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1、2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题(本 题 包 括12个 小 题，每 小 题3 5,共60分.每 小 题 只有一个选项符合题意)1.若(V-1)二项展开式中 的 系 数 只 有第6项最小，则 展 开 式 的 常 数 项 的 值 为()X A.-252 B.-210 C.210 D.10【答 案】C【解 析】”=1 0,(MuCM/yof=(令3 0-5 r=0 =r=6,所以常数项为(_1)6C =G：=2 1 0,故选 C.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开
2、式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通 项 写 出 第r+1项，由特定项得出厂值，最后求出其参数.2.已 知 函 数/(幻=1；卜+心 1,A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】B【解 析】画 出 函 数/(x)=二 ；：)：；的图像如图，由g(x)=2Wx)2=0可 得/(幻=三，则问题化为 函 数 上 ;1却2号与函数,=2-的图像的交点的个数问题。结合图像可以看出两函数图像的交点只有两个，应 选 答 案B。点睛：解答本题的关键是依据题设条件，在平面直角坐标系中画出函数的图像，借助图像的直观将方程的解的个数问题等价转化为两个函数的图像的交点的个数问题，体现了等价转化与化归的
3、数学思想及数形结合的数学思想的灵活运用。3.甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点各不相同”，事件3为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则P（A|B）等 于（）4 2 11A.-B.-C.-D.9 9 2 3【答案】C【解析】【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得,对应的基本事件有3x2x2=12种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3x2x1=6种，所以P(A/故选 C.1
4、2 2【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.4.某个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的表面积（结果保留“）为A.24+2%C.24+万B.24+4万D.24万【答案】C【解析】分析：上面为球的二分之一，下面为长方体.面积为长方体的表面积与半球的面积之和减去半球下底面面积.详解：球的半径为1,故半球的表面积的公式为S=2兀 产=2兀，半球下底面表面积为无长方体的表面积为2 4,所以几何体的表面积为24+2兀 一兀=24+兀.点睛：组合体的表面积，要弄懂组合体的结构，哪些被遮挡，哪些是切口.5.若复数二满足z（l+i）=2i（i为虚数单位），则|z卜（
5、）A.1 B.2 C.&D.6【答案】C【解析】试题分析：因为z（l+i）=2 i,所以z=畲=2）；1=l+i,因此|z|=|l+i|=0.考点：复数的模6.下列命题正确的是（）A.进制转换：1101=13（|o）B.已知一组样本数据为1,6,3,8,4,则中位数为3C.若x=l,则方程V 一=0 的逆命题为真命题D.若命题，：Vx0,x-l 0 则 r7：3x0 0,x0-1 0,%-10.则一/?：3x0 0,x0-l 5,则 一 为A.V x e/?,2 5 B.V xe/?,2 5C.3x（）e R,2 5【答案】C【解析】分析：把全称改为特称，大于改为小于等于。详解：m/凡2。k)
6、0.1 00.0 2 50.0 1k2.70 65.0 2 46.6 3 5e 七八4,2 n(ad-hc)2参考公式：k=,其中(Q+b)(c+d)(a +c)S+d)A.在犯错误的概率不超过90%的前提下，认 为“学生能否做到 扶跌倒老人 与年级高低有关”B.在犯错误的概率不超过1%的前提下，“学生能否做到 扶跌倒老人 与年级高低无关”C.有 90%以上的把握认为“学生能否做到 扶跌倒老人 与年级高低有关”D.有 90%以上的把握认为“学生能否做到 扶跌倒老人 与年级高低无关”【答案】c【解析】分析：根据列联表中数据，利用公式求得K?y 3.0 3,参照临界值表即可得到正确结论.详解:由公
7、式公=n(d -be)2(a +Z?)(c +d)(a +c)(Z?+d)可得长2 3.0 3,参照临界值表,2.706 3.030 2=8X是以F（2,0）焦点为的抛物线.2-3-2i|+|z-2|化简为：|z-（3+2i）|+|z-2|转化为4（3,2）和（2,0）到抛物线动点P距离和.如图.由过A作A3垂线，交抛物线准线于点B.交抛物线于点R根据抛物线定义可知，山 丹=山 川，根据点到直线，垂线段最短，可得：|AB|=5|R4|+|P F山川+山F|=|AB|=5二|z 3 2i|+|z 2 的最小值为：5.故答案为：5.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复
8、数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力.1 5.用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是（用数字作答）.【答案】72【解析】【分析】先排奇数（或偶数），然后从排好的三个数形成的四个空中选择相邻的三个再排剩下的偶数（或奇数），由此可得结果.【详解】先排三个奇数，共 有 用=6种结果，然后再从形成的四个空中选择前三个或后三个空排入三个偶数，共有2 A；=1 2种 结 果.由 分 步 乘 法 计 数 原 理 可 得 这 样 的 六 位 数 共 有=72个.故答案为：72.【点睛】对于排列问题，一般情况下要
9、从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论.对于相邻问题常用“捆绑法”；对于不相邻问题常用“插空法”；对 于“在与不在”的问题，常使用“直接法”或“排除法”.x-y N O1 6.若x,y满 足 不 等 式2 x-y 1 0 40,则2 x+），的 取 值 范 围 是.x+y-5 0【答案】y,3 0【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】x-y 0解：由x,满足不等式 2 x y-1 0 K 0作出可行域如图，x+y-5 2 0-5-4令 z =2x+y,目标函数经过A点时取
10、的最小值，联立 x-y =O 解 得 川（5不 5彳 时Z得最小值，Z=1=5.x+y =5 1 2 2J 2目标函数经过B点时取的最大值，x=y 八八联 立 c -s c，解得8（1 0,1 0），此时z取得最大值，z =3 0.2%-y-1 0 =0所以，z=2 x+y的取值范围是 万,3 0故答案为：y,3 0【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题.三、解 答 题（本题包括6 个小题，共 70分）1 7.随着社会的进步与发展，中国的网民数量急剧增加.下表是中国从2 0 0 9 -2 0 1 8年网民人数及互联网普及率、手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及
11、率的相关数据.年份网民人数互联网普及率手机网民人数手机网民普及率20093.82 8.9%2.31 7.5%20104.53 4.3%3.02 2.9%20115.13 8.3%3.62 7.0%20125.64 2.1%4.23 1.6%20136.245.8%5.036.9%20146.547.9%5.641.3%20156.950.3%6.245.2%20167.353.2%7.051.0%20177.755.8%7.554.4%20188.359.6%8.258.9%(互联网普及率=(网民人数/人口总数)xlOO%；手机网民普及率=(手机网民人数/人口总数)xlOO%)(I)从 200
12、9-2018这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的概率；(H)分别从网民人数超过6 亿的年份中任选两年，记 X 为手机网民普及率超过50%的年数，求 X 的分布列及数学期望；(D I)若记2009-2018年中国网民人数的方差为层，手机网民人数的方差为s j，试 判 断 与 s j 的大小关系.(只需写出结论)【答案】(I)-；(I I)分布列见解析，E X =1；(m)S：S；【解析】【分析】I)由表格得出手机网民人数占网民总人数比值超过80%的年份，由概率公式计算即可；(H)由表格得出X 的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，计算数学期望即可；(皿)观察两组
13、数据，可以发现网民人数集中在58 之间的人数多于手机网民人数，则网民人数比较集中，而手机网民人数较为分散，由此可得出【详解】解：(I)设事件A：从 2(X)92018这十年中随机选取一年，该年手机网民人数占网民总人数比值超过 80%”.由题意可知：该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的年份为2013 2 0 1 8,共 6 个则 P(A)=|.(I I)网民人数超过6 亿的年份有2013 2018共六年，其中手机网民普及率超过5 0%的年份有2016,2017,2018这 3年.所以X 的取值为0,1,2.C2 3 1 ClC 3 C2 1所以 P(x=o)=方=西=+P(X=l)=-1
14、 j=M，P(x =2)=苣下随机变量X的分布列为X012P2 _5355EX=0 xl+lx-+2 x l=l.5 5 5cm）s；0）.(D求曲线C的直角坐标方程;(H)若直线/与曲线C相交于不同的两点A,B,若M(2,l)是AB的中点，求直线/的斜率.【答案】(I)(x-l)2+(y-百=4；(H)且 土1.2【解析】【分析】(D直接利用极化直的公式化简得到曲线。的直角坐标方程；(I I)将直线/的参数方程代入曲线。的直角坐标方程，再根据4+G=。求出直线/的斜率.【详解】解：(I)由0=2cose+2/Jsin6(0 O),x=pcosO,y=p sinO,得x2+y2-2x-2y/3
15、 y=0即所求曲线C的直角坐标方程为：(x-l)2+(y G=4(D)将直线/的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2+2cos6+(2-2 sin e z-2 +l=0由M是AB的中点知，t1+t2=O即 2cos6+(2-2A/5 k in6=0所以直线/的斜率为Z=tan。=迫 1.2【点睛】本题主要考查极直互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2 0.已知函数/1(jO ux-L-alnxSw R).x(D讨论函数/*)的单调性；5 17 当a e 时,记/(x)的极大值为M,极小值为N ,求 MN的取值范围.2 4【答案】(1)
16、见 解 析 2 3,17勿2【解析】【试题分析】(1)先对函数(x)=x-J-0心 求 导 得 到/(力=三 手 叱，再对参数。分两类进行讨论：a 2时，/（x）=0有两根，记 玉=伫 五 巨,马=近 三，则0%（尤2,由.;x0得 2 ,解得0X 0(2)先 借 助(1)的结论求出MM N=X、-4?lrL X j x2 H X%1 (1 )所以 A/_N=x-%+一造函数 g(r)=2卜 _1)_ 2,+1=/(%),N =/(%),进而转化为求-+ahu：2的值域，又$+=。,玉-2 =1，1(n (1 lnX|-F 一 X H ln|=2 xy-2%4 IrL V j,然后构%*J 1
17、/“1 /In/,求 导 可 得=+,即g(f)=2(5 ln f,所以当fe(O,l)时，wa-7 a2-4 2 板5 1%=-，当ae c，-2 a+yla2-4 L2所 以 再 所以g(g)g(x jK g I；:（/）2时，尸（力=0有两根，记=竺。91,马=吐x0 x0由，/八 得 2 ,八，解得。或X x,，/（x）0 x2-ar+l 0 -所以递增区间是（）,司）,（赴,+）,递减区间是（%,马）.-5 17-1/、/、（2）当时，由（1）得M=/（）,N=/（电）,所以 M _N=x-HaV -cinx2,又%1+与=。,玉 M=1,X jx2所以1 （1）1 （11（1）M-
18、N=X-X j H In%-F%X j H lnX 1 2 /x）玉 I x）I x）/(%)在区间(0,)上单调,a-4,则 0%2,2(nX 1 4 In%),I XJ记g（，）=-2 Z +y j l n Z ,则g （f）=2（1+7）2（1产）l n t 2（f+7）7即建(。=2(5一1%叫 所 以 当/0,1)时，g (/)0,即g 在/w(O,l)时单调递减,由玉=4 4=-:,当a e 时，X|递减,2 a +J/_4 1 2 4 J-5a 1 1 7 4 1 1 又 4 =2 时，%=，。=7 时，%1=4,所以 玉 一4 x 4 00,故可设0，是上述方程的两个实根，所以
19、八 +=3 /2卒2=4又直线/过点p(3,石),a|PA|+|PB|=|r,|+|r2|=r,+r2=3V2.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.2 2.某中学开设了足球、篮球、乒乓球、排球四门体育课程供学生选学，每个学生必须且只能选学其中1门课程.假设每个学生选学每门课程的概率均为对于该校的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题.4(1)求这3名学生选学课程互不相同的概率；(2)设3名学生中选学乒乓球的人数为自，求4的分布列及数学期望.【答案】:3 分 布 列 见 解 析 期望为“3【解析】分析：(1)每个学生必须且只能
20、选学其中1门课程，每一个人都有4种选择，共有甲，3名学生选学课程互不相同，则 有 种，从而求解；(2)J的所有可能取值为0,1,2,3,分别算出对应的概率，再利用期望公式求解.详解：(1)3名学生选学的课程互不相同的概率(2)J的所有可能取值为0,1,2,3,P(2)生=243 6 40-1)=字=*=3)=亨2 76 416 44的分布列为:0123P2 76 42 76 496 416 42 7 1 2 7 c 9 0 1 3E&=0 x F 1 x F 2 x -F 3 x =_.6 4 6 4 6 4 6 4 4点睛：求随机变量及其分布列的一般步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及
21、取每个值所表示的意义.(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率;(3)按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证.2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题（本题包括12个小题，每小题3 5,共 60分.每小题只有一个选项符合题意）31.一个口袋中装有若干个除颜色外都相同的黑色、白色的小球，从中取出一个小球是白球的概率为y,2连续取出两个小球都是白球的概率为二，已知某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率 为（）3 2 2 1A*B C.D.一5 3 5 5【答案】B【解析】【分析】直接利用条件概率公式求解
22、即可.【详解】设第一次取白球为事件A,第二次取白球为事件B,连续取出两个小球都是白球为事件A 8,则 P（A）=1,P（A B）=,某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为2P 4）=尢广针故选B.5【点睛】本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题.求解条件概率时，一要区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系；二要熟记条件概率公式P（B|A）=P(AB)2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 3 曼德尔布罗特（Benoit.Mandelbrot）在 20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图按照的分形规律生长成一个树形
23、图，则第13行的实心圆点的个数是（）A.55 个B.89 个C.144个D.233个【答案】C【解析】分析：一一的列举出每行的实心圆点的个数，观察其规律，猜想：a+2=a+I+a ,得出结论即可，选择题我们可以不需要完整的理论证明.详解：1=0+1,2 =1 +1,3 =2 +1,5 =3 +2,8 =5 +3,1 3 =8+5,由此猜想：an+2=aZ J+an,故选 c.行数12345678910111213球数01123581321345589144点睛：观察规律，把行数看成数列的项数n,个数看作数列的项%,尽可能的多推导前面有限项看出规co s2 a=()3B.一54C.一54D.5律
24、.3.在等差数列 a j中，为H 0（e N*）,角a顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（a2,a i+a；3A.一5【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的知识可求t a n a的值，然后利用c o s 2 a的公式可求.【详解】由等差数列 a n 的性质可知4 +a3=2a2,+4-所以 ta n a=-=2,-2 .2 c o s2 c r-si n2 a 1-ta n2 a 3所以c o s2 a =c o s(7-si n a-=-；=c o s a +si n a 1 +ta n a 5故 选:A.【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角函数求值，注意齐次式的转化
25、，侧重考查数学运算的核心素养.4.已知例（2,m）是抛物线y2=4 x上一点，则M到抛物线焦点的距离是（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点用到抛物线焦点的距离=2+.详解：由抛物线方程可得抛物线y2=4 x中p =l ,则利用抛物线的定义可得点M到抛物线焦点的距离=2 +p=2 +1=3.故选B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5.已知函数/(力=2 ，若函数y=/(x)-自 有3个零点，则实数攵的取值范围为()l n(x+l)(x 0)【答案】c【解析】【分析】求导计算x=0处导数，画出函数
26、/(力和.丫=丘的图像，根据图像得到答案.【详解】当尢之0时，x)=l n(x+l),贝!|/，(x)=,/(0)=1；当x =后函数图像，如图所示：函数有3个交点，根据图像知;&0，贝！。2+。30B.若。1+。3 0，则。+。20C.若 0 。|D.若 4 c 0,贝！|他一乌乂/一生)。【答案】C【解析】【分析】【详解】先分析四个答案，A 举一反例4=2,=-1,%=-4，4+%0 而%+%0,A 错误，B举同样反例q =2,=-1,%=-4 ,。|+。3 0，B 错误，D 选项，a2-a,=d,O j-a2-d,/.(a2-a,)(a3-a2)=-d2 4 0,故 D 错,下面针对C进
27、行研究，%是等差数列，若 0 4 0,设公差为d,则 d 0,数列各项均为正，由于 4%(4+d)-q (q+2 d)+24d+d-24d d (),贝！a j q q =%J q q ,故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.11.完成一项工作，有两种方法，有 5 个人只会用第一种方法，另外有4 个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有()A.5 种 B.4 种 C.9 种 D.20 种【答案】C【解析】【分析】分成两类方法相加.【详解】会用第一种方法的有5 个人，选 1个人完成这项工作有5 种
28、选择；会用第二种方法的有4 个人，选 1个人完成这项工作有4 种选择；两者相加一共有9 种选择,故选C.【点睛】本题考查分类加法计数原理.12.在(+,四的展开式中，X 的第指数是整数的共有XA.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项【答案】D【解析】【分析】根据题目，写出二次项展开式的通项公式，即可求出X的幕指数是整数的项的个数。【详解】L C 1 A*10-*,10-3*由题意知，小=（五产严=CXET y.x XJ要使X的幕指数是整数，贝1 1 1 0-3 Z必须是2的倍数，故当=0,2,4,6,8,1 0满足条件。即x的幕指数是整数的项共有6项，故答案选D。【点睛】本题主要考查二项
29、式定理的应用，解题关键是熟记二项展开式的公式。二、填 空 题（本题包括4个小题，每小题5分，共2 0分）1 3 .在正项等比数列%中，4a3 =9，%=2 4,则公比4=.【答案】2【解析】【分析】利用等比中项可求出4,再由亍 =可求出公比.【详解】因为4q 3=4；=9，4“0，所以。2=3,&=8,解得4=2.。2【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了计算能力，属于基础题.1 4.、5的展开式中常数项为_ _ _ _ _；各项系数之和为_ _ _ _ _ _ _.（用数字作答）8+3【答案】1 0；3 2【解析】【分析】【详解】,、5的展开式的通项为（F）=4（三 产 哈 厂=争，由1
30、0 -5 r =0得r =2.故展开式中常数项为,：_ 0取（=即得各项系数之和为,1 1 +）5 =3 2,1 5.曲线f（x）=x+e-x+在x =1处的切线方程为.【答案】y=2【解析】分析：求函数的导数，计 算/和/（1）,用点斜式确定直线方程即可.详解：f x）=-e-x+,1 =0,又/（1）=2,故切线方程为y =2.故答案为y =2.点睛：本题考查函数导数的几何意义即函数的切线方程问题，切线问题分三类：（1）点（%,%）在曲线上，在点（%,%）处的切线方程求导数/（幻；切 线 斜 率/（%）；切线方程 y-yQ=f（xn）（x-x0）.（2）点（%,%）在曲线上，过点（x 0,
31、%）处的切线方程设切点（%,%）；求 导 数/（%）；切线斜率73）；切线方程.v -y =/（%）（尤-%（）；将点（公,%）代入直线方程求得玉,y ；确定切线方程.（3）点（%,为）在曲线外，步 骤 同（2）.1 6.已知随机变量 X 7 V（1,T2）,且 P（2_2）=.【答案】0.9【解析】【分析】根据正态分布性质计算概率.【详解】由正态分布密度曲线知P（X l）=0.5,又P（2X4 l）=0.4,所以P（X 2）=09【点睛】本题考查正态分布的性质，由正态分布曲线的对称性得若X N（4,C T2）,则P（X）=P（X）,P(X +a).三、解答题(本题包括6个小题，共7 0分)1
32、 7.已 知 函 数 力=1 2-2。*(丘R e为自然对数的底数).若4=1,求函数/(x)的单调区间；在 的条件下，求函数/(X)在区间 0,上的最大值和最小值.【答案】单调递增区间为(-8,-&),(V 2,+o o).单调递减区间为(-正,0)；(2)见解析.【解析】【分析】(1)将攵=1代入函数/(x)中，求出导函数大于零求出递增区间，导函数小于零求出递减区间；(2)分为夜和夜机4 2和，2三种情况分别判断了(x)在 (),?上的单调性，然后求出最大值和最小值.【详解】若 左=1,则/(力=卜2 2 x)e*,求导得r(x)=e，(f _ 2).因为e、0,令(力=靖 卜2 _ 2)
33、0,即(炉-2)0,解得x 0或X血令/。)=/(/_2)0,即(f 一2)0,解 得 一&x V 2二函数/(X)在卜8,-和(逝,+8)上递增，在 卜 立 上 递 减.即函数/(X)的 单 调 递 增 区 间 为(-(J I+8)；单 调 递 减 区 间 为 夜)(2)当0 2时，/(%)在-&,夜 上递减，/(X)在 夜,+8)上递增，且/(m)0 =0),:./(X)在 (),?上 的 最 大 值 为.A M =(加-2 m j em,x)在 区 间 0,向 上 的 最 小 值 为/(=(2-2夜,及.【点 睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属
34、中档题.3r.J-577i s.知数列 的前项和s=.2(1)求 6,的通项公式；,3(2)设a =-,求 数 列 ,的前项和.aa,l+i=3/1+1 ；(2)【解 析】【分 析】(1)利用当2 2时，an=Sn-Sn_,再 验 证4=4即可.(2)由(1)知(3+1)(3+4)-3+1 3+4.利用裂项相消法可求数列 2 的 前”项和.【详 解】(1)a1=S=4.当 心2时，=S“S“7=3 +5”_ 3(+5又4=4符 合“2 2时%的 形 式,所 以 4 的通项公式为4=3+1.(2)由(1)知瓦(3+1)(3+4)一 3+1 3+4数 列 2 的 前 项 和 为仇+包+/=7 10
35、+3-2 3+13+1 3+44 3+44(3+4)，【点睛】本题考查数列的通项的求法，利用裂项相消法求和，属于中档题.1 9.已知函数AO ul n x-An x(为常数).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)当加之之臣时，设g(x)=2/(x)+x 2的两个极值点币为,(x,0时，/0)的单调递增区间为(0,L),单调递减区间为(工,+8),当mwo时，/(X)m m2的单调递增区间为(0,+8)；(口)-+l n 2.【解析】试题分析：(1)先求函数导数f(x)=L-切=匕 丝,x 0,讨论导函数符号变化规律：当机0时，X X导函数不变号，故/(X)的单调递增区间为(0,+8).当机
36、0时，导函数符号由正变负，即单调递增区间为(o,单 调 递 减 区 间 减 区 间 为+8)(2)先求g(x)导数得X 2为方程尔+1 =0的两根，再求妆力导数得(x)=J 2%-。，因此(土 产 卜WJ C(玉+/)匕，而由王，9为/?(x)=l n x-c x2-bx 的零点，得l n X 一夕；一。玉=o,I nx2-cxj-bx2=0,两式相减得l n%-C(X|一)(玉+尤2)-0(玉 一%2)=0,即得 1 m _45+彳2)-0 =0,因此 X i】JC?A-l-ln,从 而 冒=2(芭_)_ 坨 =2咨 ln=2-I n r,其2 J x+x2 x1x2 x2 x+X2 X2
37、五+1 X2 Z +lX2中 上=/(r 0,当机()时，由1 如 0解得x v1，即当0 xO J(x)单调递增，由1 府 1,即当x*1时，/(x)0,即/(x)在(O,+8)上单调递增，当m 0故/(x)0,即/(X)在(0,+8)上单调递增，所以当力 0时，/(x)的 单 调 递 增 区 间 为，单调递减区间减区间为1,4-00m，当机V0时，/(X)的单调递增区间为(o,+.g(x)=2/(x)+f=2 1 n x-2,n r+x 2,则 g,(x)=l(二 二 竺 三),所以g(x)的两根须,当即为方程V 七+1 -0的两根.因为加之3 夜，所以=m2-4 0,%1 +x2=m,x
38、x=1,又因为司，羽为-一 2 一/i(x)=l n x-c x 2 一法的零点，所以I n%-e x：一人内=0,In-bx2=0,两式相减得1 xl工in-l n _ _ c（x _%）（%+工2）一。（一*2）=。，得.=冗 2 c、（Y +（），而 （%）=X,-x2 所以y =(玉 一W)2-C（X j+%2）一。=（X j-X2）21 五-C（Xy+方）-+c（x +X）Xj+x2 X-x2A-i2（龙 仁 无2）m 3 =2eI n 五X+x2 x2%+X2X2令 =，（0 v?得工；+x；+2 玉 /=mx?r i1 Q/Q 15 1因为x,=l,两边同时除以X+x,t +-+
39、2=m2,因为*，故 +-2 ，解 得 一 或 1 2 2,t 2 t 2 2所以0r 4g,设 G(x)=H，一t，所以G（f）=2 尢-（/京-I）-0,贝！)y=f(x)在该区间为增函数；如果f，(x)V O,则 y=f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.2 0.若=20n+1(=L 2,3,.),且 q =1.(1)求。，%,鬼,能；(2)归纳猜想通项公式耳.【答案】=3,=7,4=15,a5=3l(2)a=2n-1 (n e 2V*).【解析】【分析
40、】(1)分别把a=2,3,4,5,代入递推公式中，可以求出4，/，/，区的值；(2)根据,。2，%，。4，%的数字特征猜想出通项公式a.【详解】(1)由已知 a i=l,an+1=2an+1,当=2 时，得。2=2 x l+l=3,当=3 时，得 =2 x3 +l=7,当=4 时，得%=2x7+1 =15,当=5 时，得%=2x15+1 =31,因此叼=3,%=7,%=15,%=31；(2)因为4 =1 =211，4 =3=2。-1,%=7=2 1,4 =15=24 1,%=31=2,1,.所以归纳猜想，得%=2-1 (nGN*).【点睛】本题考查了已知递推公式猜想数列通项公式，考查了数感能力
41、.2 1.如图，三棱柱 ABC-AiBiCi 中,CA=CB,AB=A Ai,Z BAAi=60.(I)证明 ABAiC;(H)若平面ABC,平面AA1B1B,AB=CB,求直线A iC 与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】(1)见解析力”一可(2)sin 0-5【解析】【分析】【详解】试题分析：（I）取AB的中点。，连接。C,OAi,A iB,由已知可证OAi_LAB,AB_L平面。A iC,进而可得ABJLAiC;（H）易证OA,OAi,0C两两垂直.以O为坐标原点，丞 的 方向为X轴的正向，|丞|为单位长，建立坐/_ 1.-_ n,BC=O标系，可得BO BBr A 的坐标，设 疔
42、（x,y,z）为平面BBiGC的法向量，贝叼-,可解得n,BB二0；（代，1,-1）,可求|c o s|,即为所求正弦值.解：（I）取AB的中点0,连 接0C,OAi,AiB,因为 CA=CB,所以 0CJLAB,由于 AB=AA”Z BAAi=60o,所以A AAiB为等边三角形，所 以0Ai_LAB,又因为。C n 0A i=0,所以AB_L平面OAiC,又 AiC评 面 OAiC,故 AB _L AiC;(I I)由(I)知 OCJLAB,0 A i A B,又平面 ABC_L 平面 AA1B1B,交线为 AB,所 以0C_L平面AA1B1B,故0A,0A”0C两两垂直.以0为坐标原点，
43、赢 的 方向为x轴的正向，|丞|为单位长，建立如图所示的坐标系,可得 A（1,0,0）,Ai（0,炳,0）,C（0,0,7 3）,B（-1,0,0）,则 B片（1，BBj AAj=（-1,o）AC=（。，-，设 昏（X，-一.n-BC=0y,z）为平面BBiCiC的法向量，贝时-即,n,BBi=0 x+V3z=0 x+Vy=0可取 y=l,可 得 厅（yf S 1，1）故 cosV 口，A C =n*AjCInllA iC lVTo-,5又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值,故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：叵.5考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面
44、垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.2 2.蛟龙号 载人潜水艇执行某次任务时从海底带回来某种生物.甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况的研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为,，乙组能使生物成活4的概率为1，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验失败.3（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了 4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验,记试验成功的总次数为随机变量X,求X的概率分布与数学期望（%）.5 3 2 7【答案
45、】（1）;（2）;（3）分布列见解析，.3 2 7 29 6【解析】【分析】（1）分两类计算：一类是恰有两次成功，另一类是三次均成功；（2）乙小组第四次成功前共进行了 6次试验，三次成功三次失败，恰有两次连续失败共有尺=1 2种情况；（3）列出随机变量X的所有可能取值，并求得相应的取值的概率即可得到分布列与期望.【详解】（1）记至少两次试验成功为事件A,则小沁3噎答：甲小组做三次试验，至少两次试验成功的概率为a.3 2（2）由题意知，乙小组第四次成功前共进行了 6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，共 有 父=1 2种情况.记乙小组第四次成功前共有三次失败，则P（5）=1 2曾曾
46、/=竺，（3八3）3 7 29答：乙小组第四次成功前共有三次失败（3）X的所有可能取值为0,1,2,3,P（X=0）=f-Y f-Y=1,，1 4 4 4（x =）=c%亍且恰有两次连续失败为事件B,3 2,且恰有两次连续失败的概率为而.4.方 1 2 6 0 5 sin 3,贝！Icos A p）v（-1）D.2.设。，匕，c都为正数，那么，用反证法证明“三个数a+?，b+,c+工 至少有一个不小于2”时,oca做出与命题结论相矛盾的假设是（）A.这三个数都不大于2 B.这三个数都不小于2C.这三个数至少有一个不大于2 D.这三个数都小于23.如果（3尤 一 六）”的展开式中各项系数之和为1
47、 2 8,则 展 开 式 中+的 系 数 是（）A.21 B.-21 C.7 D.-74.将函数y=s in 2 x-g 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移自个单位长度，则所得图象对应的函数的解析式为（）OA.y=cos4xB.y=-s in 4 xC.y=cosxD.y=-co s x5.长方体ABC。一 ABCIR中，P是对角线A G上一点，。是底面ABC。上一点，若 A B =亚，BC=A A1=1,则P B.+P Q的最小值为（）A.-B.C.V3D.22 26.f(ev-2x)dx=()J OA.e B.e-1C.e 2D.2-e7.在（x-I）
48、?3-2）6的展开式中，含V的项的系数是（）A.-832 B.-672C.-512D.-1928.设 必（）,下列不等式中正确的是（)时+网 卜_ 目 同+例|a+Z?|+时-网A.和 B.和C.和D.和9.命题“mx()e R,维)-X。-1()”的否定是()A.V x e R ,%2-%-1 0C.3 Xg G R,x(一 J Q)1 4 0 D.G R,%-%1 01 0.在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布(1 0 0,2)(b 0),若 g在(8 5,1 1 5)内的概率为0.7 5,则任意选取一名学生，该生成绩高于1 1 5 的概率为()A.0.25 B.0.1 C.0.
49、1 25 D.0.51 1.若直线/经过点(-1,-2),且原点到直线/的距离为1，则直线/的方程为A.3 x 4 y 5 =0 B.x-1C.3 x4 y 5 =0 或 y =1 D.3 x 4 y 5 =0 或 x=11 2.一个停车场有5 个排成一排的空车位，现有2 辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2 个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有A.6 种 B.1 2 种 C.3 6 种 D.7 2 种二、填空题(本题包括4 个小题，每小题5 分，共 20 分)1 3 .设函数/(x)的定义域为R,满足/(x+l)=2/(x),且当xe(0,l 时，/(x)=x(x-l).若对任意的3
50、x G(-oo,m ,都有/(%)-,则 机 的 取 值 范 围 是.1 4 .已知向量。=(2,1),斤(L-2),c=(-).若，(。+2 6),则几=.1 5 .已知集合A =1,*,3 =?,若 Bq A,则实数加的值是.1 6 .(g)+8 +l g l 0 0 =.三、解答题(本题包括6 个小题，共 7 0 分)1 7 .已知数列/的前项和S“，通项公式4=3 -1 数列%的通项公式为勿=2-6.(1)若%=一，求数列 c,J 的前项和7“及!亚方的值；(2)若 纵=,数列值,的前 项和为E,求 用、E,、E,的值，根据计算结 果 猜 测 关+5)也,+7)于的表达式，并用数学归纳