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1、第 2 2 章 二次根式导学案2 2.1 二次根式（1）一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。2、掌握二次根式有意义的条件。3、掌握二次根式的基本性质：&2 0 5 2 0）和（&）2=。（心 0）二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质.难点：综合运用性质0 2 0（。2 0）和（&）2 =”3 2 0）。三、学习过程（-）复习引入：（1）已知x 2=a，那么a 是 x 的_ _ _ _ _ _;x 是a的,记为a 一定是 数。（2）4的算术平方根为2,用 式 子 表 示 为 =；正数a的算术平方根为_ _ _ _ _ _,0 的算术平方根为_
2、 _ _ _ _ _ _；式子4 a Q（a 0）的意义是。（二）提出问题1、式子行表示什么意义？2、什么叫做二次根式？3、式子&2 0（a 2 0）的意义是什么？4、（&）2=a（a N 0）的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第2 页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？6,-V 16,V?,.（窈。），7 7 7 12、计 算：（尸（6）2（3）（代产 （4）心2根据计算结果，你能得出结论：（0）2=其中。2 0,（金丫=a a 0）的意义是 o3、当a为正数时忑指a的,而 0 的算术平方根是一，负数，只
3、有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式而中,字母a 必须满足,而才有意义。（三）合作探究1、学生自学课本第2 页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习：x 取何值时，下列各二次根式有意义？2、（1）若/-行 工有意义，则a的值为.（2）若 口 在实数范围内有意义，则 x 为（）。A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数（四）展 示 反 馈（学生归纳总结）1.非负数a的算术平方根痴（a 2 0）叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。2 .式子2 0）的取值是非负数。（五）精讲点拨1、二次根式的基本性质
4、（&）2=a 成立的条件是a 0,利用这个性质可以求二次根式的平方，如(石)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形 式,如5=(右)2.2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。(五)拓展延伸J1-2x1、(1)在式子一;中，x的取值范围是.(2)已知7%2-4 +J2x+y=0,则 x-y=.(3)已知 y=,3-x +J x-3-2,贝 U 产。2、由公式(&)2=a(a Z 0),我们可以得到公式a=(后/，利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：50.35(2)在实数范围内因式分解一-7 4 a 2
5、-I l(六)达标测试(一)填空题：A组2、1倒数范围内因式分解：(1)X2-9=x2-()J (x+_)(x-_)(2)x2-3=x2-()2=(x+_)(x-_)(二)选择题：J(-13)2的值为1、计算()A.169 B.-13 C13 D.132、已知Jx +3=0,则 为()A.x-3 B.x=x成立，那么x为()。A xWO;B.x=0;C.x 0=v 0 a=0-a a 0)(2)Tx72、化简下列各式(1)7(-3)2(3)(2)J(2X+3)2 (X 填空：(1)、-(2 x 1)(-/2 x 3)(x 2 2)=.、万-4)2 =2、已知 2 Vx(3,化简：(X-2)+|
6、x 3|B 组1、已知 0 V x V l,化简：知+4-J(x +g)2 _ 42、边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔.若沿3图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面.你会拼吗？试求出新的正方形边长.22.2 二次根式的乘除法二次根式的乘法一、学习目标1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。三、学习过程(-)复习回顾1、计算：(1)V4 X 79=V4x9=(2)V16 XV25
7、=_J16x25=_(3)7100 X 736=_7100 x36=2、根据上题计算结果，用或“=填空：(1)74 X 79 7479(2)V16 X V25_ 716x25(3)V100 X 736 J l00 x36(-)提出问题1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？2、如何二次根式的乘法法则进行计算？3、积的算术平方根有什么性质？4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。(三)自主学习自学课本第56 页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目:1、用计算器填空：(1)V2 X V3_ V6(2)7 5 X 7 6 _廊(3)后 X 当 _ _ _回(4)V4 X
8、 V5_ 7202、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律?能用数学表达式表示发现的规律吗？3、二次根式的乘法法则是：(四)合作交流1、自学课本6 页例1后，依照例题进行计算：(1)79 X V27(2)275 X3V2(3)45a,Qgab(4)V5 V3a 2、自学课本第67 页内容，完成下列问题:(1)用式子表示积的算术平方根的性质：(2)化简:V54Jl2 a2 从 J25x497100 x64(五)展示反馈展示学习成果后,请大家讨论:对于V9X V27的运算中不必把它变成V243后再进行计算，你有什么好办法？(六)精讲点拨1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则
9、进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。2、化简二次根式达到的要求：(1)被开方数进行因数或因式分解。(2)分解后把能开尽方的开出来。(七)拓展延伸1、判断下列各式是否正确并说明理由。(1)yj(-4)x(9)J-4 x J-9(2)的a2b=ab/(3)678 X(-276)=6x(-2)786=-12748(4)j4 A 义 巫=4 x x V16=4x3=122、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。（八）达标测试:A组1、选择题(1)等式J x +1 J 7=I =J d _ 成立的条件是()A.xl B.X -1 C.T W x W l D.xl
10、或 xT(2)下列各等式成立的是().A.4亚义2旧=8后 B.5gx4血=2 0后C.4 7 3 X 3 V 2=7 V 5 D.56X4血=2 0#(3)二次根式J(-2)2 x 6的计算结果是()A.2 7 6 B.-2 7 6 C.6 D.1 22、化简：(1)V 3 6 O；(2)出 彳3、计算：（）V 1 8 x V 3 O.1、选择题2(2)V 3 x7 5B组(1)若 卜-2|+匕2+4匕+4 +卜-O1-4C+A.4 B.2 C.-2 D.1(2)下列各式的计算中，不正确的是()A.J(-4)x(6)=产x4=(-2)X (-4)=8B.J 4 a =V 4 x -a -x
11、()，2 a2C.J 3 2 +4 2 =J 9 +I 6 =后=5D.7 1 32-1 22=7(1 3 +1 2)(1 3-1 2)=J 1 3 +1 2 x 7 1 3-1 2 =后x 12、计算：(1)6A/8 X (-2 7 6 )；(2)疝 齐;二次根式的除法一、学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。二、学习重点、难点重点：,尾握和混用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。三、学习过程(-)复习回顾1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
12、2、计算：(1)3mx(-4.76)(2)(二)提出问题：1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？2、如何二次根式的除法法则进行计算？3、商的算术平方根有什么性质？4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简?（三）自主学习自学课本第7 页一第8页内容，完成下面的题目：1、由“知识回顾3 题”可得规律：2、利用计算器计算填空:今亲亲3、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则:把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质:（四）合作交流1、自学课本例3,仿照例题完成下面的题目:计算：（1）关(2)2、自学课本例4,仿照例题完成下面的题目:化简：（1）（五）精讲点拨1、
13、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算:数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。（六）拓展延伸阅读下列运算过程：1 _ V 3 _ V 3 2 _ 2A/5 _ 2 756一百x6-3 火 近x6-5数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。即系2y6利用上述方法化简:(2 )：=3 V 2(3)1 _（七）达标测试：A组1、选择题（1）计 算 旧+旧+施 的 结 果 是（）A.-75 B.-C.V 2 D.7 7 7（2）化 简 的 结 果 是（）V 2 7A-亚3B.2耳C.一
14、半D.一 行2、计算:WB组用两种方法计算:（1）f点最简二次根式一、学习目标1、理解最简二次根式的概念。2、把二次根式化成最简二次根式.3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。二、学习重点、难点重点：最简二次根式的运用。难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。三、学习过程（一）复习回顾1、化 简（1）（2）半V 2 72、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？（-）提出问题：1、什么是最简二次根式？2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？3、如何进行二次根式的乘除混合运算？（三）自主学习自学课本第9 页内容，完成下面
15、的题目：1、满足于,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的二次根式称为最简二次根式，2、化简:3、良（2）G 7 记7(4)V8V20（四）合作交流1、计 算:旧+息x后2、比较下列数的大小(1)后 与 尼(2)-76与-6近3、如图，在 R t ABC 中，Z C=9 0 ,AC=3 c m,BC=6c m,求 AB 的长.(五)精讲点拨1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。2、判断是否为最简二次根式的两条标准：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中所有因数
16、或因式的事的指数都小于2.(六)拓展延伸观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1 _ 1 x(4 1)_拒-1=后,V 2 +1-(V 2 +1)(7 2 -1)-2-1 一 ，1 _ l x (V 3-V 2)_ V 3-V 2 _ 6 仔同理可得:12-V 3=2 V 3,从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+L 1 L+,_1(V 2 0 0 9 +1)的值.V 2+1 V 3+V 2 V 2 0 0 9+V 2 0 0 8（七）达标测试：A 组1、选择题（1）如 果#（y o）是二次根式，化为最简二次根式是（）.A.工（y 0）B.而（y 0）C.且（
17、y 0）Jyy（2）化简二次根式“J-安 的 结 果 是D.以上都不对A、J-a-2B、-J-a -2 C、J a 2D J a 22、填空：(1 )化简 J x,+九 2 y 2 =.(x 2 0)（2）已知x =T,贝的值等于一V 5-2 xB组1、计算：*(-7 )-3.-(a0,b0)b 2 V a2、若 x、y 为实数，且 y=Y -4+4-x+1,求 J 6+y 、/x-y 的值。22.3二次根式的加减法二次根式的加减法一、学习目标1、了解同类二次根式的定义。2、能熟练进行二次根式的加减运算。二、学习重点、难点重点：二次根式加减法的运算。难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。三、
18、学习过程(-)复习回顾1、什么是同类项？2、如何进行整式的加减运算？3、计算：(1)2x-3x+5x(2)a2b+2ba2-3ab()提出问题1、什么是同类二次根式？2、判断是否同类二次根式时应注意什么？3、如何进行二次根式的加减运算？(三)自主学习自学课本第10 11页内容，完成下面的题目：1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式:(1)2 也与3拒(3)后 与 疝(2)6与如(4)历 与 阮从中你得到：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2
19、、自学课本例1,例 2 后，仿例计算：(1)吊晒(2)V7+2A/7+3/97(3)3 廊-9 卜 3小通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应O(四)合作交流，展示反馈小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时6 分钟(1)V 1 2 2 7 (2，(，4 8 +J 2 0)+(-)(4)|%阮 _(%2旧 _6哈)（五）精讲点拨1、判断是否同类二次根式时.，一定要先化成最简二次根式后再判断。2、二次根式的加减分三个步骤：化成最简二次根式；找出同类二次根式；合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。（六）拓展延伸1、如图所示，面积为4 8 cm 2 的正方形的四个角是面积为3cm
20、 的小正方形，现将这四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底面边长分别是多少？2、已知 4 x2+y2-4 x-6 y+1 0=0,求（y x V 9 x -（X,产3XF）的值.（七）达标测试：A 组1、选择题（1）二次根式：/；万；岛 a中,与6 是同类二次根式的是（）.A.和 B.和C.和D.和（2）下列各组二次根式中,是同类二次根式的是（）.A.与 y12 yC.yj mn 与 G2、计算:(1)7 6+3 瓜-5 国B.廊7与所D.+与 N n+mg 回+6。2 弟B 组1、选择：已知最简根式。历法与。斫是同类二次根式，则满足条件的a,b 的 值（）A.不存在 B.
21、有一组C.有二组 D.多于二组2、计算：3 标+岛 4 总（2）后 一 必 +2 也 广（x 0,y 0）二次根式的混合运算一、学习目标熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。一、学 习 重 占、难占重点：就练进二次根式的混合运算。难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。三、学习过程()复习回顾：1、填空(1)整式混合运算的顺序是：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2)二次根式的乘除法法则是：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
22、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(3)二次根式的加减法法则是：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(4)写出已经学过的乘法公式：2、计算：布 京.亚 5恁(3)2 7 3-7 8+-7 1 2 +-7 5 02 5(-)合作交流1、探究计算：(1)(V 8+V 3 )X V 6(2)(4 正-3 必+2 行2、自学课本11页例3 后，依照例题探究计算:(1)(V2+3)(72+5)(2)(27 3-V2)2（三）展示反馈计算：（限时8 分钟）（1）（|V 2 7-V 2 4-3|）-V12(2
23、)(2V3-V5)(V2+V3)(3)(3V2+2V3)2(4)(V 10-V7)(-布-近)（四）精讲点拨整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。（五）拓展延伸同学们，我们以前学过完全平方公式（。6）2=心2帅+/,你 一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了:次根式，那么所有的正数（包括 0)都可以看作是一个数的平方，如 3=(6)2,5=(7 5 )%下面我们观察：(V 2-1)2=(V 2)2-2 x l x V 2+12=2-2 7 2 +1 =3-2 7 2反之，3-2 7 2 =2-2
24、7 2+1 =(/2-1)23-2 亚=(亚-I)?A/3-2A/2=V 2-1仿上例，求：(1)；+2 公(2)你会算-也 吗?(3)若yj a +2-Jb =ym+4 n,则m、n与 a、b 的关系是什么？并说明理由.(六)达标测试：A组1、计算：(1)(V 8 0+9 0)-V 5 (2)V 24V 3-V 6X2V3(3)-Ja rb-?a b +4 a b 4 a b(a 0,b 0)(4)(2 7 6-5 7 2)(-2 7 6-5 7 2)2、已知 a =-3 功=-4,求“2+/+1 0 的值。V 2-1 V 2+1B 组1、计算：(1)(V 3 +V 2-1)(V 3-V 2
25、 +1)(2)(3-V K)2 0 0 9(3 +V i()2 0 0 92、母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积为8 c m 2,另一个为1 8 c m,，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为5 0 c m 的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？二次根式复习一、学习目标1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。2、熟练进行二次根式的乘除法运算。3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。二、学习重点、难点重点：二次根式的计算和化简。
26、难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。三、复习过程（-）自主复习自学课本第1 3页“小结”的内容，记住相关知识，完成练习:1.若a 0,a的平方根可表示为a的算术平方根可表示2.当 a _ _ _ _ _时，J l-2a有意义,当a _ _ _ _ _时，J 3&+5没有意义。3.J(*3)2=J(64=4.7 1 4 x 7 4 8 =;V 7 2-V 1 8 =5.V 1 2+V 27 =;V 1 25-V 20 =(-)合作交流，展示反馈1、式子半 T成立的条件是什么？y X 52、计算：(1)+5收43.(1)&一5g 3犷.(2)(-3后-2 G(三)精讲点拨在二次
27、根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子:(1)(&K =a(a 2 0)与a =(&)2(a Z 0)a a 0(2)ya=同=0 a=0-a a 0,。0)与&=a 4b(a 0,。0)(4)*（a 2 b。）与 哙=亲 2 02）(5)(ah)2=a2 2a bb?与(a+b)(a-b)-a2-h2（四）拓展延伸1、用三种方法化简二V6解：第一种方法：直接约分第二种方法：分母有理化第三种方法：二次根式的除法2、已知m,m为实数，满足加=J/-9 +19-2 +4n-3求6m-3n的值。（五）达标测试：A组1、选择题：（1）化 简 作 亨 的 结 果 是（）A 5 B -5 C
28、5 D 25(2)代数式中，x的取值范围是()J x-2A x-4 B x2C x -4 且x w 2 D x-4 且 x 丰 2(3)下列各运算，正确的是()A 26.3 行=6 日C 4 X 7-1 25 =7-5 x(-1 25)D&+),2=后+护=x+y(4)如果J j(y 0)是二次根式，化为最简二次根式是()A-A(y 0)B 而(y 0)J yC 互(y 0)D.以上都不对(5)化简二建的结果是()V 27A -B C-D-V 23 V 3 32、计算.(1)V 27-27 3 +7 4 5(3)(&+2)(&-2)(4)(-3Q P 3 4 n A/S-V 2,V 3 +V
29、2 _|i 1 1 1 V 1 /古3、已知。=-,b =-求-的值2 2abB组1、选择：(1)a力 二 旦,则()A/5 5A a,b互为相反数 B a,b互为倒数C a b =5 D a=b(2)在下列各式中，化简正确 的 是()卜g =3屏 B小士舞C yj a4b =a24 b D V x3-x2=xy/x-1(3 )把(a -1)J-中根号外的(a -1)移人根号内得()V。一1A y)a-B y/l-aC-4 a D2、计算:(1)2 V6-V3-+V5 420.9 x 1 2 10.3 6 x 1 0 0(3)(3 拒-2 扬 2(3 后一26只3、归纳与猜想：观察下列各式及其
30、验证过程:3(1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4、回的变化结果并进行验证.(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自然数,且n 2)表示的等式并进行验证.参考答案二次根式(一)(五)拓展延伸1、xJ,且x w-1 6 -822、(1)(7 5)2(V0 3 5)2(2)(x +V7)(x-近)(2 4+而)(2”而)(六)达标测试(A 组)(一)填空题:31、-5 2、(1)x2-9=x2-(3)2=(x+一3)(x-一3);(2)x2-3 =x2-()2=(x+百)(x-.(二)选择题：1、D 2、C 3、D(B 组)(一)选择题：1、B 2、A(二)填空题：1、1 2、
31、(X2+2)(X+V2)(X-V 2)3、0。(五)展示反馈1、(1)2 x (2)x2(七)拓展延伸(l)2 a (2)D(A)达标测试：A 组 1、(1)、2B 组 1、2 x 2、(七)拓展延伸1、(1)错(2)错(3)2、(1)-7 6(八)达标检测：A 组 1、(1)A二次根式(二)2、(1)a-3(2)-2 x-3-3(2)、4-万 2、12 7 2-a32 2.2 二次根式的乘除法二次根式的乘法错(4)错(2)J 2 a(2)D (3)A2、6 VH y(2)4 缶 2；3、6 V1 5(2)也VB 组 1、(1)B (2)A2、（1）-4 8 7 3二次根式的除法（六）拓展延伸
32、(2)4 心/；迈3（七）达标测试：A 组 1、（1）(2)V26A (2)C2、(1)7 36(2)B 组 2 7 2(2)T-(3)22V24最简二次根式(4)也2（4）V（四）合作交流1、12、(1)(2)一 7 遥 -1(3)a =m+n,b =mn(六)达标测试：A 组 1、(1)4 +1 8 6(2)-4 7 2(3)a+b-3 4 a b(4)2 62、4B 组 1、(1)2 7 2 (2)-1 2、够用 二次根式复习(-)自主复习1.,yj u 2.a W ,a W 2 33.乃-3;2-6 4.4 7 4 2;25.5 /3;3 出(二)合作交流，展示反馈1、x 5 2、(1
33、)逑(2)更显1 0 3 y3.(1)行-2 0 百(2)3 0 +1 2 7 6(四)拓展延伸1、屈 2、5(五)达标测试：A组 1、(1)A (2)B (3)B (4)C (5)C2、(1)7 3+3 7 5 (2)-2(3)a-4 (4)x+9-2 y3 x3、4 /2B 组 1、(1)D (2)C (3)D2、孚 嘤3 63、后M I n第二十三章一元二次方程2 3.1 一元二次方程（1 课时）学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方
34、程的二次项系数、一次项系数和常数项。重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。导学流程：自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设长方形绿地的宽为X米，则长为 米，可列方程X ()=,去括号得 d你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？探究新知【例11小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长是多少？设剪去的正方形的边长为x c
35、m,你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？合作交流动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。列出的方程是.自主学习【做一做】根据题意列出方程：1、一个正方形的面积的2 倍等于5 0,这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数，求这个数。3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述三个方程以及两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。(04X2=81；2(1-1)=3了；(3)5寸 一l=4x；1 2(4)7 7 T-X=0；笈
36、 心3工-1；(6)3 x(x-l)=5(x+2)；(7)关于x的方程mx2-3x+2=0；关于X的方程(a2+l)/+(2 a-lV+5-a =0.【我学会了】1、只含有 个未知数，并 且 未 知 数 的 最 高 次 数 是，这样的 方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：，其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。【例2】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。(1)4/=8 1 (2)3x(x-l)=5(x+2)【巩固练习】教材第19页练习归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一
37、元二次方程的项及系数时要注意什么？达标测评(A)1、判断下列方程是否是一元二次方程;1 C(1)2X-X2-=0()(2)2/_)，+5=0()3 2(3)a x2+b x+c=0()(4)4x2-+7=0()X2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)3岁一产2；(2)7 x 3=2*;(3)(t 2,x1)3 x(x 2)=0(4)2 x(x l)=3(x+5)4.3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解;(1)2x(x+l)=4(x+l)+1 +2；(2)X2+2X-8 =0 2,+4(B)1、把方程?/一 3+M+3 2 =g
38、 _ p +化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。2、要 使+(左-1口+2 =0是一元二次方程，则卜=_ _ _ _ _ _ _.3、已知关于x的一元二次方程(加-2)x 2+3 x +/-4 =0有一个解是0,求m的值。拓展提高1、已知关于x的方程(4-2)x 2-丘=/一1。问(1)当k为何值时，方程为一元二次方程？(2)当k为何值时，方程为一元一次方程？2、思考题：你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗?2 3.2 一元二次方程的解法(5 课时)第 1 课时学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如x 2=a(a 0)或(
39、m x+n)2=a(a 2 0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程；2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。导学流程：自主探索试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)/=4；(2)/-1=0;解:x=_ 解：左边用平方差公式分解因式，得=0,必有 X 1=0,或_ _ _ _ _ _=0,得用=，而=精讲点拨(1)这种方法叫做直
40、接开平方法.(2)这种方法叫做因式分解法.合作交流(1)方程/=4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？(2)方 程/-1=0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？课堂练习反馈调控1 .试用两种方法解方程?-9 0 0 =0.(1)直接开平方法(2)因式分解法2 .解下列方程：(1)x-2=0;解(1)移项，得 V=2.直接开平方，得=士也.所以原方程的解是X 1 =-V 2，x2=V 2 .3.解下列方程：(1)3 7+2A=0；解(1)方程左边分解因式，得(2)1 6*2 5 =0.(2)移项，得.方程两边都除以1 6,得直接开平方，
41、得 X=_ _.所以原方程的解是为=_，也=_(2)x=3 x.所以,或原方程的解是 X,=,%=(2)原方程即=0.方程左边分解因式，得_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=0.所以，原方程的解是 x 产_ _ _ _ _,应=总结归纳以上解方程的方法是如何使二次方程转化为一次方程的？用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤分别是什么？巩固提高解下列方程：(1)(x+1)2 4 =0；(2)1 2 (2-x)-9=0.分 析 两个方程都可以转化为()2=a 的形式，从而用直接开平方法求解.解(1)原方程可以变形为()2=，(2)原方程可以变形为,有.所 以 原 方 程 的 解
42、 是 汨=,Xz=.课堂小结你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？它们之间有何联系与区别？(学生思考整理)达标测评(A)k 解下列方程：(1)X2=1 6 9；(2)4 5-X2=0；(3)1 2 y 2-2 5 =0；(4)X2-2X=0；(5)(t-2)(t +1)=0；(6)x (x+1)5 x=0.(7)x (3 x+2)-6(3 x+2)=0.(B)2、小明在解方程x?=3 x 时，将方程两边同时除以x,得 x=3,这样做法对吗？为什么会少一个解？拓展提高1、解下列方程：(1)X2+2X-3=0 (2)X2-5 0X+2 2 5=0(教师引导学生用十字相乘法分解因式。)2、构
43、造一个以2为根的关于x的一元二次方程。第2课 时学习目标:1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。导学流程自主学习自学教科书例4,完成填空。精讲点拨上面，我们把方程*一4 刀+3 =0变形为(x 2 尸=1,它的左边是一个含有未知数的 式，右边是一个_ _ _ _ _ _常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练：配方.填空：(1)?+6%+()=(叶)2；(2)y-8 x+()=(x-)2；(3)()=(x+V；2从这些练习中你发现了什么特点？(1)_
44、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _合作交流用配方法解下列方程：(1)7-6 -7 =0；(2)x 3x+l =0.解(1)移项，得 x?-6 x=_ _ _ _.方程左边配方，得/一2 刀 3+_2 =7+,即 ()2=.所以 x3=.原方程的解是 由=_
45、_ _ _ _ _，x2=.(2)移项，得/+3 X=-1.方程左边配方，得f+3 x+()2=-1+_,即 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _所以 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _原方程的解是：毛=_ _ _ 屈=_总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？深入探究用配方法解下列方程：(1)4x2-12x-l =0(2)3 1+2 x-3=0这两道题与例5中的两道题有何区别？请与同伴讨论如何解决这个问题？请两名同学到黑板展示自己的做法。课堂小结你今天学会了用怎样的方法解一元二次
46、方程？有哪些步骤？(学生思考后回答整理)达标测评(A)用配方法解方程：(1)x2+8 x 2=0(2)X25x6=0.(3)2x2-x=6(4)(4)x+px+q=O(pJ 4q0).(5)4x26x+()=4(x )2=(2x )2.拓展提高已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？第 3 课 时学习目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；3 进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；
47、难点：推导求根公式的过程。导学流程复习提问：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程3X2-6X-8=0;3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.a/+6x+c=0(aW 0).推导公式用配方法解一元二次方程a x+b x+c=0（370）.因为aW O,方程两边都除以a,得_=0.h移项，得/+-x=，a配方，得 x+-x+_ _ _ _ _=a a即（_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _）2 =因为 aN O,所以4 a 0,当匠一4 acO 时，直接开平方，得所以 x=即X _由以上研究的结果，得到了一元二次方程a/+c=0 的求根公式：精讲点拨 I
48、 x=二 士 之竺（一一4 一一川）利用这个公式;一我10可以在 广 仁 X?!1 东 双 1、b c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.合作交流b2-4 a c 为什么一定要强调它不小于0 呢？如果它小于0 会出现什么情况呢？展示反馈学生在合作交流后展示小组学习成果。当b-4 a cQ时，方程有一个 的实数根；填相等或不相等）当Z,2-4 a c=0时，方程有 个 的实数根x=x2=_ 当Z?2-4 a c 0 时，方程有一个 的实数根；(填相等或不相等)当b2 4ac=0 时;方程有 个 的实数根%=莅=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _当b?4
49、a c V0时，方程 实数根.精讲点拨这里的b 2-4 a c 叫做一元二次方程的根的判别式，通 常 用 来 表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程X?x+1=0,可由4ac=0 直接判断它 实数根；合作交流方程根的判别式应用1、不解方程，判断方程根的情况。(1)x+2T8 =0；(2)3/=4 x 1；(3)x(3 x 2)6 x =0；(4)/+(6+l)x=0；(5)x(x+8)=1 6；(6)(x+2)(x 5)=1；2.说明不论m 取何值，关于x的方程(x-1)(x-2)=n)2 总有两个不相等的实数根.解：把化为一般形式得_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
50、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _A =b -4 a c=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _拓展提高应用判别式来确定方程中的待定系数。（Dm取什么值时，关 于x的方程x2-2 x+m-2 =0有两个相等的实数根?求出这时方程的根.解：因为=b,-4ac=因为方程有两个相等的实数根所以 A =b 4 a c 0,即解得m=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _