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1、 6.1数列的概念【教学目标】知识目标：(1)了解数列的有关概念；(2)掌握数列的通项(一般项)和通项公式.能力目标：通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力.【教学重点】利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项.【教学难点】根据数列的前若干项写出它的一个通项公式.【教学设计】通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列利无穷数列.讲解数列的通项(一般项)和通项公式.从几个具体实例入手，引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数.学生往往不易理解什么是“一定次序”.实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们
2、随便写出的两列数：2,1,15,3,2 43,2 3与 1,15,2 3,2,2 43,3,就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列.【教学过程】*揭示课题 6.1数列的概念.*创设情境兴趣导入将正整数从小到大排成一列数为1,2,3,4,5,.(1)将 2的正整数指数 幕从小到大排成一列数为2,2 2,2 3,2 4,2 5,.(2)当”从小到大依次取正整数时，coswt的值排成一列数为 T,1,T,1,.(3)取无理数兀的近似值(现舍五入法)，依照有效数字的个数，排成一列数为3,3.1,3.14,3.141,3.1416,(4)*动
3、脑思考探索新知【新知识】按照一定的次序排成的一列数叫做数 列.数 列 中 的 每 个数叫做数列的项.从开始的项起，按照自左至右的排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1 项(或 首项)，第2项，第 3 项，第项，其中反映各项在数列中位置的数字1,2,3,，n,分别叫做对应的项的项数.只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列.【小提示】数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念.如数列（2）中，第 3项为2 3,这一项的项数为3.【想一想】上面的4个数列中，哪些是有穷数列，哪些是无穷数列？【新知识】由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对应，所以无穷数列的一般形
4、式可以写作%吗,生，。，。（wN）简记作 七.其中，下角码中的数为项数，6表示第1项，出表示第2项，.当W由小至大依次取正整数值时，。“依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第项。“叫做数列%的通项或一般项.*运用知识 强化练习1 .说出生活中的一个数列实例.2 .数 列“1,2,3,4,5”与数列“5 ,4,3,2,1 ”是否为同一个数列？3 .设数列 4 为“-5,-3,-1,1,3,5,”，指出其中内、/各是什么数？*创设情境兴趣导入【观察】6.1.1 中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列出的正整数.G=1,a2=2,%=3，可以看到，每一项与这项的项数恰好相同.这个规律可以用%=（
5、e N*）表示.利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如 4|=1 1,“2 0 =2 0.6.1.1 中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的2的正整数指数幕.。=2 ,a2=22 a3=23 ，可以看到，各项的底都是2,每项的指数恰好是这项的项数.这个规律可以用 4=2（“eN*）表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如 =2 ，”2 0 =2 2 .*动脑思考探索新知【新知识】一个数列的第n项 a“，如果能够用关于项数 的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.数 列（1）的通项公式为“,=，可以将数列（1）记为数列仇;数 列（2）的通项公式为%=2
6、 ,可以将数列(2)记为数列 2 .*巩固知识典型例题例 1 设数列%的通项公式为%=,写出数列的前5 项.分 析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需将通项公式中的w换成该项的项数，并计算出结果.例 2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.(1)5,1 0,1 5,2 0,；(2)(3)-1,1,-1,1,2 4 6 8分 析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式子表示这种关系.【注意】由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的.例如，为=(-1)与 4,=兀都是例2(3)中数列“-1,1,-1,1,的通项公式.【知识巩固】例 3判 断 1 6 和 4
7、5 是否为数列 3+1 中的项，如果是，请指出是第几项.分析 如果数。是数列中的第k 项，那么k 必须是正整数，并且a =3 +1.*运用知识强化练习1 .根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4 项：(1)an=3 -2；(2)a,=(-1)H-n.2 .根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式：(1)-1,1.3,5,；(2)-1,；(3)3 6 9 1 2 2 4 6 83.判 断 1 2 和 5 6 是否为数列 J”中的项，如果是，请指出是第几项.*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：数列、项、项数分别是如何定义的？*归纳小结强化思想利用数列的通项公式写出数列中的任意一 项
8、并且能判断个数是否为数列中的一项.*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6.1 A组(必 做)；6.1 B 组(选做)(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的数列实例教学后记：例 1和例3 是基本题目，前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用.例 2 是巩固性题目，指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观，降低了难度,学生容易接受.6.2等差数列(一)【教学目标】知识目标：(1)理解等差数列的定义；(2)理解等差数列通项公式.能力目标：通过学习等差数列的通项公式,培养
9、学生处理数据的能力.【教学重点】等差数列的通项公式.【教学难点】等差数列通项公式的推导.【教学过程】*揭示课题 6.2等差数列.*创设情境兴趣导入【观察】将正整数中5的倍数从小到大列出，组成数列：5,10,15,2 0,.(1)将正奇数从小到大列出，组成数列：1,3,5,7,9,(2)请观察数列中相邻两项之间的关系*动脑思考探索新知如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等差数列的公差，般用字母d表示.由定义知，若数列%为等差数列，为 公差，则%+-%=,即*巩固知识典型例题例1已知等差数列的首项为12,公差为-5,试写出这个数
10、列的第2项到第5项.*运用知识强化练习1.已知%为等差数列，为=-8,公差d =2,试写出这个数列的第8项8-2 .写出等差数列11,8,5,2,的第10项.*创设情境兴趣导入你能很快地写出例1中数列的第101项吗？*动脑思考探索新知设等差数列血的公差为d,则Q=Q,=+d,a3-a2+d-(a,+d)+d-at+2d,%=4 +d=(/+2d)+d=%+3d,依此类推，通过观察可以得到等差数列的通项公式an=a+(n -1)d.(6.2)【想一想】等差数列的通项公式中，共有四个量：4、卬、和，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量.针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？*巩
11、固知识典型例题例2求等差数列一 1,5,1 1,17,.的 第50项.例3在等差数列/中，=48,公差4=；,求首项卬分析：本题目初看是知道2个条件，实际上是3个条件：n=1 0 0,%=4 8,d=L3例4小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小明年龄的4倍还多5岁，求他们祖孙三人的年龄.分析 知道三个数构成等差数列，并且知道这三个数的和，可 以 将 这 三 个 数 设 为a,a+d,这样可以方便地求出a,从而解决问题.【注意】将构成等差数列的三个数设为。a,a+d,是经常使用的方法.运用知识强化练习 练 习6.2.2归纳小结
12、强化思想等差数列的通项公式an +(n 1)d.*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6.2(必做)；学习指导6.3(选做)(3)实践调查：寻找生活中等差数列的实例教学后记本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导.等差数列的定义中，应特别强调“等差”的特点：%+1 一%=(常数)例 1 是基础题目，有助于学生进一步理解等差数列的定义教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2 是求等差数列的通项公式
13、及其中任一项的巩固性题目，注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：%,明,只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.6.2等差数列【教学目标】知识目标：理解等差数列通项公式及前n项和公式.能力目标：通过学习前项和公式,培养学生处理数据的能力.【教学重点】等差数列的前项和的公式.【教学难点】等差数列前“项和公式的推导.【教学设计】本节的主要内容是等差数列的前”项和公式,等差数列应用举例.重点是等差数列的前n项和公式；难点是前n项和公式的推导以及知识的简单实际应用.等差数列前项和公式的推导方法很重要,所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并学会应用.等差数列中的五个量生、d、n、a“
14、、S”中，知道其中三个,可以求出其余两个，例5和例6是针对不同情况,分别介绍相应算法.例7将末项看作是首项的思想是非常重要的，以这类习题作为载体，对培养学生的创新精神是十分重要的.【教学过程】*揭示课题6.2等差数列.*创设情境兴趣导入【趣味数学问题】数学家高斯在上小学的时候的故事。*动脑思考探索新知从小到大排列的前100个正整数，组成了首项为1,第100项 为100,公差为1的等差数列.小高斯的计算表明，这个数列的前100项和为(1+100)x100现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前n项和.将等差数列%前项的和记作Sn.即S.=a+a2+a3+-+a_2+an_i+an.(1)也可以写
15、作S =%+%+%-2 +。3+。2 +。1 由于“2+%T=(可+“)+(”-d)=i +%，%+*=(%+2 d)+(a“-2 d)=偈 +%,（1）式 与（2）式两边分别相加，得2 S“=（+&“）,由此得出等差数列。“的前项和公式为(6.3)即等差数列的前项和等于首末两项之和与项数乘积的一半.知道了等差数列。“中的4、和，利用公式（6.3）可以直接计算S“.将等差数列的通项公式氏=卬+（一1 卜 代入公式（6.3）,得S -n a-（”l）d （6.4）%-na+0 知道了等差数列 乐 中的为、和d,利用公式（6.4）可以直接计算S“.【想一想】在等差数列%中,知道了 4、d、*、一五
16、个量中的三个量,就可以求出其余的两个量.针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？*巩固知识典型例题例 5 已知等差数列%中，4 =-8,。2 0 =1 0 6,求 S 2 0.例6等差数列-13,-9,-5,-1,3,的前多少项的和等于50?【想一想】例6中为什么将负数舍去？*运用知识强化练习 练 习6.2.3*巩固知识典型例题例7某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有7 0个座位，问礼堂共有多少个座位？【想一想】比较本例题的两种解法，从中受到什么启发？例8小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款.从元月份开始,每月第1天存入银行1000元，银行以年利率1.71%计息
17、，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）总额是多少（精确至I0.01元）？【说明】年利率1.71%,折合月利率为0.1425%.计算公式为月利率=年利率+12.练习6.2.4*归纳小结强化思想结论：2n（n-l=g +-d.*继续探索活动探究（1）读书部分：教材（2）书面作业：教材习题6.2（必做）；学习指导6.2（选做）（3）实践调查：运用等差数列求和公式解决生活中的一个实际问题 6.3等比数列【教学目标】知识目标：(1)理解等比数列的定义；(2)理解等比数列通项公式.能力目标：通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力.【教学重点】等比数列的通项公式.【教学难点】等比数列通项公
18、式的推导.【教学设计】本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导.等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点：色d=g(常数).%【教学过程】*揭示课题 6.3等比数列.*创设情境兴趣导入【观察】某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改造，在今后的5年内，每年的产值都比上一年 增 加1 0%,那 么 今 年 及 以 后5年 的 产值构成下面的一个 数 列(单 位：万 元)：10
19、00,1000 x1,1,1000 x1.12,1000 x1,13,1000 x1.14,1000 x1.15.不难发现，从 第2项开始，数列中的各项都是其前一项的1.1倍，即从第2项开始，每一项与它的前一项的比都等于1.1.*动脑思考探索新知【新知识】如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数 列.这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q来表示.由定义知，若%为等比数列，g为公比，则卬与q均不为零，且 有 也=4,即(6.5)%+i=a“-q.*巩固知识典型例题例 1 在等比数列%中，4 Z|=5 ,4 =3,求 出、的、“4、a5 ,【试
20、试】你能很快地写出这个数列的第9 项吗？*运用知识强化练习 练习6.3.1*创设情境兴趣导入 如何写出一个等比数列的通项公式呢？*动脑思考探索新知与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律.设等比数列。“的公比为4,则%=%,q,%=4 =(%好 4 =%,4 2，a4=C I 3 q=(%q2)q=%,【说明】at=at-1 =a,-g依此类推，得到等比数列的通项公式：1 a,=(6.6)知道了等比数列”“中的和q,利用公式(6.6),可以直接计算出数列的任意一项.【想一想】等比数列的通项公式中，共有四个量：怎、/、”和q,只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外
21、的一个量.针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？*巩固知识典型例题例 2求等比数列的第1 0 项.2 4 8例 3在等比数列”“中，a5=-1,a8=求阳.【注意】本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法.【想一想】在等比数列 4 中，a7=-,0 时，2 a 的方向与a 的方向相同，当；I V 0 时，4 a 的方向与a 的方向相反.由上面定义可以得到，对于非零向量a、h,当4 H o 时，有 a/b a=Ab一般地，有 0a=0,2 0 =0.数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证,对于任意向量a 及任意实数人幺，向量数乘运算满足如下的法则：(
22、1)at=a(-l)a=-a(2)(3)(4；+”=2 a+(4)/(a +/?)=Xa+劝【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则.向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中.但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的.*巩固知识典型例题例 6 在平行四边形4BCO中，。为两对角线交点如图716,AB=a ,AD=b,试用a,b 表示向量A。、O D .分析 因 为 布=-衣，丽=-丽，所以需要首先分别B 求 出 向 量 衣 与 面.例 6 中，和都叫做向量a,的线性2 2 2 2组合，或者说，A O.
23、而可以用向量a,6 线性表示.一般地，叫做的一个线性 组 合(其 中 均为系数).如果/=%a+b,则称,可以用a,8线性表示.向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算.*运用知识强化练习1.计算：(1)3(a-2b)-2 (2 a+ft)；(2)3a-2 (3a-4A)+3(a-b).2.设Q,6不共线，求 作 有 向 线 段 使 次i =!(a+ft).2*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：向量、向量的模、向量相等是如何定义的？结论：当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量(矢量)向量的大小叫做向量的模.向量“，血 的 模 依 次 记 作 同，|丽.。与向
24、量方的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a=b.*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是圳何进行学习的？你的学习效果如何？计算：(1)AB+BC+C D；(2)0B+BC+CA.*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题7.1 A组(必 做)：7.1 B组(选 做)(3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题【教师教学后记】7.2平面向量的坐标表示【教学目标】知识目标：（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.能力
25、目标：培养学生应用向量知识解决问题的能力.【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则.【教学难点】向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.【教学设计】向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）.设 x 轴的单位向量为i,轴 的 单 位 向 量 为 如 果 点/的 坐 标为（x,y ）,则0A=xi+yj,将有序实数对（x,y）叫 做 向 量 方 的 坐 标.记 作 方=（x,y）.【教学过程】*揭示课题7.2平面向量的坐标表示*创设情境兴趣导入【观察】设平面直角坐标系中，X轴的单位向量为i,），轴的单位向量为j
26、,方为从原点出发的向量，点A的坐标为（2,3）（图 7 1 7）.则O M=2i O N =3j.由平行四边形法则知OA=O M+O N =2i+3j图 7-1 7,【说明】可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的坐标是相同的.*动脑思考探索新知【新知识】设 盯 分别为X 轴、y 轴的单位向量,(1)设点M(x,y),则0 M=州+W(如图7 1 8(1)；(2)设点 A(X 1,y D，B(x2,y2)(如图 7 1 8(2),则图 7-1 8AB =O B-O A =(x2i+y2j)-(x.i+yj)由此看至I j,对任一个平面向量a,都=(x2-x1)i +(y2-y1)
27、j.存在着一对有序实数(x,y),使得a =H +有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记 作 a =(x,y).如图7 1 8 (1)所示，起点为原点，终点为M(x,y)的向量的坐标为两=(x,y).如图7 1 8 (2)所不，起点为4(再,),终点为8(工 2，为)的向量坐标为4 8 =(工2 -X ,y2-y1)*巩固知识典型例题例 1 如图7 1 9 所示，用 x 轴与y轴上的单位向量入/表示向量a、b,并写出它们的坐标.图 7-1 9【想一想】观察图7-1 9,万i 与丽的坐标之间存在什么关系？例2 已知点P(2,-l),0(3,2),求 而，切的坐标.运用知识强化练习1 .点A的坐
28、标为(-2,3),写出向量方的坐标，并用i 与j的线性组合表示向量力.2 .设向量a =34 j,写出向量a的坐标.3 .已知4,8两点的坐标，求 而，丽的坐标.(1)4(5,3),8(3,-1);(2)A(1,2),B(2,1);(3)A(4,0),8(0,-3).*创设情境兴趣导入【观察】观察图7-2 0,向量0A=(5,3),0P=(3,0),OM =OA+OP=(8,3).可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和.*动脑思考探索新知【新知识】设平面直角坐标系中,。=(瓯，丫 1)，=(芍，丫 2)，则a+b=(Xii+yj)+(x2i +y2j)=(再 +x2)i +(y
29、t+y2)j.所以a+b=(x+x2,y,+y2).(7.6)类似可以得到a-Z =(X -x2,yt-y2).(7.7)*巩固知识典型例题Aa=(几 司,2)；)(7.8)例 3设 a=(1,-2),A=(-2,3),求下列向量的坐标:(1)ab,(2)3 a (3)3 a 2b.*运用知识强化练习已知向量。,力的坐标，求+力、a b、-2。+3 5 的坐标.(1)a=(-2,3),/=(1,1)；(2)a=(1,0),Z=(-4,-3)；(3)a=(-l,2),b=(3,0).*创设 情 境 兴趣导入【问题】前面我们学习了公式(7.4),知道对于非零向量a、b,当 几/0时，a/b a =
30、Ab如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？*动脑思考探索新知【新知识】设a=2，丫2)，由 a=我，有 X=加2，=%丫2,于是国2%=八2丫1，即X/2 一 工2=0.由此得到，对非零向量a、b,设a=(x“y 1),Z =(必,丫2)，当4 H o时，有a/b o xy2-x2yt=0(7.9)*运 用 知 识 强化练习判断下列各组向量是否共线：3(1)。=(2,3),/=(1,)；2(2)a=(l,T),f t=(-2,2)；(3)a=(2,1),/=(-1,2).*归 纳 小 结 强化思想向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标.对非零向量 a、b,设0=(X
31、,)l),b =。2，丫2)，当 4 H o 时、有0 6=,丫2 _ 工2.=0*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题7.2 A组(必 做)；7.2 B组(选 做)(3)实践调查：寻找生活中的向量坐标实例【教师教学后记】7.3平面向量的内积【教学目标】知识目标：(1)了解平面向量内积的概念及其儿何意义.(2)了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义，培养学生观察和归纳的能力.【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角.【教学设计】教材从某人拉小车
32、做功出发，引入两个向量内积的概念.需要强调力与位移都是向量,而功是数量.因此，向量的内积又叫做数量积.在讲述向量内积时要注意：(1)向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；(2)向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.【教学过程】*揭示课题7.3平面向量的内积*创设情境兴趣导入如图7 21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成3 0。角的方向拉小车,使小车前进了 100 m.那么，这个人做了多少功？*动脑思考探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积.力F与位移s都是向
33、量，而 功 W 是一个数量，它等于由两个向量F,s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量产与向量s 的内积，它是一个数量，又叫做数量积.如图723,设 有 两 个 非 零 向 量 作 次=a,0B=b,由 射 线 与。B所形成的角叫做向量a 与向量力的夹角，记作两个向量,6 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量5 的内积，记作ab,即 ab=I abco3由内积的定义可知 a-0=0,0-a=0.由内积的定义可以得到下面几个重要结果:(1)(2)(3)(4)当4力=0 时，a b=ab；当 a,方=180 时，a b=-ab.当方=a 时，有=0,所以 a a=lallal=la|2
34、,即 kd=Naa.当=90时，a.Lb9因此，=同.同cos900=0,因此对非零向量a,b,有a b=0 0 a_Lb.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：(1)a b=b a.(2)(4 a)万=2(。b)=a (Ab).(3)(a+b)c=a c+b c.注意：一 般地，向量的内积不满足结合律，即。S c)#(方)c.请结合实例进行验证.*巩固知识典型例题例 1 已知3=3,161=2,=60,求 Q b.例 2 已知 11=则=V2 b=一6,求.*运用知识强化练习1.已知=7,族 1=4,a 和力的夹角为60。，求 a b.2.已知a a=9,求lal.3.已知lal=2l=3,
35、=3 0 ,求(加+b)人*动脑思考探索新知设平面向量。=(*1,月)/=(*2,2)，i，_/分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i_ L j,故i/=0,又所以a b=(xi i+y j)(x2i+y j)=xx2i”+x iy2i y+x2yi i，j+y iy2j，j x x2 l/l2+y i)，2 胪=%1 x2+y iy2-这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即|“=X|X 2+yiy2利用公式可以计算向量的模设a=(x ),则同=而=J?+y2,即同=J f +y2由平面向量内积的定义可以得到，当是非零向量时,cos=X X2+y i)，2=0利用公式(7.14)可
36、以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题.*巩固知识典型例题例3求下列向量的内积：(1)。=(2,-3),8=(1,3)；(2)。=(2,-1),。=(1,2)；(3)。=(4,2),力=(-2,-3).例 4 已知 a=(T,2),6=(-31).求 a,b,lal,lfrl,.例5判断下列各组向量是否互相垂直：(l)a=(-2,3),6=(6,4)；(2)a=(0,-l),b=(l,-2).*运用知识强化练习I.已知”=(5,-4),6=(2,3),求 一.2.已知 a=b=(0,6),求3.已知 a=(2,-3),b=(3,-4),c=(-1,3),求 a (b+c).4 .判断下列各
37、组向量是否互相垂直：(l)a=(-2,-3),=(3,-2)；(2)a=(2,0),6=(0,-3)；5.求下列向量的模：。=(-2,1),)=(3,4).(l)a=(2,-3),(2)b=(8,6).归纳小结强化思想平面向量内积的概念、几何意义？两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量。与向量的内积，记作a b,即a b=I a防lcos(7.10)a b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量。上的投影的乘积.继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3 A组(必 做)；7.3 B组(选 做)(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答.【教师教学后记】第七章
38、小结与复习8.1两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标：掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；能力目标：用“数形结合”的方法，介绍两个公式.培养学生解决问题的能力与计算能力.【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【教学难点】两点间的距离公式的理解【教学设计】两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式.讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上.【教学过程】*揭示课题 8.1两点间的距离与线段中点的坐标*创设情境兴趣导入【知识回顾】平 面 直 角 坐 标 系 中,设P2(x2,y2),
39、则 丽=(巧 为,为一力)*动脑思考探索新知【新知识我们将向量耳耳的模，叫做点、鸟之间的距离，记 作 出 舄 则1 6.|=|阿 卜 J丽 耳E=J(X 2 -X|)2 +(2 -X)2 (8.1)*巩固知识典型例题例 1 求4(-3,1)、B(2,-5)两点间的距离.*运用知识强化练习1 .请根据图形，写出M、N、P、。、R各点的坐标.2 .在平面直角坐标系内，描出下列各点：4(1,1)、8(3,4)、C(5,7).并计算每两点之间的距离.*创设情境兴趣导入【观察】练习8.1.1第2题的计算结果显示，I 4 B I=I B C I=L|4 C I.这说明点8是线段A8的中点，2而它们三个点的
40、坐标之间恰好存在关系3 =巴3,4 =2 2:动脑思考探索新知【新 知 识】设 线段的两个端点分别为A(玉,%)和8(X 2,%)，线 段 的 中 点 为 加(为,)(如 图8-1),则A M=(x()-%-M),MB=(x2-x0,y2-y0),由于 M 为线段 A B 的中点，则 A M=MB,即,(%0-西，%-凹、)=。2-玉)，乃 一 0)、，即1 为=马x(p 解得/=%)+x2 J|:+y2%一 i =为 一 为，2 2一 般 地，设6(内,凹)、鸟(%2,三)为平面内任意两点，则 线 段 鸟 中 点 好(%,%)的坐标为（8.2）*巩 固 知 识 典 型 例 题例2已知点S (
41、0,2)、点7 (-6,-1),现 将 线 段S T四等分，试求出各分点的坐标.例3已 知A 4 8 C的三个顶点为4(1,0)、8(-2,1)、C(0,3),试 求BC边 上 的 中 线A 的长度.*运 用 知 识 强 化 练 习1 .已 知 点A(2,3)和 点8(8,-3),求 线 段AB中点的坐标.2 .已 知A A 8 c的三个顶点为A(2,2)、8(-4,6)、C(-3,-2),求AB边 上 的 中 线C。的长度.3 .已 知 点0(4,)是 点P(m,2)和 点R(3,8)连线的中点，求机与的值.*归 纳 小 结 强 化 思 想两点间的距离公式、线段的中点坐标公式？设平面直角坐标
42、系内任意两点4(,)、鸟(,%)，则片(为，%)、2，打)的距离为(证明略)桃 1=42-项）2+（乃-7）2 .设6（孙弘）、乙（9,内）为平面内任意两点，则线段4旦中点，）（玉），为）的坐标为_ X+X 2 _%+为%-2，）-2*继续探索活动探究（1）读书部分：教材（2）书面作业：教材习题8.1 A组（必做）；教材习题8.1（3）实践调查：编写一道关于求中点坐标的问题并求解.【教师教学后记】B组（选做）8.2直线的方程【教学目标】知识目标：（1）理解直线的倾角、斜率的概念；（2）掌握直线的倾角、斜率的计算方法.能力目标：采 用“数形结合”的方法，培养学生有条理地思考问题.【教学重点】直线
43、的斜率公式的应用.【教学难点】直线的斜率概念和公式的理解.【教学设计】本教材采用的定义是:“当直线与x轴相交于点P时，以点尸为顶点，始边指向x轴正方向，终边落在直线上的最小正角叫做直线的倾角.当直线与X轴不相交（或重合）时，规定倾角为零角”.这样就使得关于角的概念一致起来.教材采用“数形结合”的方法，分成两种情况来研究斜率公式.教学中要注意这种分类讨论问题的思考方法的教育，培养学生有条理的思考问题.要强调应用斜率公式的条件X尸 .【教学过程】*揭示课题 8.2直线的方程*创设情境兴趣导入如图8 3所示，直线、4虽然都经过点尸，但是它们相对于x轴的倾斜程度是不同的.*动脑思考探索新知【新知识】为
44、了确定直线对x轴的倾斜程度，我们引入直线的倾角的概念.设直线/与x轴相交于点尸，A是x轴上位于点尸右方的一点，8是位于上半平面的/上的一点（如图8 4）,则NAP5叫做直线/对x轴的倾斜角，简称为/的倾 角.若直线/平行于x轴，规定倾角为零，这样，对任意的直线，均有0 W a JA2+B2【注意】应用公式(8.7)时，直线的方程必须是一般式方程.*巩固知识典型例题例6 求点昂(2,-3)到直线丫=-;=-2 a,E=-2b,F =a2+b2-r2,贝 U x?+/+x +Ey +尸=0.(1)这是一个二元二次方 程.观察 方 程(1),可以发现它具有下列特点：含产项的系数与含y 2 项的系数都
45、是1:方程不含孙项.那么，具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程吗？*动脑思考探索新知将 方 程(D 配方整理得1(+万?卜 卜(+万E?卜 一D2+EL2-4 F ，,八当2+E2-4尸 0 时，方 程(2)为是圆的标准方程，其圆心在(_ 2,_ g)，半 径 为 坦 土 三 .2 2 2方程x2+y2+Dx+Ey+F =0(M 41 D2+E2-4 F 0)(8.10)叫做圆的一般方程.其中 )、E 尸均为常数.【想一想】为什么必须有。？+后 2 一 4 尸 0 的条件？*巩固知识典型例题例 3 判断方程尤2 +旷2+4)一 6)，-3 =0 是否为圆的方程，如果是，求出圆心的坐标和半
46、径.说明：给出方程求圆心和半径时，经常通过配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程.*运用知识强化练习1 .判断方程x 2 +y 2 _ 4 x +2 y-l =0 是否表示 圆.如 果是，指出圆心和半径.2 .已知圆的方程为？+y 2 4 x =0,求圆心的坐标和半径.3 .已知圆的方程为一+)，2-6)，=0,求圆心的坐标和半径.*动脑思考探索新知观察圆的标准方程(x -a)2+(y-=/和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F =0,可以发现：这两个方程中分别含有三个字母系数a,b,r 或 Q,E,F .确定了这三个字母系数，圆的方程也就确定了.因此，关键是确定字母系数a,b,r(或。，瓦
47、尸)的值.*巩固知识典型例题例 4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：(1)以点(-2,5)为圆心，并且过点(3,-7)；(2)设点4(4,3)、B(6,-l),以线段AB为直径；(3)经过点P(-2,4)和点。(0,2),并且圆心在直线x+y=0 上.分析 根据已知条件求出圆心的坐标和半径，从而确定字母系数a、b.r,得到圆的标准方程.程的常用方法.【知识巩固】例 5求经过三点0(0,0),8(4,2)的圆的方程(图8-20).求圆的方程时,这是求圆的方图 8-20*运用知识强化练习1.求以点(4,-1)为圆心，半径为1的圆的方程.2.求经过直线x+3y+7=0 与3x-2y-12=0
48、的交点，圆 心 为 的 圆 的 方 程.3.求经过三点。(0,0),N(0,2)的圆的方程.*归纳小结强化思想圆的标准方程及一般方程？卜 幻2+(丫 与2=尸圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F =0(其 中+七 2-4/0).*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题8.4 A 组(必做)；8.4 B 组(选做)8.4 圆(二)【教学目标】知识目标：(1)理解直线和圆的位置关系；(2)了解直线与圆相切在实际中的应用.能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力.【教 学 重 点】直线与圆的位置关系的理解和掌握.【教 学 难 点】直线与圆的位置关系的判定.【教
49、 学 设 计】直线与圆的位置关系的判定是本节的难点，教材采用“数”“形”结合的方式，利用比较半径与圆心到直线的距离大小的关系来讨论的方法，相对比较简单.平面几何中，学生对这样判断直线与圆的位置关系比较熟悉，现在通过比较半径与圆心到直线的距离的大小，来判定直线与圆的位置关系，学生容易接受。经过一点求圆的切线方程，通常作法是设出点斜式方程，利用圆心到切线的距离与半径相等来确定斜率，从而得到切线方程，其中蕴含着“待定系数法”和“解析法”等数学方法.【教 学 过 程】*揭示课题 8.4圆(二)*创设情境兴趣导入【知识回顾】平面内直线与圆的位置关系有三种(如图8-2 1)：(1)相离：无交点；(2)相切
50、：仅有一个交点；(3)相交：有两个交点.并且知道，直线与圆的位置关系，可以由圆心到直线的距离d与半径，的关系来判别。(1)d r：直线与圆相离；(2)d=r-.直线与圆相切；(3)d=点数是奇数).2 .请举出生活中某一个随机试验的基本事件和复合事件.*创设情境兴趣导入【实验】反复抛掷一枚硬币，观察并记录抛掷的次数与硬币出现正面向上的次数.【知识回顾】设在 次重复试验中，事件A发 生 了 机 次(0热 血n),机叫做事件A发生的频数.事件A的频数在试验的总次数中所占的比例-，叫做事件A发生的频率.n【新知识】概率的定义一般地，当试验次数充分大时，如果事件4发生的频率空总稳定在某个常数附近摆动，