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1、2 0 1 1-2 0 1 2 全国各中考数学试题分考点解析汇编二次函数的图象和性质一、选择题1.(2011北京4 分)抛物线丁=12-6x+5的顶点坐标为A、(3,-4)B、(3,4)C、(-3,-4)D、(-3,4)【答案】Ao【考点】二次函数的性质。【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标，或者用顶点坐标公式求解：.y=x2-6x+5=x2-6x+9-9+5=(X-3)2-4,.抛物线 y=x.6 x+5 的顶点坐标是(3,-4).故选A。2.(2011上海4 分)抛物线y=(x+2)23 的顶点坐标是(A)(2,-3)；(B)(-2,3)；(C)(2,3)；(D)(-2
2、,-3).【答案】D。【考点】二次函数的顶点坐标。【分析】由二次函数的顶点式表达式y=(x+2产-3 直接得到其顶点坐标是(一2,-3)o 故选D。3.(2011重庆4 分)已知抛物线y=ox2+bx+c(4W0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是A、a 0 B、b 0 C、c 0【答案】D o【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】A、.抛物线的开口向下，.a V O,选项错误；B、.抛物线的对称轴在丁轴的右侧，b异号，由A、知a (),选项错误；C、；抛物线与y 轴的交点在尤轴上方，.，(),选项错误；D、x=l,对应的函数值在x 轴上方，即x=l,y-a +b+c
3、 0 ,选项正确。故选D。4.(2011浙江温州4 分)已知二次函数的图象(0W X W 3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是A、有最小值0,有最大值3C、有最小值-1,有最大值3B、有最小值-1,有最大值0D、有最小值-1,无最大值【答案】Co【考点】二次函数的最值。【分析】由函数图象自变量取值范围得出对应y 的值，即可求得函数的最值：根据图象可知此函数有最小值-1,有最大值3。故选C。5.（2 0 1 1 黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3 分）已知二次函数卜=公2+加+c（a H 0）的图象如图所示，现有下列结论：4 a c 0 a 0 b 0 c
4、 0 9 a+3 6 +cV0,则其中结论正确的个数是A、2 个 B、3个 C、4个 D、5 个【答案】B。【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质。【分析】由抛物线的开口方向判断a与。的关系，由抛物线与y 轴的交点判断，与 0的关系，然后根据抛物线与x 轴交点及x=l 时二次函数的值的情况进行推理，从而对所得结论进行判断：根据图示知，二次函数与x 轴有两个交点，所以c0,故本选项正确；根据图示知，该函数图象的开口向上，0,故本选项正确；根据图示知，该函数图象的对称轴 =2h=1,.h.2 o,.（）,故本选项错误；2a 2a 该函数图象交与y 轴的负半轴，c0,故本选项错误；根据抛物
5、线的对称轴方程可知：（-1,0）关于对称轴的对称点是（3,0）,当尤=-1时，y 0,二次函数y=a x2 的图象的开口向上，故排除c选项。故选A。7.（2 0 1 1 广西钦州3分）函数、=公-2（/0）与、=公 2,工0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是【答案】A o【考点】一、二次函数图象的特征。【分析】由一次函数y=o x-2知，它的图象与y 轴的交点为（0,2）,故排除B、D 选项；若“0,二次函数y=o r 2 的图象的开口向上，故排除C 选项。故选A。8.（2 0 1 1 广西玉林、防城港3分）已知二次函数、=以 2 的图象开口向上，则直线了 =以-1 经过的象限是A、第一、二
6、、三，象限 B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限【答案】D【考点】二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系。【分析】；二次函数图象的开口向上，,二次项系数a 0；又.直线y =办一1与 y 轴交与负半轴上的一 1,丁 =办 一 1经的象限是第一、三、四象限。故选D。9.（2 0 11广西玉林、防城港3 分）已知抛物线=一；/+2 ,当1 4 x 4 5时，y的最大值是2 5 7A、2 B、一 C、一 D、一3 3 3【答案】C【考点】二次函数的性质。【分析】根据抛物线的解析式推断出函数的开口方向和对称轴，从而推知该函数的单调区间：.抛物线y =-1 x02
7、+2的二次项系数a =一：1 =/+2是减函数。当 l x45 时，VH*K=-+2=-o 故选 C。3 39.（2 0 11湖南长沙3 分）如图，关于抛物线y =（x-1尸-2,下列说法错误的是A.顶点坐标为（1,-2）B.对称轴是直线x=lC.开口方向向上 D.当x l 时，y随 x 的增大而减小【答案】D.【考点】二次函数的性质。【分析】根据抛物线的顶点式得，A、因为顶点坐标是（1,-2）,故本选项错误；B、因为对称轴是直线x=l,故本选项错误；C、因为。=1 0,开口向上，故本选项错误；D、当x l时，y随 x 的增大而增大，故本选项正确。故选D。10.（2 0 11湖南永州3 分）由
8、二次函数y =2（x-3）z+1,可知A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线x=-3C.其最小值为1 D.当尤 0,其图象的开口向上，故此选项错误；B.V其图象的对称轴为直线x=3,故此选项错误；C.其最小值为1,故此选项正确；D.当x 3 时，y随x 的增大而减小，故此选项错误。故选C。11.（2 0 11湖南湘潭3 分）在同一坐标系中，一次函数y =a x+1与二次函数y =/+a的图象可能是【答案】C oD、【考点】一、二次函数的图象。【分析】A、由抛物线可知，a 0,错误；B、由抛物线可知，a 0,二次项系数为负数，与二次函数y =/+a矛盾，错误；C、由抛物线可知，a 0,由
9、直线可知，a 0 y2 0 B.%y2 0 D.%0 y2 0【答案】B o【考点】二次函数的性质，不等式的性质。【分析】令-d+x =(),解得x=注 叵，.当自变量入取时对应的值大于0,即 227法5力5 10 D D时，二次函数的值大于0。而m l 6，K 、内0 B.当y随x的增大x l时，y随x的增大而增大C.c x+c=0的一个根【答案】D o【考点】二次函数的性质。【分析】从二次函数的图象可知，图象开口向下，a l时，y随x的增大大而减小；尤=0时,y=c 0；函数的对称轴为x=l,函数与x轴的一个交点的横坐标为一1,则根据对称性，函数与x轴的另一个交点的横坐标为3。故选D。15
10、.(2 0 11山东烟台4 分)如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是A.m=n,k h B.m=n,k n,k=h D.m h。故选A-16.(2 0 11山东常泽3 分)如图为抛物线旷=处2+云+。的图象，卜、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且0 A=0 C=l,则下列关系中正确的是A、a+b=-a-b=-C、b a D、ac0)的图象可能是.【答案】C o【考点】二次函数的图象，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与对应的一元二次方程的关系。【分析】根据二次函数二次函数）=欠 2+加+。0）的图象与尤轴的交点横坐标就是一元二次方程以2+6x +
11、c =0 的两个实数根，利用两个实数根X 1,满足X 1+X 2=4 和口=3,求得两个实数根，作出判断即可：.,一元二次方程o r?+b x +c =0 的两个实数根X”X?满足X i+-=4和 xj状=3,X i,1 是一元二次方程f-4 x +3=0的两个根，解得。X i =l,x?=3.二次函数y 二 加+云+4。）与 x轴的交点坐标为（1,0）和（3,0）。故选C。1 9.（2 0 1 1 山东济宁3 分）已知二次函数y=以2+A v+c 中，其函数y 与自变量x之间的部分对应值如下表所示：X01234y.41014 点 A（x”y|）,B（X y?）在函数的图象上，则 当 l x
12、2,3%2 2 B.y t y2 D.y i W y?【答案】Bo【考点】二次函数的图象和性质。【分析】.当 l x 2,3 4 时，0 1,1 y2 4,A y.=一 2 7。故选D。2 1.（2 0 1 1 山东威海3 分）二次函数y=/2x3 的图象如图所示。当y 0时，自变量x的取值范围是A.-lx3 B.x 3 D.x 3【答案】A【考点】二次函数的图象。【分析】当y 0时，二次函数的图象在x轴下方，此时一 lx3。故选A。2 2.（2 0 1 1 广东深圳3 分）对抛物线y=-+2x3 而言，下列结论正确的是A.与x轴有两个交点 B.开 口 向 上 C.与 y 轴交点坐标是（0,3
13、）D.顶点坐标是（1,-2）【答案】D【考点】二次函数的性质。【分析】把 y=+2x-3 变形为y=（x-1）2-2,根据二次函数的性质，该抛物线。0 .根据二次函教的最大（小）值原理，二次函教有最小值一6。故选D。2 5.（2 0 1 1 河北省3 分）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=-5（t-1）?+6,则小球距离地面的最大高度是A、1 米 B、5 米 C、6 米 D、7 米【答案】C【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】高度h 和飞行时间t 满足函数关系式：h=-5（t-1）、6,.当t=l 时，小球距离地面高度最大，h=6米。故
14、选C o2 6.（2 0 1 1 江西省B 卷 3 分）已知二次函数y=x、b x 2的图象与x 轴的一个交点为（1,0）,则它与x 轴的另一个交点坐标是A.（1,0）B.（2,0）C.（-2,0）D.（一 1,0）【答案】C o【考点】抛物线与x 轴的交点。【分析】把交点坐标（1,0）,代入二次函数y=x?+b x -2 求出b=l,从而解x、x 2=0,得 x 1=l,X 2=-2,即可求出它与x 轴的另一个交点坐标是（-2,0）故选C。27.（20 1 1 湖北襄阳3分）已知函数y=（Z-3）f+2x +l的图象与x 轴有交点，则的取值范围是A,k 4 B、k W 4 C,k 3)的值为
15、A,0 B,1 C、2 D、3【答案】D【考点】二次函数的图象。(x-lV-1(x3)根据图象知道，在分段函数的分界点，即当y=3时，对应成立的工值恰好有三个，2 二 3。故选D。29.(2011湖北孝感3 分)如图，二次函数y=以 2 +历:+c 的图像与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为(1,1),下列结论：ac +cO.其中正确结论的个数是A.1 B.2 C.3 D.4【答案】Co【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】根据二次函数图象反应出的数量关系，逐一判断正确性：根据图象可知：QVO,C0,：.a c 0,错4a误。正确的有3 个。故选C。30.(2011山西省2 分)已知二次函数)
16、，=办 2+法+,的图象如图所示，对称轴为直线x=l,则下列结论正确的是A,ac 0 B.方 程 以 之+笈+。=0 的两根是玉=-1,x2=3C.2 a-b =0 D.当 0时，y 随x 的增大而减小.【答案】Bo【考点】二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点。【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与 x 轴、y 轴的交点，逐一判断：A、抛物线开口向下，与 y 轴交于正半轴，VO,c 0,a c l 时，y 随光的增大而减小，故本选项错误。故选B o3 1.（20 1 1 内蒙古包头3分）已知二次函数y=a x?+b x+c 同时满足下列条件：对称轴是x=l；最值是1 5；二次函数的
17、图象与x 轴有两个交点，其横坐标的平方和为1 5-a,则 b的值是A、4 或-3 0 B、-3 0 C、4 D、6 或-20【答案】C【考点】抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值，一元二次方程根与系数的关系。【分析】由已知，二次函数图象的顶点为（1,1 5）,可设解析式为：y=a （x-1）2+1 5,即 y=a x?2x +1 5+a。.,二次函数的图象与x 轴有两个交点，设为x i,X 2,它们是a x：2x +1 5+a=0 的两个根。Un.根据一元二次方程根与系数的关系，得 X i +X 2=2,X,-X2=-Ox j +x22=(X 1 +xj-2x,-x2=22 _
18、 2 J 5+Ja2a-3 0a.由己知，x +X j lS-a,2 a-3 0=5 _ a ,即 a?-1 3 a-3 0 =0。a解得a=-2 或 1 5。当 a=-2 时，y=-2x2+4 x +1 3,b=4；当 a=1 5 时，y=1 5 x?3 0 x +3 0,此时，图象开口向上，顶 点 为（1,1 5）,与 x 轴没有交点，与己知不符。.,.b=4 o 故选 C。3 2.（20 1 1 内蒙古呼和浩特3分）已知一元二次方程/+法-3 =0 的一根为一 3,在二次函数y=J+法-3 的图象上有 三 点 卜 力）、咛、%、必、力的大，A.B.%乂%C.y 3 V D.【答案】A。【
19、考点】二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解。【分析】把-3 代 入/+灰一3=0 中，得 9-3/?-3=0,解得匕=2。，二次函数解析式为=+2 一 3=(1+1)2 4。抛物线开口向上，对称轴为x=-1。5/“4,1 口 /5、_1 4/-V 1 V-V -，月.-1 -(-)-，-(-1)-,而一 一,4 5 6 4 4 5 5 4 5,M v%4ac；abc0；2al+b=0；a+b+c0,；a-b+c 0,G P b2 4 a c,故正确；:抛 物线对称轴为x=.抛物线对称轴为x=O-。，c 0,a b c 0,即 a+b+c 0,故正确：,当x=-l 时，y 1 m 1 m
20、【答案】C【考点】二次函数的性质。【分析】由次函数丁 =(工一加)21知对称轴是x =m,由二次函数的性质知，当x v 帆时，y 随 x 的增大而减小，由己知当xW l时，y 随 x 的增大而减小，故当“2 1 时，y 随 x 的增大而减小。故选C。36.(2011四川绵阳3 分)若是方程(Xa)(xb)=1(a b)的两个根，则实数Xi,x2,a,b 的大小关系为A.xiX2ab B.xiaX2b C.xiabX2 D.axibX2【答案】Co【考点】方程的图象解法。【分析】根据方程的图象解法，方 程(x-a)(x-b)=1(a b)的两个根x”X 2(x,x2)可以看成函数y=(xa)(x
21、b)和 y=1交点的横坐标，a,b 是函数y=(xa)(xb)与 x 轴交点的横坐标。根据题意，作出图象，可以看出xi,X2,a,b 的大小关系为xi a b 0,b-4 a c 0,4a-2 b+c 0,其中正确结论的个数是A、1 B、2 C、3 D、4【答案】A o【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】；抛物线开口朝下，.”(),.b)。，2a.抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，.a b c 0,故错误；根据图象知道当x=-l 时，y=a-b+c=0,故错误；根据图象知道当x=-2 时，y=4a-2 b+c/大小关系正确的是A.y i y2 y3 B.y i yz C.y z y i
22、 D.yi y yi【答案】B o【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性和对称性，实数的大小比较。【分 析】由 y =d-6x+c =(x-3)2+。一 9 ,。=10,根 据 二 次 函 数 的 增 减 性 知，当 x 3)也在 y =%?6x +c 的图象上。V 1 3 yl2 y3 y2 o 故选 B。3 9.(2 0 1 1 甘肃天水4分)将二次函数y=x?2 x+3 化为y=(x-h)，+k的形式，结果为A、y=(x +1)2+4 B、y=(x-l)2+4 C、y=(x +1)2+2 D、y=(x T)2+2【答案】Do【考点】二次函数的三种形式的变换。【分析】将一般式
23、化为顶点式，由于二次项系数是1,只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可：y=x 2 x+3=x 2 x+1 1+3=(x 1)2+2.故选 D。4 0.(2 0 1 1 甘肃兰州4分)抛物线y=x2-2 x+l 的顶点坐标是A、(1,0)B、(-1,0)C、(-2,1)D、(2,-1)【答案】Ao【考点】二次函数的性质。【分析】将抛物线方程y-x2-2 x+l 转化为顶点式方程，根据顶点式方程即可得到顶点坐标：；y=x-2 x+l=(x -1)该抛物线的顶点坐标是：(1,0)。故选A。4 1.(2 0 1 1 甘肃兰州4分)如图所示的二次函数y=a x、b x+c 的图象中，刘星同
24、学观察得出了下面四条信息:(1)b2-4 ac 0；(2)c l；(3)2 a-b 0；(4)a+b+c 0,故本选项正确；(2)由图象知，该函数图象与y 轴的交点0 y l,故本选项错误；2 b(3)由图示，知 对 称 轴*=一 一 又 .函数图象的开口向下，.a 0,A-b -2 a,即 2 na-b 0,故本选项正确；(4)根据图示可知，当 x=l,B P y=a+b+c 0,.,.a+b+c 0；故本选项正确。综上所述，其中错误的是(2),共 有 1 个。故选及4 2.(2 0 1 1 云南昆明3分)抛物线y=ax b x+c (a 0)的图象如图所示，则下列说法正确的是2bA、b-4
25、 ac V 0 B、ab c 0 C、-1 D、a-b+c 0,故本选项错误;B、由图象顶点在y 轴左边，得-20,因此a b c 0,故本选项错误；C、由图象对称轴在X=-1 左边，得 上 0,故2a本选项错误。故选C。4 3.(2 0 1 1 云南玉溪3分)如图，函数=-犬+乐+;的部分图象与x 轴、y 轴的交点分别为A(l,0),B(0,3),对称轴是x=-1.在下列结论中，错误的是A.顶点坐标为(一1,4)B.函数的解析式为y =V 2 X +3C.当x =-/+云+。即可求出函数的解析式为丫=一/2*+3。化为顶点式为y =-(x+l)2+4 因此顶点坐标为(一1,4),且当x -l
26、 时，y随x的增大而减小。根据抛物线的对称性，抛物线关于x=-l对称，由 A(l,0)得抛物线y =-d-2 x +3 与 x 轴的另一个交点是(-3,0)。因此C.当x ax1+b x+c的解集为A、-1 x 9 B、-1 x9 C、-1 x )I 5 25 J2.(20 11辽宁大连3分)如图5,抛物线 =一/+2 x+m (m”=”或号).【答案】。【考点】二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系。【分析】抛物线 y=-x2+2x +/?7 (m B (x-i,0),/.-x2+2x +m=O有了I+%2=2,XI%2=_ m 0,X=2 X2,x=-X i 0,由图象知，当 x
27、V 0 时，y 0 o3.(20 11黑龙江龙东五市3分)抛物线尸一 的顶点坐标为 。2【答案】(-1,-1)【考点】二次函数的性质。【分析】根据二次函数顶点形式，直接可以得出二次函数的顶点坐标。4.（20 11湖南怀化3分）出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出（8-x）个，则当x=元,一天出售该种手工艺品的总利润y最大.【答案】4。【考点】二次函数的最值【分析】依题意得y 与x的函数关系式y=（8-x）x=-/+8 x,化为顶点式为y=（x-4）2+16,.当x=4 时，y 取得最大值。5.（20 11江苏淮安3分）抛物线-2 x-3 的顶点坐标是 .【答案】（1,-4）o【考点】
28、二次函数的性质（顶点坐标），配方法求顶点式。【分析】对于二次函数一般式y=a r 2+c,总可以用配方法化为顶点式y=a（x-F+Z 形式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标（，k）：y=x2-2 x-3=x2-2x+1-4=（x-1）2-4,它的顶点坐标为（1,4）。6.（20 11山东济宁3 分）将二次函数y =/-4工+5 化 成 y =（x-/i）2+Z 的形式，则 y=A【答案】y =（x-2 7+1。【考点】二次函数的配方法。【分析】y =x 2-4%+5=卜 2-4x +4）+l =（x-2）2 +1。7.（20 11山 东 枣 庄 4 分）抛物线y =以2+6 x +c 上
29、部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表：X-2-1y.04012 664 从上表可知，下列说法中正确的是 .（填写序号）抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）；函数y =o r 2+6 x+c 的最大值为6；抛物线的对称轴是x =L；在对称轴左侧，y随x 增大而增大.2【答案】。【考点】二次函数的性质，解方程组。”一 1【分析】把表中任三点代入丁 =依 2+区+C,即可求出b=1,抛物线函数关系式为丁 =-/+%+6。据c=6此即可作出判断：（3,0）代入y =/+工+6 成立，选项正确；函数y =f+x+6 的最大值为亍，选项错误；抛物线的对称轴是x =-2 =L,选项正确；。”、“、=）.
30、【答案】【考点】二次函数图象上点的坐标特征。【分析】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出门与y2的大小关系：.二次函数y-x2-2x+l 的图象的对称轴是x=l,在对称轴的右面y随 x的增大而增大，.点 A （2,y。、B （3,y2）是二次函数 y=x,-2x+l 的图象上两点，1 2 3,/.y i 0,则 x的取值范围是 .【答案】-3 x 0 时，x的取值范围是-3 V x l。10.（20 11福建泉州4 分）已知函数y =3（x-2 y+4,当=时,函 数 取 得 最 大 值 为【答案】2,4。【考点】二次函数的最值。【分析】由抛物线的顶点
31、式y=3（x 2 7+4,得到抛物线的顶点坐标为（2,4）,又。=一3 0,抛物线的开口向下，于是x=2时，函数有最大值为4。三、解答题1.（20 1 1 浙江舟山、嘉兴6分）如图，已知直线y=4c 经过点P （，匕），点P关于轴的对称点P 在反比例函数），=2 （人 工。）的图象上.x（1）求c的值；（2）直接写出点P 的坐标；（3）求反比例函数的解析式.【答案】解：（1）把（-2,匕）代入中，得a=-2X （-2）=4,.,.4 =4。（2）：P点的坐标是（-2,4）,.点P关于y轴的对称点P 的坐标是（2,4）；（3）把 P （2,4）代入函数式 y =，得 4=&,：.k=8。x 2.
32、反比例函数的解析式是y =.X【考点】待定系数法，一次函数图象上点的坐标特征，对称的性质。【分析】（1）把（-2,右）代入y=-2 x中即可求乙。（2）坐标系中任一点关于y轴对称的点的坐标，其中横坐标等于原来点横坐标的相反数，纵坐标不变。（3）把P 代入）=&中，求出女，即可得出反比例函数的解析式。x2.（20 1 1浙江温州1 0分）如图，在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点A的坐标是（-2,4）,过点A作A B L y轴，垂足为B,连接0 A.（1）求aO A B的面积;（2）若抛物线旷=一/一2苫+。经过点八.求c的值；将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在A O A B
33、的 内 部（不包括aO A B的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）.【答案】解：（1）:点A的坐标是（-2,4）,A B _L y轴，；.A B=2,0 B=4,.O A B 的面积为：-X A B X O B=-X 2X 4=4 2 2(2)把点 A 的 坐 标(-2,4)代入 y =-x 2-2x +c 中，得-(-2)-2X (-2)+c=4,c=4 om的取值范围是：【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，图形的平移。【分析】（1）根据点A的坐标是（-2,4）,得出A B,B 0的长度，即可得出aO A B的面积。（2）把点A的 坐 标（-2,4）代入y =f 2x
34、 +c中，直接得出即可.利用配方法把二次函数解析式化为顶点式即可得出顶点坐标，根 据A B的中点E的坐标以及F点的坐标即可得出m的取值范围：,/y=-%2-2x+4=-（x+i y +5 ,抛物线顶点D的坐标是（-1,5）。又；A B的中点E的坐标是（-1,4）,0 A的中点F的坐标是（-1,2）,的取值范围是：l V m 3。3.（20 1 1黑龙江龙东五市6分）已知：抛物线与直线尸产3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C,且抛物线的对称轴为直线产一2。（1）求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标。（2）试确定抛物线的解析式。（3）观察图象，请直接写出二次函数值小于一次函数值的自
35、变量x的取值范围。【答案】解：（1）在y =x+3中，当y=0时，x =3,，点A的坐标为（-3,0）。当x=0时，y=3,.点C坐 标 为（0,3）。抛物线的对称轴为直线x =-2,.点A与点B关于直线x =2对称。.点B的坐标是（1,0）o（2）.抛物线的对称轴为直线x =-2,.设二次函数的解析式为y =a（x+2y+c.,二次函数的图象经过点C （0,3）和点A（3,0）,4 +c=3 a=l，可得方程组：，解得 o4 +C =0 c=-l.二次函数的解析式为 y =(x +2p 1,iy=x2+4 x +3。(3)由图象观察可知，当一3x0时，二次函数值小于一次函数值。【考点】待定系
36、数法，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，一、二次函数的图象。【分析】(1)根据已知得出点A、C的坐标，再由点A与点B关于直线 =2 对称，即可求出B点坐标。(2)利用待定系数法求二次函数解析式，即可得出答案。(3)由图象观察可知，当一3x =/+法+。经过A(1,0),B(4,5)两点 +c=0 th=2_,解得1 -。，抛 物 线 的 解 析 式 为-2 x-3。1 6 +4 b+c=5 c=-3(2)V y=x2-2x-3=(x-l)2-4,抛物线的顶点坐标为D (1,-4)o ：.E(1,0)。.在 R t A ED 中，A E=2,ED=4,A D=7AE2+ED2=7 22+4
37、2=27 5 又：A 0=0 E,0 F 1 A E,.,.EF=A F=y A D=/5 o【考点】二次函数综合题，点的坐标与方程的关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质。【分析】(1)将 A (-1,0),B (4,5)两点代入 =/+以+。中，求出b、c的值即可。(2)根据抛物线顶点式可求I)、E 两点的坐标，根据勾股定理可求A D,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质和点F为 A D 的中点可求线段EF 的长度。5.(2 0 1 1 江苏南京7 分)已 知 函 数y=mx2-6 x +l (机是常数).求证：不论 m为何值，该函数的图象都经过)，轴上的一个定点；若该函数的图
38、象与x 轴只有一个交点，求 m的值.【答案】解：当x=0 时，j =l.不论相为何值，函数旷=如？-6 x+l 的图象经过y 轴上的一个定点(0,1)。当机=0时，函数y =-6 x +l 的图象与x 轴只有一个交点；当时，若函数)=-6 x +l 的图象与x 轴只有一个交点，则方程皿 6 x +l =0有两个相等的实数根，所以(-6 尸-4 z=0,=9。综上所述，若函数y 3n r?-6 x +l 的图象与x 轴只有一个交点，则加的值为0或 9。【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系，二次函数与一元二次方程的关系。【分析】由于二次函数的常数项为1,故x=0 时，y =l 而得证。考虑一次函
39、数和二次函数两种情况：机=0时，函数为一次函数，与x 轴有一个交点.mwO时,函数为二次函数，由函数y =/(x)与x 轴有一个交点的要求，对应的一元二次方程y =/(x)有两个相等的实 数 根，即 根 的 判 别 式 等 于 0,从 而 求 解。也 可 以 考 虑 二 次 函 数 顶 点 的 纵 坐 标 为 0 求 解，即6.(2 0 1 1 江苏南通 1 2 分)已知 A(l,0)、B(0,一 1)、C(-l,2)、D(2,-1)、E(4,2)五个点，抛物线y=ax-+k(。0)经过其中的三个点.求证：C、E 两点不可能同时在抛物线y =a(x 丁+%(0)；(2)点 A在抛物线y =a(
40、x-i y+%(。0)上吗？为什么？求 a和无的值.【答案】解：证 明：用反证法。假设C(-l,2)和 E(4,2)都在抛物线y =a(x-l)2+Z (a 0)上，a(-+k=2联 立 方 程 V,解之得a=0,k=2。这与要求的a 0不符。矶4-1)一+k =2；.C、E 两点不可能同时在抛物线y =a(x-l)2+Z (a 0)上。(2)点A不在抛物线y=a(x iy+Z (。0)上。这是因为如果点A在抛物线上，则上=0。这时，若B(0,1)在抛物线上，得到“=-1,D(2,1)在抛物线上，得到。=-1,这与已知。0不符；而由(1)知，C、E两点不可能同时在抛物线上。因此点A不在抛物线y
41、=a(x(。0)上。(3)综合(1)(2),分两种情况讨论：抛物线 y=a(x l)2+Z(。0)经过 B(0,1)、C(-l,2)、D(2,一1)三个点，o(0-l)2+Z:=-l联 立 方 程a(-l-l)2+Jt=2,解之得。=1,忆=一2。a（2-），k=_l抛物线y=a（x 1）?+左（a 0）经过 B（0,1）、0（2,一 1）、E（4,2）三个点,（0-1）2+=-1a（2-l），k=-l,解之得a=3,k=1 8 8联立方程f l(4-1)2+=2因此，抛物线经过B、C、I)三个点时，a=l,火=2。抛物线经过B、I)、E三个点时,【考点】二次函数，二元一次方程组。【分析】(1
42、)用反证法证明只要先假设结论成立，得到与已知相矛盾的结论即可。(2)要证点A不在抛物线上，只要证点A和其他任意两点不在同一抛物线上即可。(3)分别列出任意三点在抛物线上的所有情况，由(2)去掉点A,还有B、C、D、E四个点，可能情况 有B、C、D,B、C、E,B、D、E和C、D、E。而由(1)去掉B、C,E和C、D、E两种C、E两点同时在抛物线上的情况。这样只剩下B、C、D和B、D、E两种情况，分别联立方程求解即可。7.(2011广东省6分)已知抛物线y=+x +c与x轴没有交点.(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y=c x+l经过的象限，并说明理由.【答案】解：抛物线产1 x 2+x +
43、c 与 x 轴没有交点，.对应的一元二次方程1 x 2+X +C=0 没有实数根。20 1 1:.A=r -4-c=l-2 c -o2 2(2)顺次经过三、二、一1象限。因为对于直线y=A x +Z?,k-c -0,b-0 ,所以根据一次函数的图象特征，知道直线y=cx+l 顺次经过三、二、一象限。【考点】二次函数与一元二次方程的关系，一次一次函数的图象特征。【分析】(1)根据二次函数与一元二次方程的关系知，二次函数的图象与x轴没有交点，对应的一元二次方程没有实数根，其根的判别式小于0。据此求出c 的取值范围。(2)根据一次函数的图象特征，即可确定直线y=cx+l 经过的象限。8.(2 0 1
44、 1 广东佛山8分)如图，已知二次函数旷=以2+云+c的图象经过A(-l,-l)、B(0,2)、C(l,3)；(1)求二次函数的解析式；(2)画出二次函数的图象；【答案】解：(1)根据题意，得a-b+c=-c=2 ,解得，a=-,b=2,c=2 oa+b+c=3，二次函数的解析式为y=-x2+2x+2.(2)二次函数的图象如图：【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系，待定系数法，解二元一次方程组，作二次函数图象。【分析】(1)根据点A,B,C在二次函数丁 =以 2+6 x +c 的图象上，点的坐标、=公 2+6 x +c 满足方程的关系，将 A(-l,-1)、B(0,2)、C(l,3)代入y=
45、+6 x +c 即可求出a,h,c,从而求得二次函数的解析式。(2)描点作图。9.(2 0 1 1 内蒙古巴彦淖、赤峰尔1 2 分)如图，直线y=x+3 与坐标轴分别交于A,B 两点，抛物线y=a x?+b x-3 a 经过点A,B,顶点为C,连接C B并延长交x 轴于点E,点 D 与点B 关于抛物线的对称轴M N 对称.(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标；(2)求证：四边形A BC D 是直角梯形.【答案】解：（1）：y=x+3 与坐标轴分别交与A、B 两点,，A点 坐 标（-3,0）、B 点 坐 标（0,3）。:抛物线y=a x2+b x -3 a 经过A、B 两点，9 a-3 b-3
46、a =0.，解得-3 a =3a 1一。，抛物线解析式为：y=-x2-2 x+3 ob =-2；y=-x 2-2 x+3=-(x+1)2+4,顶点C的坐标为（-1,4）。(2)：B、D 关于 M N 对称，C (-1,4),B(0,3),A D (-2,3)。VB(3,0),A (-3,0),；.0 A=0 B。又/A 0 B=9 0 ,A Z A B0=Z BA 0=4 5 VB,D 关于 M N 对称，A BD l M N o又 Y M N X 轴，BD X 轴。.,.Z D BA=Z BA 0=4 5。/.Z D B0=Z D BA+Z A B0=4 5 +4 5 =9 0。.,.Z A
47、 BC=1 8 0 0 -Z D B0=9 0。A Z C BD=Z A BC -Z A BD=4 5。VC M BD,Z M C B=4 5 VB,D 关于 M N 对 称,A Z C D M=Z C BD=4 5 ,C D A B。又Y A D 与 BC 不平行，四边形A BC D 是梯形。；N A BC=9 0 ,.四边形A BC D 是直角梯形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的顶点和对称轴，轴对称的性质，平行的判定和性质，直角梯形的判定。【分析】（1）先根据直线y=x+3 求得点A与点B 的坐标，然后代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得其顶点坐标即可。
48、（2）根 据 B、D关于M N 对称，C （-1,4）,B（0,3）求得点D的坐标，然后得到A D 与 BC 不平行，四边形A BC D 是梯形，再根据/A BC=9 0 得到四边形A BC D 是直角梯形。1 0.（2 0 1 1新疆自治区、兵团8分）已知抛物线？=一 尤2+4*-3与x轴交于A、B两 点（A点在B点左侧）,顶点为P.（1）求A、B、P三点的坐标；（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出X取何值时，函数值大于零；（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平称后图象的函数表达式【答案】解;(1)V y=-x2+4 x-3 =-(-2)2+b，P (
49、2,1)令 y=0,得一 V+4x 3 =0,解得尤=1,x =3。点在 B 点左侧。.A d,0),B(3,0)o(2)列表:X01y-3023410-3描点作图如下:y3 2 由图象可知，当l x 3时，函数值大于零。(3)向下平移一个单位后图象的函数表达式y=-d+4 x-3-l =r 2+4 x 4。【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的图象，二次函数图象与平移变换。【分析】(1)令y=0求得点A、B的坐标，根据抛物线的顶点公式求得点P的坐标。(2)首先写出以顶点为中心的5个点的坐标，从而画出图象，结合与x轴的交点，写出x取何值时，函数值大于零。(3)将此抛物线的图象向下平移一个单位，
50、即对应点的纵坐标少1,从而写出函数解析式。(2 0 1 2年四川省德阳市，第9题、3分.)在同一平面直角坐标系内，将函数y=2/+4 x +l的图象沿龙轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是A.(1,1)B.(1,2 )C.(2,2 )D.(11 1)【解析】根据二次函数的平移不改变二次项的系数，先把函数丁 =2/+4%+1变成顶点式，再 按 照“左加右减，上加下减”的规律，把y=2 f+4 x +l的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位.即可求得新抛物线的顶点。【答案】函数y=2 x 2+4 x +l变形为y=2(x+l)2-l平移后的解析式为y=