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1、十字模型+定弦定角一选择题（共17小题）1如图，点是正方形的中心，、分别是边、上的点，且，、相交于点，下列结论：；中正确的有A1个B2个C3个D4个2如图，在等腰中，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为ABCD3如图，的半径为1，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则的最大面积是ABCD4在平面直角坐标系中，已知点、，点是轴正半轴上的一个动点，当时，点的坐标为A，6 BCD5在中，点为线段上一动点以为直径，作交于点，连，则的最小值为A6B8C10D126直线分别与轴、轴相交于点，边长为2的正方形一个顶点在坐标系的原点，直线与相交于点，若正方形绕着点旋转一周，则点到点长度
2、的最小值是ABCD17如图，半径为，圆心角为的扇形的弧上有一运动的点，从点向半径引垂线交于点设的内心为，当点在弧上从点运动到点时，内心所经过的路径长为ABCD8如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴的正半轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，若抛物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是ABCD9如图，正方形的边长为2，以为圆心，为直径的半圆经过点，连接，相交于点，将正方形从与重合的位置开始，绕着点逆时针旋转，交点运动的路径长是ABCD410如图，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为ABCD111如图，在等腰直角中，点是上一动点，连接，以为直径的圆交于
3、点，则线段长度的最小值是A2B4CD12如图，半径为6，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则的最大面积是ABCD913如图，在边长为的等边中，点、分别是边、上两个动点，且满足，连接、相交于点，则线段的最小值为A1B2CD14如图，扇形中，点为弧上任意一点（不与点和重合），于，点为的内心，过，和三点的圆的半径为则当点在弧上运动时，的值满足ABCD15如图，在中，弦等于半径，为优弧上的一动点，等腰的底边所在直线经过点若的半径等于1，则的长不可能为ABC2D16如图，直径，的夹角为，为上的一个动点（不与点，重合），分别垂直于，垂足分别为，若的半径长为2，则的长A随点运动而变化，最大值为B等于C随点运
4、动而变化，最小值为D随点运动而变化，没有最值17如图，在平面直角坐标系中，直线不经过第四象限，且与轴，轴分别交于，两点，点为的中点，点在线段上，其坐标为，连接，若，那么的值为AB4C5D6二填空题（共9小题）18如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为19如图，是正方形的边上两个动点，满足连接交于点，连接交于点若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是20如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为上一动点，于若点从在圆周上运动一周，则点所经过的路径长为 21如图，、，以为直径作，射线交于、两点
5、，为弧的中点，为的中点当射线绕点旋转时，的最小值为22如图，是的直径，是上一动点，是的中点，连接，则的最小值为23如图，在中，于在边上），若，则24如图，的半径为2，弦的长为，以为直径作，点是优弧上的一个动点，连接、，分别交于点、，则线段的最大值为25如图，弓形中，若点在优弧上由点向点移动，记的内心为，点随点的移动所经过的路程为，则的取值范围为 26如图，点是上一动点，弦，内切圆半径的最大值为三解答题（共14小题）27问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图，在正三角形中，、分别是、上的点，与相交于点，若，则如图，在正方形中，、分别是、上的点，与相交于点，若，则任务要
6、求：（1）请你从、两个命题中选择一个进行证明（2）如图，在正五边形中，、分别是、上的点，与相交于点，若，请问结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由28（1）如图1，在中，为中点，过作于，交延长线与求证：（2）如图2，在中，为中点，于点，延长交于点，求的值，并继续探究：若点为直线上的动点（点不与、重合），直线于点，交直线于点，当，请直接写出的所有可能的值（用含的式子表示），不必证明29在四边形中，对角线、相交于点，过点的直线分别交边、于点、【感知】如图，若四边形是正方形，且，易知，又因为，所以（不要求证明）；【拓展】如图，若四边形是矩形，且，若，求的长（用含、的代数式表示）；【
7、探究】如图，若四边形是平行四边形，且，若，则30如图，在中，是斜边上的高，点为边上一点（点不与点、重合），连接，作，与边、线段分别交于点、（1）求线段、的长；（2）设，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）连接，当时，求的长31（1）如图把边长为、的矩形对折，使点和重合，求折痕的长；（2）如图把边长为、且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长32已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点（1）如图，若四边形是矩形，且，求证：；（2）如图，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，成立？并证明你的结论；（3）如图，若，请直接写出的值33在矩形纸片中，点、在矩形的边上，连接，
8、将纸片沿折叠，点的对应点为点（1）如图1，若点在边上，当点与点重合时，则当点与点重合时，则（2）如图2，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是；（3）如图3，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度34如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点（1）求证：；（2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交，于点，求的值35如图，在四边形中，（1）求的度数；（2）连接，探究，三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若，点在四边形内部运动，且满足，求点运动路径的长度36问题提出：（1）如图
9、1，已知，试确定一点，使得以，为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形中，若要在该矩形中作出一个面积最大的，且使，求满足条件的点到点的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔，按规定，要以塔为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区根据实际情况，要求顶点是定点，点到塔的距离为50米，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区？若可以，求出满足要求的平行四边形的最大面积；若不可以，请说明理由（塔的占地面积忽略不计）37问题探究：（1）如图1，已知等腰的顶角，其外接圆半径为2，则底边上的中线长为（2）如图2，已知，点、分别为边、的中点，
10、求长的最大值；问题解决：（3）如图3，点、为两个物资生产站点，站点、的距离为，现需规划两个物资买卖站点、及道路、根据实际需要，站点在站点、所连的线段上，且到站点、的距离相等站点对站点、的张角为即若要使得站点、的距离与站点、的距离和最长，试求的最大值（结果用根号表示）38在正方形中，动点，分别从，两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动（1）如图1，当点在边上自向移动，同时点在边上自向移动时，连接和交于点，请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当，分别在边，的延长线上移动时，连接，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接，请你直接写出当为等腰三角
11、形时的值是（3）如图3，当点在边上自向移动，同时点在边上自向移动时，连接和交于点，由于点，的移动，使得点也随之运动，请你画出点运动路径的草图若，则线段的最小值是39如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）以为边作正方形，求对角线所在直线的解析式；（3）点是抛物线上一点，若，求出点的坐标40在平面直角坐标系中，过点的抛物线与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于点（1）求抛物线的解析式（2）如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点，连接，当时，求点的坐标（3）如图2，是线段上一个动点，连接，过点作交于点，过点作射线，使，交射线
12、于点；过点作，垂足为点，连接请直接写出线段的最小值十字模型+定弦定角参考答案与试题解析一选择题（共17小题）1如图，点是正方形的中心，、分别是边、上的点，且，、相交于点，下列结论：；中正确的有A1个B2个C3个D4个【分析】连接、，由点是正方形的中心，得出，由证明，得出对应边相等，得出正确；同理：，得出，正确；同理：，得出，正确；由四边形的面积四边形的面积正方形的面积，得出正方形的面积四边形的面积，得出不正确【解答】解：连接、，如图所示：点是正方形的中心，在和中，正确；同理：，正确；同理：，正确；四边形的面积四边形的面积正方形的面积，正方形的面积四边形的面积，不正确；正确的有3个故选：【点评】
13、本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键2如图，在等腰中，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为ABCD【分析】连接，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到，再根据圆周角定理，由为直径得到，接着由得到点在以为直径的上，于是当点、共线时，最小，如图2，在中利用勾股定理计算出，从而得到的最小值为【解答】解：连接，如图1，为直径，点在以为直径的上，的半径为1，连接，在中，由于，是定值，点在线段上时，最小，如图2，即线段长度的最小值为故选：【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用
14、勾股定理计算线段的长解决本题的关键是确定点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题3如图，的半径为1，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则的最大面积是ABCD【分析】连接、，如图1，由可判断为等边三角形，则，根据圆周角定理得，由于，所以，因为，则要使的面积最大，点到的距离要最大；由，可根据圆周角定理判断点在上，且，如图2，于是当点在优弧的中点时，点到的距离最大，此时为等边三角形，从而得到的最大面积【解答】解：连接、，如图1，为等边三角形，要使的面积最大，则点到的距离最大，点在上，如图2，作的外接圆，当点在优弧的中点时，点到的距离最大，此时为等边三角形，且面积为，的最大面积为
15、故选：【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角形的面积公式4在平面直角坐标系中，已知点、，点是轴正半轴上的一个动点，当时，点的坐标为A，6 BCD【分析】根据题意，利用三角形的面积公式和勾股定理，可以求得点的坐标【解答】解：设点的坐标为，点、，点是轴正半轴上的一个动点，解得，或（舍去），（舍去）或（舍去），即点的坐标为，故选：【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点的坐标，注意点在轴的正半轴上和，题目中当时，故时应舍去5在中，点为线段上一动点以为直径，作交于点，连，则的最小值为A6B8C10D12【分析】连接，可得，从而知
16、点在以为直径的上，继而知点、共线时最小，根据勾股定理求得的长，即可得答案【解答】解：如图，连接，点在以为直径的上，当点、共线时最小，故选：【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题6直线分别与轴、轴相交于点，边长为2的正方形一个顶点在坐标系的原点，直线与相交于点，若正方形绕着点旋转一周，则点到点长度的最小值是ABCD1【分析】首先证明，推出，推出在以为直径的圆上，所以当圆心，点，三点共线时，到的最小值求出此时的即可【解答】解：在和中，在正方形旋转的过程中，同理可证，可得，在以为直径的圆上，圆心为，半径为，当圆心，点
17、，三点共线时，最小，这个最小值为故选：【点评】本题考查一次函数与几何变换、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是发现点在以为直径的圆上，确定点的位置是解题的关键，属于中考常考题型7如图，半径为，圆心角为的扇形的弧上有一运动的点，从点向半径引垂线交于点设的内心为，当点在弧上从点运动到点时，内心所经过的路径长为ABCD【分析】如图，连，由的内心为，可得到，并且易证，得到，所以点在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、三点作，如图，连，在优弧取点，连，可得，得，然后利用弧长公式计算弧的长【解答】解：如图，连，的内心为，而，即，又，公共，而，所以点在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、
18、三点作，如图，连，在优弧取点，连，而，弧的长，所以内心所经过的路径长为故选：【点评】本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题8如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴的正半轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，若抛物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是ABCD【分析】根据求出直线的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点时的的值，即为一个交点时的最小值，然后写
19、出的取值范围即可【解答】解：由图可知，直线的解析式为，联立消掉得，即时，抛物线与有一个交点，此交点的横坐标为1，点的坐标为，点的坐标为，交点在线段上；当抛物线经过点时，解得，要使抛物线与扇形的边界总有两个公共点，实数的取值范围是故选：【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键9如图，正方形的边长为2，以为圆心，为直径的半圆经过点，连接，相交于点，将正方形从与重合的位置开始，绕着点逆时针旋转，交点运动的路径长是ABCD4【分析】如图，连接首先证明，推出点在与为圆心的圆上，点的运动轨迹是，在上取一点，连接、，
20、则，推出，因为，所以，根据弧长公式计算即可解决问题【解答】解：如图，连接是正方形，是直径，点在与为圆心的圆上，点的运动轨迹是，在上取一点，连接、，则，运动的路径长，故选：【点评】本题考查轨迹、正方形的性质、旋转变换、圆的有关知识、弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型10如图，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为ABCD1【分析】如图，连接首先证明，由此推出点在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，此时的值最小【解答】解：如图，连接，点在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，此时的值最小此时与交点为所对圆周角为，是等腰三角形，故选：【点评
21、】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题11如图，在等腰直角中，点是上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值是A2B4CD【分析】如图，以为直径作，连接、在中，等号成立时，的值最小，此时、共线【解答】解：如图，以为直径作，连接、，、共线时，的值最小，最小值为，故选：【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系、圆的有关知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题12如图，半径为6，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则的最大面积是ABCD9【分
22、析】连接、，如图1，由可判断为等边三角形，则，根据圆周角定理得，由于，所以，因为，则要使的最大面积，点到的距离要最大；由，可根据圆周角定理判断点在上，且，如图2，于是当点优弧的中点时，点到的距离最大，此时为等边三角形，从而得到的最大面积【解答】解：连接、，作的外接圆，如图1，为等边三角形，要使的最大面积，则点到的距离最大，点在上，如图2，当点优弧的中点时，点到的距离最大，此时为等边三角形，且面积为，的最大面积为故选：【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角形的面积公式13如图，在边长为的等边中，点、分别是边、上两个动点，且满足，连接、相交于点，则线
23、段的最小值为A1B2CD【分析】易证，可得，根据，即可求得，推出，推出点的运动轨迹是，连接，求出，再利用三角形的三边关系即可解决问题【解答】解：，在和中，点的运动轨迹是，连接，的最小值为2故选：【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、圆等知识，解题的关键是发现点的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题14如图，扇形中，点为弧上任意一点（不与点和重合），于，点为的内心，过，和三点的圆的半径为则当点在弧上运动时，的值满足ABCD【分析】连，由的内心为，可得到，并且易证，得到，所以点在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、三
24、点作，如图，连，在优弧取点，连，可得，得，【解答】解：如图，连，的内心为，而，即，在和中，所以点在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、三点作，如图，连，在优弧取点，连，而，的值为故选：【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键15如图，在中，弦等于半径，为优弧上的一动点，等腰的底边所在直线经过点若的半径等于1，则的长不可能为ABC2D【分析】利用圆周角定理确定点的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得长度的取值范围【解答】解：如图1，连接、，则为等边三角形，边长为1作点关于的对称点，连接、，则也是等边三角形，边长为半径1，由题意可知，
25、点在半径为1的上运动如图2，当与重合时，过点，由图可知，长度的取值范围是：故选：【点评】本题涉及圆的知识，难度较大解题要点是确定点的运动轨迹16如图，直径，的夹角为，为上的一个动点（不与点，重合），分别垂直于，垂足分别为，若的半径长为2，则的长A随点运动而变化，最大值为B等于C随点运动而变化，最小值为D随点运动而变化，没有最值【分析】当于圆心时，延长交圆与点，延长交圆于点，连接，求出的长，得到的长，根据圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系得到答案【解答】解：如图，当于圆心时，延长交圆与点，延长交圆于点，连接，根据垂径定理，在中，则，点移动时，由题意，根据在同圆中，圆周角相等，所对的弧相等，弦也相等
26、，即弦长为，故选：【点评】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理和锐角三角函数的运用，求出特殊情况下的的值是解题的关键，解答时，要灵活运用圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系17如图，在平面直角坐标系中，直线不经过第四象限，且与轴，轴分别交于，两点，点为的中点，点在线段上，其坐标为，连接，若，那么的值为AB4C5D6【分析】作于，如图，先利用一次函数解析式表示出，再证明为等腰直角三角形得到，证明为等腰直角三角形得到，接着证明，于是可判断，利用相似比得到，然后利用比例性质求出即可【解答】解：作于，如图，当时，解得，则；当时，则，点为的中点，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，而，即，故选：【点评】本
27、题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了一次函数的性质二填空题（共9小题）18如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为【分析】由折叠及轴对称的性质可知，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，的长【解答】解：四边形为正方形，由折叠及轴对称的性质可知，垂直平分，又，
28、在中，故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质19如图，是正方形的边上两个动点，满足连接交于点，连接交于点若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是【分析】根据正方形的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而得到，然后求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、三点共线时，的长度最小【解答】解：在正方形中，在和中，在
29、和中，取的中点，连接、，则，在中，根据三角形的三边关系，当、三点共线时，的长度最小，最小值（解法二：可以理解为点是在，直径的半圆上运动当、三点共线时，长度最小）故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点20如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为上一动点，于若点从在圆周上运动一周，则点所经过的路径长为【分析】于若点从在圆周上运动一周形成的轨迹是：以为直径的圆，则连接、，在直角中，利用勾股定理求得的长，然后在直角中，利用勾股定理求得的长，利用
30、周长的公式即可求解【解答】解：连接于，在直角中，则以为直径的圆的周长是故答案是：【点评】本题考查了点的轨迹，正确理解的轨迹是以为直径的圆是关键21如图，、，以为直径作，射线交于、两点，为弧的中点，为的中点当射线绕点旋转时，的最小值为【分析】连接，如图，利用垂径定理得到，则，再根据勾股定理得到点在以点为圆心，1为半径的圆上，利用点与圆的位置关系可判断当点为与的交点时，的值最小，此时【解答】解：连接，如图，为的中点，点在以点为圆心，1为半径的圆上，当点为与的交点时，的值最小，此时，即的最小值为故答案为：【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
31、角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径也考查了垂径定理和勾股定理22如图，是的直径，是上一动点，是的中点，连接，则的最小值为【分析】如图，取是中点，连接，过点作于想办法求出， 根据，可得结论【解答】解：如图，取是中点，连接，过点作于，是等边三角形，在中，的最小值为【点评】本题考查三角形等边三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型23如图，在中，于在边上），若，则【分析】如图，过作，垂足为交于，由可以得到，再根据已知条件可以证明，可以得到，又，由此可以证明，所以，设长为，则
32、可建立关于的方程，解方程即可求出，的长【解答】解：如图，过作，垂足为交于；则，又，设长为即解得：（负值不合题意，舍去），即，答：长为【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定和性质，并通过设未知数列方程得出答案24如图，的半径为2，弦的长为，以为直径作，点是优弧上的一个动点，连接、，分别交于点、，则线段的最大值为2【分析】如图，连接、首先证明，由此推出，欲求的最大值，只要求出的弦的最大值即可【解答】解：如图，连接、，是的直径，在中，欲求的最大值，只要求出的弦的最大值，的直径为4，弦的最大值为4，的最大值为2故答案为2【点评】本题考查圆综合题、垂径定理、圆周角定理、直角三角形的
33、30度角性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，本题的突破点是证明，求出的最大值，属于中考填空题中的压轴题25如图，弓形中，若点在优弧上由点向点移动，记的内心为，点随点的移动所经过的路程为，则的取值范围为【分析】可设为的内心连接，利用点的轨迹是以点为圆心，2为半径的弧（不含点、，可求出弧的长为，进而求出的取值范围【解答】解：如图，将圆补全，过点作交于点，设为的内心连接、连接、连接、连接、连接、连接、连接、连接，是等边三角形，动点到定点的距离为2，即点的轨迹是以点为圆心，2为半径的弧（不含点、，弧的长为，则的取值范围是故答案为：【点评】此题主要考查了圆心角、圆周角定理以
34、及三角形内心的性质等知识，本题需仔细分析题意，结合图形，得出的运动路径即可解决问题26如图，点是上一动点，弦，内切圆半径的最大值为【分析】当点运动到离的距离最大时，内切圆半径的最大，即点为弧的中点，连接交于点，为的内切圆，作于点，根据垂径定理得到，再根据等腰三角形的性质和内心的定义得到点在上，则和都为的半径；且，根据含30度的直角三角形三边的关系得，然后利用得到，再解关于的方程即可【解答】解：当点为弧的中点时，内切圆半径的最大，如图，连接交于点，为的内切圆，作于点，点为弧的中点，点在上，和都为的半径，设，在中，在中，故答案为：【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角
35、形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点也考查了垂径定理和含30度的直角三角形三边的关系三解答题（共14小题）27问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图，在正三角形中，、分别是、上的点，与相交于点，若，则如图，在正方形中，、分别是、上的点，与相交于点，若，则任务要求：（1）请你从、两个命题中选择一个进行证明（2）如图，在正五边形中，、分别是、上的点，与相交于点，若，请问结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由【分析】（1）正三角形中，可通过全等三角形来证明，由于，而，因
36、此，又知道，因此，可得出；（2）正方形和正五边形的证明过程与正三角形的一样，都是通过全等三角形来得出线段的相等，证三角形的过程中都是根据和多边形的内角相等得出一组两三角形中的一组对应角相等，然后根据正多边形的内角和边相等，得出和全等，进而得出【解答】解：（1）选命题证明：在图1中，是正三角形，选命题证明：在图2中四边形是正方形，（2）成立证明：在图3中，五边形是正五边形，【点评】本题主要考查了全等三角形，正多边形等几何知识，是一道几何型探究题本题是一道非常典型的几何探究题，很好地体现了从一般到特殊的数学思想方法，引导学生渐渐地从易走到难，是新课标形势下的成熟压轴题28（1）如图1，在中，为中点
37、，过作于，交延长线与求证：（2）如图2，在中，为中点，于点，延长交于点，求的值，并继续探究：若点为直线上的动点（点不与、重合），直线于点，交直线于点，当，请直接写出的所有可能的值（用含的式子表示），不必证明【分析】（1）欲证明，只要证明即可（2）第一个问题，构造平行线，得到线段之间的比例关系结合相似三角形的性质解决问题即可将中的结论推广到一般情形，解题方法与相同构造平行线注意有三种情形，如图，所示，不要遗漏【解答】（1）证明：，（2）如图，过点作，交于点，同法可得，点为直线上的动点（点不与、重合），有三种情况：当点在线段上时，如图所示：过点作，交边于点，由可得：，；，即，化简得：；当点在线段的
38、延长线上时，如图中所示：过点作，交边的延长线于点同理可求得：；当点在线段的延长线上时，如图所示：过点作，交边的延长线于点同理可求得：【点评】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题29在四边形中，对角线、相交于点，过点的直线分别交边、于点、【感知】如图，若四边形是正方形，且，易知，又因为，所以（不要求证明）；【拓展】如图，若四边形是矩形，且，若，求的长（用含、的代数式表示）；【探究】如图，若四边形是平行四边形，且，若，则【分析】【拓展】如图，作高线和，根据，
39、可得，所以和的面积相等，根据面积公式列式可得的长；【探究】如图，同理：过作，先根据平行四边形面积可得和的比，同理可得，根据面积公式可计算的长【解答】解：【拓展】如图，过作于，于，（1分），（2分），（3分），（4分），（5分），（6分）；（7分）【探究】如图，过作，则，；（9分）故答案为：【点评】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明是解决问题的关键30如图，在中，是斜边上的高，点为边上一点（点不与点、重合），连接，作，与边、线段分别交于点、（1）求线段、的长；（2）设，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）连接，当时，求的长【
40、分析】（1）由直角三角形的性质分别求出，的长；（2）通过证明，可得，即可求关于的函数解析式；（3）由平行线分线段成比例可求解【解答】解：（1），；（2），同理可得，（3），解得 （负值已舍）【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，证明是本题的关键31（1）如图把边长为、的矩形对折，使点和重合，求折痕的长；（2）如图把边长为、且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长【分析】（1）先用勾股定理求的，再判断出，代值即可；（2）先求出，再同（1）的方法即可求的【解答】解：（1）如图1，过点作，垂足为，连接，在中，由折叠得，（2）如图2，过点作的延长线于，过作，连接，