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1、第1讲等差、等比数列基本运算和拔高运算参考答案与试题解析选 择 题（共 6 小题）1.（2021春抚顺期末）记 S“为等差数列 的前项和，已知$4=（），4=5,则（）A.Sn=2 n2-8/t B.S =g/-2 C.an=3/?-10 D.an=2 n-5【解答】解：S 4=0,%=5,L 4x 3 ,八4a.+-x J=0 2，4+4d =5解得 q =3 ,d=2 ,:.an=-3 +2（-1）=2 -5,Sn=-3 +n（n-1）=iv-4，故选：D.2.（2021春怀化期末）已知各项均为正数的等比数列%的前4 项和为15,且%=3 牝+4%,则%=（）A.16 B.8 C.4 D.
2、2【解答】解：根据题意，设等比数列%的公比为夕，若 4 =3a4+42，则,W 1，囚（1一 夕4）_15（a=1则有-q 一 ，解可得（I2，+4aiq 贝 lj%=4 X g2=4,故选：C.3 .（2021 吉林校级月考）己知正项数列 可 的前项和为S“，若 q 和 、区 都是等差数歹 U,且公差相等，则冬=（）3-A.41-2a4-3B【解答】解：由题意知数列”,的首项为q,公差为d.因为数列 a“的前n项和是S,所以 yfs=J2a l +d,yS=J3 a l +3d.又 底 也是公差为4 的等差数列，则 J S2=+d=yfa+d,两边平方得：2q +d=at+I dAa+（i
3、C L 6=岛+3 4=苑 +2 4,两边平方得：34+3 d =4+4 用+4/一得：%=-2 d+2d M+3 ,把代入得：(24-1)=0.所以=0或d =L2当4=0时，4=0,不合题意，当d =g时，代入解得“=；.所以a,=4 +4=：故选：A.4.(2021春吉安期末)命题：公差不为0的等差数列的通项可以表示为关于的一次函数形式，反之通项是关于的一次函数形式的数列为等差数列为真，现有正项数列”的前项和是S“，若 可 和 都是等差数列，且公差相等，则数列 4 的一个通项公式为()A2 -1 c 2 n+1A.-B.-C.2n 1 D.27?4-14 4【解答】解：设正项数列 ,的公
4、差为d,首项4,S,+-，卮=病 +5 -l)d =8+(-l)d平方得，S“=q +2 yfa(n-l)d+(n-1)2 J2=4 +2 ya(n-)d+(7?-1)2J2.整理得，rf2)=2 yfad d2a因为对任意“e N+都成立，所以-d2=0.又d w O.2所 以=；,代入2口 0,”）2=100故选：B.6.（2021春大竹县校级期中）若数列 4 满足L d（nwN*,d 为常数），则称数列应 为调和数列，已知数列 为调和数列，且 T+考+君+白|8=8 0 7 2,则 为+%。1。的最大值为（）A.0 B.2 C.2&D.4【解答】解：由题设知：T =片+1-片=（e M,
5、d 为常数），.：是等差数列,Af+x?+只+刍*=8072=(片+刍 18)，.X +x20lg=8=芍+xoio,.+&0.2%/0（当且仅当吃=鼻10时 取 等 号“），（不等号两边同时加上+扁8）,(*9+*2010)”2(芍+%2010)=16,.玉+尤刈3,4（当且仅当=毛0=2时取 等号），.为+马）|0的最大值为4.故选：D.二.填 空 题（共 9 小题）7.（2021宝山区校级期中）已知 是等差数列，记”（），设S,为 4 的前“项和，且 3%=7 4 2 。，则当5“取最大值时，=17.【解答】解：设”“的公差为4,则由3%=7 4 2 0，可得 a,=(-1)，其中 4
6、0，”.18 时，a 0，=1 6 时，bn 0，.1 8 时，bn 0 故 s,7 sl5,故答案为：1 7.8.(2 02 1 西湖区校级模拟)设公比不为1 的等比数列 a,满足且出，4，成等差数列，则公比q =_g_，数列/的前4 项 的 和 为.【解答】解：在公比不为1 的等比数列%，由01G4=-1，得=-：，881a-,=一 2又。2，4，七成等差数列，,2%=2 +。3，即 2%夕 2 =4 2 乡 2 4-1 =0，解得 q=_；(q*1).q =1 .q则 S 4=i =4 2 4 8 8故答案为：!；工.2 89.(2 02 1 秦州区校级月考)在各项均为正数的等比数列 ,
7、中，4=2,且勺，4+2,成等差数列，记 S“是数列 4 的前 项和，则#=1 2 6 .【解答】解：设正项等比数列 q 的公比为q(q 0)，由4，/+2，%构成等差数列，得a 2+。5 =2(4+2),又q=2所以为+2/=2(2/+2),解得好 2,所以 56 =2；二；I=1 2 6.故答案为：1 2 6.1 0.（2 02 1 浦东新区校级期中）已知公比大于1的等比数列”,满足g+q=2 0,%=8,记 力 为 4 在 区 间（0,汨（m w N*）中的项的个数，电 的前项和为5.，则 S 7,=(n-2)-2n+2 +n _.【解答】解：因为%+44=2 0,“3=8,q 1,O所
8、以一 +8 夕=2 0,q解得，q =2,或夕=g (舍)，故 q =2 ,an=2 ,故在区间(0,1 上，4=0,在(0,2 ,(0,3 上&=4=1，2 个 1,在(0,4,(0,5,(0,6 ,(0,7 上“=卜=%=5 =2,2 2 个 2,归纳得，2 ,m 2 +2,由题意得,S y =(-2)-2 +2 +.故答案为：（-2）-2 +2 +.1 1.（2 02 1 钦州月考）正项等比数列”“中，4=1,%=他，记 S,为 叫 的 前 项和.若S,=1 2 7 ,则 m =7 .【解答】解：根据题意，设正项等比数列“的公比为q,则q 0,若即q，=4,解可得4=2,5=1 2 7
9、,即 S,“=W)=2 -1 =1 2 7 ,1-2解可得7/1 =7 故答案为：7.1 2.(2 02 1 启东市校级二模)在等差数列%中，若任意两个不等的正整数3 p,都有%=2p+l,ap=2 k+,设数列 的前项和为5，若攵+p =机，则S=_m2_(结果用m表示).【解答】解：设公差为d,/4=2 +1 =4+(4一1)6/(1),(=2攵 +1 =4+(一 l)d(2),由(1)-(2)可得d=2.把 =2 代入4 =2+1 可得q +(41)(2)=2 +1,:.ax=2 +2&-1 =2 加一1,Sm =ma1 H fn(m-1-)d,=m(小2 m 八1)m(m-1)/C、2
10、H-(2)=m ,故答案为小.1 3.(2 02 1 春徐州期中)已知等比数列 q 满足4=1 ,0 qg,且对任意正整数&,ak-(小+限)仍是该数列中的某一项，则公比q 为 _ 亚-1 一【解答】解：.等比数列”“满足4=1,0 夕；,且对任意正整数A,ak-(ak+l+%M)仍是该数列中的某一项，4 -(%+6+2)=/-(/+T”)=qk-(-q-q2).。“都是q的几次方的形式，.1 I-q-炉 应该也是q的几次方的形式，0 4 /，-1 夕 2 /2 -1.故答案为：/2 1.1 4.(2 02 1-九江三模)已 知 数 列 的前”项和为S,且满足q=l,aa+l=2 s“，设”喙
11、,若存在正整数p,4(p g),使得a，bp,印成等差数列，则 +。=5.【解答】解:数列 a“满足4=1 ,an an+l=2 5“，；.=1 时，叼=2$=2 q，解得=2 .n.2时,2 a“=2(S“一 S.T)=4-4 T)-4,工 0，；-4+|一%=2-，数列 4 是首项为1，公差为1 的等差数列，.q=1 +-1 =.存在正整数p,q(p q),使得4，3,4 成等差数列,2 a=4+4，二 女=1+2(*).，g 3。3 3“.数列 ,是单调递减数列.:当 p=l 时、由2=_1+幺，解得g=i,舍去.3 3 3当2,p 0,.女+幺，(*)不成立.3 3,_|3 3 30
12、3 3:.p=2,可得：=+2,解得q=3.9 3 3，p+q=5.15.(2021六安模 拟)设数列%的前箕项和为5,且 q=%=1,S+5 +2)。为等差数 歹!J,贝 I a20l7=_ 2O17.2-2016【解答】解：,.q=%=1,ra50+(+2)a“为等差数列,.首项为：lx l+3 x l=4,第二项为：2x(l+l)+4xl=8,公差为8-4 =4.nSn+(+2)an=4+4(n-1)=4 .即 nSn+(+2)an=4n.2 时，S i=4-ci,Mi i n n-1._ c c/？+l 7 7 +2-an=Sn S _i=-an,n公比为L,首项为1.27 7 1化为
13、：%=1 x 也.n 2 n 数列 组 是等比数歹I ,n2=1X(；严=2 .atl=n2ln.则 4oi7=2O17 2 2i6故答案为：20172-刈6.三.解 答 题（共6小题）16.（2021春岳阳县校级期末）记S,为公差不为0的等差数列a,的前项和，已知星=-30,且4，%，生成等比数列.（1）求数列 可 的通项公式；（2）求工，并求5”的最小值.【解答】解：（1）S.为公差d不为0的等差数列他“的前 项和，52=-30,且q,%,%成等比数列，可得6+%=-3 0,即2 q+d =-30,4%=a5 ,即 a（4+6d）=（a,+4d产,联立求得q=16,d=2,可得 a”=2-
14、18；（2）S,=（T 6 +2 K8）-_马 _组当 =8或=9时，S,有最小值 72.17.（2021新课 标I）设他“是公比不为1的等比数列，q为七,处的等差中项.（1）求4 的公比；（2）若q=l,求 数 列 的 前”项和.【解答】解：（1）设4 是公比q不 为1的等比数列，q为4，生的等差中项，可得2/=%+4 3，即 2a,=a、q+aq2,即为d+4-2=0,解得q=-2（1舍去），所以仅“的公比为-2；（2）若4=1,则a“=（-2严，nan=.（-2）T,则数列 即“的前项和为5“=hl+2.(-2)+34-2)2+”4-2严,-2S,=1.(-2)+2.(-2)2+34-2
15、)3+.+4-2)”,两式相减可得 3s“=1 +(2)+(2/+(2)，+.+(2)1 n(2)1-(-2)化简可得S.JY+3 2)”,所以数列“4 的前”项和为1 二(1 +昔(-2)”18.(2021 新 课 标H)已知数列%和2 满 足q=1,4=0,4%+1=3 4-勿+4,4加=3仇 一%-4.(1)证明：4+勿 是等比数列，4-勿 是等差数列；(2)求4 和 的通项公式.【解答】解：(1)证明：=3”“一6“+4,4bn+l=3bn-an-4；4(%+%)=2(q,+b).4(%-b“.i)=4(q,-A,)+8；即 4，+i+b“a=；(a+bn),all+l-bll+t=a
16、n-bn+2：乂 q+4=1 ,4 一4=1 ,a+b是首项为1,公比为g的等比数列，4-么 是首项为1,公差为2的等差数列；(2)由(1)可得：an bn=1 +2(-1)=2/z-1 ；,也=5+T“(一+：19.(2021 浙江)已知等差数歹ij 的公差d 0,设an的前n项和为Sn,aA=1,S2-53=36.(I)求 d 及 S”;(H)求小，2(肛 Aw N*)的值,使得 4+4+2+4+=65.【解答】解：(I)由4=1,S2电=36得，(%+%)(。1 +。2 +。3)=36，即(2+d)(3+3d)=3 6,化为+3d-10=0,解得d=2 或-5，又公差d 0，则d=2,所
17、以 S“=nax+D.d=n2(n e N*).(I I )由(I )得,an=1 +2(n 1)=2z?1 ,由 4”+a，,*+a*k=6 5 得，依 +1)(彳+限)=65,BP (k+l)(2 m+k-l)=65,又？，k e N ,则伏+l)(2m +&-l)=5 x l 3,或(&+1)(2机 +及一l)=l x 6 5 ,下面分类求解：当+1 =5 时，2加+左一1 =1 3,解得=4,帆=5：当 +1 =1 3时，2 m+k-1 =5,解得氏=1 2,m =-3.故舍去；当+1 =1 时，2 m+k-1 =6 5,解得A=0,故舍去；当 4+1 =6 5 时，2?+%1 =1，
18、解得=64,加=3 1,故舍去；综上得，k=4,m=5 .20.(20 21 天津校级月考)设正项数列 的前”项和是S,q 和 后 都是等差数歹U,且公差相等4，的，处恰为等比数列 仇 的前三项.(1)求 电 的公比q；(2)求 ,的通项公式；(3)记数列%c“的前项和为7；,求证：对任意都有7；/5 j =1 3al+3d=枢 +2 d两边平方得：3q+3d=+4d苑+2 1-得：%=2(1弧+3d -2 d 代入解得：=1或0(0 舍去)2进一步解得：,=-4所以：a=-n-1 2 4(2)由(1)得：a=n 2 44,%，%恰为等比数列 或 的前三项.1 3 9所以：/?,=b2 =%=
19、b3=a5=进一步求出：btl=-34第 24“2x 3所以：c=-=-(1 2 b-l)2(3-1)2、叱 CN 2x 3 2x 3 2 x3-1 1(3-1 (3 1)(3 3)(3-l)(3 T-l)3|1 3-1皿 7 3 2x 32 2x 3 3 rl 1 1 1 1 1 .2(32-!)2(3-1)2 2 2 32-1 32-1 33-1 3”-1=2-1 23-13且：T=-21 2故对任意 e N*,都有7；,求能够使数列色 为等比数列的所有数对(a,t).i=【解答】解：(1)当 =1 时，山S 2=fS +a,解得生=，当几.2 时，Sn=3 1+a,F-SQ即用=卬，又 =a w 0 ,综上有3 a=r,a“.4 是首项为a，公比为，的等比数列，(2)当，=1 时，Sf l=na bn=na+1,bn+i-bn=a 此时 为等差数列;当a 0 时，为单调递增数歹U，且对任意 cN*,an0 恒成立，不合题意:当 a 0，仇0,且有打也 I-%仇|综上的取值范围是-2,一 马；5 7/.=2+(1 +-)一-。+/+/+.+)=2+(1 +-)-一 产)c at -t +a:T-=2-+-由题设知同 为等比数歹|J，解得 a =l,t=2、即满足条件的数对是(1,2).