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1、第 三 章 函数的概念与性质1、函数的概念（一）.12、函数的概念（二）.63、函数的表示法.104、分段函数.165、函数的单调性.236、函数的最大（小）值.287、奇偶性的概念.348、函数奇偶性的应用（习题课）.399、黑函数.4610、函数的应用（一）.51章末检测.581、函数的概念（一）1.已 知 函 数 则 函 数 图 象 与 直 线 尤=。的交点（）A.有1个 B.有2个C.有无数个 D.至多有一个解析：选D 根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量X都有唯一的函数值与之对应，故 选D.+4而 的 定 义 域 为（B.小2-22,且)D.x尾解析：选C依题意得x-#0,
2、.x+220,I解得J 22,即2 2,且xwg.故选C.3.设/：x f*是集合A到集合8的函数，如 果8=1,2 ,那么A0 8一定是（）A.0 B.。或1C.1 D.无法确定解析：选B 由题意可知，当f=l时，x=l或x=-1;当f =2时，x=2或x=-R.所以集合A可分为含有一个、二个、三个或四个元素的集合，则AHB=0或1.故 选B.4 .若函数.*x)=a f1,。为一个正数，且 胆 一1)=-1,那 么a的值是()A.1 B.0C.-1 D.2解析：选 A /.y(l)=a 1,A/L l)=/5 l)=o(a _ 1)2 =.1.a(a 1)2=0.又.取为正数，：.a=.,
3、x2 1 /(2)5.仅 危)=/+,贝1 /、=()4.2)6若函数解析：y的定义域为R，则实数a的取值范围为a r+1加 一4 a x+3的定义域为R,.不等式以24办+3 0的解集为R.当a=0时，3 0恒成立，满足题意；a 0,3 当a W O时，/”，s n解得0 a 2=1 6/1 2。0,x 丰一3,即JlW x,解得x*-3,x 0.所以函数的定义域为4 x ),满足/(2 x)=4 U).1 2 .若函数y=/(3 x+1)的定义域为x 1-2 W x W 4,则y=/(x)的定义域是()A.一1 B.R5 3C.x|-5W x W l D.x|-lW x W 1 3 解析：
4、选B 函 数)，=/(3 x+l)的定义域为x|-2 W x W 4,则一2 W x W 4,则 6 W 3 x W 1 2,所 以 一5 W 3 x+1 W 1 3,所 以 函 数y=/(x)的 定 义 域 是 3 一5W x W 1 3.故选 B.1 3 .已知函数/U)的定义域为A =H，2,3,4,值域为8=7,8,9,且对任意的x y,恒有人尤)勺3),则满足条件的不同函数共有 个.解析：由题得，当1、2对应7时，3对 应8,4对 应9:当1对 应7时，2、3对 应8,4对应9,当1对 应7时，2对 应8,3、4对应9,所以一共有3个.答案：31 4 .探究是否存在函数/U),g(x
5、)满足条件：(1)定义域相同，值域相同，但对应关系不同；(2)值域相同，对应关系相同，但定义域不同.解：(1)存在，例如g(x)=2 x+l,定义域和值域都是R,但对应关系不同.(2)存在,例如兀)=/,%G0,+),g(x)=*xG(8,0 ,值域都是0,+),但定义域不同.r21 5.已知函数已x)=+产 求42)十/m)十/期的值；(2)由(1)中求得的结果，你发现/U)与_/()有什么关系？并证明你的结论；解：(1).贝%)=击，M 2)+7 s=备+与=1，G J2、函数的概念（二）1 .区间（一3,2用集合可表示为（）A.-2,-1,0,1,2 B.x|-3 x 2C.x|-3 V
6、 x W 2 D.x|-3 W x 2解析：选C 由区间和集合的关系，可得区间（-3,2可表示为 x|-3 V x W 2,故选C.2.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）4A.尸 尸2和 尸 壬B.y=xl 0 y=y/x22x+1c.yu）=a i）2和g（x）=a+i）2（y/x）2 xD.危）=%和 g（X）=心）2解析：选D A中的函数定义域不同；B中函数的对应关系不同；C中两函数的对应关系不同，故选D.3.（20 21浙江省温州市十校联考）已知函数,於）=总 不，则/U）的值域是（）（1|门 、A.I ,2 B.+Ico,；D.（0,+0）解析：选C.,/+222,.0 0C.x
7、|0r5 D.1x|x0,，x W2x,此函数的定义域为，x旨x所以函数的值域为X 1 X 1 y#5.(4)要使函数式有意义，需x+1 2 0,即x 2 l,故 函 数 的 定 义 域 是 一21 .设 f=x+l(B0),则 x=1,于是.穴。=产一1一/=，一0 1.又 巳0,故X 0 2 .所以函数的值域是卜y2 一苗.1 1 .(多 选)若 函 数 在 区 间 2,1 上有意义，则 实 数。的可能取值是()A.-1 B.1C.3 D.5解析：选AB 函数尸1在区间 2,1 上有意义，等价于+1 20在区间 2,-1 上恒成立，由x=1,得,人-3)=穴-2)+.*-1)+4,解得.人
8、-3)=6.法二：因为次1)=2,所以；(2)=/(l+l)=/U)+_/U)+2Xl0,y的取值范围3=y|y0,对应关系了为每一个长方形的长X,对应到唯一确定的宽斗.20(2)设矩形长为x,周长为y,那么y=2x+qr.其中x的取值范围A=x|x0,y的取值范围B=y|y0,对应关系/为每一个长方形的长x,对应到唯一确定的周长2x+715.(2021 湖北省黄冈市检测)规定田为不超过t的最大整数，例如12.6=12,3.5=4,对任意实数 x,令力(x)=4x,g(x)=4x4x,进一步令我(x)=力(g(x).(2)求x的取值范围，使它同时满足力(x)=l,及(x)=3.7 7解：,.=
9、讳时,4x=w，(2),.,/i(x)=4x=l,g(x)=4x 1,=f(4x 1 )=16x4=3.1W4XV2,44,7 1解得正W i v,故满足题意的x的取值范围为3、函数的表示法1.以下形式中，不能表示y是x的函数的是()C.D.(x+y)(x-y)=O解析：选D 根据函数的定义及表示方法可知，只有选项D中可化为y=x或 =一%，不 满 足 函数的定义，故 选D.2.设函数/：R f R满足式0)=1,且对任意x,y&R,都有八孙+1)=兀叨00-/OOx+2,则42 0 2 1)=()A.0 B.1C.2 021 D.2 022解析：选 D,外 孙+1)=/Ay)%)x+2,型)
10、=1,当 x=0 时，4)=;(0次V)-A，)+2=2,当 y=0 时，川)=/A0)-/(0)x+2=2,因此/(x)=x+1,所以五2 021)=2 0 2 2,故选D.3.若一次函数的图象经过点4 1,6)和8(2,8),则该函数的图象还可能经过 的 点 的 坐 标 为()A.(j,5)B.Q，4)C.(1,3)D.(-2,1)解析：选A 设一次函数的解析式为y=fcc+0(ZW0),由该函数的图象经过女+。=6 女=2点4 1,6)和8(2,8),得,解得 ,所以此函数的解析式为y=|_2A+/?=8,S=4,2x4-4,只有A选项的坐标符合此函数的解析式.故选A.4.德国数学家狄利
11、克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”.这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，都有一个确定的y与之对应，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数7U)由下表给出，则彳IQ/g)的值为()B.1XxWlx2x22於)123A.0C.2D.3解析：选D .弓6（8,1 ,则 1 0/(3=1 0,又.1 0 W 2,+8),./(1 0)=3,故选 D.5 .（多选）已知人2 x+l）=f,则下列结论正确的是（）A.火-3)=4 X22 x+1B./U)=-4一-c._/U)=fD.A
12、 3)=9解析：选AB1 2 x+l)=f,.,t 1令/=2尤+1,则所以7 w=21、2?2 f+14 x 1则7 U)=-4-,故B正确，C错误;X-3)=-3 2-2 X 3+1肺=-4-(-3)2-2 X (-3)+1=4,故A正确;=1,故D错 误.故 选A、B.46 .已知函数/(2 x+l)=3尤+2,且,*a)=4,贝I a=.3 1 3 1 3 1解析：因为.*2X+1)=5(2X+1)+5，所以式。)=5&+5又八)=4，所以5 a+57=4,ay.7答案：7.设函数式x）对x#0=3 x,则火2 0 2 2)等于解析:分别令x=1和x=2 0 2 2得 f(1)+2f(
13、2 0 2 2)=3,J(2 0 2 2)+2f(1)=6 0 6 6,解得人2 0 2 2）=-2 0 2 0.答案：-2 0 2 08.某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x之间的关系式为y=a x+%其中，当尤=2时，y=1 0 0；当尤=7时，y=3 5,且此产品生产件数不超 过2 0则y关于x的解析式为.解析：由题意知1 4。+。=2 0 0,a=,即彳,解得11 4 9 a+8=2 4 5,匕=1 9 6,1 9 6所以所求函数的解析式为y=x+-(0-W 2 0,且x N,)X1 9 6答案：y=x+(0 0,即04 0,2所以此盒子的体积V以光为自变量的函数式为V=x
14、(a 2 x)2,定义域为(0,1 5 .已知函数7 U)=f-2 x+2,利用函数图象解决下列问题：(1)若Xl、W l,试比较於D与/(尤2)的大小；(2)若/U)的定义域和值域都是 1,b ,试求人的值.解：(l)*x)=(x 1尸+1,作出函数人X)的图象，如图所示：由函数/（x）的图象，可知当时，於|）次X2）.（2）由函数y u）的图象，可知当y u）的定义域是“，切时，其值域应为 人1）,八 方）.又人幻的值域是 1,b ,且犬1）=1,所以大。）=。，即层一2。+2=。，解得b=1或h=2.又匕1,所 以8=2.4、分段函数1.设兀0=，2x-1 (冗2 2),f(/(x+1)
15、+1 (x 0,解析：选C 依题意，知 於）=%+=所以函数式龙）的图象为x q 1,尤 0,选项C中的图象.故选C.2 x+a,x 0 时，1 a+,则/(I a)=2(1 a)+o=2a,/(I+)=(1+a)-2a=-1 -3a.3.,.2a=-13 a,即 a=g(舍).当 avO 时,1+a v lv l-a,则川一)=一(1一。)-2。=一1一，l+a)=2(l+。)+。=2+3。，,g 3/.1 a=2+3 o,即 a=-综上可得。=一,.故选A.4.著名的Dirichlet函 数D(x)=l，x为有理数，0,x为无理数，则DD(x)=()A.0B.1(1,尤为无理数 1,尤为有
16、理数1 0,尤为有理数 10,x为无理数解析：选 B VDU)E0,1),，D(x)为有理数,.,.DD(x)=l,5.拟 定 从 甲 地 到 乙 地 通 话m分 钟 的 话 费 符 合 式?)=3.71,04,其中加 表示不超过初的最大整数，则从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是()A.3.71 元C.4.77 元B.4.24 元D.7.95 元解析：选 C 贝5.2)=1.06X(0.5X5.2+2)=1.06X(2.5+2)=4.77(元).故选C.6.已知危)alx+,xi0),后。，则 上(力4、公卜解析：7(幻=,2x,x0,f (x+1),xWO,/(一野可 H+i)=/T)=/H
17、+i324 ,4=8=3,答案：47.若函数y u)=X2,x W -l，1 f(x 2)，x(1,贝 5)=解析：因为函数 x)=A2,1 ,f(x 2),x G (1,+0),+00),所以犬 5)=A 3)=/U)=12=L答案：18.设函数 x)=J 2%2,x，0,2X2 X0.则 不 等 式 加 一 无 的 解 集 为2A2,XNO,-2 0 可得，(3x 2 O,解析：由函数y(x)=,当即0.xW3 时原不等式可化为2(3x)2 2 3X 2 惇，2,即 6 x W 9,解得xw|,所以此时不等式的解集为 。,131；(3-尤2 0,当 蛆 即 x 0,3d孚尤卜0,原不等式恒
18、成立，所以此3%0,时不等式的解集为(一8,0)；3-x 3时，.*3一为 0,此时原不等式无解；I 3 x 2 0,f 3-x 0,当时，此种情况不成立I 3 A l 或x 或 x -l 时，/(x)=l.所以X x)的值域为 0,1 .1 0 .如图所示，函数40的图象是折线段A 8 C,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4).求 欢0)的值;求函数式幻的解析式.解：(1)直接由图中观察，可 得 欢0)=五4)=2.(2)设线段A 3所对应的函数解析式为y=kx+b(k G),x=0,x=2,4=Z?,彷=4,将 与 代入，得 ,解得,=0 o=2 A+h.k=-2.
19、)，=一 2 x+4(0 W x W 2).同理，线 段 所 对 应 的 函 数 解 析 式 为y=x-2(2 y),)A.T，+8）B.1,+0 0）C.（-8,0 D.（0,+o）解 析:选 A 由依一l|g 2=|2 1|,可得：|/7?l|m,所以mN O,两边平方得：苏一2机+1 W机2,即机1 2.（多选）已知函数/u）=2 c 关 于 函 数y（x）的结论正确的是,J T,1 X 2,()A./（x）的定义域为RB.凡r）的值域为（一8,4）C.若人幻=3,则x的值是小D.於）1的解集为（T,1）解析：选B C 由题意知函数7 U）的定义域为（一8,2）,故A错误；当x W -1
20、时，人x）的取值范围是（-8,1 ,当一1 4 2时，x）的取值范围是 0,4）,因此式x）的值域为（一8,4）,故B正确；当xW-l时，x+2=3,解得x=1（舍去）.当1 4 2时，f =3,解得x=小 或x=一正（舍去），故C正确；当x W 1时，x+2 1,解得x v-l,当一 1 4 2时，f l,解得一1 4 U）1,则x（）的取值范围是.解析：碍=3=苏=曰,当 x（）W 0 时，由一沏一1 1,得 x（）v 2,当 x o O 时，由得 x o l.所以x（）的取值范围为（-00,2）U （1,+）.答案：率（一 8,2）U（1,+8）1 4.下表为某市居民用水阶梯水价表(单位
21、：元/立方米).阶梯每户年用水量(立方米)水价其中自来水费水资源费污水处理费第一阶梯0 180（含）5.002.07第二阶梯180 260（含）7.004.071.571.36第三阶梯260以上9.006.07(1)试写出水费y(元)与年用水量式立方米)之间的函数解析式；(2)若某户居民一年交水费1 040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少.解：依题意得f5x,04W 180,y=7（x-180）+900,180260,（5x,0 8 0,即y=i 7X360,180260.（2）依题意得y=l 040,若 xd0,180,则 5x=1040,解得 x=208,不合题意，舍去；若
22、xG（180,2 6 0,则 左一360=1 0 4 0,解得尤=2 0 0,符合题意；若 x260,则 9x880l 0 4 0,不合题意.故该用户当年用水量为200立方米.因此，自来水费为2.07X180+4.07X20=454（元），水资源费为1.57X200=314（元），污水处理费为1.36X200=272（元）.1 5.已知函数式幻=|无+l|+|x2,g(x)=|x3|,xGR.(1)在同一直角坐标系中作出x),g(x)的图象；(2)V xe R,用z(x)表示 fix),g(x)中的较小者，记为机(x)=min(九)=伏x),g(x),请用图象法和解析法表示函数皿X)；(3)求
23、满足yu)g(x)的x的取值范围.(2x1,解：(1次元)=3,1%2,I 2x+1,-1,g(%)=x3,、一x+3,x3,则对应的图象如图:(2)加(x)图象如图:x+3,xv2或0Wx3,解析式为机(x)=2x+l,13,-1Yg(x),则由图象知在4点左侧，5点右侧满足条件:此时对应的x满足x0或xv2,即不等式外)g(x)的解集为(一8,-2)U(0,+8).5、函数的单调性1.(多选)已知函数式x)=-W+2 x+l的定义域为(-2,3),则函数川刈的单调递增区间是()A.(一8,-1)B.(-3,-1)C.(0,1)D.(1,3)解析：选B C 因为函数兀r)=/+2 x+l的定
24、义域为(-2,3),图象的对称轴为直线x=l,开口向下，所以函数人满足一 2 W 3,所以一3 x 3.又川M)=-d+2 R+lj?+2 x+l,0 W x 3,-.一X22 x+l,-3 x 1,使处勺(1),故C不符合题意；对 于D,函数分别在(一8,0)和(0,+8)上单调递减，但存在X 1 =1,X 2=l,使.*X 1)勺(X 2),故D不符合题意；只有B符合题意，故 选B.3 .函数负无)=仅+2|在 一3,0 ()A.单调递减 B.单调递增C.先减后增 D.先增后减解析：选C 作出/(x)=|x+2|在(一8,+8)上的图象，如图所示,易知/U)在-3,0上先减后增.4.(20
25、21山东烟台高一期中)已知函数凡r)是定义在R上的单调函数，A(0,1),B Q,1)是其图象上的两点，则 不 等 式1)|1的 解 集 为()A.(-1,1)B.(-8,-1)U(1,+)C.(1,3)D.(一8,1)U(3,+0 0)解析：选D 据题意可知式0)=1,.*2)=-1.於)是R上的单调函数，二段)在R上单调递减.由 明 1)|1得，加-1)勺(2)或 加-1)次0).X12 或 x13 或 xl.原不等式的解集为(-8,1)U(3,+8).故 选D.5.已知函数/00=+以+。，则()A.,ADcA-2)B.cA-2)c次一2).6.已知函数y=x)(x -2,6)的图象如图
26、所示.根据图象写出y=/(x)的单 调 递 减 区 间 为.解析：由题图可知/U)在-2,6上的单调递减区间为-1,2.答案：1,27.函数4%)=胃 在 区 间(-2,+8)上单调递增，则实数。的取值范围是A R _ 1 _ L t ZX+1斛析：/(x)=x+24(x+2)-2+l=+2 =1 2。x+2 依题意有1 2 a 0,即答案：I，+H8 .函数y=/(x)在(一2,2)上为增函数，且1 2/)次一?+1),则实数机 的取值范围是-2 2 m 2,2 v一m+1 m+1,解得答 案:&1)9 .判断并证明函数|处=一；+1在(0,+8)上的单调性.解：函数/U)=(+1在(0,十
27、8)上单调递增.证明如下:设用，尤2是(0,+8)上的任意两个实数，且X 1 0,又由 X X2,得 XI%2 0,于是於1)一/2)0,即 外1)勺3),；/W=1+1在(0，+8)上单调递增.x,0,2 ,1 0.已知函数危)=1 4 ,x e (2,4 .l x(1)在图中画出函数於)的大致图象;(2)写 出 函 数 的 单 调 递 减 区 间.3 4r r、r-。，rL J-U L J J-L J-lI I I I I I I I Ir i Tr i r.r t rj-j i i i 解：(1)函数/(X)的大致图象如图所示.(2)由函数ZU)的图象得出，函数的单调递减区间为2,4.U
28、.(多选)定义区为不大于*的最大整数，对于函数_/u)=x一印有以下四个结论，其中正确的是()A.fil 021.67)=0.67B.在每一个区间伙，攵+1)伏WZ)上，函数/U)都是增函数c /-?)Q,则有()A.fid)+fibyf(d)+/(b)B.人+犬与勺(一。)十大一份C.穴。)一穴 加 之 穴。)一穴b)D.共a)a)一式-b)解析：选 A/.ab,ba,：.艮a)+他)式a)+j-b).故选 A.2x+5 xW 11 3.已知函数,是减函数，则 实 数a的取值范围为2x+a,xl解析：由题意得，要使/U)是减函数，需一2X1+52 2X 1+。，即aW5.故实数a的取值范围为
29、(一8,5 .答案：(-8,5.3 x+71 4 .已知函数 r)=:不了.(1)判断并证明函数 r)在(-2,+8)上的单调性；(2)若函数/U)的定义域为(一2,2),且满足 八-2九+3)次加2),求机的取值范围.3 x 4-7 1解：(l/x)4=3+二7，於)在(2,+8)上单调递减，证明如下：设人I乙 人乙X1 X2-2,1 1 X2-X 小，则 Rx)-f ixi)=汨+2一/+2=(XI+2)(及+2)因为为尤2 -2,所以 x i+2 0,及+2 0,%2-x i 0,所 以 危1)勺)，所以汽工)在(-2,+8)上单调递减.(2)由(1)可知，当 工 (-2,2)时，函数/
30、U)单调递减，所以由八一2机+3)次加2)(2 2 m+3 2,得，2 m2 29I2 m+3 m2,解得 l m0,且/U)在(1,+8)内单调递减，求实数a的取值范围.X角 翠：(1)证明：由题意知“)=上A-I乙V xi,X 2(8,2),且 X1 0,x%2 0,/（）5/2）,於）在（一8,2）上单调递增.（2）任取 X,X2 （1 ,+）,且汨0,X2Xl 0,又y（x）在（1,+8）上单调递减，/.（x a）（x2。）0 在（1,+8）上恒成立，：.a l,J 实数。的取值范围为（0,1 .6、函数的最大（小）值1 .函数/U）的图象如图，则其最大值、最小值分别为（）3D.旭），
31、2解析：选 B 观察题中函数图象，./U）最大值、最小值分别为_/（）,人引.k2 .若 函 数 在 区 间 2,4 上的最小值为5,则 Z的值为（）A.1 0B.1 0 或 2 0C.2 0 D.无法确定解析：选 C当=0时，不符合题意；当Q 0时，y u）=（在 2,4 上单调递减，k./Wm i n=A 4）=I=5,：,k=20,符合题意；当Z 0时，在 2,4 上单调递增，k_ A x）m i n=A 2）=5,.A=1 0,又.次 0,.文=1 0舍去.综上知攵=2 0.3.函数人光）=的最大值为（）f+2,x lA.1 B.2C.3 D.1解析：选B 当时，函数 x）=，为减函数
32、，此时兀）在X=1处取得最大值，最大值为次1）=1;当尤 1时，函数y（x）=/+2在x=0处取得最大值，最大值为X 0）=2.综上可得，_/（x）的最大值为2,故 选B.4.若V尤e（o,都有不等式一x+a+1 2 o成立，则。的最小值为（）A.0 B.-25 1C.一 D,-2解析：选D 设/（%）=%+。+1,由不等式一%+。+1 20对一切工（0,2都成立，可得/U）m i n N 0.因为/（X）在（O,g上是减函数，所以当X d（0,g时，段）m in=a+g,所 以a+g e o,即 心 一g,所以而加=2,故选D.5.（多选）若x e R,x）是y=2/,y=x这两个函数中的较
33、小者，则兀x）（）A.最大值为2B.最大值为1C.最小值为一 1D.无最小值解析:选B D 在同一平面直角坐标系中画出函数y=2%2,y=x的图象，如图所示.根据题意，图中实线部分即为函数./U）的 图 象.当X=1时，兀）取得最大值，且,*X）m a x=l,由图象知犬X）无 最 小值.故选B、D.3一6.已知二次函数於）=2 f 4 x,则 危）在全上的最大值为.解析：由题可知二次函数凡）=2/-4 x图象的对称轴方程为x=l,因此函数段）在区间 一1,1 上单调递减，在 1,小上单调递增.因为八-1）=6,剧=-|,所 以.八 一1）（|）,故 函 数 段）在区间一 1,|上的最大值为八
34、-1）=6.答案:67.函数y=f+6 x+9在区间 a,句3 *3）上有最大值9,最小值一7,则a=,b=.解析：y=（x 3/+1 8,*/a h 3,函数y在区间 a,句上单调递增，即一/+6+9=9,解 得/?=09=6不合题意，舍去）./+6 a+9=-7,解得a=2（a=8不合题意，舍去）.答案：一2 08.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌汽车，销 售x辆该品牌汽车的利润（单位：万元）分 别 为L =-f+2 1 x和L 2=2 x.若该公司在两地共销售1 5辆，则能获得的最大利润为 万元.解析：设该公司在甲地销售x辆，则在乙地销售（1 5x）辆，公司获利为L=(1 9、2 1
35、92+2 1 x+2(1 5x)=-f+1 9工+3 0=一卜一51 +3 0+工，所以当 x=9 或 1 0时，L最大为1 2 0万元.答案：1 2 09.已知函数兀2 x+lx+1（1）用定义证明7U）在区间 1,+8）上单调递增；（2）求该函数在区间 2,4 上的最大值与最小值.解：（1）证明：V%1,X2 G 1 ,+）,且 X1X2,则、_2 x i+l 2尬+1 _ _ _ _ _ _ _ X1 _X2 _ _ _ _ _ _人不）一/（X2）=汨+1 九2+1=（X1 +1）（九2+1）V K x i T2,-X%2 0,.;八为）/（2）o,即/U i）y（x 2）,故函数X）
36、在区间 1,+8）上单调递增.（2）由（1）知函数次幻在区间 2,4 上单调递增，2 X4+1 9 2 X2+1 5J O O m a x =.4）=4+-=5，Xx）m in =2）=2+-=1 0.若函数丁=/（8）=96x+1 0在区间 0,上的最小值是2,求实数。的值.解：由题意知，6x+1 0=（x 3）2+1,若。2 3,兀5加=*3）=1,不符合题意；若0 a 3,危）在 0,a 上单调递减，所以/（x）m in=/（a）=2,所以 a=2 或 a=4,因为 0 a 3,所以 a=2.综上所述，a=2.2x+11 1 .已知函数.於）=7二 丁 其定义域是-8,-4）,则下列说法
37、正确的是（）A.危）有最大 值 今 无最小值B.於）有最大 值5本 最 小值7;C.於）有最大 值,无 最 小 值7D.7U）有最大值2,最小值.-2 x+1 2 （x 1）+3 ,3 .-.解析：选 A 因 为函数 ）=7=2+r,由函数的图八 X 1 X 1 X 1象可知/（x）在 8,4）上单调递减，则y（x）在x=-8处取得最大值，最大值为拼,x=-4取不到函数值，即最小值取不 到.故 选A.1 2.已知函数兀r）=f2 x+2,关于r）的最大（小）值有如下结论，其中正确的是（）A.段）在区间-1,0上的最小 值 为1B.凡r）在区间-1,2 上既有最小值，又有最大值C./U）在区间
38、2,3 上有最小值2,最大值5D.当 0 a 1 时，/U)在区间 0,a 上的最小值为1解析：选 B C D 函数/U)=*-2 x+2 =a-l)2+l 的图象开口向上，对称轴为直线x=l.在选项A 中，因为/U)在区间-1,0 上单调递减，所以x)在区间 一1,0 上的最小值为.*0)=2,A错误；在选项B中，因为.人处在区间-1,1 上单调递减，在 1,2 上单调递增，所以兀6 在区间-1,2 上的最小值为又因为人-1)=5,1 2)=2,_/(1)/2),所以/U)在区间-1,2 上的最大值为人一1)=5,B正确；在选项C 中，因为负x)在区间 2,3 上单调递增，所以1 x)在区间
39、 2,3 上的最小值为火2)=2,最大值为贝3)=5,C正确；在选项D 中，当0 31时，式 x)在区间 0,0 上单调递减，所以/U)的最小值为人a),当a l 时，因为犬x)在区间 0,1 上单调递减，在 1,旬上单调递增，所以./(X)在区间 0,a 上的最小值为4 1)=1,D正 确.故 选 B、C、D.1 3 .已知函数 2%+2 在闭区间 0,加 上有最大值2,最 小 值 1,则?的取值范围为.解析：.穴幻二/一2 x+2=(x 1/+1,其图象开口向上，对称轴方程为x=l,且於)m in =/U)=L令 f x)=jc2 x+2=2,解得 A?0 或 x=2.由题意及图象可知,即
40、力的取值范围是 1,2 .答案：1,21 4 .某商场经营一批进价为每件3 0 元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价M不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系:X4 55 0y2712(1)确定x 与 y 的一个一次函数关系式y=/U)(注明函数的定义域)；(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关 于 x 的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润.解：(1)因为/(x)是一次函数，所以设/(x)=ax+h(aW O),7=3,力=162,由题中表格可得4 5 a+Z J=27,解 得 彳 50a+b=l2,所以)=/U)=-3x+
41、162.又 y 2 0,所以 30W xW 5 4,故所求函数关系式为y=3x+162,xE 30,5 4 .(2)由题意得，P=(x30)，=(x-30)(1623x)=-3f+25 2x4 8 60=-3(x-4 2)2+4 32,xe 30,5 4 .所以当x=4 2时，P m ax=4 32,即当销售单价为4 2元时，能获得最大的日销售利润.15.已知函数兀r)为二次函数，不等式/U)0的解集是(0,5),且/U)在区间-1,4 上的最大值为12.(1)求人x)的解析式；(2)设函数/U)在上，r+1上的最小值为g，求g的表达式.解：(1)由题意可设5)(a0),又由题可知，犬幻的图象
42、开口向上，图象的对称轴为直线x=|,则在区间 1,4 上，.*x)m ax=/(1)=6。=12,解得a=2,所以/(用二浮一10 x.由知，当f苗 时，函数/U)在区间 f,f+1上单调递增，则g )=/W =5 3 52?10z；当 t t+1,即7 5时，,*x)在区间 t,|上单调递减，在区间|5,r+l2上单调递增，则g=不|252，5 3当(+1 W 1,即 忘,时，函数 段)在区间7,f+1上单调递减，则g )=W+1)=2户一6一8.C 32尸一6/18,t W ,25 3 5综上所述，g(/)=1-y,2y 0 B.外求一幻0,4,若函数./）=,、则 於）（）1 1,x0,
43、A.是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析：选B 作出函数.*x)的图象，如图所示，可以看出该图象关于原点对称，故於)为奇函数.5.若./(x)=af+ix+c(aWO)是偶函数，则 8(%)=加(+加+。(:是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析：选A 因为/U)=o?+bx+c(aWO)是偶函数，所以由八一幻=兀。得6=0.所以 g(x)=ax3+cx.所以 g(x)=a(-x)3+c(-x)=g(x),所以g(x)为奇函数.6.若函数y=(xl)(x+a)为偶函数，则a=.解析：.函数y=(xl)(x+a)=d+(al
44、)xa 为偶函数，.x2(a l)xd=x2+(al)xa 恒成立，.,.a1 =0,.a=.答案：17.(2021北京通州高一月考)能说明 若危)是奇函数，则於)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是1龙)=.解析：举出x=0不在定义域内的奇函数即可，如 於)=；.答案：%答案不唯一)8.设奇函数7U)的定义域为-6,6 ,当xC0,6时火X)的图象如图所示，不等式五x)0的 解 集 用 区 间 表 示 为.解析：由/U)在 0,6上的图象知，满足兀)0的不等式的解集为(0,3).又#x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在-6,0)上，不等式人无)0的解集为(一6,-3).综上可知，不等式式
45、x)0).(1)若4 1)=3,求a的值；(2)判 断 函 数 的 奇 偶 性 并 证 明.解：(1)由题意知，.*1)=1+。=3,所以a=20满足题意.(2)函数火x)为奇函数，证明如下：函数/(x)=x+?a0)的定义域为(一8,Q)U(0,+8)且关于原点对称.又因为人)=-x+=所以函数./(X)为奇函数.10.(1)如图，给出奇函数y=)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出3)的值;(2)如图，给出偶函数y=jx)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较犬1)与X 3)的大小.解：(1)奇函数y=x)在y轴左侧图象上任一点P(x,八x)关于原点的对称点为P&,/(x)，图为图补充后
46、的图象，易知/3)=-2.(2)偶函数y=y(x)在y轴左侧图象上任一点P(一x,八一元)关于y轴对称点为Px,fix),图为图补充后的图象，易知7(1)/3).1 1.(多选)若人幻为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是()A./(*)+犬%)=0 B.x)一八x)=2*x)f (x)C.C；(二X)=-1解析：选AB.了(x)在R上为奇函数，.火一幻=一兀。./U)+；(x)=/U)-/U)=0,故A正确求x)一/(x)=/U)+/U)=U),故B正确：当x=Q时次)人一f(x)x)=0,故C不正确；当x=0时，；(_ x)的分母为，无意义，故D不正确.12.已知函数4 0=/+&+2m+
47、是偶函数，其定义域为的+1,-2n+2 ,则()A.m=0,n=0 B.m=3,=0C./=l，=0 D.7 7?=3 72=0解析：选B 由 兀)=小+，a+2机+是偶函数，得=0.又函数的定义域为 z+l,2/1+2,所以m+1=2-2,则“2=-3.13.函数.*)=区言的定义域为,是_函数(填“奇”或“偶 ).解析:依题意有，4x22。，.2枚+2|#0,解得一2WxW2 且 xWO,二段)的定义域为-2,0)U(0,2.、1 4 T d 4 T.人“)-2一q+2|-%-X/A,定义域关于原点对称,、/4 3.大幻为奇函数.答案：-2,0)U(0,2奇a x hI14.函数外）=1乒
48、是定义在（一2,2）上的奇函数，且 川）=；.（1）求7 U）的解析式；（2）判断并证明加0的单调性.（1Y b解：（1）根据题意，得函数式x）=乒是定义在（一2,2）上的奇函数，则.*0）=4=。，解得 b=0.又由 7（1）=；,得_/0）=/=；,解得 0=1.尤所以/（%）=4 产（2求x）在区间（一2,2）上为增函数.证明如下:设一2XIX22,则 1A x i)A 尤2)=(4+X 1X 2)(4 JCJ)（X|X 2）（4-七）由-2 4IX20,x i-%20,4一/0,所以/（汨）一 八X 2）|g(x)|=一/?(x),二B 中函数是奇函数，B 正确：C 中，由 x)是奇函
49、数，可得八一x)=一八 ),由g(x)是偶函数，可得g(x)=g(x),由.八一x)+lg(x)l=/W+lg(x)l知C错误;D 中，由成一x)|+g(x)=|-/U)|+g(x)=|/U)|+g(x),知D正 确.故 选B、D.6.已知函数人x)为偶函数，且当x0时,/(x)=.解析：当 x0 时，-x 0,.；*一x)=-x+1,又.*)为偶函数，.*.x)=x+1.答案：一x+1%2+2龙(在0)，7.若函数，八、为奇函数，则./Ig(-1)=_.g(x)(x0)解析：根据题意，当x 则力以_1)=八 _3)=-/(3)=_(32+23)=_15.答案：一158.若 危)=(加-1)/
50、+6 g;+2是偶函数,则.穴0),.穴1),.八一2)从小到大的排列是.解析：.TU)是偶函数，.优一 x)=r)恒成立，即(?-l)f 6/wx+2=(?一 l)x2+6/m+2 恒成立，=0,即.穴幻=-f+2./x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在0,+8)上单调递减，.,./2)A 1)勺(0),又=一 +2 为偶函数，,A2)=X-2).即八一2)勺U)勺(0).答案：/-2)Al)0时，4x+3.求 欢)的值;(2)求函数/U)的解析式.解：为定义在R上的奇函数，.A 0)=0.又：当 x 0 时，.*x)=f 4%+3,A-D=-/U)=o,A A 1)=O.(2)由(1)可知