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1、2022年河南省新乡市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的l.(5分）已知集合A=xix2-2x-3;:,:o，集合B=xll.xlO,bO)的左、右焦点分别为F.1,F2,点P为双曲2.2 a b 线上一点PF2.LF1压，若P凡交千y轴千点A,且A庄垂直千乙F1P压的角平分线，则双曲线的离心率为（)A.森五2B c.-rs 五2D 10.(5分）在正四面体S-ABC中，SA=2V3,D,E,F分别为SA,SB()A.TI B.2n C.4TT D.611 11.(5分）LABC的内角A,B,C的对边分别
2、为a,b,c,若飞;4忑a2=6，则LABC面积的最大值为（)A.拉B.森C.对D.对12.(5分）已知(X,P均为锐角，（tana凸E：了了言）（二了飞勹;-1)tan 13 则（）A.sinasin B.cosacos C.cosasin D.sincosa 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13.(5分）已知实数x,y满足：言言则z=2x-y的最大值是yo.14.(5分）已知函数f(x)=mx-cosx在R上单调递增，则m的最小值为.15.(5分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周烘色如图，某
3、摩天轮的最高点距离地面的高度为12,A,B 为摩天轮在地面上的两个底座IABl=lO,点P为摩天轮的座舱则百；才冠A 16.(5分）已知xobO)的焦距为2c,左、右焦点分别是F1,2.2 a b 压，其离心率为五，圆F1:Cx+c)2+y2=1与圆F2:(x-c)2沪9相交，两圆的交点2 在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)已知A,B,C为椭圆E上三个不同的点，O为坐标原点2l.（l2分）已知函数f(x)=er-lnx+l,ut.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1);(2)证明：f(x):1l+lna+.a（二）选考题：共10分请考生从第22,23两题中任选一题作答如果多
4、做，则按所做的第一个题目计分选修4-4:坐标系与参数方程（10分）x=1-t 2 l+t 2 22.(lO分）在亘角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y:(l)求C的直角坐标方程；(t为参数）3 3(2)点P(x,Y)(xE五，1)）是曲线C上在第一象限内的一动点，求兰4二的2 x y 最小值选修4-5:不等式选讲（10分）23.已知函数f(x)=ix-21+1x+ll.(1)求不等式f(x)x+2的解集；(2)若关千x的不等式f(x)a团l.x+l|恒成立，求a的取值范围2022年河南省新乡市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题
5、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.(5分）已知集合A=xix2-2.x-3?0，集合B=xllxl2，则(队）nB=(、丿A.(l,2)【解答】解：8.(-1,2)c.(2,3)D.(-3,2):A=xix:,;-I或x?:3,B=xl-4x2,:.c屈（xi-lx 1,则sinx于无解，p是假命题；对于q,设f(x)=x-lnx-1上王主，X X 在区间(0,1)上，t(x)为减函数，十00)上，f(x)为增函数，故f(x)f(1)=8,即：VxE(0,x-1 /nx,故p且q、p且(q)和(p)且(q)都是假命题，故选：B.6.(5分）函数f(x)=1-ln因的部分图象大致为（
6、)、一1()X A.,一2一()1-.,.戈B.).一1I=。|X c.y x D.【解答】解：函数的定义域为xix土Of(-x)=x2tnl-xi=.,4 lnlxl可(x),贝ljf(x)是偶函数，则图象关于y轴对称，由fCx)=O得团l,即x=2或x=-l,当x1时，f(x)5,当0 x1时，f(x)O,2.2 a b bO)的左、右焦点分别为Fl，历，点P为双曲线上一点PF2上F，F2,若P凡交于y轴于点A,且A历垂直千乙F1P压的角平分线，则双曲线的离心率为（A.花森2).B C.石森2D【解答】解：因为A庄垂直千乙F1P压的角平分线，所以IPAl=IPF扎由双曲线定义可得IPF1I
7、-IPF21=2a,可知IAF11=6a,b 2 因为PF已F1F2,所以|PF2I 了，且AO/IPF6,2 所以IA几1=IA月，即上5a，解得C=民a,a 所以e:-S三1/3a)i 故选：A.10.(5分）在正四面体S-ABC中，SA=2V3,D,E,F分别为SA,SB()A.n B.2亢c.41T D.6n【解答】解：作图如图，设M点为球心，s A R O为截面圆的圆心，可知其在高的中点处，易求出AO乌丈豆x硝2,3 2 3寸歹S0=2石，SM=,2 SO石，占EO上40=1,5:.r寸SO2-EO6=2,:.s=21tr=3n.故选：C.11.(5分）!:,ABC的内角A,B,C的
8、对边分别为a,b,c,若瓦;4忑a2=6，则!:,ABC面积的最大值为（)A.拉B.森C.对【解答】解：由话玉5+a2=6，可得bccosA+a5=6,由余弦定理可得a2+b1+c2=12,因为八ABC的面积SbcsinA2 D.对2 所以正丛罕(2-cos2 A)乌罕2-()6 b 3 c 2 5 2)-b c 7 6 bc 4 4 2.2 因为b气又()2,2 所以s7tan 13 则（）A.sinasin B.cosacos C.cosasin D.sincosa【解答】解：？a，6均为锐角，（tana+；了飞勹；）（寸二了飞勹1-1)tan :.tan ex五言言tan 6=1五了巨1
9、+7 二1tan6tan6:函数f(x)=x+尸了在(0,tana6 TT-6),tan 2:a,均为锐角a 号，76号，o詈43号，0互a千B,.6 牛a,TT 二sinsin(-a),:.sin庐coscx.2 故选：D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13.(5分）已知实数x,y满足：一言yo.则z=2x-y的最大值是【解答】解：由约束条件作出可行域如图，y 3x-v-3=0 蠡,x-Jy-2=0 x 由图可知，A(1,由z=2x-y,由图可知，当直线y=4x-z过A时，z有最大值为2.故答案为：2.14.(5分）已知函数f(x)=mx-cosx
10、在R上单调递增，则m的最小值为l.【解答】解：因为函数f(x)=rrix-COSX在R上单调递增，所以f(x)=m+si1江o在R上恒成立，即m-situ:在R上恒成立，又因为I-sinx4,所以n彦1,故答案为：1.l5.（5分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12,A,B,为摩天轮在地面上的两个底座IABI=LO，点P为摩天轮的座舱贝ljpA.PB-21,ll91 A【解答】解：设摩天轮的中心为O,AB的中点为C，则5;百范它AC=BC=S,所以OB2=0A5=AC2+0C-=74,A c
11、在h.OAB中，由余弦定理知OA 7+OB 2-AB 2=74+74-100-12=,50AOB 2 X 74 37 一一一，一一，212一II-所以PAPB=(OA-OPOB-OP)=OA OBOA+OB)Qp+ap-soc OPOC OP,37,.1,当oc与OP同向共线时，ocop,为7X5=35;1,当oc与OP反向共线时，ocop,为4X5=-35,即ocOPE-3s,1 1,I 所以PAPB=49-oc OP,119.故答案为：-21,119.16.(5分）已知xo3.841 所以有95的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关(2)由题意可得，肛的可能取值有o,8,2,ci-24 8
12、性C25 4 则P(t=O)P(t=8)=,讨。21讨。5c 1 p(=2)=,c4 21 10 所以的分布列为：1 A、p 厂1 48_2 4-7 二1 27_2-8 4 1 2 故E(!;)=OX-7X+2X一21.7 21 3 18.(12分）在四棱锥P-ABCD中，BC/IAD,CD.lAD卫，且PA=PD寸2,AD=2DC 3=2BC=2.（l)证明：PB.lAD;(2)求PD与平面PAB所成角的正弦值p 8 c【解答】(1)证明：如图，取AD的中点O,BO,则PO上AD,BO上AD,BOc平面POB,所以AD上平面POB,PBc平面POB,所以AD上PB.,AB=(2,(2)解：以
13、0为原点，直线OB,y轴，冗1森由(1)知，乙POB=，则p(,0,-),A(O,O),3,O),L 4),1,O),3 3 2 一5寸？一O)AP=（一，1,),PD=(1,2 2 3 1,1,、丿森丁设平面PAB的法向量.(n=lX,y,z):+y+1tz=O,x+y=4,故取记(J5,-压，令x可飞，则y六月，z=7.4)设PD与平面PAE所成的角0，则lsin8I=I葫1五2石x石7故PD与平面PAB所成角的正弦值为丈豆6 19.(12分）已知数列a,)满足a1+2ai+3a3+nan=(n-1)211+1.(I)求伽的通项公式；(2)在a江0G11+l之间插入n个数，使这n+2个数构
14、成等差数列，记这n+2个数的公差1 1 1 为彻，求七+-d1 d2 dn【解答】解：（1)由题意，a1=l.由环2a 2+8a 3+寸nan=(n-1)5n+l CD 得al+5a2+3a5+(n-1)an_1=(n-8)2n-l+7 CD-，得nan=(n-1)2n+4-(n-2)2n-2+1=n2n-B(n2)所以an=2n-3（心2)又因为当n.=l时，上式也成立n的通项公式为=4 n-1.an(2)由题可知d=沪2n-l4n一l:,n n+l n+l 令51 1 2 3 4+n+l 七一.+-=T=七一七一、忙-，1 _ 2 3 4 T-+-+n+l 丛 十，ct1 ct4 dn n
15、 3o 31 72 3n-l-7 n沪沪242n 2 1 6 _ _ 5 7 8.7 n+7 _ 2铲n+l_ n+3 -，得T_=2七七七+.+-一=2+一6-2 n.21.2 2.23 2n-l 2n.1宁沪2n.故Tn+3 n=7了可2 2 20.(12分）已知椭圆E：王立-=l(abO)的焦距为2c,左、右焦点分别是Fi,2.2 a b 庄，其离心率为五，圆F1:C x+c)2+y2=1与圆F2:(x-c)2+y2=9相交，两圆的交点2 在椭圆E上C l)求椭圆E的方程；(2)已知A,B,C为椭圆E上三个不同的点，0为坐标原点奸【解答】（I)解：由题意得e-，a 2 由圆乌：（x+c)
16、红笠2与圆F2:(x-c)红沪9,两圆的交点在椭圆E上，可知2a=5+3,又a2=b5+c气解得a=2,b=-历，c=J2-2 2 所以椭圆E的方程为王=32 2(2)证明：设A(x1,)心，B(x5,)2),当AB垂直于x轴时，x1=x4，因为0为b.ABC的重心，所以C(2,O).根据椭圆的对称性，不妨令C(4,此时A(1,f户，B(l，今压，三过豆2)S丛ABC5 2.6 当AB与x轴不垂直时，设直线AB:y=kx+m王二1,得(3+2启）x8+4/anx+2(m5 4 2-2)=O,IJ11j 4km、x2+x 2=-2 7k+l 2(m3-2).X2x2=2k4+1 4km,-2m
17、设C(x3,ys)，则x3=-(x 1+x5)=-;:了,Y3=-(y9+Y2)=-;:2ku+l 2 3kc.+1 7 2 代入气今1,得1+4/t=2m3，又IABl=-J了言歹|x卢2卜原点0到AB的距离d1ml 言所以s 1,._,7,I,4km 4 7.b.OAB方IAB Id方Im|(）-4 2(m-2)3+2k 2 1+3k 2|ml五言二工且L石了五2 2 7 1+5k 2m 所以S=3S 3奸AABC AOAB：，即 6ABC的面积为定值2 21.(12分）已知函数f(x)=er-lnx+lna.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(Lf(l);(2)证明：f(x):1l
18、+lna l.a【解答】(I)解：万(x)=if-lnx+I,:.f1(x)=ex上k=f(I)=e-5,X.f(I)=e+L:切点坐标为(l,:曲线y=f(x)在点(6,f CI)处的切线方程为y-e-J=(e-1)(x-4),即y=Ce-1)x+2.(2)证明：令g(x)=x-5-lnx,则g(x)=1_l_二：X X 则g(x)在(0,I)上单调递减，十=)上单调递增，则g(x)邦，即x-ln彦l，贝气1叶10.令h(x)=ex丛，则h(x)=e又工，a a 则h(x)在(O,-lna)上单调递减，十=)上单调递增，故h(x)为(-lna)斗兰皿，a 扣可得ex-13)兰皿，a a 即
19、f(x)l8+1na+，原式得证a（二）选考题：共10分请考生从第22,23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-4:坐标系与参数方程（10分）22.(10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(1)求C的直角坐标方程；x-1-t 2 l+t 2 y责(t为参数）3 3(2)点P(x,Y)(xE五，1)）是曲线C上在第一象限内的一动点，求1-;仁的2.-,X Y 最小值2.4【解答】解：（1)由题可知21-7t+t X=2.6 5+2t+t 所以卢沪I.1-t 3 2 因为x:.:!=5+#-1,2 4 l+t l+t 所以C的直角坐标方程为;寸=I(x-I).(2)点Px+2的解集；(2)若关千x的不等式J(x)a冈屯l|恒成立，求a的取值范围【解答】解（I)f(x)产忑；尸2x-1,x沁，不等式f(x)x+2等价于x x+2 I 3x+6 l 2x-7 x+2,4.故原不等式的解集为xix3;(2)当x=2时，不等式J(x)al.xi忙l|恒成立当产0时，J(x)alxl屯3|可化为|1立1+16立1矿X X 因为|1呈-|2兰1|5呈2呈I=3，所以a3,3)x x x x 2=sin28-Slr