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1、2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题(本 题 包 括12个 小 题，每 小 题3 5,共60分.每 小 题 只 有一 个选项 符合题 意)1.从 一 个 装 有3个 白 球，3个 红 球 和3个蓝 球的袋 中 随 机 抓 取3个 球，记 事 件A为“抓取的球中存在两个 球 同色”，事 件8为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则 在 事 件A发生的条件下，事 件8发生的概率 P(3|A)=()3A.B.7【答 案】C【解 析】【分 析】1 21 9D.1 62?根 据 题意，求 出P(A)和P(A 6),由 公 式P(8|A)=g 即可求出解答.PA)【详 解】解：因
2、为 事 件A为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色,所以尸(A)=3C；C：+3C；_ 57_ 1 9C 1-84-2 8事 件A发 生 且 事 件8发生概率为：*)=竺膏竺=卷号3故.用=常福42 8故 选：C.【点 睛】本题考查条件概率求法，属于中档题.Y2 V22.己 知 耳，鸟 是 椭 圆 靠+会=1的左右两个焦点，若P是椭 圆 上 一 点 且P 6=3,则在耳尸工中COSZ.F1PF2=(3A.-5【答 案】A【解 析】【分 析】)B.4D.1根据椭圆方程求出a、c,即 可 求 出 耳、F R，再根据余弦定理计算可得;【详 解】解：因 为r二2+2v_2=1,所以a =
3、4,c=2,耳凡=2 c =41 6 1 2又因为P2=3,尸6+P 6=2 a =8,所以 耳=5,在AEPE中，由余弦定理片用2 =p E 2 +p K 2-2 p K，K.c o s N f；PE，即342=32+52-2 x 3x 5c o s Zf；P ,:.cosZFP F2=j,故选：A【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质及余弦定理解三角形，属于基础题.3.已知1 0件产品有2件是次品.为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6,至少应抽取作检验的产品件数为0A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式列出不等式，利用组合数公式进行计算，由此求得
4、至少抽取的产品件数.【详解】2刀-2设抽取X件，次品全部检出的概率为年 0.6,化简得x(x-l)54,代入选项验证可知，当X =8C i o时，符合题意，故选C.【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.4.设复数z满足|z i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),贝IJA.(x+1)2+y2=l B.(x-l)2+y2=1 C.f+(y _ )2 =i D.x2+(y+l)2=1【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易.此题可采用几何法，根 据 点(x,y)和点(0,1)之间的距离为1,可选正确答案C.【详解】z =x+y i,z
5、 _ i =x+(y _ l ,卜_,=1,贝！I d +(y _ =.故选 c.【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法或几何法，利用方程思想解题.1 ,5.函 数/（*）=31 1 1%-4+5厂的递增区间为（）A.（0,1）,（3,+o o）B.（1,3）C.（F,l）,（3,+0 0）D.（3,+0 0）【答案】A【解析】分析：直接对函数求导，令导函数大于0,即可求得增区间.详解：r（x）=3 _ 4 +x=l）（x-3）0,=0Q9.若x,y满足约束条件 x 2y l 0,则2=丁 2 x的最大值为()x0已知x,y满足约束条件(x-2)，一
6、1 0,画出可行域，目标函数2=丫-2乂，求出z与y轴截距的最大值,x 0 x,y满足约束条件 x-2y 1 4 0,画出可行域，如图：JC 理解目标函数的几何意义，找出最优解的坐标=将坐标代入目标函数，求出最值；也可将可行域各个角点的坐标代入目标函数，验证，求出最值.10.已知a =0.2 3,b=o g o 2 3,c =30 2,则C的大小关系是（）A.acb B.a h c C.h a c D.b c/.0 0.23 1b=log Q23 1：.h a c故答案选C11.易经是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为
7、（）113 1A.-B.C.-D.一8 4 8 2【答案】C【解析】【分析】用列举法得出：抛掷三枚古钱币出现的基本事件的总数，进而可得出所求概率.【详解】抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故概率为、O故选C【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.X?0 X 1 2.已知“X）是周期为4的偶函数，当工，2 时 x）=b og ；+二2,则/（2 0 1 4）+/（2 0 1 5）=（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】利用函数的周期性，化简所求函数值的
8、自变量为已知函数的定义域中，代入求解即可.【详 解】f (x)是 周 期 为4的偶函数，当x G O,2 时f (x)=，-一 ，log2x+Ux 1时，f (x)0,此时函数单调递增，当O V x V l时，f (x)0,此时函数单调递递减，当x VO时，f (x)0,此时函数单调递递减，.当x=l时，f (x)=取 得 极 小 值f (1)=e,X二函数 f(X)=的 值 域 为(-8,0)U e,+oo),x 若P是假命题，则0 m ”等形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题国的真假；(3)确 定“P ”,“，八9”“力”等形式命题的真假.1 4 .In 1
9、 =0,ln(2+3+4)=21n3,ln(3+4+5+6+7)=21n5,ln(4+5+6+7+8+9+10)=21n7,则根据以上四个等式，猜 想 第 个 等 式 是.(eN*)【答案】Inn+(+1)+(+2)+(3-2)=21n(2-l).【解析】分析：根据已知的四个等式知；等式左边自然对数的指数都是从开始，连续”个正整数的和，右边都是21n(2/1-1).详解：lnl=0,ln(2+3+4)=21n3,ln(3+4+5+6+7)=21n5,ln(4+5+6+7+8+9+10)=21n7,由上边的式子，我们可以发现：等式左边自然对数的指数都是从开始，连续几个正整数的和，右边都是21n(
10、2 一1),可猜想，In +(+1)+(”+2)+(3-2)=21n(2 -1).故答案为 ln“+(+l)+(+2)+(3-2)=21n(2-l).点睛：本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤：一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.1 5 .
11、已知曲线。的方程为E(x,y)=0,集合T =(x,y)|尸(x,y)=0 ,若对于任意的(和yJeT,都存在。2，%)丁，使 得%赴+乂 =0成立，则称曲线C为 Z曲线.下列方程所表示的曲线中，是 Z曲线的有（写出所有E曲线的序号）2+/=1 ；x2-y2=1；y 2=2 无；|y|=W +l【答案】【解析】【分析】将问题转化为：对于曲线C上任意一点（看,乂），在曲线上存在着点。（马，%）使得OP，。，据此逐项判断曲线是否为Z曲线.【详解】+丁=1的图象既关于x轴对称，也关于），轴对称，且图象是封闭图形，所以对于任意的点尸（斗,X）,存在着点Q（/，%）使得OP，。，所以满足；/一 /2=1
12、的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为1,所以渐近线将平面分为四个夹角为9 0。的区域，当P,Q在双曲线同一支上，此时N P O Q 9（）,所以NPOQH 9 0 ,OP L OQ不满足，故不满足；V=2 x的图象是焦点在x轴上的抛物线，且关于x轴对称，连接。尸，再过。点作OP的垂线，则垂线一定与抛物线交于。点，所以Z P O Q =9（）。，所以O P _ L O Q,所以满足；取P（0,l）,若O P上O Q,则有=0,显然不成立，所以此时OP LOQ不成立，所以不满足.故答案为：.【点睛】本题考查曲线与方程的新定义问题，难度较难.（1）对于新定义的问题，首先要找到问题的本质：也就是本题
13、所考查的主要知识点，然后再解决问题；对于常见的 +乂%=。，一定要能将其与向量的数量积为零即垂直关系联系在一起.7 71 6.在极坐标系中，直线Q S i n（e+）=2被圆p=4截得的弦长为_ _ _ _ _ _ _.4【答案】4、回【解析】将直线及圆分别化成直角坐标方程：x +），=2 j i，/+./=16.利用点到直线距离求出圆心到直线的距离为1.长等于46三、解 答 题（本题包括6个小题，共7 0分）1 7.某厂生产某种产品的年固定成本为2 5 0万元，每生产X千件，需另投入成本C（X）,当年产量不足8 0千件时，C（x）=-x2+1 0 x （万元）；当年产量不小于8 0千件时，C
14、（x）=5 1 x+U幽 1 4 5 0 （万元）,3x每件售价为0.0 5万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x （千件）的函数解析式;（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【答案】（1）-X-+4 0%-2 5 0,x e 0,8 0)1 2 0 0 一，+幽2卜 中0收)I X)(2)100.【解析】【分析】（1）利用利润=总售价-总成本，根据X的范围分段考虑L（尤）关于X的解析式，注意每一段函数对应的定义域；（2）求解L（x）中的每段函数的最大值，然后两段函数的最大值作比较得到较大值，即为最大利润.【详解】（1
15、）当x w 0,8 0）时，L（x）=（0.0 5 x l0 0 0 x）-f -x2+1 0 x+2 5 0 j=-x2+4 0 x-2 5 0,当x e 8 0,e)时，L(x)=(0.0 5 x l0 0 0 x)1 5卜+-1450+2 5 0)=1 2 0 0 卜 +所以 x)=x+4 0 x 2 5 0,x G 0,8 0)c c (1 0 0 0 0 A 、1 2 0 0-I x d-I.XG 8 0,+oo)(2)当x e 0,8 0)时，L(X)=-1X2+40X-250=-1(X-60)2+950,所以当x =6 0时，L（x）a=9 5 0 （万元）;业 r on （1
16、0 0 0 0、汽 1 0 0 0 0当x e 8 0,+oo）时，L（x）=1 2 0 0-x+-95 0 （万元），所以年产量为1 0（）千件时，所获利润最大.【点睛】本题考查二次函数模型以及基本不等式在实际问题中应用，难度一般.（1）求解实际问题中的函数解析式时，一定要注意函数的定义域；（2）利用基本不等式求解最值时要注意取等号的条件.1 8.已知数列伍“的前N项和为s“，且4=1,S,=/a“（eN*）.（I ）试计算s,S2,S 3,S 4,并猜想S“的表达式；（n）求出an的表达式，并 证 明（I ）中你的猜想.【答案】（I）答案见解析；（n）%=2（!一一二 ,证明见解析.【解析
17、】分析：（1）利用公式a“=S“-S,i，将已知转换成关于S“的递推公式，计算S-S 2，S 3,分子和分母的规律猜想出S”.（2）根据%=S“-S,i，结合通项公式的累乘法求出见.再运用求和证明（1）的猜想.详解：（I）由4=1,5.=q（*）得 占=1,S2=p S 3=|,S4=1,猜想 S =-（neA ）.n+l（口）证明：因为S,=/a“，所S T=（一l）2 a.T以，-得 S,一 S,T=一（一 I）?%，所以 4=n2a,-（/i-l）2_ran n-1化 简 得 工=-1 +1i,%_l%_2%_3 a _ n-所以 q 一C3 ，%4A 9%5-9.a,5 一 +1,2
18、2把上面各式相乘得=/所 以 面=，S4,在通过+n+l JS=q+4+%+一+42nn+lS.n=l点睛：数列4,=。c问题注意两个方面的问题:-S i n2（1）=1的特殊性；（2）时，消去知,如S,=2（S“-S,i）,可以计算S.；消去S ,如(一1)2 1，可以计算.19.小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题 得 1 分，做错一道题扣去1 分，不做得。分，总得分7 分就算及格，小威的目标是至少得7 分获得及格,在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记 6 分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为P(O P 鸟，只做一道更容
19、易及格.(1)设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为名，从余下的四道题中全做并且及格的概率为舄，求 8 及 舄；(2)由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？【答案】=p 2(3-2p),E=p 3(4-3p).(2)0 p；时，恰做一道及格概率最大；时，6 =8；P 4 且 片 心，片 且 片 舄，乙 片且号 三种情况.详解：Q=p 3+3 p 2(l )=p 2(32p),Pi=p4+4 p3(1-/7)=p3(4-3/7)；公 巴 且 丑 尼 66且 舄 且 乙 鸟，无解；综上，o g 时，恰做一道及格概率最大；时，6 =A；g P0；(
20、2)z =-i +z【解析】试题分析：(1)求 出 复 数 的 代 数 形 式，根据第四象限的点的特征，求出”的范围；(2)由已知得出 z=4 2马+Z2,代入Z 1,Z 2的值，求出彳=_ l +i .试题解析；(I)z2|4-a z1=5+a(l-2/)=(5+a)-2a/,由 题 意 得、,“(),解得“0.-2 a 0,/.s i n(x +)0.4兀 冗 32 k7i x-2攵7+凡即2%左-x 2%7十二肛4 4 4T T 3乃/(x)单调区间为 2攵 万 一2,2左乃+二,Z e Z4 4(H)由 知(I)知，x 0,红|是单调增区间，x e 主，扪是单调减区间4 43 正.耳/
21、、(0)=0 =0 (二%)=一04,4 2所 以 乙=f苧=4总4=/(O)=f =0考点：1.函数的导数解决单调性问题2 区间限制的最值问题.3.解三角不等式.2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题（本题包括12个小题，每小题3 5,共 60分.每小题只有一个选项符合题意）1.设 i 为虚数单位，则仅+严的展开式中含P 的项为（）A.15x4 B.15x4 C.20ix4 D.20ix4【答案】A【解析】试题分析：二项式卜+的展开式的通项为二_ =Crx 6-rtr,令6 _7=拶 贝 =2,故展开式中含小 的项为麾 汴=T5 ，故选A-【考点】二项展开式，复数的运
22、算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.二项式:飞+；）6可以写为:+x ，则其通项为则含d的项为7*-4久4=-15x4,2.圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是（）A.1 cm B.2 cmC.3 cm D.4 cm【答案】C【解析】【分析】设出球的半径，根据题意得三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，结合体积公式求解即可.【详解】设球半径为小则由3%+以=嚓，可得3x
23、万/+乃/x 6 =;r厂x 6 r,解得r=3,故选C.3【点睛】本题主要考查了几何体的体积公式的应用，考查学生空间想象能力以及计算能力，是基础题.3.在 A A 3 C 中，co s 2O =0上，则A 4 8 c 的形状为（）2 2cA.正三角形C.等腰或直角三角形B.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式代入。052 0=求得(；058=3,进而利用余弦定理化简整理求得a?+b 2=c2,根据勾股定2 2 c c理判断出三角形为直角三角形.【详解】E 正 2 B 1 +co s B 1 +co s B a+c a a2+c2-h2因为co s =-,所 以
24、 一-=二，有co s B=-=-2 2 2 2c c 2 acT T整 理 得/+=,2,故C =u，A A B C的形状为直角三角形.2故选：B.【点睛】余弦的二倍角公式有三个，要根据不同的化简需要进行选取.cos2 a=co s 2a sin2 a=1 -2 sina 2co s 2a -1 在判断三角形形状的方法中，一般有，利用正余弦定理边化角，角化边，寻找关系即可4.七-“+1)、的展开式中，X的 系 数 为()A.-10 B.-5 C.5 D.0【答案】B【解析】【分析】在(、/7+1的二项展开式的通项公式中，令x的幕指数分别等于2和1,求出r的值，得到含X2与x的项,再与一、与-
25、1对应相乘即可求得展开式中X的系数.X【详解】要求X的系数，贝+1的展开式中/项 与;相 乘，X项与-1相乘，(4 +1的展开式中X2项为C；(五=5/,与:相 乘 得 到5 X,(+1的展开式中X项为=1 0 x,与T 相乘得到一l()x,所以x的系数为-1 0+5 =-5.故选B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式及特定项的系数,5.若、.=仆 在：_工 _切 可导，且,汽1贝廿：口；=(li m =1属于基础题.)B.2C.3D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义进行求解即可.【详解】l i m-8=ji j r-0 3 AX即，；ar（a）=1则.r（a）
26、=：故选D.【点睛】本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键.6.下列命题中为真命题的是（）A.若x wO,X d 2 2XB.命题：若V=l,则1 =1或x =l的逆否命题为：若X W 1且X W-1,则f w lc.二1 是直线了一世二0与直线光+故=。互相垂直的充要条件D.若命题 P：天 R,/-x+1 0【答案】B【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论.详解：对于A,x 0,利用基本不等式，可得x +，2 2,故不正确；X对 于B,命题：若2=1，则X=1或1 =-1的逆否命题为：若X W 1且不。一1,则无2工1,正确；对 于C,“=1 是 直
27、 线 九 一 殴=0与直线x+a y =O互相垂直”的充要条件，故不正确;对 于D,命 题 命 题 凡 工2一1+1 可得。2=1。3=1，由此归纳出。”的 通 项 公 式=12（an-【答案】C【解析】【分析】推理分为合情推理（特殊f特殊或特殊f 一般）与演绎推理（一般f特殊），其中合情推理包含类比推理与归纳推理，利用各概念进行判断可得正确答案.【详解】解：:A中是从特殊f 一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊一特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C为三段论，是从一般一特殊的推理，是演绎推理；D为不完全归纳推理，属于合情推理.故选
28、：C.【点睛】本题考查推理中的合情推理与演绎推理，注意理解其概念作出正确判断.加+献1 1.已知i 是虚数单位，m,n R,且 m+i=l+ni,则-=()m-n iA.i B.1 C.i D.-1【答案】A【解析】【分析】tri 4-rii先根据复数相等得到?、的值，再利用复数的四则混合运算计算-m-m【详解】因为m+i=l+i,所 以 机=1,则;=,.=i-1-z(l+z)(l-z)故选A.【点睛】本题考查复数相等以及复数的四则混合运算，难度较易.对于复数的四则混合运算，分式类型的复数式子,采用分母实数化计算更加方便.1 2.已知抛物线C:y 2=4 元，过其焦点厂的直线/交抛物线C 于
29、 A,5 两点，若 净=3 在，贝！J A O E 的面 积(。为坐标原点)为()A.B.73 C.生叵 D.2 G3 3【答案】B【解析】【分析】首先过A 作 明，4 4,过 3 作(4 g 为准线)，B M A.AA,易得N A 8M=30,Z A F H=60.根据直线A F：y=6(x-1)与抛物线联立得到西+=弓，根据焦点弦性质得到|AB|=y,结合已知即可得到|A H|=|A 耳sin60=2 百，再计算S 即可.【详解】如图所示：过A作 的，4耳，过8作B B|_ L A 4（A用为准线），B M L A A.因 为 界=3外,设 忸 目=&,则|A F|=3，网|=|AM=A.
30、所以|A M|=2人.在 R 7 Y 4 B M 中，|A M|=JAB|,所以 NA 8 W=3 0 .则 Z A F H =6 0 .F（l,0）,直线4厂为丁=#（一1）.卜2=1）=3犬-1 0 x+3 =0 /=4 x 2 3所以|A却=h+=弓+2 =当，|4同=；|4川=4.在R 7 V A F H中，|四|=|4丹s in 6 0 0=2 g.所以 SVAOF=g xl x2 百=J.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.二、填 空 题（本题包括4个小题，每小题5分，共2 0分）1 3.正方体B C D -工 为Q D二中异面直线A D
31、：与D C _所成角的大小为-【答案】6 0。【解析】【分析】由正方体的性质可以知道：0 C,A B.，根据异面直线所成角的定义，可以知道工3就是异面直线AD与DC所成角，根据正方体的性质可以求出乙B.A D.的大小.【详解】如图所示：连接AS,因为D C J/A S 所以土为A D 二 就是异面直线A D.与D C：所成角，而A&、m、DB.是正方体面的对角线，它们相等，故三角形 8 D是等边三角形，所以乙 为 A D;=6 0)因此异面直线A D.与DC.所成角的大小为6 0 故答案为6 0 c【点睛】本题考查了异面直线所成的角,掌握正方体的性质是解题的关键.1 4.设函数/(x)=x+F
32、kg(x)=M，+e T)2,(a 0),若对任意的 e 2,3 ,存在x2e-l n 2,l n 2 ,使得/()=g(/),则实数。的取值范围是.2 1 5【答案】喘3【解析】【分析】由任意的 e 2,3 ,存 在 G -l n 2,l n 2 ,使得/(%)=g(X 2)，可得了在王 2,3 的值域为g(x)在赴 6 -I n 2,I n 2 的值域的子集，构造关于实数”的不等式，可得结论。【详解】由题可得：f(x)=l-I,令 r(x)=l -J。，解得：2x,令f M=1 7=。，解得：x=,令/(x)=l J=0,解得：Ux 0),所以 g(x)在 I n 2,I n 2 为偶函数
33、；当0 W x W l n 2时，g(x)=由于0 W x n 2,则/2 1,0 1,由。0,即当0 x l n 2 W,g(x)=a(e=e T)2 0,故函数g(x)在 0,I n 2 上单调递增,在-山2,0 单调递减,g m in(x)=g()=2。-2，g1 1 1 ax(X)=g(-l n 2)=g(l n 2)=；。一2 ,故 g(x)在 e 1-I n 2,I n 2 的值域为由任意的王e 2,3，存 在 吃 -I n 2,I n 2 ,使得/(%,)=g(x2),可得f(x)在x1G 2,3 的值域为由x)在f 2 a-2 1 0 21 2 4所以实数。的取值范围是 2,之
34、1 0 2【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，解题的关键是根据条件分析出f(x)在 玉e 2,3 的值域为g(x)在I n 2,I n 2 的值域的子集，属于中档题。1 5 .在数列 4中，若q=1,。,川=q+2,则该数列的通项%=.【答案】2/2-1【解析】【分析】根据条件先判断数列类型，然后利用定义求解数列通项公式.【详解】因为。京=。“+2,所以q所以 ,是等差数列且公差d=2,又=1,所以a“=1 +2(一1),所以。“=2一1,故答案为：2 1.【点睛】本题考查等差数列的判断及通项求解，难度较易.常见的等差数列的判断方法有两种：定义法、等差中项法.1 6 .已 知 两 个 单 位
35、 向 量 匕 的 夹 角 为6 0 ,c=ta+(-t)b,若b-c=0,贝=.【答案】2；【解 析】【分 析】【详 解】rr r 2 r r r p试题分析：由/.c=0可 得，ta-b+b=0,/./|-b c o s 6 0 +(1-Z)b=0,即 1 L =0,.“=22故 填2.考 点：1.向量的运算.2.向量的数量积.三、解 答 题(本 题 包 括6个 小 题，共7 0分)1 7.已知抛物线 2=4无，F 为 其 焦 点,过 户 的 直 线/与 抛 物 线 交 于A、B 两点.(1)若 A F =2 F B，求3点的坐标;AB(2)若 线 段A8的 中 垂 线/,交 轴 于 点 求
36、 证：局为定值;(3)设尸(1,2),直 线 丛、分别与抛物线的准线交于点S、T,试判 断 以 线 段S T为直径的圆是否过 定 点？若 是，求出定点的坐标；若 不 是，请说明理由.【答 案】；，向或，-；证 明 见 解 析;以 线 段S T为直径的圆过定点，定点的坐标(一3,0)或(1,0).【解 析】【分 析】(1)设点8(%,%)，设 直 线/的 方 程 为x=m y+l,将 直 线/的 方 程 与 抛 物 线r的方程联立,列出韦达定理，由A E =2 E B，可 得 出X =-2%,代 入 韦 达 定 理 可 求 出 为 的 值，由此可得出点8的坐标;(2)求 出 线 段AB的 中 垂
37、 线/的方程,求 出 点M的坐标，求 出w回、|口0|的表达式，即可证明出明FM为定值;(3)根据对称性知，以 线 段S T为 直径的圆过x轴上的定点，设 定 点 为。(4,0),求 出 点S、T的坐标，U li UL1由题意得出T Q.S O=0,利用平面向量数量积的坐标运算并代入韦达定理，可求出夕的值，从而得出定点的坐标.【详 解】设 点A(x，y)、B(9,%)，设 直 线/的 方 程 为=冲+1，易 知 点*1,0)，UUUA F =(l X ,yJ,F B =(x2-l,y2),由 A R =2 必 可 得 一 加 =2%，得|=一2%.x=my+1.将直线/的方程与抛物线厂的方程联
38、立2 ；，消去X得，y2 4m y-4=0,y=4x 由韦达定理得y+%=4加，Y力=-4，Q y=-2%，%=一2代=-4，得 =g.此时，X2=y l=L,因此，点5的坐标为或一（2）易知*0,山=2加，心 J（g）+l=2 W+i,2 2 2所以，线段AB的中点坐标为（2，川+1,2。，则直线r的方程为了一2根=一根（x 2加21）,即y=rn x+2，2+3 m,在该直线方程中，令y=0,得x=2 +3,则 点 用（2加+3,0）.|AB-J 1 +m?.|玉 一%21 =J l+M -yj（xt+x2）-4XIX2=4+1）,|FA1|=|2/?22+3-l|=2（/7r+l）,因此
39、，境=胆二4 =2（定值）；1 /|FM|2（加+1）（3）如下图所示：U L T、）u iiPA=（X-1,丫 -2）=才 一L y-2,PS=（-2,5 2）,I 4 7uui uu/x（v?、/、2 y1 4P、A、S三点共线，则 PAPS，则（s 2）1 =一2（,一2）,得5=方，I 4 J X则点5（-1,马二,同理可知点r j-1,马 二 .I x+2J z r+l ：r+1C2 0A-C2 0 A/妗殂i，化简得 204 一 l 2 0 4202-12U-ran对 一 切nW0,1,.10均 成 立，得至上,20A-1 4-5二：，解不等式组即可得到答案.5 4 2 4 61
40、+2【详 解】(1)通项公式为r=0,1,1,.10,.由 a3=llai 得，C；()A 3=I I C；OM,解得入=1.(1)假 设 第r+1项系数最大，因为人是正实数，依题意得解 得 A21-rr+12 0-r202-11+22UT+I,变形得 r 因 为asNan对 一 切nd0,1,.10均成立,4 43451 +2u 212,5 -61 +A16155,6-4 CC，AAj =(0,2,0)(0,1,0)A C=-,0,(1,0,1),I 2 2)所以其法向量可表示为=(1,0,1).(01、又 D E=,-,0 f(血,0),、3 3 ,D E n 5/3所以直线力上与平面A
41、4G C成角的正弦值=i T Q Q =一1.DEn 3【点睛】证线线垂直一般是通过线面垂直进行证明，本题其实还可以采用射影逆定理进行证明，通过证明与斜线垂直即D E LC O,推出与射影垂直，D E V M D,不妨一试；对于像本题中第二问不太好确定线面关系而又发觉立体图形比较规整的，比如说正方体、长方体、正三棱锥，直棱柱等，都可直接考虑建立空间直角坐标系来进行求解2 1.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的1 2个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过2 0克的为合格.(1)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，
42、检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；(2)若从甲、乙两车间1 2个零件中随机抽取2个零件，用X表示乙车间的零件个数，求X的分布列与数学期望.1 7【答案】(1)(2)见解析5 3【解析】分析：(1)设事件A表 示“2件合格，2件不合格”；事件3表 示“3件合格，1件不合格”；事件。表示“4件全合格”；事件。表 示“检测通过”；事件E表 示“检测良好”.通过P(0=P(A)+P(B)+P(C),P (E)=P (B)+P (C),P(E|0 =而j +不 徜。求解概率即可.(2)由题意知，X的所有可能取值为0,1,2,求出概率得到分布列
43、，然后求解期望即可.详解：(1)设事件A表 示“2件合格，2件不合格”；事件3表 示“3件合格，1件不合格”；事件C表 示“4件全合格”；事件。表 示“检测通过”；事件E表 示“检测良好”.，P(O)=P(A)+P +P(C)=等+等+3=|(同 )=第b瑞 唱 故 所 求 概 率 为*(2)X可能取值为0,2p(x=o)=旨W，p(x=i)=等q,p(x=2)咯=分布列为X012P1 4331 6331H所以，f(X)=0 x +l x +2x =-.)33 33 1 1 3点睛：本题考查条件概率的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力.22.已知复数2=(2
44、+力/一自竺一2(1-i),其中i是虚数单位，根据下列条件分别求实数 2的值.1-1(I)复数Z是纯虚数；(H)复数Z在复平面内对应的点在直线x+y =0上.【答案】(I)m =-；(II)加=0或，w=2.2【解析】【分析】(I)根据纯虚数为实部为0,虚部不为0即可得到方程，于是求得答案；(II)将复数二在复平面内对应的点表示出来，代入直线上，即可得到答案.【详解】解：因为me R,复数二可表示为z =(2+i)加2-3加(1 +，)-2(1-。=(2加 之 _ 3加2)+(4-3m+2)z,一 皿 2 m2-3m -2=0,(I)因为z为纯虚数，所以m-3m+2 w 0,解得力二一1；2(
45、II)复数z在复平面内对应的点坐标为(2 3 Z-2,/-3?+2)因为复数z在复平面内对应的点在直线x+y =0上所以 2m2 -3m 2+m2-3m+2=0即 3m2-6/7?=0解 得=0或6=2.【点睛】本题主要考查纯虚数，复数的几何意义等相关概念，难度较小.2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题(本题包括12个小题，每小题3 5,共 60分.每小题只有一个选项符合题意)1.PQ是异面直线。力的公垂线，B e。，C 在 线 段 上(异 于 P,Q),贝！|A 6 C 的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.三角形不定2.在(五+,严 的展开式
46、中，X 的塞指数是整数的共有XA3 项 B4 项 C5 项 D.6 项3.命题：工一1 0；命 题 一 工 一 6 0 .若。八4 为假命题，为真命题，则实数工的取值范围是()A.x 3 B.-2 x 3C.一 2 c x 1 或尢N3 口-2 1 34.正方体ABC。-4 4 G A 中，若R AC 外接圆半径为2 匹,则 该 正 方 体 外 接 球 的 表 面 积 为()3A.27 B.84 C.12万 D.16万/95.若随机变量X 满足x 且 E=3,D X -,则 2=()13 12A.-B.-C.-D.一4 4 2 36.已知函数/(x)=V -3mx2+1 2(/H e N*)在
47、 x=1 处取得极值，对任意 x e R J(x)+27 0 恒.1 2 4034 4035成立，贝！I f (-)+f (-)+.+f (-)+f (-)=2018 2018 2018 2018A.4032 B.4034 C.4035 D.40367.某创业公司共有36名职工，为了 了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了 9 位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(元-s/+s)内的人数占公司总人数的百分比是(精确到1%)（）3 1 6 6 7 74 1 4 0 3 4 3A.56%B.14%C.25%D.67%8.下列不等式成立的是（）A.1.22 1.23 B.1.2-
48、3 log,2 3 D.log02 2 左在R上恒成立，则上的取值范围是（）A.k3 B.k-3 c.k-3 D.3二、填 空 题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）1 3.向量a,b，C在正方形网格（每个小正方形的边长为D中的位置如图所示，若 向 量 然+。与C共线，贝 .1 4 .在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（7 0,1 0 0）,已知成绩在8 0到9 0分之间的学生有1 20名，若该校计划奖励竞赛成绩在9 0分 以 上（含9 0分）的学生，估计获奖的学生有.人（填一个整数）（参考数据：若X N 3b2）有P（c r X”+b）=0.6 8 26,
49、P（-2c r X 强切+2c r）=0.9 5 4 4,P（/-3 c r 0）的焦点为厂，准线为/,过点厂的直线交抛物线于A ,B两 点,过点A作准线/的垂线，垂足为,当A点坐标为（3,%）时，A A E E为正三角形，则夕=.三、解 答 题（本题包括6个小题，共7 0分）1 7 .己知函数 f（x）=公-x,g）=nx.(1)求函数G(x)=/(x)-g(x)的最小值;(2)若/(x)i a g(x)恒成立,求实数a的值;(3)设/(幻=/(x)+有两个极值点药,工2(玉 W)，求实数?的取值范围，并证明、3 +4 1 n2v 1 61 8.某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出6 0
50、名学生，并统计了他们的物理成绩(成绩均为整数且满分为1 0 0 分)，把其中不低于5 0 分的分成五段 5 0,6 0),6 0,7 0),.,9 0,1 0 0)后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题:(1)求出物理成绩低于5 0 分的学生人数；(2)估计这次考试物理学科及格率(6 0 分以上为及格)；1 2(3)从物理成绩不及格的学生中选x 人，其中恰有一位成绩不低于5 0 分的概率为一，求此时x的值；9 11 9.(6 分)在四棱锥AB C O E 中，侧棱AO,底面8QD E,底面8C 0E 是直角梯形，DE/BC,B C.L C D,B C =2 A D =2 D