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1、2 0 2 2年中考数学专题训练：平移与旋转1.国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（）4.如图，ABC沿BC方向平移后的像为OEF,已知BC=5,E C=2,则平移的距离是（)C.3D.45.如图，在R C A 8 C中，ZABC=90,ZACB=3 0 ,将AABC绕点。顺时针旋转60得到DEC,点A、B的对应点分别是。，E，点尸是边A C的中点，连接跖，BE,F D.则下列结论错误的是（）A.B E=B C B.B F/D E，B F =D EC.ZDFC=9 0 D.D G =3 GF6 .如图，线段。4 在平面直角坐标系内，A点坐标为（2,5）
2、,线段。4 绕原点。逆时针旋转9 0。,得到线段O A,A.（-5,2）B.（5,2）C.（2,-5）D.（5,-2）7 .如图，定直线M N P Q,点&C分别为MN、尸。上的动点，且 B C=1 2,8 C 在两直线间运动过程中始终有N8 C Q=6 0。.点 A是何N 上方一定点，点。是 P Q 下方一定点，S.A E/B C/DF,AE=4,力 尸=8,AD=24后,当线段B C 在平移过程中，4 B+C。的最小值为（）A.2 4 5/1 3B.2 4 /1 5C.1 2 7 1 3D.1 2 /1 58 .把二次函数y=2 x 2 的图象向左平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长
3、度，平移后抛物线的解析式为9 .如图，用一个半径为6 c m 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了 1 2 0。，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了.c m.（结果保留万）1 0 .如图，图中网格由边长为1 的小正方形组成，点A为网格线的交点.若线段。4 绕原点。顺时针旋转9 0。1 1 .如图，点A，8,C都在方格纸的格点上，A 3 C 绕点A顺时针方向旋转9 0 后得到 A B C ,则点B运动的路径8 8 的长为12.如图1,在矩形A8CD中，AB=8，AD=6,E,尸分别为AB,A。的中点，连接EF.如图2,将 AEF绕点A逆时针旋转角6（0 0)的图像交于4 (6,y)
4、,B(；,)两X2 2点，与y轴交于点C,将直线A B沿y轴向上平移f个单位长度得到直线OE,D E与y轴交于点尸.(1)求yi与 2的解析式；(2)观察图像，直 接 写 出 时x的取值范围;(3)连接A。，C D,若A A C。的面积为6,则r的值为19.已知，在AABC中，N A Q?=90,B C =6,以BC为直径的。与A8交于点，将AABC沿射线4c平移得到。石尸，连接B E.(1)如 图1,O E与。相切于点G.求证：BE=E G；求BE CD的值；(2)如图2,延长“。与。0交于点K，将 所 沿 )折叠，点尸的对称点F 恰好落在射线B K上.求证：H K/E F ；若K b =3
5、,求AC的长.2 0.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=f 2 x 3的顶点为4,与y轴交于点C,线段C B x轴,交该抛物线于另一点艮(1)求点8的坐标及直线AC的解析式：(2)当二次函数y=/一2 x-3的自变量x满 足 磁3“7 +2时，此函数的最大值为p,最小值为q,且p-q-2.求机的值：(3)平移抛物线y=f 一2X-3,使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线8 A只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为“请直接写出”的取值范围.2 1.如图，AABC和 。的 的顶点 8重合，Z A B C=/D B E =90,/B A C =/B D E =30,B
6、C =3,B E =2.图2(1)特例发现：如 图 1,当点。，E分别在AB，图3A nBC上时，可以得出结论：一C E，直线AD与直线CE的位置关系是(2)探究证明：如图2,将 图 1中的。应;绕点8 顺时针旋转，使点力恰好落在线段AC上，连接E C,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由;(3)拓展运用：如图3,将 图 1 中的 3 E 绕点B 顺时针旋转a(19 a 60),连接A。、E C,它们的延长线交于点尸，当。尸=3时，求 ta n(60。)的值.2 2.AABC和 石 都 是 等 边 三 角 形.(1)将AADE绕点、4 旋转到图的位置时，连接破龙并延
7、长相交于点R点0与点1重合)，有P A+P B=P C(或尸A +P C =P 3)成立；请证明.(2)将 )绕点 旋转到图的位置时，连接胡，位相交于点只连接以，猜想线段必、P B、%之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将AADE绕点4旋转到图的位置时，连接B D,位相交于点尺连接力，猜想线段序、P B、%之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.2 3.综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣.如图，在矩形ABC。中，点E、F
8、、G分别为边BC、AB、4。的中点，连接E F、DF,”为。尸的中点，连接G”.将BE F绕点B旋转，线段。F、G”和C E的 位 置 和 长 度 也 随 之 变 化.当 绕 点B顺时针旋转9 0。时，请解决下列问题：(1)图中，A B=B C,此时点E落在4 8的延长线上，点F落在线段B C上，连接A F,猜想G”与C E之间的数量关系，并证明你的猜想;(2)图中，A B=2,BC 3,则.-CE(3)当 时.G HCE(4)在(2)的条件下，连接图中矩形的对角线4 C,并沿对角线A C剪开，得AA8C (如图).点M、N 分别在AC、BC上，连接M M 将ACMN沿 MN翻折，使点C 的对
9、应点P 落在AB的延长线上，若平分/A P N,则 CM长为24.如图1,在平面直角坐标系中，夫小。4 8 的直角边0 4 在)，轴的正半轴上，且。4=6,斜 边 0 8=1 0,点尸为线段AB上一动点.(1)请直接写出点8 的坐标；(2)若动点P 满足/PO 8=45。，求此时点P 的坐标；(3)如图2,若点E 为线段。8 的中点，连接P E,以尸E 为折痕，在 平 面 内 将 折 叠，点 A 的对应点为 4,当 RVJ_0B时，求此时点P 的坐标;(4)如图3,若尸为线段A。上一点，且 AF=2,连接FP,将线段F P 绕点尸顺时针方向旋转60。得线段FG,连接O G,当 OG取最小值时，
10、请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积.25.己知 N 48N =9(),在 NA8N 内部作等腰 AABC,A B A C,NB4C=a(0 a W 9 0 ).点。为射线 3 N 上任意一点(与点B不重合)，连接A O,将线段A O 绕点A 逆时针旋转a 得到线段A E，连接EC并延长交射线B N 于点A（图1）(图2)（备用图）(1)如 图 1,当a =90时，线段3 F与。尸 数量关系是（2）如图2,当0。90。时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由;（3）若。=60,AB=4 6 BD=m,过点E作EPL B N,垂足为P,请直接写出PO的 长
11、（用含有m的式子表示）.2 6.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=与 y 轴交于点P（0,4）.备用图（1）直接写出抛物线的解析式.（2）如图，将抛物线y=-*2+c 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q,平移后的抛物线与x 轴交于A、B 两 点（点4 在点8 的右侧），与 y 轴交于点C.判断以8、C、。三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.（3）直线8 c 与抛物线丁 =-炉+。交于M、N 两 点（点 N 在点M 的右侧），请探究在x 轴上是否存在点T,使得以B、N、T三点为顶点的三角形与AABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.(4)若将
12、抛物线丁 =-炉+。进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y =+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.4 x2(-l x 0)27.小华同学学习函数知识后，对函数y =|4,一 、通过列表、描点、连线，画出了如图1所示-(x 0)的图象.X-4-3-2-1_34-2-401234y 14324941_40-4-2_4-3-1PHI图 2请根据图象解答：(1)【观察发现】写出函数的两条性质：:;若函数图象上的两点(不，/)，(为，其3满足玉+尤2=0,则%+%=0 一定成立吗？.(填“一定”或“不一定”)(2)【延伸探究】如图2,将过A(-1,4),
13、8(4,-1)两点的直线向下平移个单位长度后，得到直线/与函4数y=(x-l)的图象交于点P,连接公，P B.求当=3时，直线/的解析式和布B的面积;直接用含的代数式表示R W的面积.28.如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=a r 2+2_r+c经过点A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,顶点为点D.在线段C B上方的抛物线上有一动点P,过点P作P E L 8 c于点E,作PF AB交 B C 于点F.图一 备用图(1)求抛物线和直线B C的函数表达式，(2)当2：/的周长为最大值时，求 点 尸 的 坐 标 和 的 周 长.(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的
14、一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.29.如图1,在平面直角坐标系X。)，中，抛物线：y=/+区+。经过点A(3。)和点3(1,0).(2)如图2,作抛物线工，使它与抛物线士关于原点。成中心对称，请直接写出抛物线鸟的解析式；(3)如图3,将(2)中抛物线工 向上平移2个单位，得到抛物线玛，抛物线耳与抛物线马相交于C,D两 点(点C在点。的左侧).求点C和点。的坐标；若点M,N分别为抛物线耳和抛物线玛上C ,。之间的动点(点M,N与点C ,。不重合)，试求四边形C M D N面积的最大值.3 0.在AABC中，N B 4 C
15、 =9 0。，A B =A C,直线/经过点A,过点B、C分别作/的垂线，垂足分别为点D、E.(1)特例体验:如图，若直线/3C，A B =A Cf，分别求出线段8。、CE和。石的长；（2）规律探究：如图，若直线/从图状态开始绕点A旋转。（0。45）,请探究线段8D、CE和 的 数 量 关 系并说明理由；如图，若直线/从图状态开始绕点A顺时针旋转a（45 a EF,.,.当E、尸、三点共线时，77+”尸有最小值E F即A8+CO有最小值EF,延长AE交PQ于G,过点E作ETLPQ于T,过点A作ALLPQ于L,过点。作OKLPQ于K,/MN/PQ,B C/AE,四边形BEGC是平行四边形，NEG
16、T=NBCQ=60,:.EG=BC=12,GT=GE-cosZEGT=6,ET=GE-sin N E G T=6 6 ,同理可求得 GL=8,AL=S C，KF=4,DK=4杷,:TL=2,ALPQ,DKLPQ,AL/D K，.ALOs O K。,.AL AO.-=-=2,DK DO：.AO=-AD=163,DO=-AD =8y/3,3 3OL=d AO。-AI=24,OK=DO2-D K2=2，TF=TL+OL+OK+KF=42,EF=lET2+TF2=12V13，故选C.8.把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2 个单位长度，平移后抛物线的解析式为【答案】由“左加右减
17、”的原则可知，将二次函数y=2xz的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2(x+l)2,即 y=2(x+l)2；由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=2(x+1)2向下平移2 个单位长度所得抛物线的解析式为:y=2(x+1)2-2,即 y=2(x+1)2-2.故答案为y=2(x+1)2-2.9.如图，用一个半径为6 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了 120。，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 c m.(结果保留)【答案】解：根据题意，重物的高度为120 x-x6.-=4%(cm).180故答案为：4%.10.如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A 为网格
18、线的交点.若线段0 4 绕原点。顺时针旋转90。【答案】解：线段OA绕原点。顺时针旋转90。后的位置如图所示,，旋转后的点A的坐标为（2,-2）,故答案为：（2,-2）.1 1.如图，点A ,B,C都在方格纸的格点上，AABC绕点A顺时针方向旋转9 0 后得到45。，则点B运动的路径8 8 的长为.【答案】由题意得，AC=4,8 c=3,AB=yjAC2+BC2=A/42+32=5,/AABC绕点、A顺时针方向旋转9 0 后得到A B C ,ZBABr=90,”岂,9 0 乃5 5二8 8 的长为：/=-=一万，1 8 0 2故答案为：一万.21 2.如图1,在矩形A 3 C D中，A B =
19、8，A D =6,E,尸分别为A B,40的中点，连接E F.如图2,将 4E F绕点A逆时针旋转角8（0 6 ACAD ABAD 故对即 A)最小时S A D.D最小当4)J_ 3 c1 时，A O最小由等腰三角形三线合一，此 时。点是B C 中点故对故答案为：1 4 .如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点的坐标分别为A(1,1),3(-4,0),C(-2,2).将ABC绕原点、。顺时针旋转9 0 后得到AA i C,.(1)请写出4、4、G 三点的坐标：A，4，C,(2)求点8旋 转 到 点 的 弧 长.【答案】(1)解：将 A B C 绕着点。按顺时针方向旋转9 0。得到 4
20、 B C”点A”Bi,C 的坐标即为点A,B,C绕着点。按顺时针方向旋转9 0。得到的点，所以4(1,1)；Bi(0,4)；Ci (2,2)(2)解：由图知点B 旋转到点打的弧长所对的圆心角是9 0 度，。8=4,90点B旋转到点B 的弧长=X%X 4 =2%1801 5 .如图，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，A A B C 与A OE F 关于点。成中心对称，A A B C与 O E F 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题.（1）在图中画出点。的位置；（2）将A A B C先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到请画出 AICi；（3）在 网 格 中 画 出
21、格 点 使4M平分N 8 1 4 G【答案】解：（1）如图所示，连接8 F,C E 交于点0,点。即为所求.（2）如图所示，4 S G为所求；（3）如图所示，点M即为所求.根据题意得：AB】=AG=BM =CM f =#),四边形A#MG菱形，.,.Ai M 平分 N B 4 C.1 6.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为 B（2,-5）,C（5,-4）.(1)将AABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到 A U G，画出两次平移后的 A 5 G，并写出点A的坐标；(2)画出 A B C绕点G顺时针旋转9 0 后
22、 得 到 并 写 出 点&的 坐 标；(3)在(2)的条件下，求点A旋转到点4的过程中所经过的路径长(结果保留兀).【答案】(1)解：如图所示 4 5 G即为所求，A(-5,3)；(2)如 图 所 示 区C即为所求，4(2,4)；(3)V 4C,=732+42=5O i jJTx S ).点4旋转到点A所经过的路径长为干上=：兀.1 7.如图是由小正方形组成的9 x 6 网格，每个小正方形的顶点叫做格点.AABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.(1)在 图(1)中，D,E 分别是边A B，A C 与网格线的交点.先将点8 绕点E 旋转1 8 0。得
23、到点F ,画出点F,再在A C 上画点G,使 )G 3 C；(2)在 图(2)中，。是 边 上 一 点，Z B A C a.先将A 3绕点A 逆时针旋转2 a,得到线段A H，画出线段A 4，再画点。，使 P，。两点关于直线A C 对称.【答案】(1)解：作图如下：取格点尸，连接，4 3。且 4 尸=8。，所以四边形A B C E 是平行四边形，连 接B F 与 A C 的交点就是点E,所以B E=E F,所以点F 即为所求的点；连接C F,交格线于点M,因为四边形A 8 C F 是平行四边形，连接OM交 A C 于一点，该点就是所求的G 点；(2)解：作图如下:-r-D-;，-1!-*厚计w
24、-t471上-E-rIxnztrpTI11rIX一取格点。、E,连接OE,AC平行于OE,取格点R,连接BR并延长BR父力E于一点”，连接AH,此线段即为所求作线段；理由如下：取格点W连接AW、CW,连接CR,/.AWC=RCB,：.Z.WAC-ACRB,：ZWAC+ZACW=90,：.ZCRB+ZACW90,4 K C =90。,.ACLBH,/DH/CK,.BK BC.点C是BO的中点，.点K是8”的中点，即 BK=KH，/.AC垂直平分3”，,.AB=AH.连接PH，交AC于点M,连接3M交AH于点。，则该点就是点P关于AC直线的对称点.理由如下：AC垂直平分8H,:.ABMH是等腰三角
25、形，ZPAM=ZQAM,.N B M K =A A M Q =N H M K =N AM P，：.AAMP*AMQ,A P =A Q,：.P,。两点关于直线A C对称.1 8.如图，已知一次函数y i=f cc+6的图像与函数#=(x 0)的图像交于A(6,一；)，B)两X2 2点，与y轴交于点C,将直线A B沿y轴向上平移f个单位长度得到直线。E,O E与y轴交于点F.rzrz(1)求y i与”的解析式；(2)观察图像，直 接 写 出 时x的取值范围；(3)连接AZ),C D,若A A C D的面积为6,则f的值为.【答案】(1)一次函数的图像与函数(x 0)的图像交于A(6,-y),B(1
26、,n)两点,6 k+b =4 2,k+b =n2k=1解得：,，1 3,b =-1 _ mn =2 mm =-3n =-61 3 3的解析式为：y=x-，%=；(x 0)；(2)从图像上可以看出，当x 在 A B 两点之间时，Ax的取值范围为：x C两点坐标为:A(6,j ),c f o,-J,/线段 AC.(6 0)+(-1 )-=6/2,V 2 2/.S.r n=-AC-CG=-x6V2x r=3t，小2 2 2ACD的面积为6,：.3t=6,解得：t=2.19.已知，在AABC中，ZACB=90，BC=6,以8C为直径的。与A3交于点 ，将AABC沿射线AC平移得到 )/,连接3E.(1
27、)如 图1,OE与。相切于点G.求证：BE=EG；求的值；(2)如图2,延长”。与0。交于点K，将 历 沿DE折叠，点尸的对称点尸 恰好落在射线酸上.求证：H K/E F；若K尸=3,求AC的长.【答案】(1)如第23题 图1(第23目图I)V AABC沿射线AC方向平移得到 Q EF：.BE/CFZACB=90NCBE=ZACB=90。方法一：连接OG,OE,/。石与。相切于点G/.NOGE=90NOBE=/OGE=90。；OB=OG,OE为公共边：.Rt/BOERt/GOE(HL)BE=GE方法二：是0。的直径/.BE与。相切于点8/。石与相切于点G?.BE=GE如第23题图2B E1D（
28、第23电国2）方 法 一：过点。作DM BE于点MNDMB=90由(1)已证 NCBE=N5CE=9()四边形BCDM是矩形:.CD=BM,DM=BC由（1）已证：BE=GE同理可证：CD=DG设=CD=y在 RsD M E 中,DM2+ME2=DE2：.（x-J）2+62=（x+xy=9即 B E 8=9方法二：图 3,连接OE,OD,OGB E/J.）/f C-b F（第23密 图3）与。相切于点G,与。相切于点8,C O与。相切于点C:BE=GE,CD=DG,Z O E G-Z B E G,NODG=NCDG2 2：B E/C F/.ZBG+ZCDG=180/OEG+NODG=90。：.
29、4 8=9 0。/.ZDOG+ZGOE=90又:O E与。相切于点GOG1 DE：.ZDOG+ZODG=90：./GOE=/ODG：.ODGAEOGOG EG,.即 0G2 =G EGDQJ C7G,/Q 0的直径为6，OG=3：.BE CD=9（2）方法一：如图4（第2 3期 图4）延长HK交BE于点、。设 NABC=a.在 O。中，OB=OH：./BHO=/OBH=a：.ZBOQ=ZBHO+ZOBH=2a：.ZBQO=90-2 a,/AABC沿射线AC方向平移得到ADEF，DEF沿DE折叠得到DEF/DEF=ZDEF=ZABC=aNBEF=90-2a：.ZBQO=ZBEF，H K/E F
30、方法二：,/是O。的直径，ZHBK=90,设 AABC-cc,在 O。中，OB=OH,/B H O =/O B H =a,：.NHKF=90+a,V AABC沿射线AC方向平移得到.D E F，DEF沿D E折叠得到ADEF；NDEF=ZDEF=Z A B C a,NBEF=90-2a,:4EBF=ZABC=a,在A B E F中，Z 5 F E =180-A E B F-ZB E F,=900+a,/.ZHKF=Z B F E，/.H K/E F.方法三：如图，延长B F 交D N于息NV AABC沿射线AC方向平移得到ADEFA A B/D E，A B C A D E F,/A E F沿D
31、 E折叠得到A )E F，DEFX/DEF：.DFF9/ARC；.ZABC=NDEF,EF=BC：HK=BC EF=HK,/HK是直径：.ZABK=90AB/DE：.ZABK=/BNE=9Q。：ADEF*/XABC：.ZBKH=ZEFN；.180NBKH=180。一 NEF N即 NHKF=NEFK，HK/EF连接F户，交DE于点、N,如图6,/ADEF沿O E折叠，点尸的对称点为FA ED1.FF，F N-F F 2,/K是 O。的直径A ZHBK=90,点 尸 恰好落在射线BK上 BFIABV AABC沿射线AC方向平移得到.DEFA AB/DE，BC=EF二点8在E f的延长线上.点8,
32、F，F这三点在同一条直线上而为。0的直径HK=BC=EF在AHBK和AENF中/HBK=4ENF；/BHO=4NEF；HK=EF：.AHBKmAENF：.BK=NF设 BK=x,则 5产=3K+政+E/=x+3+2x=3x+3：OB=OK 4OBK=40KB而 N/BK=NBCF=90HBKsMCB.BK HKBCBFx _ 66 3x+3解得：玉=3,x2=-4（不合题意，舍）BK=3在应H8K中，sinZBH K=3=，KH 6 2/BHK=30：.ZABC=3QA(J在 A B C 中，t a n ZABC=t a n 30 =；BC，A C =6 t a n 30 =6 x走=2百3即
33、AC的长为2百2 0.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =f 2 x 3的顶点为4,与y轴交于点C,线段轴,交该抛物线于另一点B.(备用图)(1)求点8的坐标及直线AC的解析式：(2)当二次函数丁 =/一2尢-3的自变量尢满足薇/，+2时，此函数的最大值为p,最小值为q,且p-q =2.求m的值：(3)平移抛物线y =/-2x-3,使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线2 A只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围.【答案】(1)解：y =f 2 x-3=(x 1)-4,.顶点坐标A (1,-4),对称轴k1,当 x=0 时 y=-3,即 C (
34、0,-3),点、B、C关于对称轴x=l对称，则8 (2,-3),-4 =k+bC,，解得：-3=。设直线 4C：y=kx+b,由 A(1,-4),C(0,-3),可得k=-1b=-3,直 线4 c为:y=-x-3；(2)解：当m+2时，即机W-l时，户加时取最大值，x=?+2时取最小值，7 7 1 2 m 3 (z+2)-2(z+2)-3=2,解得：根=-1，不符合题意；当m+21且机VI,1-相根+2-1时，即-IV/nVO时，x=m时取最大值，x=l时取最小值，/.m2-2 m-3-(-4)=2,解得：加 二1一 血，或加=1+J5 (舍去),当初+21且1-加帆+2 1时，即OV?V1时
35、，产机+2时取最大值，x=l时取最小值，(加+2)2-2(机+2)-3 (-4)=2,解得：?=-1+及，m二 一1-V2(舍去)，当加2 1时，产团+2时取最大值，户7时取最小值，2(z+2)3 加-2m 3=2,解得：m=-,不符合题意；2机 二0时，二次函数在0WxW2上最大值3,最小值4,3(-4)=1不符合题意;综上所述：片 -0或 片 _ +a；(3)解：由题意作图如下，过点A作直线4E，3。于 作 直 线ALy轴于F,由 A(1,-4)、B(2,-3)可得直线4 3 解析式为：y=x-5,VC(0,-3),：.F(0,-4),E(1,-3),：4 尸=1,AE=1,CF=I,CE
36、=1,/AEC=90,四边形AECF是正方形，ZCA=ZCAF=45,根据对顶角相等，可得当点A 沿直线AC平移m 长度时，横坐标平移 i cos45。，纵坐标平移，”cos45。,即点A沿直线AC平移时，横纵坐标平移距离相等，设抛物线向左平移”单位后，与直线A 8只 有 1个交点，则(x+/n I)2-4 +m-x-5x1+(2m 3)%+(/M 1)+加+1 =0令=(),解得：m=,81 7/.n=-=,8 8由图象可得当抛物线由点A 向右平移至左半部分过点B 时，与射线BA只有一个交点，设抛物线向右平移，单位后，左半部分过点B,则B(2,-3)在抛物线y=(x 机一1)2 一4 一加上
37、,-3=（2-z n-l）2-4-m,解得：m=0（舍去）或加二3,1 7综上所述后一或1 VW4；821.如图，M C 和D8E 的顶点 8 重合，ZABC=/DBE=90。,ZBAC=/BDE=30。,BC=3,BE=2.A图2(1)特例发现：如 图 1，当点。，E 分别在A B，图3AnB C 上时，可以得出结论：一CE，直线A。与直线C E 的位置关系是(2)探究证明：如图2,将 图 1中的ADBE绕点5 顺时针旋转，使点O恰好落在线段A C 上，连接C,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由;(3)拓展运用：如图3,将 图 1中的D 5E 绕点B顺时针旋转a
38、(1 9 a E=30，BE=2,；BD=y/3BE=2A/3，A EC=,AD=6,An -=A/3，此时 AD-L EC，EC故答案为：6，垂直；(2)结论成立.理由：V ZABC=ADBE90，：.ZABD=NCBE,/AB=V3BC.BD=y/3BE,.AC DB 二 ,BC EB：.AABD sCBE,：.=y/3,ZADB=/B E C,EC BC：ZADB+ZCDB=180,ZCD5+ZBC=180,NDBE+ZDCE=180。,/ZZ)5E=90,/.Z)CE=90,/.AD EC；（3）如图3 中，过点8 作 R/L A C 于点J，设 8。交 A K 于点K，过点K 作 仃
39、，4。于点长.A图3.Z A J B =90 ,N B A。=3 0 ,/.Z A B J=6 0。，；Z K B J =60-a.A B=3 上,：.BJ=-A B =-，A J=y/3 BJ=-,2 2 2当D F =B E 时,四边形B E田 是 矩形，=90 ,A D =y j A B2-B D2=7(3 /3)2-(2 )2=V 1 5 ,设 K T =m，则 A T =3”，A K =2 m,N K T B =Z A D B =9Q ,BT B D.m _ V 1 5.访=诟二 BT =m，5也 t n +2f m=3石，m=4 5-67 1 51 1.c 90-12V15 AK=
40、2m=-,11.4,“9 90-12后 24V15-812 11 22一-。、KJ _ 8 -9 6 tan(60-ex)=-)BJ 1122.A B C 和 A D E 都是等边三角形.（1）将AADE绕点4 旋转到图的位置时，连接BD,龙并延长相交于点R 点尸与点4重合），有 期+依=P C（或 Q 4+P C =P B）成立；请证明.（2）将AADE绕点4 旋转到图的位置时，连接BD,应相交于点只连接为，猜想线段序、PB、%之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将/!绕点力旋转到图的位置时，连接如，龙相交于点只连接为，猜想线段必、PB、根之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.
41、【答案】（1）证明：比是等边三角形，：.AB=AC,;点产与点4 重合，：.PB=AB,PC=AC,PA=0,：.=或 抬+P C =P 3；（2）解：图结论：PB=PA+PC证明：在 初上截取B/=C P,连接AABC和 都 是 等 边 三 角 形，二 AB=AC，A D A E，ABAC=A D A E 60ZBAC+ZCADZDAE+ZCAD,：.ZBADZCAE,：.ABADACAE(SAS),：.ZABDZACE,：AO AB,C六 BF,，4P乌B4F(SAS),二 NC4尸=NR4凡 AF=AP，.ZC4P+ZC4F=ZBAF+ZCAF,：.FAP=ABAC=60,；44FP是等
42、边三角形，/.PF=AP,：.PA+PC=PF+BF=PB-.(3)解：图结论：PA+PB=PC,理由：在 上 截 取C F=B P,连接4RBCE；AABC和AADE都是等边三角形，A A B A C,A D=A E，Z ft4C =NZME=60ZBAC+ZB A E ZDAE+ZBA E,：.Z B A D Z C A E,/.B A D C A E (SAS),：.ZABD =Z A C E,：AB=AC,BP=CF,：.A B A PA C A F(&1S),；ZC AF=Z B A P,A P A F ,/./B A F +ZBAP=ZB A F +Z C A F,N fA P=N
43、 84C =60。，/.AAFP是等边三角形，；PF=A P，：.PA+PB=PF+CF=P C，即上4+P3=PC.23.综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣.如图，在矩形A8CC中，点 E、F、G 分别为边8C、A B,A。的中点，连接ER D F,“为。尸的中点,连接G H.将4 B E F 绕点、B 旋 转,线段D F、G”和 CE的位置和长度也随之变化.当小BEF绕点B 顺时针旋转 90。时，请解决下列问题:(1)图中，A
44、B=B C,此时点E 落在A 8的延长线上，点尸落在线段BC上，连接A F,猜想G”与 CE之间的数量关系，并证明你的猜想;(2)图中，AJ5=2,BC=3 1 则-=CE(3)当 A B=m ,BC-n 时.生CE(4)在(2)的条件下，连接图中矩形的对角线A C,并沿对角线AC剪开，得 ABC(如图).点M、N 分别在AC、BC上，连接M N,将ACMN沿 MN翻折，使点C 的对应点P 落在A 8的延长线上，若 PM平分N A PN,则 CM长为【答案】(1)解：G H =C E,理由如下:2：A B=B C,四边形A8CD为矩形,四边形A8C。为正方形,NA8C=/C8E=90,F 为
45、BC,4B 中点,：.BE=BF,：.A BFq CBE,:,A F=CE,；口为DF中 点,G为A。中点,：.GH=-AF,2:.GH=CE.25 GH 1(2)解：-=,CE 3连接A F,如图所示,1 1 3由题意知，BF=AB=1,BE=-BC=，2 2 2.AB BF 2 BC-BE-3(由矩形ABCD性质及旋转知，ZABC=ZCBE=90,AABFS ACBE,：.AF：CE=2:3,为A D中点,H为。尸中点，1 y：.GH=-AF,2 GH I 二 .CE 3故答案为：.(3)解:GH mCE2n连接AF,如图所示,i m 1 n由题意知，BF=-AB=,BE=-BC=-,2
46、2 2 2.AB BF m由矩形ABC。性质及旋转知，/4BC=/CBE=90。,Z.&ABFs“BE,.AF：CE=m：n,为月。中点，”为。尸中点，：.GH=-AF,2.GH mCE2n故答案为：一 .In(4)解：过M作M H LA B于H,如图所示,A由折叠知，CM=PM,NC=NMPN,：PM 平分 NAPN,，ZAPMZMPN,：.ZC=ZAPM,：AB=2,BC=3,A C=J 2。+3。-V13，设 CM=PM=x,HM=y,AB HM由 sin ZC=sin ZAPM 知，=-AC PM2 y 2x即r=上，=-/=，屈 x V13,:HMBC,：.AHMsABC,HM AM
47、 一 ,BC ACBny V13-x即二=T=,y-3 V13,V 13-x 2x.T=-x3=r=V13 V13_ V 13-x.V13，解 得:目故答案为：豆 叵52 4.如图1,在平面直角坐标系中，放。4 3的直角边0 A在)，轴的正半轴上，且0 A=6,斜边0 8=10,点尸为线段A 3上一动点.(1)请直接写出点B的坐标;(2)若动点P满足N PO8=4 5。，求此时点P的坐标;(3)如图2,若点E为线段0 8的中点，连接P E,以PE为折痕，在平面内将A PE折叠，点4的对应点为A ,当 雨 工0 8时，求此时点P的坐标;(4)如图3,若尸为线段A 0上一点，且A F=2,连接FP
48、,将线段F P 绕点尸顺时针方向旋转6 0。得线段FG,连接O G,当O G取最小值时，请直接写出0G的最小值和此时线段尸P扫过的面积.【答案】(1)解：在用OA B 中，A B =-O A1=A/102-62=8,.点8的坐标为(8,6)；(2)解：连接0 P,过点P作尸于点。，如图,yZPOB=45,NOPQ=45。，/POB=/OPQ,：.PQ=OQ,设 PQ=OQ=x,则 8Q=10-X,在 RtAOAB 中,tan B-=,AB S 4在,.Rt/BPQ 一中，tan Bn -P-Q-=-%-=3,BQ 10-x 4解得x=应，730J OQ=PQ=9在砂PO。中，OP=yjoQ2+
49、PQ2=当2在心AOP中，AP=10P2-OA1=76点P的坐标为(6)；7(3)解：令M交OB于点、D,如图,.点E为线段。8的中点,：.AE=-O B =5,BE=L OB=5,2 2 tan B-=-=-=一,BD AB 8 4设PQ=3 a,则 80=4。，BP=lBD2+PD2=5。，DE=BE-BD=5-4aAP=AS BP=8 5a,由折叠的性质，可得AE=AE=5,AP=AP=S-5a,：.AD=AP-PD=S-Sa,在 RtX ADE 中，AD2+DE2=AE2，即(8-8a)2+(5-4a)252 I Q解得q=1,4 =BDvBE,即 4。5,5 Q 941 。=,2AP
50、=8-5 x=1,2 2点尸的坐标为（U,6）；2（4）解：以点F为圆心，OF的长为半径画圆，与AB的交点即为点P,再将线段FP绕点F顺时针方向旋转60。得线段FG,连接OG,此时OG最小，如图,由题可知，FP=FG=FO=OA-AF=6-2 =4,Ap 2 1在mAA尸 产中，cos ZAFP=,FP 4 2：.NAFP=60,NPFG=60,NOEG=60,，。尸G是等边三角形，：.OG=FO=4,；.OG的最小值为4,.线段FP扫过的面积=.义=配.360 325.己知4 4BN=9 0,在NABN内部作等腰AABC,A B A C，NB4C=a（0aW90）.点。为射线3N上任意一点（