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1、第 2 讲 等差、等比数列的证明参考答案与试题解析一.解 答 题（共 22小题）1.（2021江苏月考）已知数列勺的前项和为S,q=l,”,产 0,anan+l=A S-l,其中4 为常数.（1 ）证明：all+2 a=A ；（2）若同为等差数列,求H。.【解答】解:（1）证明：=2S.-1,其中尤为常数，.4+4+2=5+1-1，相减可得：all+lan+2-aan+=2an+l,an+l 0，可得：国 _ _ _ _ _ _ _ _;（2）若%为等差数列，由（1）可得：公差”=.由 aa+l=A.S-1,令 =1,a则：1x02=4x1 1,1H =4 1,解得：4=4.210 x9S 1
2、0=10 x 1 H-x 2=100.2.（2021鼓楼区期中）设数列 的前项和为S“，ne N.已知4=1,6/2=,4=，且 4q+2=4a“+|-4,（1）求。4的值；（2）证明：冈 为等比数列；（3）求数列伍“的通项公式.3 5【解答】（1）解：,.9=1,勺=3,%=i,且4%+2=4 4+1-/.4%=4%-a7 z 72=-f 解 彳？4 =一2 8（2）证明：由也*2 =4%-a“，变形为：4+2一；。+1=3（%+1），为等比数列，首项为1，公比为；（3）解：由（2）可得：41M q/=（；），.2+a+-2an=4,数列 2 4 是等差数列,公差为4.2an=2+4（n-l
3、）=4n-2,4n-23.已知各项均为正数的两个数列 4 和 2 满足：%=,eN*.设 鼠=1+组,n wN*，求证：数列（九）2 是等差数列.a【解答】证明：I各项均为正数的两个数列 七 和 也,满足：=-?=MN*.b-l +%,|1|,b1 +上.a=&+b“=a“=%,击；+J1+昌 了 J +（g）2.S.b 心、b-=i，%4数列（4）2 是公差为1 的等差数列.4.（2021春遂宁期末）已知数列同中,4=1,川=浸（1）求证：数 列 是 等 差 数 列；（2）求数列 ,的通项公式；（3）设数列|皆|满 足:/?=,求 依 的前项和国【解答】证明：（1）.,=1,a+l=1 +3
4、an.冈，-=3,（2 分）_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 用 an乂 3 =1,；.数 列 是 首 项 为 1,公差为3 的等差数列.（4 分）解：（2）.数列，是首项为1,公差为3 的等差数列，问；.（6 分）(3)2=2，(3-2).(7 分)冈(8 分)2 7；,=l x22+4 x23+7 x24+.+(3 n-5)x2,+(3/7-2)x2,+1.(9 分)-7；=2 +3 x2?+3 x2 3+3 x2-(3-2)x2 向(1 0 分)d”一 四 3=2-1 2 +3 x2”-（3-2）2 向冈|（1 1 分）7；=1 0+（3 n-5）x2n+,.（1 2 分）5.
5、数列同满足|冈 4=2,all+2=2an+l-a+2.（I）设d=a+l-a,证明向|等差数列；（2）“,通项公式；（3）求|回|的前项和.【解答】（I ）证明：由|臼得（4+2 一%）一（4+i -4）=2，即%乜=2,又 b、a-,c i y=2 1 =1 ,a“=(/?_ 1)-+1(/2.2),已知耳 时上式成立，X(3)解:同设数列 日 萨）的前项和为7；,则 2+2-22+加2 ,0,|冈 ,一 得,-7；=2+22+23+2-27=-2+（1 -n）-2n+l,所以|冈（12分）1 37.（2021春沈阳期中）已知数列”“的前n项和为5,，4=人,“e=,（w N.）,数列 4
6、 4是首项为1、公差为3的等差数列，设cn=hSn.（1）求证：数列 S,为等比数列；（2）求数列 5 的前项和7；（3）若C,+机-1对一切正整数恒成立，求实数机的取值范围.【解答】（1）证明：因 为0 ,所 以s即 回所以数列同是以）为 首 项,-为公比的等比数列,(2)解：由(1)可得S,=：x，)T=(；),因为数列 是首项为1、公差为3的等差数列，所以d=l +3(-l)=3 -2，所以。“=2 5”=(3 一2).(；),所以因，两 式 相 减 可 得(%9 7；=，+3 x(-)2+3 x(-)3+3 x(-)H-(3/7-2)-(-)M+,=，一(3 -2)(-)/,+1=-(
7、3/?+2)-(-f+,4 4 4 4 4 4 1 1 2 4 2 41（3）因 为 冈所以当=1时，c2-c=,2 1 4当 同 时，目 二 ，所以 q =c2 c3 c4 .cn,所以当 =1或2时，国 仅得最大值刁又。，机-1对一切正整数恒成立,所以！4 ，即m 2 +4加一5.0,4 4解得小，一5或2.1 ,故实数m的取值范围是同，-5|J 1 ,+00）.8.（2 02 1 浙江开学）已知数列 ,的 前”项 积 为 国|冈J,且对一切“w N*均有（I ）求证：数列 看 为等差数列，并求数列同的通项公式;（H）若 数 列 的 前”项和为国 求证：S,+1 T”1.【解答】解：（I
8、）证明：对 一 切.均 有 用又 0所以q +7；=1 ,即|冈n(n+3)2_1_ 3 1 1S+l n T =-+I n=-n2+3 n-21 n(n+1)，2 n+1 2先证明，对一切x.1 ,区 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.令 y=/(x+l)-x,则当 x.l 时，/=-1 0,x+l即 y=/(x+l)-x在口，瓦(上单调递减，故加(x+1)-不，。2-1 0,所以 ln(n+1)(n2+3n-2H).1 ,9.（2 02 1 全国I 卷月考）已知数列 “中，4 =1,且满足0 可（1）证明：数列同是等差数列，并求数列 的通项公式；（2）设S“为数列 厂的前项和，求满足
9、|叵1 1 勺 的最小值.【解答】(1)证 明:因 为%-2=。向+(+1)2-3,+”2)=._ ,+2+1 =1,I 冈 卜所以数列 4 是首项为2,公差为1 的等差数列,所以2=2 +（九 一 1）=+1 .（2）因为1 1bn-bn+(+1)(+2)+1 n+2所 以 解得I 冈I，所以满足 正 的的最小值为1 0.1 0.（2 02 1 武功县开学）已知数列 q 是 以 1 为首项，2为公差的等差数列，数列 满足3（1）证明：数 列 巨|是等比数歹I J;(2)设,求数列 一 的前项和T.%【解答】解：（1）证明：根据题意。,=1 +2（-1）=2”一 1,由ab+a2b2+anbn
10、=3bl-n (-)n-，得1 ,*+a2b2+.+=3bt-(-1)(-)2(w.2),两式相减得问且当”=1 时，回,所以_ _ _ _ _ /2.yf+i,解得同 满足上式，所 以 阿/，又=：（3）所 以 瓦|是 以;为首项，由 公 比 的等比数列;（2）由（I）可 知 因所 以 0所 以 SI L （2 02 1 靖远县开学）已知数列 4 满足a（1）证明：数列|冈 卜 等差数列.（2）求 数 列 的 前 项 和 国【解答】证明：（1）数列 4 满 足 0 -即:整理得：2 4 _ =2（常数）,2+1 2 n-l故：数列-是以幺=3 为首项，2 为公差的等差数列;2 n-l 1(2
11、)由(1)得：-=3+2(n-l)=2n+,2/7 1整理得 见=(2 一 1)(2”+1),故 S所 以 012.（2021闵行区期末）已知数列 4 与 4 满足国二I a I.（1）若 仍“是等差数列，求证：数列他“也是等差数列;为非零常数）,(2)若司I，2=3,=s in e，求数列 4 的前2021项和;（3）设4=伉=力，冈J,b“=%（.3,”M）,若对 a“中的任意两项q、i,冈i/j）,|q-%|=sin 掾，q=2,|臼|,an+l-an=3(%一 2),出=-1，=4 回 b%=2，那勾.一(3)设国,a =g ,b“=咒b2(.3,N)可 得 S ，是为I 冈 I为首项
12、，公比为因 的等比数列，那么 b=(b-b“_i)+(如-bn_2)+.+(&-优)+=A+2 +.+2.(-)+2an+l an=2(瓦 bf2 i Q2可得 a”=Q +%-A b1=w()n 1+A 当 为 偶 数 时，+1=?2)”+33)T，可 知 ，是 单 调 递 增，那么由 冈当为奇数时，71，可知国存单调递减，那 么 冈 a wO,可得二/2 3可 得 同 中的最大值4=丸，最小值为出=几-三对|W|中的任意两项4、，j e N*，叼，|q -%|2都成立,故得实数;I 的取值范围是（-2,|囚 2）.13.（2021 河南月考）数列 满 足 田，4+i3 a（1）求证:S 是
13、等比数列;(2)设4/=b，求和:1 1-F-1-.H-瓦 b2 b【解答】证明：（1）数列 4 满足可34-%3 一 4+i故目 出 二=3（常数），3-%/T故 叵1 是以3 为首项,3 为公比的等比数列;（2）由于三口 =三乌a“-l a 1-1整理得：4=产3+33+1所以=q 4 ,a”233+1-=(1+),b,2 30所以14.（2021春钟祥市校级期末）已知4=2,点（4,”川）在函数/（x）=f+2 x 的图象上,其中/?=1,2,3,.(1)证明：数列/g（l+%）是等比数歹！J;(2)(3)，求数列 2 的前项和S,并证明S“1.i殳记 0，求，；【解答】解：（1）证明：
14、由已 知 国；gQ+a,G=21gQ+a.)，Zg(l+4)是公比为2 的等比数列.解：(2)由(1)知/g(l+a“)=2T./g(l+q)=2T./g3=/g32,1 +=32 ,7；=(1+)(1+2)(1+4,)=32J.证明：（3）.点（,%+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上,叵1冈.1 1 _ 2为+2 4：,1 1 112c,I 1、bn=-1-=-1-=2(-).a q+2 an an an+l an an+Scn =h,+,h H-F b,1 1 1 1 1 1、1 1、n=2（-1-1-1-）=2（-）.%a2 4%4 4+1 4 4+1=32 -1,a=2 f-x|
15、,.冈.又 冈 s”1 .15.（2021 惠城区模拟）设%,都是各项为正数的数列，对任意的正整数，都有勺,b；,回 成 等 差 数 列，回向，回 成 等 比 数 列（1）试问 么 是否成等差数列？为什么？（2）如果回b、=五,求数列国的前n项和S”.【解答】解：叵|，b；,回成等差数列，,向，囱成等比数列，.得 2b-=%+-，*=b：/；,.,（2 分）（1）|冈:勿，由得%=b也t，从而当 同 时，a=%代入式得2b；=+如 勾，（4 分）即22=+%T，目 二|，故同是等差数列.（6分）(2)由4=1,4=血 及式，式，易得出=3,b2=(8分)因此血,的公差d=苧，从而我=4+(“-
16、l)d=曰(+1),得川=；(+1)(+2),即 a“=；(+1)(10 分)乂4=1也适合式，得叵T=3=2(L-L),an n(n+l)n n+1AKffilS=2(1-+-+.+-)=2(1-=(14 分)2 2 3 n n+1 n+1 n+116.(2021 长宁区二模)已知正项数列 ,满足：对任意正整数，都有应，33成等差数列，bn,卬”，同成等比数列,且卬=1 0,目 二.(I)求证：数列|囚|是等差数列;(II)求 数 列 巨 的通项公式；a的取值范围.(I I I)设国一，如果对任意正整数，不等式2S 2-久恒成立，求实数猴【解答】解：(I)由已知，得 纹,=a“+a”+|，匕
17、|=2也+|.由 得a“+1 =也也向.将代入得，对任意儿.2,n w N，有2 =总 商+%二.即=+我 五 是等差数列.(4分)(I I)设数列 m的公差为d，75由4=1 0,a2=15.经计算，得=万 也=18.二.扬=屈-8=3 0一 6 =与.瓦=1 0 +5-1)三=孝(+4).，4a=Xi.分)M 2 2i?1 1III)由(1 )得 =-=2(-)/.an(+3)(+4)n+3 +40不等 式 冈 化为4 a d-）2-.4 n+4 714-3即|冈.设/（）=（。-1）/+（3a-6）/?-8，则|囚 对任意正整数九恒成立.当I I，即。1时，不满足条件；当a 1=0,即a
18、=l 时，满足条件；当a 1 0,即a l时，目二|的对称轴为x=筹号0,巨|关于“递减,因此，只需f（1）|.解得 a?,:.aA+8 =-2 82 A+6=4 8n A=-2 0,B=-8-3邑 一 7 再=A+B2 s 3-1 2$2 =2 A+8（2）证明：由（1）知（5 一 8）%+-（5 +2）s“二 一 2 0 一 8 所以（5 -3）%+2 -（5 +7”田=-20n-2 8 一得（5 3）5+2-（1（）-l）s+I+（5 +2）s“=-2 0 所以（5 +2）“3 一（1 0 +9）s“+2 +（5 +7）S“M=-2 0 一得（5 +2）5w+3-（1 5 +6）%+2
19、+（1 5 +6）,+（5 +2）sn=0因为一 s“，所以|冈又因为5 +2w0,所以。+3-2%+2+。+】=0，即|冈又%一 q=5.数 列 同 为等差数列.1 9.（2 0 2 1 庄河市校级期中）数 列 近 的前项和记为昌 已知囚=2,同2,3,国q（1）证明：数列 2 是等比数列:n（2）求 数 列 瓦|的前n项和Tn.【解答】（1）证明：因 为 S首项为2,公比为2的等比数列.s(2)由(1)可知 =2,Sn=n.TnT=2+2.22+3.23+1)，-+n.2,2Tn=22+2.23+3.24+.+(-1)2 +n2,+,所以|冈=(l-n)2+1-2,所以|冈2 0.(2 0
20、 2 1 安 徽)设 数 列 昌 昌，4，中的每一项都不为0.证明：a,为等差数列的充分必要条件是：对任何wN,都有冈【解答】证明：先证必要性设数列日的公差为4,若=0,则所述等式显然成立.若d/0,则1 114出 生6 4%-1-F.+n再证充分性：用数学归纳法证明：设所述的等式对一 切 耳 丁都成立，首先在等式S 两端同时乘aa2a3,即得|理所以 生,图 的成等差数列，记公差为“，则|冈.假设 I.-+=J-ata2 a2a3 ak_tak atak则有：a ,将代入 得 区 ，在该式两端同时乘彳，得(后-1)%+|+4 =kak,把%=4+(4-l)d代入后，整理得|囚.由数学归纳法原
21、理知对任何 eN,都有因.所以，4 是公差为d的等差数列.2 1.(2 0 2 1 春徐州期中)设数列目的 前 项 和 为 国 4为常数，己知对国，|V|,当I-7|I,总有 S S、=Sn-m+双”成立(1)求证：数列仅“是等差数列；(2)探究：命题p：“对 目，I T|L 当 与 ZJ 时，总有|臼-I”是命题 数列 4 是等差数列，首项 为 国 公差为d.解：(2)命题p是命题q 的充要条件.由(1)可知：对 目,|可|,当 与 二，总有S,-S,=S+m(n-m)d成立，是数列 an是等差数列的充分条件.下 面 证 明：数 列 巨|是 等 差 数 列，必 有：对 日，|国 一|,当 F
22、 l，总有5 -5,=5,+m(n-)ri)d 成立.,对 I 同,I 冈1 ,当 I 口 1 区,网,综上可得：对，m&N,当|卬,总有S-Sm=S _,+m(n-m)d成立，是数列|囚|是等差数列的充要条件.(3)正整数，后 成等差数列，0则冈可时,S+Sk.2S,；国 二 I时，I 7122.(2021春 瑶海区月考)已知数列叵|的前项和为S，满 足 S ,”e N*.(1)求证：数列同是等差数列;(2)已知|冈邑=15,设|冈,求 数 列 bn的前项和国【解答】解：(I)数 列 国 的前项和为国 满足邑=幽#，r=I-所以国,故 2s,+|=(+1)4+(+1)4*1，一 得:|7 整理得|冈 当I G J I时,(2)q,=(I)”,4,，一得：冈 _,故 数 列 是 等 差 数 列.(2)由于数列为等差数列，且向二|，向 二|，所以=S 2-S=9，所以q=6 .公差I R I，所以国.则2=(6+6)2 ,-得：向故|冈.