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1、第 一 章 行 列 式.1第二章矩阵及其运算.14第三章矩阵的初等变换与线性方程组.31第四章向量组的线性相关性.48第五章相似矩阵及二次型.75第 一 章 行 列 式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:-1-3O-48211tX172)111-3O-48211t-2x(-4)x3+0 x(-l)x(-1)+1 x 1 x8-Ox 1 x3-2x(-1 )x8-1 x(-4)x(-1 )=-24+8+16-4=-4.b cc a;a b解bccQahc1(3 a1 1b cb2 c2解解a b c=bc2+ca2+ab2-ac2-ha2-ch2=(2=(-1)2 D,D3D.证明 因为O=d
2、 e t(%)，所以=(一1)1+2+(-2)+(-1)n（n-1）。二（一 1 尸。.同理可证1)%-4 -1)(/?-1)D,=(-l)-.=(一1)丁 加=(一1)丁 D.an ann(/?-1)2=(1)2 2=(1)n-（-1 。=（-1 广）。=8.计算下列各行列式（R 为攵阶行列式）:1a(D&=1,其中对角线上元素都是。，未写出的元素都是a0；解Dn =（按 第n行展开）a00 .-010a0 -0000a-00000 a01 00 -0a=(T)+iooQ-ooQoooooo11 oooooo-aa+(-1 产。,.a(zi-l)x(n-l)a二(一 l)+i (-1)”+a
3、n=a-an-2=an-2(a2-l).a(n-2)(-2)x a a(2)。“=a x a.a a x解 将 第 一行乘(T)分别加到其余各行，得0Xaaa-x x-a0Dn=a-x0 x-aa-x0aoo.0 x-a再将各列都加到第一列上，得x+(n-Y)a aaDn=a0 x-a0 ,00 x-a0000 0 x-a3 1)(a-ri)n(a-l)i(a-n)nla 1a-n511=x+(n-l)a (x-a)/,-1.解 根 据 第 6题结果，有1n(n+l)C l1ci 1(Q 1 尸3 1)1a-n(a-n)n此行列式为范德蒙德行列式.n(n+)2+1=(l)k Y (a-i+1)
4、-(a-j+l)n+l i j=(T尸IlH/-./)n+i j(+1)+(-1)+1 _=(-1 尸-(-1)n(”j)w+l Z j=n(f).n+l/J14 4(4)%=?)；G 4解anbnD2=个号(按第i行展开)%0a bq 4%od i 00 dn an-a bi+(-1产+c.d】再按最后一行展开得递推公式D 2n=a 4 D 2n-2-b 2n 一2,即 D 2 n=(anb心D2n一2,于是而所以与 二!，一%)/i=2n02n=n(%4 一姐)i=l。=d e t(a)，其中 a月T；解3 j=l讨,0 11 0Dn=d e t(a-)=；之21013210n n-2 n
5、-3-4 n n-2 n-3 H-4-0r-rir2 r3C2+CC3+C=(-ir-1 1 1 1-1 -1 1 1n n-2 n 3 n-4000-200-2-20-2-2-27 7-1 2-3 2 n-4 2H-5(一I R K111100000n-1（6）2 =l+tZ|11 +%11其中。出,一4F0.1 1 1 +。“解1 +Q 1 11 1 +tZ2 ,1 1 1 1+a”C2C3=aia2-=a1a2-C C200.00i-a%0 00 10%00 1000-%an-1000 0an 1 +。“i00 00ax 1 1 0.00夕,q0 1 1 00婷000一1 1*000 0
6、 1 1+1 00.0001 0.00魅1001 00媪000 01晒000.00ni+E 1i=l=（的2“X1+Z1=1q8.用克莱姆法则解下列方程组:(玉+%2+退+%4=5 J 玉 +2X2X3+4X4=22X J 3 x2x,5 x4=23+X2+2X3+1 1X4=0解 因 为11234-5U11T5114-111111-25-2-2O*23dn3.4T1114-111111-212-31-)22)5一一oA-)22)5-o1111z2112311111231&二一4 2 6,D4=-)22)5-o12-311111123。3=所以 1 *2=9 =2,%35%+6%2 =1%+5
7、%2+6%3 =0(2)c(u 11065106510051000=7 0 3,D4=0006500651clII(c)c()6510051000A=2 1124cIMj cl l lu-400651065106510051000一一A所以_ 1 5 0 7 _ 1 1 4 5 _ 7 0 3 _ 一3 9 5 _ 2 1 2玉 一 苗 马 次，3一 丽，4 谒，4一 标 为什9十七二。9.问4 取何值时，齐次线性方程组再+用2+毛=0有非零X1+2/X2+A3=0解？4 1 1解 系数行列式为。=1 1=/-1 2 1令。=0,得 火0或 在1.于是，当 玲。或 加1时该齐次线性方程组有非零
8、解.1 0.问2取何值时,(1 A)%2 x 2+4 毛0齐次线性方程组2%+(3-团+*3=0有非玉 +%2 +(1 一4)%3 =0零解?解系数行列式为1 A 2 4D=2 3-A 11 1 1-A1A 3+2 42 1-A 11 0 1-/1=(1 A)3+(A 3)4(1 A)2(1 A)(3 A)=(l-A)3+2(l-A)2+A-3.令0=0,得 AO,Q2 或 在3.于是，当 心0,心2或 在3吐 该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知线性变换：百=2乂+2%+%2=3%+%+5%，、演=3%+2%+3%求从变量X1,尤2,无3到变量y i,V2,力的线性变换.解由
9、已知:故233233/I/(-1一一I一一|7|-i7百x2毛My 2y 2fzIX/153153211221-2T32,76323yyy/I/)749一一y=-7%4%2+9乃 y2=6x1+3X2-7X3%=3%+2%2-4%32.已知两个线性变换卜=2%+%W=-3 Z +Z 2/二一2为+3%+2%,y2=2 z+z3,玉=4%+%+5%=一2 2+3 Z 3求从Z l,Z2,Z3到Xh X2,X3的线性变换.解 由 已 知%1*3 J(2=-24f 2 0 1 Y-3 1-2 3 2 2 01 4 1 5人 0 -10)13 J%2-6 1 3 丫 41 2 -4 9-1 0 -1
10、1 6Z 2火Z3玉二-6ZI+Z2+3Z3所以有%2=124-42+%.X3=-10Z1-Z2+163fl 1 13.设4=1 1 -1U T 1(12 3、B=-1-2 4,求 3 A 8 2 A 及 A7(0 5。fl 1 1解3 A B-2 A=3 1 1 -1(1-1 12 3、-2 45 1 Jfl-2 17ii110 5 8、fl 1=3 0 -5 6 -2 1 1(2 9 O j (1 -1fl 1 1 Y12 3、（01 3 2 2 1-1 7 2 02 9-2 j5 8、A1 B=1 1 -1 -1-24=0-56U-1 1 人 0 5 1 J (1 0).J(2(3)1
11、(-1 2);解1 (-1 2)=解(20-5-6)-解%（再X2退）42a!3。1 3%3*23 3人 工3)二(X+a 2%2+1 3X 3。2九 1 +4 2 2 X 2+4 2 3 X 3。1 3/1+2 3 1 2+3 3工3)VX3 5.设A=0 ；),6=,问:AB=BA吗？解 ABBA.因为 ，3，所以(2)(A+B)2=A2+2AB+B2 吗？解(A+B)2A2+2AB+B2.因为 A+6=g ,(A+5)2=(；5J2.(A 29 但-2”+叫;R +8+1 0V)一f1lO15 2176所以(4+8)2 必2+2 4 8+82.(3)(A+B)(A-B)=A2-B2 吗？
12、解(A+B)(A-ByA2-B2.因为4+3=住?，A，U ,-5)=修邹.(J .而小叫通和制;引故(A+8)(A-8)WA2-B2.6.举反列说明下列命题是错误的：（1）若 1=0,则4=0;解 取 A=1），则储=0,但A M.若T=A,贝 0或A=E;解 取A=：）,贝 M y 但A M且AW若A X=A 匕 且AM,则乂=解 取A=fo 8 x=G；）,丫=；）,贝|J A X=4 R 且 A wO,但 Xwy.7.设A=；J L 求A2,T,.A”.解A?=(1 oY i oA_f i o)U 1 JU 1 厂 122 1JA3=A2A=1 0Y122 1版03h，(X 1 0、8
13、.设4=0 2 1,求屋.(0 0 A)解首先观察(4 1 OY/t 14 2=0 2 I 0 4；0 0 秋0 0，矛3矛A3=A2-A=0 允o 0，九4无o力、0 0“5小A:,=A4-A=0 先(0 00、1=03/113矛，源6心4兄,矛J10箱5无 无k无 T 辿 尤 力Ak _ 2A 一 0无 攵 无 TI 0 0 比用数学归纳法证明：当k=2时，显然成立.假设攵时成立，则上+1时,)吠TAk+=Ak,A=0 无0 02A 1 1矛240期Jk(f刀a0无 (01A00)17龙+1/+1)无T0 无+】0 0(左+1火/一|、(左+1)犷产)由数学归纳法原理知：尤女尤T 丝 龙-
14、2、2Ak=0 无 k无一 .0 0 无I)9.设A,8为正阶矩阵，且A为对称矩阵，证明87AB也是对称矩阵.证 明 因 为 所 以(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATBBTAB,从而BTA B是对称矩阵.10.设A,8都是阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是48=84证明 充分性：因为且A8=BA,所以(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,即A B是对称矩阵.必要性：m AT=A,BT=B,且依1人 用 所以AB=(AB)T=BTAT=BA.11.求下列矩阵的逆矩阵：人;解4=A*=2 5/%/(42/|川=1,故 存 在.因 为 5-2)故(2)cos-sin61).si
15、n cosO解A=(第，U%囿T W故4T存在 因为 oL ll(z v w olz Jcos。sin。一sin6 cos。所以 AT=|j A*_ cos sin%一 -sin。cos。)1 2 f 3 4-2;15-4 1 Jfi 2-n解 A=3 4-2.|A|=2M,故A-1存在.因为(5-4 1 J(%4*=A2f-4 2 0)13 6 1人23(-32 14-2j所以4 4 AFi 4 2%1 0 q3-217-U(a,1 a2(4)0Z解 A=00(aa2-a M).生”0”,由对角矩阵的性质知a“.1、011 2.解下列矩阵方程:(2 11 -1-6142VBA5-22382o
16、(2)X 2 11 -1-no 4323解X=-1 33 2(2 11 1o1-_ lfl-1 3一3 2 1-20332)7oo2fo 1(4)1 0(0 001 fl 0 0、0 X 0 0 1(0 1 OJfl-4 3)=2 0-1U-2 Oj解fo i OY7Ix二1 0 00 0 1J2-4 3 Y1 0 OY10-1 0 0 1-2 0 人0 1 Ojfo 1二1 0(0 00Y1-4 3Y1 0 010 2 0-1 0 0 11 人 1 -2 0 XO 1 Oj(2-1二1 3U 0 4一 2,13.利用逆矩阵解下列线性方程组:%+2马+3%3=1(1)2%+2+5%3=2;3g
17、+5%2+%3=3方程组可表示为fl2133丫玉 缶5%=2 ,(3丫71、解V故，2 =253V2=0,3)从而有X-X2-X3=2(2)A-1A(A-E)=2A-1E =；缶-E),A2-A-2E=O(A+2E)A-3(A+2E)=-4En (4+2E)(A-3E)=4 E,(A+2E)-1(A+2E)(A-3E-4(A+2 E)-1,(A+2E)T=；(3E-A)-16.17.解设 A 为 3 阶矩阵，|A|=；,求|(2A)-L5A*|.因为所以|(2A)-1-5A*HA-1-5|A|A-lH|A-1-|A-11=|-2A-11=(-2)3.t|=-8|A|T=-8X2=-16.设矩阵
18、A 可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且(A*尸=(4力*.证明 由4 一 1=占 4*,得 4*=囿4,所以当A 可逆时，有H*|=|A|AT|=|A|FO,从而A*也可逆.因为A*=|A|A，所以(A*尸=H .又 A=(A T)*=|A T)*,所以(A*)T=H=|川T|A|(4T)*=(4T)*.18.设阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:若同=0,则以*|=0;证明 用 反 证 法 证 明.假 设 则 有A*(A*尸=瓦4=A A*(A*)T=|A|E(4*)T=0,所以A*=。，这与|A*|W O矛盾，故 当|川 二0时，有|A*|二0.由此得(2)由于则A 4*=|川E,取行列式得到|
19、A|A*|二|4|.若|A|M,则|A*|=|A|T;若|A|=0,由知|A*|=0,此时命题也成立.因此|A T=|A|i.19.解20.解(0 3 3、设4=1 1 0,AB=A+2 B,求民1-1 2 3J由 AB A+2 E 可得(A 2E)B=A,故f-2B=(A-2 E)-lA=1(T3 3Y f 0-1 0 12 1)l-l3 3、1 02 3jf i o n设A=0 2 0,AB+E=A2+B,求氏U 0 1J由 AB+E=A2+B 得(A-E)B=A2-E,f 0 11330321即(A-E)B=(A-EY A+EY0 0 1因为|A-E|=0 1 0=-1。0,所以(A-E
20、)可逆，从而1 0 0(2 o nB=A+E=0 3 0.U 0 2；21.A=d i ag(l,-2,1),A*B A=2 B A-S E,求艮解 由 A*M=2B4-8E 得(A*-2 E)B A=-S E,8=804*2石 尸 4-1=-8A(A*2 0=-8(AA*-2A)-1=-8(|A|E-2A)-1=-8(-2E-2A)-1=4(E+A)T=4diag(2,1,2)-=4diag(；,-l,；)=2diag(l,-2,1).1 0 02 2.已知矩阵A 的伴随阵4*=；：、0-3 0H AB A-l=B A-1+3E,求 8.解 由|A*|=|A|3=8,得囿=2.由 AB Al
21、=B Al+3E 得oO0-6oO1OO1-O31O1O60603606而AB=B+3A,8=3(A-E)T4=3A(E-AT)A=3(E-；A*尸=6(2E-A*尸0 0、0 06 0,0 -U23.设 P%P=A,其中 P=(一;一),A=(1 9,求 解 由 EP=A,A=PAP-l,所以*=A=PA“pT.|P|=3,尸*=(二”人 中 .A H=f_0 2)=0 211故A(_l 34)3 2731 2732)一(-683-684J-37fl2 4.设 AP=PA,其中 P=1i n r-i0 2,A=-1 V 求贝4)=48(5E-6A+f).解 A)=A8(5E-6A+A2)=d
22、iag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)=diag(l,l,58)diag(l 2,0,0)=12diag(1,0,0).44)=尸 例=1加(A)P*fl 1 1Y1=-2 1 0-2 0U-l 认 00、0ojf-2 -2 2、fl 1 n-3 0 3=4 1 1 1l-l 2-1J(111J0002 5.设矩阵A、B 及A+B都可逆，证 明A+B-1也可逆，并求其逆阵.证 明 因 为 A-A+B)B-=B-+A-l=A-+B 而A-A+B)B-是三个可逆矩阵的乘积，所 以A-A+B)B-1可逆，即A-+B-可逆.04-1+夕=4
23、7 缶+8)87=8(4+8)-%.Q 0 3”0 1 2-10 0-2 3、0 0 0-3)j 1 2 1 0*4*番 0 10 126.计算 o o 2 10 0 0 3解A=设1142 o11 3A=3 2-2 o-3 3则 HI 二 份 级 蓝，而 A B1+B2=g 2Y3 JU-2 _3U|_21刎=3)0-3所以即27.E4YJE10202100TOON0 31 20-20 0000解Ac3Qo一oo11o-耳 A4+B2层广A2B2)n 13一 3,f l 20 10 0(o 052 40211oo-7o2-43-95 2、2-4-4 30-9JJA=B=-C=D=,验证010
24、01012oTo2o-o001o01oo2-0-14一一o11oo2而故28.解A BC DA B AC CBD(3 4 设 4=o n，求麻I及 Ato W W则故|A8HA8M相 AH4|8=I O%f54 00 54Oo24 026 2、2 9.设阶矩阵A 及 s 阶矩阵3 都可逆，求(1)O AB O。s纥。pl/GQGGI/-kr_H7AooBz/n设解出OI。EsT3Y1cc，A-oo氏-n。纥-GC 4GQAAno00r.；、ILGgz/lkH7Ao06B-oOA-1/(Ik-Tn/Ao08得此以由所解 设 信 2cs加,则(A 0丫2AD AD2)c BD3 D4)CD,+BD
25、3 CD2+BD4)2=4-1D,=0R3A D*、AD,=OCD.+BDO=CD,+BDA=E，（称】Q B心-勒.由此得所以3 0.求下列矩阵的逆阵:328on 5;21co32Jr5120085A=2100殳 52oiD解z(OAo38253285心25-122152-38002525001200/IH=7B-008521005200/I是于000400310212Acoo1-312z/n1=01-21-650031021211-21-21-8rI第三章矩阵的初等变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简形矩阵：f l 0 2(1)2 0 3 1 ;(3 0 4 -3)10 2 f解 2
26、0 3 1 (下一步：-2+(-2,小+)。)(3 0 4 -3)(1 0 2-0 0-1 3(下一步:-2+(-1),夕(一2).)1,0 0-2 0 J 1 0 2-A-0 0 1-3 (下一步：r 3T 2.)(0 0 1 o j八 0 2-0 0 1-3 (下一步：-3+3.)(0 0 0 3)0 2-4-0 0 1-3 (下一步：2+30)(0 0 0 1 Jn o 2 T-0 0 1 0(下一步：+(-2)/2,r +r3.)X=M=(_：7 4(1-1 0)设4=0 1 -1,AX=2 X+A,求 X.l-i o U74解原方程化为(A-2 E)X=A因为f-1-1 0 1 -1
27、 0、(A-2 E,A)=0-1-1 0 1 -10-1-1 0 1,f l 0 0 0 IT)-0 1 0-1 0 1(001 1 -1 oj(0 1 -1X=(A-2 E)A=-1 0 1I 1-1 oJ6.在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r-1阶子式？有没有等于0的r阶子式？解 在秩是r的矩阵中，可能存在等于0的r-1阶子式，也可能存在等于0的r阶子式.(1000)例如，A=0 1 0 0，取4)=3.(0010)o o ooo是等于0的2阶子式，10 0是等于。的3阶子式.u 口 0 1 07.从矩阵4中划去一行得到矩阵民问A,8的秩的关系怎样？解 R(A)N R.这是因为B的非零子式
28、必是4的非零子式，故A的秩不会小于B的秩.8 .求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解 用已知向量容易构成一个有4 个非零行的5 阶下三角矩阵:(1 0 0 0 0)1-10 0 01 0 1 0 0,0 0 0 1 0、0 0 0 0 0,此矩阵的秩为4,其第2 行和第3 行是已知向量.9 .求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：(3 1 0 2、(1)1 -1 2 -1;U 3-4 4；(3 1 0 2)解 1 一 1 2 -1(下一步:r r2.)U 3-4 4j(i -i 2 -i 3 1 0 2 (下一步：2-3 修，厂 3 f.
29、)(1 3-4 4 j 1 -1 2 -1、0 4 6 5 (下一步：3-)(0 4 -6 5)(-1 2 -1 0 4 6 5 ,10 0 0 oj矩阵的秩为2,=4 是一个最高阶非零子式.3 2 -1-3 -1(2 )2 -1 3 1 -3 ;、7 0 5 1 8,2解133O-81O4-492774O7119OOO矩阵的秩是2,解80531320二2231r2232O8053oo3-2oo1乂1oroo2Oo3ooo1lxro2OOOOOOOO1Azf1oooOO（下一步：rx-r2,r2-2 rv-5 （下一步：r3-3 r2.）3-7人）5 71A-1 A5-2i=-7是一个最高阶非
30、零子式.-17）5037822 6-43-1002 132002-17、5（下一步：勺 一2r小 七 一2r4,r3-3r4.）7 50oj（下一步：r2+3r,r3+2 r,.）711614oj7、10oj:0）7i 1 oj（下一步：上 十16%,r3T 6r2.）矩阵的秩为3,O782053 0=70。0是一个最高阶非零子式.1 0.设 A、8都 是m x n矩阵，证 明AB的充分必要条件是R(A)=R.证 明 根 据 定 理3,必要性是成立的.充分性.设R(4)=R(8),则A与8的标准形是相同的.设A与8的标准形为D,则有AD,DB.由等价关系的传递性，有4 81 -2 32、11.
31、设4=-1 2k-3，问攵为何值，可使U -2 V(1)R(A)=1;(2)R(A)=2;(3)R(A)=3.1 -2 3 Kl解 A=1 2k 3U-2 v 1k 1k 0k 100-(k-l)(k+2)当k=1时,R=1;(2)当 k=-2 且原1 时,R(A)=2;(3)当 8 1且 后-2时,R=3.12.求解下列齐次线性方程组：玉+82+2/-%4=0(1)2X+X2+X3-X4=0;2%+2X2+X3+2X4=0解 对系数矩阵A进行初等行变换，有A=f l 1 2-A f 1 0-1 02 1 1-1-0 1 3-1,I 2 2 1 2)lo 0 1 -4/3 J于是玉 二 铲4产
32、产七=1%4%4=%4故方程组的解为（k 为任意常数）.74-334-3再3玉+2%628 2+%3-%43%=4 0=；5%+1 0%2 +%3 5%4 =0解 对系数矩阵A进行初等行变换，有1 一 n r i 0(00 一1)1 00 oj2A=3 6、5 10于是故方程组的解为3+k2 0（右,女2为任意常数）.2 玉+3尤2 电+5%4=03%+%2+2毛-7%=0.4玉 +%3%,+6%=0玉 _ 2/+4毛 -7工4=0解 对系数矩阵A进行初等行变换，有2 33 14 1U-25)-76一7)fl00(00 0 0)1 0 00 1 0 0 0 1J于是,故方程组的解为%=0=0%
33、3=0.、%4 =3%+4X2-5X3+7X4=02%一 3X2+3X3-2X4=04%+1%1比+16%4=。7%-2%2 +项+3%4 =0解 对 系 数 矩 阵 A进行初等行变换，有Z/131720173一171917演Z-r-1子3-70-7001-12-137970O1.x4xo1ooooo7263-15331-T4312一1-3247zrA-故方程组的解为，百、x2%3的，攵2为任意常数).13.求解下列非齐次线性方程组：4xy+2x2-x3=2(1)3X-1X2+2X3=10;11%+3%2=8解 对增广矩阵8进行初等行变换，有 4 2 -1 2W1 3 -3 -8、B=3 1
34、2 10(11 3 0 8)0-10 11 3 4 ,、0 0 0 6j于是R(4)=2,而R(B)=3,故方程组无解.仅 x+3 y+z=4(?x-2y+4z=-5.U 3 x+8 y-2 z=1 3，4 x-y+9 z=-6解对增广矩阵3进行初等行变换，有即1429328T2134,I=B4)513一 6,(00I。0 2 一111 T 2 干县0 0 0，于是0 0 0)x=-2z-l y=z+2,z=zzf21A+2（/：为任意常数）.U2x+yz+w=(3)4 x+2 y-2 z +w=2;2x+y zw=解对增广矩阵8进行初等行变换，有(2 1-1 1 A8=4 2 -2 1 21
35、k 2 1-1-1 1Jf l 1/2 0 0(0 0-1/2 00 10 01/2、0oj于是1x=-2y+2Z+2z =zw=0即1-20ooz(l+、|/11-nx11rI2k（M后为任意常数）.(4)解对增广矩阵8进行初等行变换，有82n(0-1/7-1/7 6/7、35I 0 1 -5/7 O9/7 O-5/7-46-75-7+-vvVV1-79-7+-zZ1=-75-7ZyZ是于出，心为任意常数）.6-75-70为通解的齐次线性方程组.+、1-79-70+&1-7-7-11/II w =240V与此等价地可以写成或或X=2 q-C 2%2=一羽+4 c 2 X 3=C居=0巧=2%
36、3-%4=-3玉+4%4 X1-2X3+X4=0X2+3X3-4X4=0,这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15./I取何值时，非齐次线性方程组4+%2+%3=1 x+Ax2+x3=/l.x+x2+Ax3=r(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解？仅 1 1 1)解 3=1 4 1 4U 1 a 到r(1 A 王、0 A 1 1 A 7(1 A).10 0(l-/l)(2+A)(1-A)(+1)2J(1)要使方程组有唯一解，必须R(A)=3.因此当猊1 且&-2 时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解，必须R(A)A(8),故(l-A)(2+/l)=0,(l-A)(/l+l)20
37、.因此於-2 时，方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解，必须R(A)=E(8)3,故(l-A)(2+/l)=0,(l-A)(A+l)2=0.因此当心1 时，方程组有无穷多个解.1 6.非齐次线性方程组 2xj +4+W=2 X -2A：2+X3=/1x+X2-2X3=7P当义取何值时有解？并求出它的解.1 10f-2解B=111 1 一21 2 1 41 -2为1 -20 1、0 0(几 一1)(/1+2),要使方程组有解，必须(1-4(肚2)=0,即*1,2.当Q 1 时,B=-2111 1一2、-211 -21Uf l 0-1 A0 1-1 0,(0 0 0 o j方程组解为H或X(
38、=X j +l%毛=毛 W ，即(%)%=攵1 +0（左为任意常数）.当在-2时,B=-2111-2111-2一2)(1 0-1 2、-24J0 1-1 2,0 0 0 o j方程组解为百=%3 +2%=X j+2m 即%2=攵1 +2（左为任意常数）.(2/I)%+2%2-2天=11 7.设 一3%+(5 4)%2 4天=22%1 -4%2+(5-A -1问力 为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解.(2-2 2-2 1解 B=2 5-/1 -4 2、2 4 5 A 7 1(2 5-A -4 2 1 0 1 A 1 A 1.(0 0(l-A)(1 0-)(1-A)
39、(4-A)J要使方程组有唯一解，必须R(A)=A(B)=3,即必须(1-2)(1O-A)O,所以当加1 且加10时，方程组有唯一解.要使方程组无解，必须R(A)R(8),即必须(1-2)(10-2)=0 且(1一 4)(4-；1)。0,所以当心10时，方程组无解.要使方程组有无穷多解，必须R(4)=R(8)0 且(1 一 (4 2)=0,所以当Q 1 时，方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为f l 2-2 ”8 0 0 0 0(0 0 0 oj方程组的解为%1%2+1x2=x2%3二 七=kx 1I oj+k2 0+0W或出，后为任意常数).1 8.证 明 R(A)=1的充分必要条件是存在非零列
40、向量。及非零行向量。使AR。了.证明 必要性.由R(4)=l知 A 的标准形为(1 0 00 0 0、0 0 0,个,(1,0,-,0),lo j即存在可逆矩阵尸和Q,使PAQ=01(1,0,-,0),lo j或4=f 一|0(1,0,O)Q Tlo jp令。=?7 ,户=(1,0,，0)Q-则4是非零列向量,是非零行向量，且充分性.因为。与。T是都是非零向量，所以A是非零矩阵，从而R(A)1.因为1 R(A)=R(abT)2,又R(A)R(B,A)=2,所以 R(A)=2,从而 R(A)=R(B)=R(A,B).因此 A 组与B组等价.5.已知 R Q,%的)=2,RQ,的,“4)=3,证明
41、(1)1能由 2,。3线性表示；出不能由即3。3线性表示证明 由R(2,3,。4)=3知 2,。3,4线性无关，故。2,。3也线性无关.又由宠,。2,%)=2知a 1,42,a 3线性相关，故 能 由。2,“3线性表示.(2)假如%能由田，”2,“3线性表示，则 因 为 能 由。2,线性表示，故。4能由。2,。3线性表示，从而42,。3,“4线性相关，矛盾.因此“4不能由“3线性表示.6.判定下列向量组是线性相关还是线性无关：(1)(-1,3,1)1(2,1,0)1 (1,4,1 1；(2)(2,3,O R (-1,4,01,(0,0,21.解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为4因为-1 2
42、1 A0 1 1,I 0 0 0)所以R(A)=2小于向量的个数，从而所给向量组线性相关.(2)以所给向量为列向量的矩阵记为民因为1412102T317272oOAT4O230一一为G O,2所以R(8)=3等于向量的个数，从而所给向量组线性相无关.7.问。取什么值时下列向量组线性相关？a=(a,1,I)7,“2=(1,a,-l)r,a3=(l,-1,a)T.解以所给向量为列向量的矩阵记为A.由a 1 1|A|-1 a 1 =Q(G+1 1 a知,当。=-1、0、1时,R(A)为 +仇，。2 +线性无关取%=%=,=%=0,取配也为线性无关组.满足以上条件，但 不 能 说 是 线 性 无 关
43、的.(4)a,=(1,0/%=(2,0尸仇=(0,3y 3=(0,4),4。1 +%=0=4=2/1?,3,n 2 3/=4=4=0与题设矛盾.1 1.设仇=%+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a，证明向量组仇也也也线性相关.证明设有否,%2，%3，4使得他 +x2b2+x3b3+x4b4=0 则X(q +a2)+x2(a2+。3)+%3(/+。4)+%4.4 +卬)=0(X 1 +x4)at+(x,+x2)a2+(x,+x3)a3+(x3+x4)a4=0(1)若2M 3 M 4线性相关,则存在不全为零的数女”&2,&4,由k ，h，k 3M不全为零，知苞/2，七,%4不
44、全为零，即“也也也线性相关.xI+x4=0 若 ”2，。3，。4 线性无关，则 二；=：；1：X2 _ QX)十 Xj U U 1 1 u工3+工4=0由;；=0知此齐次方程存在非零解.则仇也也也线性相关.综合得证.12.设 仿=/也=。|+。2,也=。1 +。2 T +3 ,且 向 量 组 为,“2,”线性无关，证明向量组仇也，也线性无关.证明 设 她+k2b2 4-卜krbr=0则(匕 +kr)a+(k2+kr)a2+(k p+kr)a p+krar=0因向量组”出，,明线性无关，故k+k2-k1 .1丫匕r=0k2 T-kr=0 0 0 1 1 k2 _ 0kr=0(0 0 1因为 1
45、1=1 H O故方程组只有零解.0 0 1则占=a2=-=kr=0.所以仇也,也线性无关13.求下列向量组的秩，并求一个最大无关组:2-149100104心21-42、一8,(2)a：=(L2,l,3),a；=(4,一1,一5,-6)=(1,-3-4-7).解-2%=%=”1，。3线性相关,由aa,r27 192100(一2-4-1 410 42-8、70,02820-11904-320、7秩为2,一组最大线性无关组为,电/7、qkJ3 f1-18 0I。2 1 3、-9-9-180 0 0秩为2,最大线性无关组为a；,尺.14.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向
46、量用最大无关组线性表示：25 31 17 43、1 1 2 2 1、75 94 53 1320 2 1 5-1(1)75 94 54 134；(2)2 0 3-1 3,、25 32 20 48,J 1 0 4-1?解 25 31 17 43、25 31 17 43、25 31 17 43、r 3rr-r75 94 53 1322 10 1 2 34 30 1 2 375 94 54 134G -360 1 3 5G 一 0 0 1 3、25 32 20 48,、0 1 3 5)、0 0 0 0,所以第1、2、3 列构成一个最大无关组.1 1 2 2 1、1 1 2 2 1、1 1 2 2 1、
47、0 2 1 5-1q -0 2 1 5-1r3+r20 2 1 5-12 0 3-1 3。一 八0-2 -1-5 140 0-2 2-21 1 0 4-1,10 0 2 2-2；(0 0 0 0 0；所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15.设向量组(a,3,l)r,(2,b,3)1(1,2,11,(2,3,I)的秩为2,求a,b.解 设。尸(a,3,1)-=(2,-3尸,=(1,2,11,如=(2,3,I)7.因为1(“筋44,41，42)=21 1%,%，,知线性无关，且生,七，,凡能由单位向量线性表示，即%=&与+%2 3+占卢a?+k?+k 2n储ian =kn+k22 +尤，卢“故
48、Tan Ja：两边取行列式，得即与,2,，我都能由。/2,线性表示，因为任一维向量能由单位向量线性表示，故任一维向量都可以由4,心，以线性表示.充分性U已知任一维向量都可由外,七,4线性表示，则单位向量组：与 ，可 由4，的，4线性表示，由16题知6,火，4线性无关.1 8.设 向 量 组 ,即线性相关，且。芹0,证明存在某个向量以(2 k 若8组线性无关令B =(仇，也)A=,4)则有B =AK由定理知 R(B)=R(AK)minR(A),R(K)R(K)由8组:仇也,也线性无关知R(6)=/，故H(K)2r.又知K为rx s阶矩阵则R(K)W minr,5由于向量组5：仇也，也能由向量组A
49、:%,外,4线性表示，则r sminr,s=r综上所述知r R(K)W r即R(K)=r.=若 R(k)=r令 皿+x2b2+x也=0,其中为实数i=l,2,/(七、则有(仇也，也)：=0(不、又(，也)=(%,，4)K,则(,，%)K：=0由 于%,M线性无关，所以K-X；=0即kx+k2x2 4-krxr=0k2+左22%2+.-二 0krx+k2rx2+,+krrxr 0占 卢 +2 +-+Mr=0(1)由于砥用=则(1)式等价于下列方程组:knxx+k2Xx2+_：=0knx+k22x2 4-F kr2xr=0krx+k2rx2+krrxr=0由于 S与-HOklr k2r krr所以
50、方程组只有零解X=2 =%=0.所以年也,也线性无关，证毕.=以2+/+/20.设、几仁以2 =01 3 -F tZ.，.=%+%+0+%_】证明向量组0,啰，,4 与向量组小，四,A 等价.证明将已知关系写成f o 1 1 -n1 0 1-1仍,夕2,，月)=(,%,%)1 IO-1，J 1 1 0,0 1 1-11 0 1-1将上式记为 B=AK.因为|K|=1 1 0-1=(1)，1(八 一1)。0,1 1 1 -0所以K可逆，故有A=BK-i.由B=AK和A=BK-i可知向量组0,函,一,跖与向量组用,限 ,四可相互线性表示.因此向量组a,a 与向量组为笈，回等价.21.已知3阶矩阵A