分别与x 轴、y轴相交于点A/,N ,边长为2 的正方形。力 8 c

3、一个顶点。在坐标系的原点，直线NN与 C相交于点尸，若正方形绕着点。旋转一周，则点尸到点（0,2）长度的最小值是（）7.如图，半径为2 c m,圆心角为9 0。的扇形0/8 的 弧 上 有 一 运 动 的 点 尸，从点。向半径OA引垂线P H交OA于点”.设 OP H的内心为/,当点尸在弧A B上从点A运动到点B时，内心/所经过的路径长为（）A./2?r B.7t C.7i D.乃2 48.如图，以 扇 形 的 顶 点。为原点，半 径 所 在 的 直 线 为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，点 8 的坐标为（2,0）,若抛物线y =+左与扇形0 4 8 的边界总有两个公共点，则实数的取值范围

4、是（）第2页（共83页）A.-2 k -B.-2 k -C.-2k 0 D.-2k 4 2-2 29.如图，正方形0Z 8C 的边长为2,以。为圆心，尸为直径的半圆经过点力 ,连接ZE,CF相交于点P,将正方形O A B C 瓜0 A 与OF重合的位置开始，绕着点0逆时针旋转90,交点尸运动的路径长是（）10.如图，AB C ,A C =3,B C =4 小，ZAC B =60,过点N作 8 c 的平行线/,P 为直直线8 P 交。于 E 点，则 4 E 的最小值为（）C.6D.111.如图，在等腰直角A48C中，A B AC =90 ,AB =AC ,B C =472,点。是/C 上一动点，

5、连接8。，以工。为直径的圆交8。于点E,则线段C E长度的最小值是（）C.27 2-2D.275-2第3页（共83页）12.如图，0。半径为6,弦 N8=6,点尸为优弧Z 8 上一动点，/。，/P 交直线尸 于点。,则A 48c的最大面积是（）13.如图，在边长为2 G 的等边A J8 c 中，点。、E 分别是边8 C、/C 上两个动点，且满足AE =CD,连接8 E、相交于点P,则线段C P的最小值为（）A.1 B.2 C.V5 D.2也-114.如图，扇形ZOD中，ZT40D=90,0/=6,点尸为弧4。上任意一点（不与点力和。重合），尸 0，。于 0,点/为 。尸。的内心，过。，/和。三

6、点的圆的半径为r.则当点产在弧/。上运动时，r 的值满足（）A.0 r 3 B.r=3 C.3 r/2 D.r =3A/215.如图，在 0。中，弦 工。等于半径，8 为 优 弧 上 的 一 动 点，等腰A48C的底边8 c 所在直线经过点。.若 0 0 的半径等于1,则 O C的长不可能为（）第4页（共83页）BA.2-73 B.有 C.2 D.6 +11 6 .如图，直径N 8,CD的夹角为6 0。，。为 00上的一个动点（不与点Z ,B,C,。重合）.P M ,0 N分别垂直于C O,AB,垂足分别为“，N .若。的半径长为2,则MNB.等于道C.随夕点运动而变化，最小值为道D.随 P点

7、运动而变化，没有最值1 7.如图，在平面直角坐标系中，直线y =；x +加不经过第四象限，且与x 轴，y轴分别交于 Z,8 两点，点 尸 为 的 中 点，点C在线段。8 上，其坐标为（0,2）,连接8尸，C P,若 N 8P C =N 8/。，那么加的值为（）A.2y/5 B.4 C.5 D.6二.填 空 题（共 9小题）1 8.如图，正 方 形 纸 片 的 边 长 为 1 2,是边C。上一点，连接/E、折叠该纸片，使第5页（共83页）点/落 在/上的G 点，并使折痕经过点8,得到折痕8尸，点尸在工。上，若 D E =5,则1 9.如图，E,尸是正方形N8CO的 边 上 两 个 动 点，满足4

8、 E =D F .连接C F 交8。于点G,连接8 E 交/G 于 点 若 正 方 形 的 边 长 为 2,则线段。长度的最小值是2 0.如图，以G(0,l)为圆心,半径为2 的圆与x 轴交于4、8 两点，与y 轴交于C、。两点，点 E 为0 G 上一动点,于 尸.若 点 E 从在圆周上运动一周，则点尸所经过的路径长为.以N 8为直径作。射线。尸交。加 于 E、F 两点，。为弧 的 中 点，。为E F 的中点.当射线。尸绕。点旋转时，8的最小值为.点，连接C。，则CD的最小值为.ZAB C=60,尸是0。上一动点，。是“尸的中第6页(共83页)c2 3.如图，在 A48c 中，A B AC =

9、4 5 ,1 8C 于”（，在边 BC 上），若 B H =1,C H =2,则 A H =.24.如图，。的半径为2,弦 的 长 为 2 6，以4 8 为直径作。点C 是优弧懑上的一个动点，连接/C、BC,分别交。历于点。、E,则线段CO的 最 大 值 为.25.如图，弓形N8C中，N B AC =60 ,B C =2y/3,若点尸在优弧8/C 上由点B 向点C 移动，记 AP8C的内心 为/，点/随 点 P 的移动所经过的路程为用，则 用的取值范围为.26.如图，点C 是 0。上一动点，弦/8 =6,4 c 8=120。.A48C内切圆半径r 的最大值为一.第7页（共83页）三.解 答 题

10、(共14小题)27.问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：I.如图，在正三角形A48C中，、N分别是4 C、4 8上的点，8”与CN相交于点0,若 Z.B O N=60，则 BM=C N .I I.如图，在正方形/8 C。中，M.N分别是C。、4 9上的点，8”与CN相交于点O,若 Z B O N=90,则 B M =C N .任务要求：(1)请你从I、1【两个命题中选择一个进行证明.(2)如图，在正五边形/8C D E中，M.N分别是CD、O E上的点，8 M与CN相交于点O,若N8ON=108。，请问结论8=C N是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立,请说明理由

11、.28.(1)如图 1,在 RtAABC 中，ZAB C=90,AB =B C ,。为 5 c 中点，过 C 作 CEJ.AD于E ,交N 8延长线与尸.求证：AD =C F .(2)如图 2,在 RtAABC 中，AB C =90,AB =B C ,。为 8 c 中点，B E L4D 于点 E ,延长8 E交NC于点F,求 生 的 值，并继续探究：若点。为直线5 c上的动点(点。不与F CB、C重合)，直线5 E L 4 D于点E,交直线4 c于点尸，当 殷 =，请直接写出d乙的D C F C所有可能的值(用含的式子表示)，不必证明.第8页(共83页)BBA 图1 C A 图2 尸 C29.

12、在四边形4 8。中，对角线4 C、8。相交于点。，过点。的直线分别交边48、CD、A D、B C 于点、E、F、G、H【感知】如图，若四边形N8 CO是正方形，且E F 1GH,易知=%.，又因为SO B=彳5 四 边 痴 B C 0 所以S 四 边 形 E O G =正 方 面 B C D（不要求证明）；【拓展】如图，若四边形N 8 C。是矩形，且 s四 边 初 O G=；S 班 物 8 8，若4 B =a ,A D =b,B E =m ,求 NG的 长（用含a、b、m 的代数式表示）；【探究】如图，若四边形A B C D是平行四边形，且S i AE 0 G=So A B C D，若/8=3

13、,A D =5,3 0.如图，在 R tA A B C 中，Z/4 C S =9 0,N X =30。，4 B =8,C D 是 斜 边 上 的 高，点 E为边/C 上一点（点E不与点4、C重合），连接OE,作 CF L OE,C 尸与边N8、线段。E分别交于点尸、G.（1）求线段。、的长：（2）设C E =x,D F =y,求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）连接EF,当EF/C。时，求 CE的长.第9页（共83页）31.(1)如图把边长为A8=6、8 c =8 的矩形Z8C。对折，使点8 和。重合，求折痕的长;(2)如图把边长为48=2&、8 c =4 且 N8=

14、45。的平行四边形/8C。对折，使点8 和。重合，求 折 痕 的 长.图 图3 2.已知四边形N8C。中，E、厂分别是力 8、4 9 边上的点，DE与 CF交于点、G .(2)如图，若四边形X8C。是平行四边形，试探究：当N 8与 NEGC满足什么关系时，匹=包成立？并证明你的结论；C F C D(3)如图，若 B A=B C =6,D A=D C =8,N B 4 D =90 ,D E L C F ,请直接写出上上的C F值.3 3.在矩形纸片48C D 中，AB =5 ,4 0 =3,点 E、尸在矩形的边上，连接E F,将纸片沿 E F 折叠，点。的对应点为点尸第10页(共83页)图2图3

15、(1)如 图1,若 点 尸 在 边 上，当点P与点工重合时，K i Z D E F =。当点E与点/重合时，则/。尸=(2)如图2,若 点 尸 在 边 上，且点E、尸分别在4 9、0 c边上，则线段力尸的取值范围是:(3)如图3,若点尸与点C重合，点E在上，线段比1、尸交于点且=求线段4 E的长度.3 4 .如 图1,在正方形/8 C。中，点E是 边 上 的 一 个 动 点(点 与点4 ,8不重合)，连接C E,过点8作8尸，C E于点G ,交X。于点F.(1)求证：MBF=B C E；(2)如图2,当点E运动到X 8中点时，连接OG,求证：D C =D G ；(3)如图3,在(2)的条件下，

16、过点C作CA/1OG于点，分别交，BF于点、M,N,3 5 .如图，在 四 边 形 中，ZB =6 0 ,N D =3 0。，AB =B C .(1)求乙4 +NC的度数；(2)连接8。，探究4。，B D,C O三者之间的数量关系，并说明理由；(3)若4 8 =1,点E在 四 边 形 内 部 运 动，且满足/6=86+c,求点E运动路径的长度.第11页(共83页)BD3 6.问题提出：（1）如 图1,己知&4 8 C,试确定一点D,使得以Z,B,C,。为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2,在矩形N 8 C D中，AB =4,BC=1 0 ,若要在该矩形中作出

17、一个面积最大的A S P C,且使Z 8 P C=9 0。，求满足条件的点P到点力的距离；问题解决：（3）如图3,有-座塔Z,按规定，要以塔/为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区8 a根据实际情况，要求顶点8是定点，点8到塔4的距离为5 0米，N C B E =1 20。,那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区88E?若可以，求出满足要求的平行四边形BC O E的最大面积；若不可以，请说明理由.（塔工的占地面积忽略不计）图1 图2 图33 7.问题探究：（1）如 图1,已知等腰A 4 B C的顶角N 4 =3 0。，其外接圆半径为2,则底边上的中线力。长为一.

18、（2）如图2,已知A 4 8C,ZB AC=6 0 ,B C =2,点。、E分别为边/C、8 c的中点，求。E长的最大值：问题解决：（3）如图3,点/、8为两个物资生产站点，站点4、8的距离为次加，现需规划两个物资买卖站点C、。及道路4C、A D.根据实际需要，站点B在站点C、。所连的线段上，且到站点C、。的距离相等.站点/对站点C、。的张角为4 5。即4 5。若要使得站点/、C的距离与站点4、。的距离和最长，试求/C +/。的最大值.（结果用根号表示）第12页（共83页）3 8.在正方形/B C D中，动点E,尸分别从。，C两点同时出发，以相同的速度在直线O C,C 8上移动.(1)如 图1

19、,当点在边。C上自。向C移动，同时点尸在边C B上自C向8移动时、连接/E和 交 于 点P,请你写出/E与。尸的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2,当E,F分别在边C D,B C的延长线上移动时，连接/E,D F ,(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“是 或“否”，不需证明)；连接/C,请你直接写出当MCE为等腰三角形时C E:CD的 值 是.(3)如图3,当点E在边。C上自。向C移动，同时点尸在边C 8上自C向8移动时，连接/E和。尸交于点尸，由于点E,尸的移动，使得点尸也随之运动，请你画出点尸运动路径的草图.若/。=2,则线段C P的最小值是一.3 9.如图，已知抛物线y =

20、+|x +4的对称轴是直线x =3,且与x轴交于Z、8两点(点8在点”的右侧)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)以8 c为边作正方形C 8 O E,求对角线8 E所在直线的解析式；(3)点P是抛物线上一点，若 N 4 PB =4 5 ,求出点P的坐标.第 13页(共 83页)c备用图4 0.在平面直角坐标系中，过点力(3,4)的抛物线 =2+云+4 与 轴交于点8(-1,0),与y(1)求抛物线的解析式.(2)如 图 1,点尸是直线上方抛物线上的一个动点，连接尸。交于点。，连接力尸，当右4 纱=2sA时，求点P的坐标(3)如图2,G是线段0 C上一个动点，连接OG,过点G作 GM

21、LOG交 NC于点，过点M作射线MN,使Z N M G=6 0 ,交射线GD于点N；过点G作G 1 M N ,垂足为点H,连接8”.请直接写出线段8,的最小值.第14页(共83页)十字模型+定弦定角参考答案与试题解析一.选择题（共17小题）1.如图，点。是正方形的中心，E、F、G、，分别是边/5、CD、BC、AD k的点，且EF 1.GH,EF、G”相交于点O,下列结论：AE=BG；ZBEO=NCGO；OE=OH；S正 方 如a。#4“边 物E g中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【分析】连接0 4、OB、0C 0D,由点。是正方形N8CD的中心，得出4 408=90。，N0

22、4E=NOBG=45。,OA=OB=OC=O D,由/S/证明 AJOE=A80G,得出对应边相等AE=BG,得出正确；同理：OBE=OCG,得出 NBEO=N C G O,正确；同理：AOH=BOE,得出OE=OH,正确；由四边形/E 0”的面积=四边形8GO E的 面 积 正 方 形/8C。的面积，得出正方形4的面积=4四边形4E0”的面积，得出不正确.【解答】解：连接0/、0 8、0C、0D,如图所示：.,点0 是正方形ABCD的中心，:.A0B=9Q,NOAE=NOBG=45,OA=OB=OC=OD,：EFLGH,AEOG=90,ZAOE=ZBOG,NOAE=NOBG在 A/10E 和

23、 A80G 中，0A=OB,ZAOE=ZBOG:.AAOE=ABOG(ASA),第15页（共83页）AE =B G ,正确；同理：O B E =O C G ,A B E O =Z C G O ,正确；同理：A O H =B O E ,O E =O H ,正确；四边形A EOH的面积=四边形B G O E的面积=-正方形A B C D的面积,4，正 方 形 的 面 积=4 四边形ZE。，的面积，不正确；正确的有3 个.故选：C.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键.2.如图，在等腰RtAABC中，N B AC =90 ,A

24、B =AC ,B C =2五,点。是 4 c 边上一动点，连接8。，以4。为直径的圆交8。于点E,则线段CE长度的最小值为（）A.24 2-2 B.-75-2 C.75-1 D.6-1【分析】连接N E,如 图 1,先根据等腰直角三角形的性质得到R8=ZC=2,再根据圆周角定理，由A D为直径得到N AE D =90,接着由N4E8=90。得到点E 在 以 为 直 径 的 0。上，于是当点。、E、C 共线时，CE最 小,如图2,在 RtAAOC中利用勾股定理计算出O C =旧,从而得到CE的最小值为石-1.【解答】解：连接Z E,如 图 1,第16页（共83页）D：ZB AC=90,AB=AC

25、,BC=272,AB=AC=2,/O为直径，N4ED=90,NAEB=90,.点E在以为直径的0。上，QO的半径为1,连接OE,OC,:.OE=-AB=2在 RtAAOC 中，OA=,AC=2,：.OC=ylOA2+AC2=yf5,由于。=逐，OE=1是定值，点E在线段OC上时，CE最小，如图2,图2:.CE=OC-OE=4 5-,即线段CE长度的最小值为6-1 .故选：C.第 17页（共 83页）【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长.解决本题的关键是确定E 点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题.3.如图，

26、。的半径为1,弦 48=1 ,点尸为优弧标上一动点，/C L/P 交直线尸8 于点【分析】连 接 0 4、0B,如 图 1,由04=08=43=1可判断AO四 为等边三角形，则4 0 8 =60。，根据圆周角定理得乙仍8=1 4 0 8 =30。，由于/C J./P,所以NC=60。，2因为/8 =1,则要使A 45c的面积最大，点C 到 的 距 离 要 最 大；由N4C8=60。，可根据圆周角定理判断点C 在。上，且/4。8=120。，如图2,于是当点C 在 优 弧 的 中 点时，点 C 到 的 距 离 最 大，此时A48C为等边三角形，从而得到A48C的最大面积.【解答】解：连接。4、O

27、B,如 图 1,AOAB为等边三角形,ZAOB=60,:.ZAPB=-ZAOB=30,2：AC1AP,NC=60,第18页（共83页）v AB=,要使A 4 8 c的面积最大，则点C到4 8的距离最大,AACB=60,点 C 在 0。上，/。8=120,当点C在 优 弧 的 中 点 时，点C到4 8的距离最大，此时A 48c为等边三角形，且面积为4 4ZU3C的最大面积为3.4故选：D.【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角形的面积公式.4.在平面直角坐标系中，已知点力(4,0)、8(-6,0),点C是 轴正半轴上的一个动点，当ABCA=45。时

28、，点C的坐标为()A.(0,6)B.(0,8)C,(0,10)D.(0,12)【分析】根据题意，利用三角形的面积公式和勾股定理，可以求得点C的坐标.【解答】解：设点C的坐标为(0,c),.点4(4,0)、8(-6,0),点C是v轴正半轴上的一个动点，ZBCA=45,：.A C yj42+c2,BC=4(-6+c),/8 =4-(-6)=10,4BOC/C (8C sin 4 C 8)-2-10 xc_ V42+c2(7(-6)2+c2sin 450)2解得，c=12或c=-12(舍去)，c=2(舍 去)或c=-2(舍去)，即点。的坐标为(0,12),故选：D.第19页(共83页)【点评】本题考

29、查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标，注意点C在y轴的正半轴上和N 8 C/=45。，题目中当c =2 时，N 8 c 4=1 35。，故 c =2 时应舍去.5.在 R t A A B C 中，Z C =9 0 ,A C =I O ,8 c =1 2 ,点。为线段 8 c 上一动点.以 C D 为 O。直径，作 X。交0。于点,连 B E ,则 8E的最小值为（）A.6 B.8 C.1 0 D.1 2【分析】连接CE,可得N C E D =N C E 4 =90,从而知点E在以4 C为直径的Q。上，继而知点。、E、8共线时B E 最小，根据勾股定理求得。8的长，即可得

30、答案.【解答】解：如图，连接C E,N C E D =N C E A=9 0 ,.点E在以NC为直径的OQ上，：A C =1 0,Q C =Q E =5,当点0、E、8共线时8E最小，5c =1 2 ,:.QB=4BC2+Q C1=1 3,B E =Q B-Q E=8 ,故选：B .【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题.6.直线y =x +4 分别与x 轴、y轴相交于点也，N,边长为2的正方形0 Z 8 C 一个顶点。第20页（共83页）在坐标系的原点，直线4N 与M C相交于点P,若正方形绕着点。旋转一周

31、，则点P 到点D.1 275v.-5【分析】首先证明A4/OC3&VO4,推出乙必 产 N=90。，推出尸在以M V为直径的圆上，所以当圆心G,点尸，C(0,2)三点共线时，尸到C(0,2)的最小值.求出此时的P C 即可.【解答】解：在 AMOC和 A7VO/中，OA=O C Z M O C =A A O N，O M =O N M O C =A N O A，/.A C M O =/A N O ,NCNO+NMCO=90。，Z M C O =Z N C P ,NNCP+NCNP=90。，/.Z M P N =90M P 1 N P ,在正方形旋转的过程中，同理可证，./。川。二乙4N。，可得N

32、MPN=90。，M P I N P ,厂.尸在以M N为直径的圆上，vA/(-4,0),N(0,4),圆心G 为(-2,2),半径为2 0,.,尸 G GC,PC,当圆心G,点 P,C(0,2)三点共线时，PC 最小，：G N =G M ,C N =C O =2,G CO M =2,2第21页(共83页)这个最小值为GP-GC=2&-2 .故选：A.【点评】本题考查一次函数与几何变换、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是发现点 尸 在 以 为 直 径 的 圆 上，确定点尸的位置是解题的关键，属于中考常考题型.7.如图，半径为2 c m,圆心角为90。的扇形0/8 的弧zlB上有一运动的点P

33、,从点P 向半径 0 4 引垂线尸4交04于点H .设(，的内心为/,当点P 在弧4 8 上从点力运动到点8时，内心/所经过的路径长为()A.,2,7 B.兀 C.7i D.7 12 4【分 析】如 图，连。/,PI ,AI,由&OP H的 内 心 为/,可 得 到ZPI O=1800-ZI PO-ZI O P=180-；(ZH O P+NOPH)=135,并且易证 K O P1 =O A1 ,得到N 4 0 =NP/0=135。，所以点/在以0/为弦，并且所对的圆周角为135。的一段劣弧上；过 X、/、。三点作。，如图，连 0 2,O O,在优弧/。取点P,连尸2,PO,可得乙4P。=180

34、。-135。=45。，得乙400=90。，O O =O A=x2=4 2,然后利用弧长公2 2式计算弧0 4 的长.【解答】解：如图，连 O/,PI,AI ,：OP H的内心为/,N I 0 P=N I 0 A,N I P0 =4P H,ZPI O=180-Z/PO -ZI O P=180+N O P H),而尸，_L 04,即 N P H O =90,第22页(共83页)乙 PI O=1 8 0-1(N H O P+N O PH)=1 8 0-1(l 8 0 0-9 0 )=1 35,又：O P=O A,0/公共，而 ZI O P=N I O A,O P1 =O AI ,4/0=2 770

35、=1 35,所以点/在以0/为弦，并且所对的圆周角为1 35。的一段劣弧上;过/、/、O三点作0 0，如图，连O Z,0,0,在 优 弧 取 点 P,连 P Z,PO ,：4/0=1 35,.4P O =1 8 0-1 35=45,ZAO O =90 ,而 O 4=2 c w,O O =O A=X2=V2,2 2弧r m O八A,1的V l 长/=-9-0-兀-=-7t(,c m)、，1 8 0 2所以内心/所经过的路径长为也T c m .2故选：B .【点评】本题考查了弧长的计算公式：/=丝?，其中/表示弧长，表示弧所对的圆心角1 8 0的度数.同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与

36、性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点/的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.8.如图，以扇形。/8的顶点。为原点，半径08所在的直线为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，点8的坐标为（2,0）,若抛物线y =g/+%与扇形0/8 的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（）第23页（共83页）A.-2 k -B.-2 k -C.-2k 0 D.-2k -4 x l x 2 左=0,即左=工时，抛物线与O Z 有一个交点，2此交点的横坐标为1,:点、B的坐标为(2,0),.e.O A 2,点/的坐标为(正，血)，交点在线段ZO上；当抛物线经过点8(2,0)时，g x 4

37、+k =0,解得A=-2,要使抛物线y =在与 扇 形 的 边 界 总 有 两 个 公 共 点，实数人的取值范围是故选：A.第24页(共83页)【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法,根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键.9.如图，正方形0/8 C 的边长为2,以。为圆心，即 为直径的半圆经过点”,连接NE,CF相交于点P,将正方形O 4 B C 从0 4与OF重合的位置开始，绕着点。逆时针旋转90。,交点尸运动的路径长是（）；EF是直径,BE O FA.ITI B.C【分析】如图，连接/c.首先证明NEP尸=135。,运 动 轨 迹 是

38、 俞，在。K 上 取 一 点 也，4M=180-N E PF=45,推出 N E K F =2 Z M =根据弧长公式计算即可解决问题.【解答】解：如图，连接NC.BE、0 J?嗔Z I、/、7/;/，、/./;:、/：i:V :;/:/一 一.”/OC8是正方形，ZJOC=90,ZAF C =-Z A O C =4 5 f2372 D.4推出点P 在与K 为圆心的圆上，点 P 的连接 A/E、M F ,EK、F K ,则90,因为 E F =4 ,所以 K E =K F =2五 ,第25页（共83页）ZEAF=90,NAPF=ZAFP=45,NEP尸=135,.点尸在与K 为圆心的圆上，点

39、尸 的 运 动 轨 迹 是 旅，在。K 上取一点 连接 M E、M F、E K、FK,则 NM=180。-ZEPF=45。，NEKF=2ZM=90,EF=4,KE=KF=2 五,：.P 运动的路径长=今次”=忑获,180故选：B.【点评】本题考查轨迹、正方形的性质、旋转变换、圆的有关知识、弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点尸的运动轨迹，属于中考常考题型.1 0.如图，M BC,AC=3,BC=45,ZACB=60,过 点/作 8 c 的平行线/,为直线/上一动点，。为A4PC的外接圆，直线BP交0。于 E 点，则4 E 的最小值为（）【分析】如图，连接C E.首先证明N8EC=120。，由

40、此推出点E 在以O,为圆心，0 8 为半径的前上运动，连接。/交 病 于,此时49 的值最小.【解答】解：如图，连接CE.v AP/BC,APAC=/ACB=60,NCEP=ZCAP=60,ZBEC=120,.点E 在以。，为圆心，。8 为半径的数上运动，连接OA交R于E,此时AE 的值最小.此时。与。交点为E.第26页（共83页）NBEC=120：.就 所对圆周角为60。,NBOC=2x60=120,是等腰三角形，BC=4y/3,OB=OC=4,ACB=60,Z.BCO=30,NACO=90OA=y/0C2+AC2=J/+3?=5,AE=OA-OE=5-4 =1.【点评】本题考查三角形的外接

41、圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题.1 1.如图，在等腰直角A4BC中，ZSAC=90,AB=AC,8 c =4 0,点。是 Z C 上一动点，连接8。，以川？为直径的圆交BO于点E,则线段C E长度的最小值是（）C.2%/2-2D.245-2【分析】如图，以4 8 为直径作。，连接。C、O E.在 AOEC中，OE+E C.O C,等号成立时，EC的值最小，此时。、E、C 共线.第27页（共83页）【解答】解：如图，以48 为直径作。，连接O C、0E.AB=BC=4,0A=0B=2,OC-AC2+AO2=27

42、5.OE=OA=2,OE+EC.OC,:.O.E、C 共线时，E C 的值最小，最小值为26-2,故选：D.【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系、圆的有关知识,解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题.12.如图，。半径为6,弦 48=6,点 尸 为 优 弧 上 一 动 点，交直线P 8 于点C,则A/18C的最大面积是（）C.672D.9【分析】连 接 O/、0B,如 图 1,由0/=08=/8 =1可判断AQIB为等边三角形，则乙408=60。，根据圆周角定理得NZP8=4 O 8 =30。，由于ZC_L/尸，所以NC=60。，2因为/8 =

43、6,则要使A 48c的最大面积，点C 到 4 8 的距离要最大；由NNC8=60。，可根据圆周角定理判断点C 在。上，且 4/）8=120。，如图2,于是当点C 优弧4 8 的中点时,点C 到 的 距 离 最 大，此时A48C为等边三角形，从而得到A/l8c的最大面积.【解答】解：连接。/、OB,作 A4BC的外接圆。，如 图 1,第28页（共83页）/OA=OB=6,AB=6,A O/8为等边三角形，NAOB=60,AAPB=-ZAOB=30,2：AC YAP,ZC=60,v AB=6,要使ZV18C的最大面积，则点C 到 N 8的距离最大,ZACB=60,点 C 在 0。上，:.ZADB=

44、U0,当点C 优 弧 的 中 点 时，点 C 到 N 3 的距离最大，此时ZU 8c为等边三角形，且面积为 AB-=9石，4M B C 的最大面积为973.故选：B.【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角形的面积公式.13.如 图，在 边 长 为 的 等 边&48C中，点。、E 分别是边8 C、/C 上两个动点，且满足第29页（共83页）AE=C D,连接8 、力。相交于点尸，则线段C P的最小值为（）A.I B.2 C.V3 D.25/3-1【分 析】易证 ABD=BCE,可得 ABAD=NCBE,根据 乙4PE=NABE+NBAD,ZAPE=

45、NBPD,NABE+ZCBE=60,即可求得 NAPE=NABC,推出 NAPB=1 2 0,推出点P 的运动轨迹是凝，/。8=120。，连接C O,求出O C,。4,再利用三角形的三边关系即可解决问题.【解答】解：.CO=E,BC=AC,BD=CE，AB=BC /ABD=ZBCE,BD=CEABD=BCESAS),/BAD=NCBE,ZAPE=NABE+/BAD,NAPE=NBPD,NABE+NCBE=60,NBPD=NAPE=A ABC=60,4 0 8 =120。,.点尸的运动轨迹是 ，ZJOS=120,连接CO,v OA=OB,CA=CB,OC=OC,第30页（共83页）AOC=BOC

46、(SSS),ZOAC=ZOBC,NACO=/BCO=30,ZAOB+ZACB=SO0,ZOAC+ZOBC=180，ZOAC=ZOBC=90,.OC=/C +COS30。=4,OA=-OC=2,2:.OP=2,：PC.OC-OP,：.PC.2,.PC的最小值为2.故选：B.【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、圆等知识，解题的关键是发现点P的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题.14.如图，扇形ZOO中，4。=90。，0/=6,点P为弧/。上任意一点(不与点力和。重合)，P01O D于。，点/为AOP。的内心，过0,/和。

47、三点的圆的半径为r.则当点P在弧4。上运动时，r的值满足()A.0 r 3 B.r=3 C.3r/2 D.r=3A/2【分析】连。/,Pl,DI,由O P H的 内 心 为/,可 得 到ZPIO=180-ZIPO-ZIOP=180-g(NHOP+NOPH)=135。,并且易证 KOPI s ODI,得到ND/O=NP/O=135。，所以点/在以。为弦，并且所对的圆周角为135。的一段劣弧上；过。、/、。三点作0。，如图，连。，O O,在优弧4。取点P,连P。，PO,可得 NOP。=180-135=4 5 ,得 2。=90,OO=372.第31页（共83页）【解答】解：如图，连。/,Pl,D I

48、,：OPH的内心为/,Z10P=ZIOD,AIPO=NIPH,APIO=180-ZIPO-ZIOP=180-；(ZHOP+ZOPH),而 即 NP O=90。，ZPIO=180-1(4H0P+ZOP/7)=180-1(180-90)=135,在AOP/和AO。/中，10=IOPO=180-135=45,ADOO=90,而。=6,OO=DO=3 0 ,.，的值为3友.故选：D.第32页（共83页）P【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键.1 5.如图，在 0。中，弦49等于半径，8为 优 弧 上 的 一 动 点，等腰A 4 8 c 的底边8

49、 c所在直线经过点Q.若。的半径等于1,则。C的长不可能为（）【分析】利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得0C长度的取值范围.【解答】解：如 图 1,连接。/、0D,则 AO/。为等边三角形，边长为1.作点。关于力。的对称点。，连接。2、O D ,则 O N。也是等边三角形，边长为半径1,:.O O =x2=y/3.2由题意可知，ZAC B =ZAB C =-A O D =3 0 ,2第33页（共83页）/A C B=-N A O D ,2点C 在半径为1 的。上运动.如图2,当8 与。重合时，0 C 过点4,(B)图2O C =A C +A O =2,由图可知，0

50、c 长度的取值范围是：2.0 C,73+1 .故选：A.【点评】本题涉及圆的知识，难度较大.解题要点是确定点C 的运动轨迹.1 6.如图，直径/B,CD的夹角为60。，尸为。上的一个动点（不与点4,B ,C ,。重合）.P M ,PN 分别垂直于CO,AB,垂足分别为M,N .若 0。的半径长为2,则A/N的长（）A.随尸点运动而变化，最大值为内B.等于百C.随 P 点运动而变化，最小值为百D.随尸点运动而变化，没有最值【分析】当尸M _L CD于圆心。时，延 长 交 圆 与 点 E,PN LA B,延长尸N 交圆于点尸，连接尸，求出及 的长，得 到 的 长，根据圆周角、圆心角、弧、弦之间的关